Lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren: Erklärung

Q: Wann sind drei Vektoren linear abhängig?

Drei Vektoren sind linear abhängig , wenn sie koplanar , also in einer Ebene liegen und nicht parallel zueinander liegen.

Q: Wann sind drei Vektoren linear unabhängig?

Drei Vektoren sind linear unabhängig , wenn sie nicht koplanar sind, also nicht in einer Ebene liegen.

Inhaltsangabe

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit – Definition & Erklärung

Die lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren ist ein Thema in der Geometrie der Vektoren. Sie gibt Dir Auskunft darüber, wie zwei oder mehrere Vektoren im Raum zueinander stehen. Die lineare Abhängigkeit ist eine Eigenschaft, die eine gegebene Menge von Vektoren besitzt oder nicht besitzt.

Eine Menge von Vektoren heißt linear abhängig, wenn Du die Vektoren derart miteinander kombinieren kannst, dass Du zurück zum Ursprung gelangst. Das ist gleichbedeutend dazu, dass Du mindestens einen der Vektoren in Abhängigkeit der anderen Vektoren schreiben kannst.

Besitzt eine Menge von Vektoren diese Eigenschaft nicht, dann sind sie linear unabhängig.

Durch die Berechnung der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit kannst Du beispielsweise erfahren, ob die Vektoren parallel sind, in eine Richtung verlaufen, oder in einer Ebene $E$ liegen.

Lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren Vektoren im Koordinatensystem StudySmarter Abbildung 2: Vektoren im Koordinatensystem

Um die lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit berechnen zu können, ist der Begriff der Linearkombination relevant.

Der Term der Form $k_{1} \cdot {\vec{a}}_{1} + k_{2} \cdot {\vec{a}}_{2} + . . . + k_{n} \cdot {\vec{a}}_{n}, n \in ℕ$ heißt Linearkombination der Vektoren ${\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, . . ., {\vec{a}}_{n}$ . Diese entsteht, wenn beliebige Vielfache von Vektoren addiert werden. $k_{1}, k_{2}, . . ., k_{n}$ sind dabei reelle Zahlen und werden Koeffizienten genannt.

Linearkombinationen sind in der Vektorrechnung unabdingbar und werden für die lineare Unabhängigkeit und Abhängigkeit gebraucht.

Im Artikel "Linearkombination" kannst Du das Thema nochmal nachlesen.

In diesem Artikel geht es um die lineare Unabhängigkeit und Abhängigkeit von genau drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ . Zuerst lernst Du dabei die Bedingungen für die lineare Abhängigkeit von drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ kennen. Die Berechnung der linearen Abhängigkeit unterscheidet sich, je nachdem ob zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ oder drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ vorhanden sind. Außerdem gibt es verschiedene Berechnungsverfahren, die Du in diesem Kapitel kennenlernst.

Es macht Sinn, dass Du erst die lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren verstehst und wiederholst. Deshalb findest Du im nächsten Abschnitt als erstes eine Wiederholung der linearen Abhängigkeit von zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ . Bei drei Vektoren kommt dann später noch ein Vektor mit Koeffizient in der Linearkombination dazu, weshalb Du das Prinzip bei zwei Vektoren bereits verstanden haben solltest.

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von zwei Vektoren

Als erstes betrachtest Du die Zusammenhänge zwischen zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ .

Wenn zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ parallel zueinander sind, gilt, dass ein Vektor das Vielfache eines anderen Vektors darstellt. Somit gilt:

$\vec{a} = r \cdot \vec{b}$ oder $\vec{b} = s \cdot \vec{a}$

$r, s \in ℝ$

Solche Vektoren werden auch kollinear genannt.

Die Gleichung lässt sich umformen in

$\vec{a} - r \cdot \vec{b} = \vec{0}$

und durch Einsetzen von $r = - \frac{k_{2}}{k_{1}}$ als Linearkombination schreiben:

$k_{1} \cdot \vec{a} + k_{2} \cdot \vec{b} = \vec{0}$

Wenn die Linearkombination als Summe den Nullvektor ergibt, sind beide Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ kollinear. Daraus kannst Du die lineare Abhängigkeit herleiten.

Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind linear abhängig, wenn sie kollinear, also parallel zueinander liegen. Sonst sind sie linear unabhängig.

Wenn die Summe der Linearkombination $k_{1} \cdot \vec{a} + k_{2} \cdot \vec{b} = \vec{0}$ ergibt, sind beide Vektoren somit linear abhängig. Die Koeffizienten $k_{1}$ und $k_{2}$ sind dabei reelle Zahlen, dürfen aber nicht 0 sein. Die Gleichung lässt sich nach den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ auflösen.

In Abbildung 3 siehst Du zwei Beispiele für linear abhängige Vektoren: $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind linear abhängig, genauso wie $\vec{v}$ und $\vec{u}$ .

Lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren linear abhängige Vektoren StudySmarter Abbildung 3: linear abhängige Vektoren

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von drei Vektoren

Nun kannst Du die lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ betrachten.

Wenn drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ in einer Ebene $E$ liegen, dann kann ein Vektor als Linearkombination der anderen beiden dargestellt werden:

$\vec{c} = r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} r, s \in ℝ$

Solche Vektoren heißen koplanar.

Nach der Umformung der Gleichung nach demselben Vorgehen wie bei zwei Vektoren erhältst Du wieder eine Linearkombination:

$k_{1} \cdot \vec{a} + k_{2} \cdot \vec{b} + k_{3} \cdot \vec{c} = 0$

Wenn die Linearkombination als Summe den Nullvektor ergibt, sind die drei Vektoren koplanar. Daraus kannst Du wieder die lineare Abhängigkeit herleiten.

Drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ sind also linear abhängig, wenn sie koplanar, also in einer Ebene liegen. Sonst sind sie linear unabhängig.

Wenn die Summe der Linearkombination $k_{1} \cdot \vec{a} + k_{2} \cdot \vec{b} + k_{3} \cdot \vec{c} = 0$ ergibt, sind beide Vektoren somit linear abhängig. $k_{1}$ , $k_{2}$ und $k_{3}$ sind dabei reelle Zahlen, dürfen aber nicht 0 sein. Die Gleichung lässt sich nach den Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ auflösen.

Ein Beispiel für drei linear abhängige Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ , die in einer Ebene $E$ liegen, findest Du in Abbildung 4.

Lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren linear abhängige Vektoren StudySmarter Abbildung 4: drei linear unabhängige Vektoren in einer Ebene E (rot)

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von drei Vektoren - Beweis und Prüfung

Um die lineare Abhängigkeit von drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ zu beweisen bzw. zu prüfen, gibt es mehrere Verfahren. Im Folgenden lernst Du zwei davon kennen: die Lösung eines linearen Gleichungssystems mittels Gauß-Verfahren und die Untersuchung der Determinante.

Die Untersuchung der Determinante geht deutlich schneller, allerdings kannst Du mit diesem Verfahren nur eine Aussage darüber treffen, ob die drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ linear abhängig oder unabhängig sind. Das Verfahren über die Lösung eines linearen Gleichungssystems dauert länger und beinhaltet mehr Schritte. Allerdings gibt es auch Aufgabentypen, wo bei linearer Abhängigkeit eine mögliche Linearkombination als Lösung angegeben werden muss. Dies ist mithilfe des Gauß-Algorithmus machbar.

Lineares Gleichungssystem lösen

Die erste Möglichkeit, um die lineare Abhängigkeit von drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ zu beweisen, ist das Lösen eines linearen Gleichungssystems (LGS). Auch für die Lösung des LGS gibt es unterschiedliche Verfahren, wie das Additionsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren oder den Gauß-Algorithmus. Die Kenntnis dieser Möglichkeiten ist die Voraussetzung, um drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ auf ihre lineare Abhängigkeit zu prüfen.

Falls du Dir unsicher bist, lese gerne im Artikel "LGS lösen" nochmal nach, welche Verfahren es gibt und wie diese Verfahren funktionieren.

In diesem Artikel wird der Gauß- Algorithmus angewendet. Das Gauß-Verfahren kannst Du meist dann benutzen, wenn Du ein Gleichungssystem mit mehr als zwei Unbekannten lösen musst. Dafür ist es wichtig, dass du den Gauß-Algorithmus kennst und auch anwenden kannst.

Wenn Du nochmal nachlesen möchtest, wie das Gauß-Verfahren funktioniert und dein Wissen vertiefen willst, dann kannst du im Artikel "Gauß-Algorithmus" vorbeischauen.

Gaußsches Eliminationsverfahren

Der Gauß-Algorithmus bietet, wie eben erwähnt, die Möglichkeit, lineare Gleichungssysteme zu lösen. Diese Gleichungssysteme kannst Du aus der gegebenen Linearkombination aufstellen. Die Bedingung für die lineare Abhängigkeit ist, dass die Summe der Linearkombination den Nullvektor ergibt:

$k_{1} \cdot \vec{a} + k_{2} \cdot \vec{b} + k_{3} \cdot \vec{c} = \vec{0}$

Werden die Vektoren ausgeschrieben, so ergibt sich diese Form:

$k_{1} \cdot (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}) + k_{2} \cdot (\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix}) + k_{3} \cdot (\begin{matrix} c_{x} \\ c_{y} \\ c_{z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

Werden die Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ mit den Koeffizienten $k_{1}, k_{2}$ und $k_{3}$ multipliziert, so wird jede Koordinate der Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ mit den jeweiligen Koeffizienten multipliziert:

$(\begin{matrix} k_{1} \cdot a_{x} \\ k_{1} \cdot a_{y} \\ k_{1} \cdot a_{z} \end{matrix}) + (\begin{matrix} k_{2} \cdot b_{x} \\ k_{2} \cdot b_{y} \\ k_{2} \cdot b_{z} \end{matrix}) + (\begin{matrix} k_{3} \cdot c_{x} \\ k_{3} \cdot c_{y} \\ k_{3} \cdot c_{z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

Daraus kann ein lineares Gleichungssystem aufgestellt werden, indem jede Zeile einzeln betrachtet wird:

$\begin{array}{rcl} Ⅰ \begin{matrix} k_{1} \cdot a_{x} \end{matrix} + k_{2} \cdot b_{x} + k_{3} \cdot c_{x} & = & 0 \\ Ⅱ k_{1} \cdot a_{y} + k_{2} \cdot b_{y} + k_{3} \cdot c_{y} & = & 0 \\ Ⅲ : k_{1} \cdot a_{z} + k_{2} \cdot b_{z} + k_{3} \cdot c_{z} & = & 0 \end{array}$

Dieses Gleichungssystem kannst Du jetzt mittels des Gaußschen Eliminationsverfahren lösen. Dafür musst Du ebenfalls eine Matrix $M$ aus den drei Vektoren nach folgendem Schema aufstellen:

$M = (\begin{matrix} a_{x} & b_{x} & c_{x} \\ a_{y} & b_{y} & c_{y} \\ a_{z} & b_{z} & c_{z} \end{matrix})$

Drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ sind genau dann linear abhängig, wenn die Anwendung des Gauß-Algorithmus für die Lösung des linearen Gleichungssystems zu einer Nullzeile oder -spalte führt.

Wenn es für das Gleichungssystem nur eine einzige Lösung, nämlich $k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0$ gibt, sind die Vektoren stattdessen linear unabhängig. Eine einzige Lösung gibt es nur, wenn das Gleichungssystem nach Anwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens keine Nullzeile besitzt.

Eine Nullzeile ist eine Zeile, in der nur Nullen stehen. Ebenso ist eine Nullspalte eine Spalte, in der nur Nullen stehen.

$M_{1} = (\begin{matrix} a_{x} & b_{x} & c_{x} \\ 0 & 0 & 0 \\ a_{z} & b_{z} & c_{z} \end{matrix}), M_{2} = (\begin{matrix} a_{x} & b_{x} & 0 \\ a_{y} & b_{y} & 0 \\ a_{z} & b_{z} & 0 \end{matrix})$

Wenn bei der Lösung des LGS eine Nullzeile entsteht, gibt es nur zwei Gleichungen, aber drei Unbekannte. Somit ist das LGS nicht mehr direkt lösbar und immer von einer Variablen abhängig. Das Gleichungssystem besitzt also unendlich viele Lösungen und deshalb ist dadurch eine lineare Abhängigkeit gegeben.

Für die Anwendung des Gauß-Algorithmus zum Beweis der linearen Abhängigkeit oder Unabhängigkeit findest Du im Folgenden zwei Beispiele zur Beschreibung des Vorgangs:

Mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahren soll geprüft werden, ob die Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ linear abhängig oder unabhängig sind. Dafür sind die folgenden Vektoren gegeben:

$\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}), \vec{b} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}), \vec{c} = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})$

Aus der Definition der Linearkombination $k_{1} \cdot \vec{a} + k_{2} \cdot \vec{b} + k_{3} \cdot \vec{c} = \vec{0}$ ergibt sich nach dem Einsetzen der gegebenen Vektoren:

$k_{1} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + k_{2} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + k_{3} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

Daraus kann das lineare Gleichungssystem aufgestellt werden:

$\begin{array}{rcl} Ⅰ \begin{matrix} k_{1} \cdot 2 \end{matrix} + k_{2} \cdot 1 + k_{3} \cdot 3 & = & 0 \\ Ⅱ k_{1} \cdot 2 + k_{2} \cdot 1 + k_{3} \cdot 3 & = & 0 \\ Ⅲ k_{1} \cdot 0 + k_{2} \cdot 2 + k_{3} \cdot 2 & = & 0 \end{array}$

Jetzt wird das Gleichungssystem ohne Koeffizienten und Rechenoperatoren in eine Ergebnismatrix $M$ geschrieben. Links vom Strich findest Du die 3x3-Matrix aus Deinen Vektoren und auf der rechten Seite Dein Ergebnis von der rechten Seite der Gleichung, 0.

$M = (\begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

Zuerst wird in der 2. Zeile der 1. Spalte die Null berechnet. In der Matrix $M$ ist zu sehen, dass in der 1. Spalte sowohl in der 1. Zeile als auch in der 2. Zeile eine 2 steht. Also kann die 1. Zeile von der 2. Zeile subtrahiert werden.

$\begin{matrix} (\begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) & \begin{matrix} Ⅱ - Ⅰ \end{matrix} \\ (\begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ (2 - 2) & (1 - 1) & (3 - 3) \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) & = (\begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \end{matrix}$

Hier ist in der zweiten Zeile schon eine Nullzeile zu sehen. Wenn bei der Durchführung des Gaußschen Eliminationsverfahren eine Nullzeile entsteht, besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Dann sind die Vektoren linear abhängig. Da die 2. Zeile in diesem Beispiel ausschließlich aus Nullen besteht, sind die drei Vektoren linear abhängig.

In manchen Aufgabentypen ist es nicht nur gefordert, die Vektoren auf lineare Abhängigkeit zu prüfen, sondern ebenfalls die mögliche Linearkombination anzugeben.

Linearkombination angeben

Zur Angabe der möglichen Linearkombination kannst Du das Beispiel von gerade eben weiter rechnen. Du hast die drei Vektoren

$\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}), \vec{b} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}), \vec{c} = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})$

auf lineare Abhängigkeit geprüft und dafür bei der Lösung des linearen Gleichungssystem

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} Ⅰ & \begin{matrix} k_{1} \cdot 2 \end{matrix} + k_{2} \cdot 1 + k_{3} \cdot 3 & = & 0 \\ Ⅱ & k_{1} \cdot 2 + k_{2} \cdot 1 + k_{3} \cdot 3 & = & 0 \\ Ⅲ & k_{1} \cdot 0 + k_{2} \cdot 2 + k_{3} \cdot 2 & = & 0 \end{matrix} \begin{matrix} \Rightarrow & (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}) \end{matrix} \end{array}$

mittels des Gauß-Algorithmus eine Nullzeile erhalten, weswegen eine lineare Abhängigkeit bewiesen ist. Um nun eine Linearkombination anzugeben, musst Du das LGS nun vollständig mit den herkömmlichen Verfahren lösen. Damit kommst Du z. B. auf das Ergebnis:

$\begin{array}{rcl} k_{1} & = & k_{1} \\ k_{2} & = & k_{1} \\ k_{3} & = & - k_{1} \end{array}$

Das LGS hat unendlich viele Lösungen, weswegen $k_{2}$ und $k_{3}$ als Vielfaches von $k_{1}$ angegeben werden können. Eine allgemein mögliche Linearkombination wäre dann

$k_{1} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + k_{1} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) - k_{1} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) = 0$

und eine beispielhafte Linearkombination für $k_{1} = 1$ wäre

$(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) = 0$

Im Folgenden siehst Du ein weiteres Beispiel zur Prüfung der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit.

Die folgenden Vektoren sollen auf lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit geprüft werden:

$\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), \vec{b} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}), \vec{c} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})$

Aus der Definition der Linearkombination $k_{1} \cdot \vec{a} + k_{2} \cdot \vec{b} + k_{3} \cdot \vec{c} = \vec{0}$ ergibt sich nach dem Einsetzen der gegebenen Vektoren wieder:

$k_{1} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + k_{2} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + k_{3} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

Daraus kann das lineare Gleichungssystem aufgestellt werden:

$\begin{array}{rcl} Ⅰ \begin{matrix} k_{1} \cdot 2 \end{matrix} + k_{2} \cdot 1 + k_{3} \cdot 1 & = & 0 \\ Ⅱ k_{1} \cdot 1 + k_{2} \cdot 1 + k_{3} \cdot 0 & = & 0 \\ Ⅲ k_{1} \cdot 1 + k_{2} \cdot 2 + k_{3} \cdot 2 & = & 0 \end{array}$

Jetzt wird das Gleichungssystem wieder in eine Ergebnismatrix $M$ geschrieben:

$M = (\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

Jetzt fängst Du wieder an, das LGS mittels Gauß-Verfahren zu lösen. Durch elementare Umformschritte nach dem Gaußalgorithmus kommst Du schließlich zu dieser Matrix:

$(\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0_{}^{} \\ 0 \end{matrix})$

Jetzt stehen in der 3. Zeile zwei Nullen. Die Null in der 3. Zeile der dritten Spalte könnte zwar durch weitere Subtraktion erreicht werden, allerdings würden sich dann die bisher errechneten Nullen wieder ändern. Eine Nullzeile ist somit nicht möglich. Die drei Vektoren sind also linear unabhängig und die einzige Lösung ist

k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0

. Eine Linearkombination kann deshalb nicht angegeben werden.

Damit hast Du gerade den Beweis für die lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit mittels Gaußschen Eliminationsverfahren gelernt. Nachfolgend wirst Du ein zweites Verfahren, die Untersuchung der Determinante, lernen.

Untersuchung der Determinante

Eine Alternative zur Prüfung der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit von drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ ist die Untersuchung der Determinante, die sich aus den drei Vektoren ergibt.

Drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ sind linear abhängig, wenn ihre Determinante $|M| = 0$ ergibt.

Ergibt die Berechnung der Determinante $|M| \neq 0$ , sind die Vektoren linear unabhängig.

Alles zum Thema Determinante kannst Du im Artikel "Determinante" nachlesen.

Da die Aufstellung und Berechnung der Determinante für die Anwendung dieser Alternative essenziell ist, hast Du hier nochmal eine kleine Wiederholung. Deine drei Vektoren werden wieder wie in einer Matrix $M$ nebeneinander aufgestellt:

$M = (\begin{matrix} a_{x} & b_{x} & c_{x} \\ a_{y} & b_{y} & c_{y} \\ a_{z} & b_{z} & c_{z} \end{matrix})$

Die Formel zur Berechnung der Determinante von $M$ , bezeichnet als $|M|$ heißt Regel von Sarrus. Der Trick dabei ist, die ersten beiden Spalten neben die Determinante zu schreiben. Die Regel von Sarrus lautet:

$|M| = |\begin{matrix} a_{x} & b_{x} & c_{x} \\ a_{y} & b_{y} & c_{y} \\ a_{z} & b_{z} & c_{z} \end{matrix}| \begin{matrix} \begin{matrix} a_{x} & b_{x} \\ a_{y} & b_{y} \\ a_{z} & b_{z} \end{matrix} \end{matrix} = a_{x} \cdot b_{y} \cdot c_{z} + b_{x} \cdot c_{y} \cdot a_{z} + c_{x} \cdot a_{y} \cdot b_{z} - a_{z} \cdot b_{y} \cdot c_{x} - b_{z} \cdot c_{y} \cdot a_{x} - c_{z} \cdot a_{y} \cdot b_{x}$

Zur Veranschaulichung der Regel von Sarrus sind hier die Hauptdiagonalen in verschiedenen Farben dargestellt. Nun kannst Du in Farbe die Multiplikationsdrillinge der ersten Hälfte der Determinante $|M|$ sehen Die Reihenfolge der Multiplikation ist von oben nach unten.

$|M| = |\begin{matrix} a_{x} & b_{x} & c_{x} \\ a_{y} & b_{y} & c_{y} \\ a_{z} & b_{z} & c_{z} \end{matrix}| \begin{matrix} a_{x} & b_{x} \\ a_{y} & b_{y} \\ a_{z} & b_{z} \end{matrix} = a_{x} \cdot b_{y} \cdot c_{z} + b_{x} \cdot c_{y} \cdot a_{z} + c_{x} \cdot a_{y} \cdot b_{z} - a_{z} \cdot b_{y} \cdot c_{x} - b_{z} \cdot c_{y} \cdot a_{x} - c_{z} \cdot a_{y} \cdot b_{x}$

Im Folgenden sind die Nebendiagonalen in verschiedenen Farben dargestellt. So kannst Du nun wieder die Multiplikationsdrillinge der zweiten Hälfte der Determinante $|M|$ sehen. Die Reihenfolge der Multiplikation ist von unten nach oben.

Um nun die Identifizierung der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit dreier Vektoren anhand ihrer Determinante $|M|$ zu veranschaulichen, findest Du im Folgenden ein Beispiel:

Gegeben sind die drei Vektoren:

$\vec{a} = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}), \vec{b} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}), \vec{c} = (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix})$

Diese sollen mithilfe der Berechnung ihrer Determinante $|M|$ auf lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit untersucht werden.

Dazu wird als erstes die Matrix $M$ aufgestellt:

$M = (\begin{matrix} 4 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & - 1 \\ 1 & 2 & 5 \end{matrix})$

Nun kann die Determinante $|M|$ mithilfe der Regel von Sarrus berechnet werden:

$\begin{array}{rcl} |M| & = & |\begin{matrix} 4 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & - 1 \\ 1 & 2 & 5 \end{matrix}| = 4 \cdot 2 \cdot 5 + 1 \cdot (- 1) \cdot 1 + 0 \cdot 3 \cdot 2 - 1 \cdot 2 \cdot 0 - 2 \cdot (- 1) \cdot 4 - 5 \cdot 3 \cdot 1 \\ = & 40 - 1 + 0 - 0 + 8 - 15 \\ = & 40 - 1 + 8 - 15 \\ = & 32 \end{array}$

Die Determinante $|M|$ ist also 32 und damit gilt $|M| \neq 0$ . Die drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ sind also linear unabhängig.

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von 3 Vektoren - Aufgaben

Im Folgenden findest Du drei Aufgaben, wo Du das Prüfen von linearer Abhängigkeit und Unabhängigkeit von 3 Vektoren nochmal üben kannst.

Aufgabe 1

Prüfe mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahren, ob die Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ linear abhängig oder unabhängig sind. Dafür sind die Vektoren gegeben:

$\vec{a} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), \vec{b} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), \vec{c} = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})$

Lösung

Aus der Definition der Linearkombination $k_{1} \cdot \vec{a} + k_{2} \cdot \vec{b} + k_{3} \cdot \vec{c} = \vec{0}$ ergibt sich nach dem Einsetzen der gegebenen Vektoren:

$k_{1} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + k_{2} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + k_{3} \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

Daraus kannst Du das lineare Gleichungssystem aufstellen:

$\begin{array}{rcl} Ⅰ \begin{matrix} k_{1} \cdot 3 \end{matrix} + k_{2} \cdot 1 + k_{3} \cdot 4 & = & 0 \\ Ⅱ k_{1} \cdot 1 + k_{2} \cdot 0 + k_{3} \cdot 2 & = & 0 \\ Ⅲ k_{1} \cdot 1 + k_{2} \cdot 1 + k_{3} \cdot 0 & = & 0 \end{array}$

Jetzt schreibst Du das Gleichungssystem zuerst in Deine Ergebnismatrix $M$ :

$M = (\begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

Zuerst berechnest Du in der 2. Zeile der 1. Spalte die Null. Dafür kannst Du die 1. Zeile durch 3 teilen und dann die 1. Zeile von der 2. Zeile subtrahieren.

$\begin{matrix} (\begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) & \begin{matrix} Ⅱ - \frac{1}{3} \cdot Ⅰ \end{matrix} \\ (\begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ (1 - \frac{1}{3} \cdot 3) & (0 - \frac{1}{3} \cdot 1) & (2 - \frac{1}{3} \cdot 4) \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0_{}^{} \\ 0 \end{matrix}) & = (\begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 0 & - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0_{}^{} \\ 0 \end{matrix}) \end{matrix}$

Nun berechnest Du in der 3. Zeile der 1. Spalte die Null. Dafür kannst Du die 1. Zeile wieder durch 3 Teilen und die 1. Zeile von der 3. Zeile subtrahieren.

$\begin{matrix} (\begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 0 & - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0_{}^{} \\ 0 \end{matrix}) & \begin{matrix} Ⅲ - \frac{1}{3} \cdot Ⅰ \end{matrix} \\ (\begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 0 & - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ (1 - \frac{1}{3} \cdot 3) & (1 - \frac{1}{3} \cdot 1) & (0 - \frac{1}{3} \cdot 4) \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0_{}^{} \\ 0 \end{matrix}) & = (\begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 0 & - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{2}{3} & - \frac{4}{3} \end{matrix} \begin{matrix} \underset{}{0} \\ \underset{}{0} \\ \overset{}{0} \end{matrix}) \end{matrix}$

Nun suchst Du die Null in der 3. Zeile der 2. Spalte. Dafür kannst Du die 2. Zeile mit dem Faktor 2 multiplizieren und von zu der 3. Zeile addieren.

$\begin{matrix} (\begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 0 & - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{2}{3} & - \frac{4}{3} \end{matrix} \begin{matrix} \underset{}{0} \\ \underset{}{0} \\ \overset{}{0} \end{matrix}) & \begin{matrix} Ⅲ + 2 \cdot Ⅱ \end{matrix} \\ (\begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 0 & - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ (0 + 2 \cdot 0) & (\frac{2}{3} + 2 \cdot (- \frac{1}{3})) & (- \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{2}{3}) \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0_{}^{} \\ 0 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 0 & - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \begin{matrix} \underset{}{0} \\ \underset{}{0} \\ 0 \end{matrix}) \end{matrix}$

Hier siehst Du in der 3. Zeile nun eine Nullzeile. Somit sind die drei Vektoren linear abhängig.

Aufgabe 2

Gegeben sind die drei Vektoren:

$\vec{a} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}), \vec{b} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), \vec{c} = (\begin{matrix} - 2 \\ - 3 \\ - 4 \end{matrix})$

Untersuche diese mithilfe der Berechnung ihrer Determinante $|M|$ auf lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit.

Lösung

Dazu stellst Du als erstes die Matrix $M$ auf:

$M = (\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 \\ 1 & 1 & - 3 \\ 2 & 1 & - 4 \end{matrix})$

Nun kannst Du die Determinante $|M|$ mithilfe der Regel von Sarrus berechnen:

$\begin{array}{rcl} |M| & = & |\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 \\ 1 & 1 & - 3 \\ 2 & 1 & - 4 \end{matrix}| = 0 \cdot 1 \cdot (- 4) + 1 \cdot (- 3) \cdot 2 + (- 2) \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \cdot (- 2) - 1 \cdot (- 3) \cdot 0 - (- 4) \cdot 1 \cdot 1 \\ = & 0 - 6 - 2 + 4 + 0 + 4 \\ = & - 6 - 2 + 4 + 4 \\ = & 0 \end{array}$

Die Determinante $|M|$ ist also 0. Die drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ sind also linear abhängig.

Aufgabe 3

Gegeben sind die drei Vektoren:

$\vec{a} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}), \vec{b} = (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}), \vec{c} = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$

Untersuche diese mithilfe der Berechnung ihrer Determinante $|M|$ auf lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit.

Lösung

Dazu stellst Du als erstes die Matrix $M$ aufgestellt:

$M = (\begin{matrix} 3 & 1 & - 1 \\ 1 & 5 & 2 \\ 4 & 1 & 1 \end{matrix})$

Nun kannst Du die Determinante $|M|$ mithilfe der Regel von Sarrus berechnen:

$\begin{array}{rcl} |M| & = & |\begin{matrix} 3 & 1 & - 1 \\ 1 & 5 & 2 \\ 4 & 1 & 1 \end{matrix}| = 3 \cdot 5 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 4 + (- 1) \cdot 1 \cdot 1 - 4 \cdot 5 \cdot (- 1) - 1 \cdot 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \cdot 1 \\ = & 15 + 8 - 1 + 20 - 6 - 1 \\ = & 35 \end{array}$

Die Determinante $|M|$ ist also 35 und damit gilt $|M| \neq 0$ . Die drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ sind also linear unabhängig.

Lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren – Das Wichtigste

Wenn die Linearkombination $k_{1} \cdot \vec{a} + k_{2} \cdot \vec{b} + k_{3} \cdot \vec{c} = 0$ als Summe den Nullvektor ergibt, sind die drei Vektoren koplanar.
Drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ sind also linear abhängig, wenn sie koplanar, also in einer Ebene liegen, sonst sind sie linear unabhängig.
Bei der Prüfung auf lineare Unabhängigkeit und Abhängigkeit gibt es zwei gängige Verfahren:
- Gauß-Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme
- Untersuchung der Determinante
Drei Vektoren a→, b→ und c→sind linear abhängig, wenn die Anwendung des Gauß-Algorithmus für die Lösung des linearen Gleichungssystems zu einer Nullzeile oder -spalte führt.
- Wenn es für das Gleichungssystem nur eine einzige Lösung, nämlich $k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0$ gibt, sind die Vektoren stattdessen linear unabhängig.
Drei Vektorena→, b→ und c→sind linear abhängig, wenn ihre Determinante $|M| = 0$ ergibt
- Ergibt die Berechnung der Determinante $|M| \neq 0$ sind die Vektoren linear unabhängig.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren

Wann sind drei Vektoren linear abhängig?

Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie koplanar, also in einer Ebene liegen und nicht parallel zueinander liegen.

Wann sind drei Vektoren linear unabhängig?

Drei Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie nicht koplanar sind, also nicht in einer Ebene liegen.

Wie zeigt man lineare Unabhängigkeit?

Die lineare Unabhängigkeit kann durch die Berechnung der Determinante gezeigt werden, die 0 ergeben muss. Zudem kann die lineare Unabhängigkeit durch die Lösung des linearen Gleichungssystems aus den drei Vektoren durch das gaußsche Eliminationsverfahren gezeigt werden. Die Lösung des linearen Gleichungssystems durch den Gauß-Algorithmus führt bei linearer Unabhängigkeit nicht zu einer Nullzeile oder Nullspalte.

Sind identische Vektoren linear abhängig?

Nein. Sind Vektoren identisch, so kann keine lineare Abhängigkeit bestehen. Sie sind einfach genau gleich.

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