Punkte begegnen Dir überall im Alltag. Wenn Du Dich mit Deinen Freunden oder Bekannten in der Stadt verabreden möchtest, dann triffst Du Dich mit Ihnen an einem zuvor bestimmten Punkt. Dieser Punkt gibt eine bestimmte Lage innerhalb Deiner Stadt an.
Auch in der Mathematik geht es oft um Punkte und darum, die Abstände zweier Punkte zu berechnen. In dieser Erklärung lernst Du alles über die Definition, Darstellung und die Berechnung des Abstandes von Punkten
Punkt Mathematik Basiswissen
Der Punkt ist einer der wichtigsten Grundbegriffe innerhalb der Geometrie.
Er ist beispielsweise eine Grundlage für das kartesische Koordinatensystem.
Ein markanter Punkt ist der Ursprung des Koordinatensystems, der sich am Schnittpunkt der y-Achse (Ordinatenachse) und x-Achse (Abszisse) befindet.
Punkt Definition
Im Folgenden erfährst Du, wie ein Punkt in der Mathematik definiert ist.
In der Geometrie gibt ein Punkt eine genaue Position an. Ein Punkt hat keine Ausdehnung. Das heißt, er besitzt weder Länge, Breite noch Höhe.
Ein Punkt entsteht auch, wenn zwei gerade Linien sich kreuzen.
Ein Punkt kann im zwei- und dreidimensionalen Koordinatensystem beschrieben werden.
Punkt Mathematik Schreibweise
Im zweidimensionalen Koordinatensystem ist die allgemeine Schreibweise für Punkte \begin{align}P({\color{#1478C8}x}|{\color{#00dcb4}y})\end{align}
Vor die Klammer wird üblicherweise ein Buchstabe geschrieben, mit dem der Punkt benannt wird (hier der Buchstabe \(P\)).
Der Ausdruck \(({\color{#1478C8}x}|{\color{#00dcb4}y})\) wird auch als Zahlenpaar bezeichnet. Die beiden reelen Zahlen des Punktes \({\color{#1478C8}x}\) und \({\color{#00dcb4}y}\) werden auch Koordinaten des Punktes genannt. Die Koordinaten geben die Lage bezüglich der Achsen an.
Die linke Zahl des Punktes wird deshalb auch als \({\color{#1478C8}\text{x-Wert}}\) oder \({\color{#1478C8}\text{x-Koordinate}}\) und die rechte Zahl als \({\color{#00dcb4}\text{y-Wert}}\) oder \({\color{#00dcb4}\text{y-Koordinate}}\) bezeichnet.
\begin{align}P({\color{#1478C8}2}|{\color{#00dcb4}3})\end{align}Der Punkt \(P\) hat den x-Wert \({\color{#1478c8}{2}}\) und den y-Wert \({\color{#00dcb4}{3}}\).
Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibt es anstelle von zwei Achsen \({\color{#1478C8}x},\,{\color{#00dcb4}y}\) logischerweise drei Koordinatenachsen \({\color{#1478C8}x},\,{\color{#00dcb4}y},\,{\color{#fa3273}z}\). Dementsprechend sieht der Punkt P dann so aus: \(P({\color{#1478C8}x}|{\color{#00dcb4}y}|{\color{#fa3273}z})\).
\begin{align} P{\color{#1478c8}1} | {\color{#00dcb4}7} | {\color{#fa3273}4} \end{align}
Der Punkt \(P\) liegt im dreidimensionalen Koordinatensystem und besitzt den x-Wert \(\color{#1478c8}1\), y-Wert \(\color{#00dcb4}7\) und den z-Wert \(\color{#fa3273}4\).
Punkt darstellen
Die Position eines Punktes im Koordinatensystem wird durch seine Koordinaten festgelegt. Er kann dementsprechend auch in das Koordinatensystem eingetragen werden.
Punkt darstellen in der Ebene
Um einen Punkt in ein zweidimensionales Koordinatensystem zu zeichnen, startest Du beim Ursprung (Nullpunkt) des Koordinatensystems.
Von dort liest Du zuerst die x-Einheiten auf der x-Achse nach rechts/links und dann die y-Einheiten auf der y-Achse nach oben/unten ab. Dort kannst Du dann den Punkt mit einem Kreuz einzeichnen.
Merkspruch: Erst laufen, dann springen.
Laufe zuerst entlang der x-Achse (erste Zahl) und springe anschließend nach oben/unten in Richtung des y-Werts (zweite Zahl).
Ein Beispiel zeigt Dir, wie das Ganze funktioniert.
Aufgabe 1
Zeichne den Punkt \(P({\color{#1478C8}2}|{\color{#00dcb4}3})\) in das zweidimensionale Koordinatensystem ein.
Lösung
Du startest also beim Ursprung.
Von dort "läufst" Du zuerst \({\color{#1478C8}2}\) Einheiten nach rechts, also in Richtung der positiven x-Achse. Nun bist Du bei \({\color{#1478C8}x=2}\) angekommen. Anschließend "springst" Du jetzt von \({\color{#1478C8}x=2}\) um \({\color{#00dcb4}3}\) Einheiten nach oben, in Richtung positiver y-Achse.
Die Abbildung unten verdeutlicht Dir das Vorgehen.
Abb. 1 - Punkt P(2|3)
Punkt darstellen im Raum
Auch Punkte im dreidimensionalen Raum der Form \(P({\color{#1478C8}x}|{\color{#00dcb4}y}|{\color{#fa3273}z})\) können innerhalb des Koordinatensystems dargestellt werden.
Hier musst Du Dich zusätzlich zu x-Wert und y-Wert noch ein weiteres Mal Richtung z-Wert bewegen.
Das bedeutet, dass man zuerst entlang der x-Achse "läuft" (erste Zahl), anschließend in Richtung des y-Werts (zweite Zahl) und dann weiter in Richtung des z-Werts "springt".
Nun direkt ein Beispiel dazu.
Aufgabe 2
Zeichne den Punkt \(P({\color{#1478C8}2}|{\color{#00dcb4}3}|{\color{#fa3273}4})\) in das dreidimensionale Koordinatensystem ein.
Lösung
Du beginnst beim Ursprung und läufst \({\color{#1478C8}2}\) Einheiten in Richtung der positiven x-Achse. Nun bist Du bei \({\color{#1478C8}x=2}\) angekommen. Von diesem Punkt springst Du \({\color{#00dcb4}3}\) Einheiten nach rechts, also in Richtung der positiven y-Achse. Von da aus springst Du ein zweites Mal \({\color{#fa3273}4}\) Einheiten nach oben in Richtung der positiven z-Achse. Somit landest Du bei Punkt P.
Abb. 2 - Punkt P im Raum.
Analytische Geometrie Abstand zweier Punkte
Gibt es mehr als einen Punkt, so wird der Abstand zwischen verschiedenen Punkten wichtig. Dabei kannst Du den Abstand entweder in der Ebene oder im Raum berechnen.
Abstand in der Ebene
Angenommen, der Abstand zwischen Punkt \(A\) und Punkt \(B\) soll in der Ebene berechnet werden. Ganz allgemein gilt: \(A=(x_1|y_1)\) und \(B=(x_2|y_2)\).
Dann kannst Du den Abstand \(d\) nach folgender Formel berechnen:\[d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]
Abb. 3 - Abstand zweier Punkte in der Ebene.
In der oberen Abbildung ist der Abstand \(d\) auch ablesbar, wenn Du die Linie mit der x-Achse vergleichst. Dann siehst Du, dass der Abstand \(d=2\) beträgt.
Nachfolgend findest Du ein Beispiel für Dich, damit Du den Abstand zweier Punkte in der Ebene berechnen kannst.
Aufgabe 3
Berechne den Abstand \(d\) zwischen den Punkten \(A(2|3)\) und \(B(4|4)\).
Abb. 4 - Abstand zwischen den Punkten A und B in der Ebene.
Lösung
Die allgemeine Formel für den Abstand \(d\) zwischen zwei Punkten \(A\) und \(B\) lautet: \[d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\] Um den Abstand \(d\) zu berechnen, setzt Du also die Punkte aus der Abbildung 4 in die Formel ein. Dann sieht das so aus:\[d=\sqrt{(4-2)^2+(4-3)^2}=\sqrt{2^2+1^2}\\=\sqrt{5}\]Der Abstand \(d\) zwischen Punkt \(A(2|3)\) und Punkt \(B(4|4)\) beträgt also \(\sqrt{5} \approx 2,24\).
Abstand im Raum
Im Raum sieht die Abstandsberechnung zwischen zwei Punkten ähnlich wie in der Ebene aus.
Angenommen, der Abstand zwischen Punkt \(A\) und Punkt \(B\) soll im Raum nach der Abbildung 5 berechnet werden. Ganz allgemein ist \(A=(x_1|y_1|z_1)\) und \(B=(x_2|y_2|z_2)\). Dann kannst Du den Abstand \(d\) nach folgender Formel berechnen:\[d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\]
Abb. 5 - Abstand zweier Punkte im Raum.
Als Nächstes findest Du unten ein Beispiel für die Berechnung des Abstands \(d\) zwischen zwei Punkten im dreidimensionalen Raum.
Aufgabe 4
Berechne den Abstand \(d\) zwischen den Punkten \(A(2|2|4)\) und \(B(3|2|5)\).
Lösung
Die allgemeine Formel für den Abstand \(d\) zwischen zwei Punkten \(A(x_1|y_1|z_1)\) und \(B(x_2|y_2|z_2)\) lautet: \begin{align}d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}&=\sqrt{(3-2)^2+(2-2)^2+(5-4)^2}\\&=\sqrt{1^2+0^2+1^2}\\&=\sqrt{2}\end{align}Der Abstand \(d\) zwischen Punkt \(A(2|2|4)\) und Punkt \(B(3|2|5)\) ist also \(\sqrt{2}\).
Du möchtest Dein Wissen über die Berechnung des Abstandes zweier Punkte auffrischen? Dann schau doch gerne in dem Artikel Abstand zweier Punkte vorbei!
Punkt – Das Wichtigste
- In der Geometrie gibt ein Punkt eine genaue Position an. Ein Punkt hat keine Ausdehnung. Das heißt, er besitzt weder Länge, Breite noch Höhe.
- Ein Punkt in der Ebene wird durch ein Zahlenpaar dargestellt. Die Form sieht so aus: \(P(x|y)\).
- Die allgemeine Form eines Punktes im Raum sieht so aus:\[P(x|y|z)\]
- Den Abstand zwischen den Punkten \(A(x_1|y_1)\) und \(B(x_2|y_2)\) in der Ebene kannst Du mit der Formel \[d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]ausrechnen.
- Den Abstand zwischen den Punkten \(A(x_1|y_1|z_1)\) und \(B(x_2|y_2|z_2)\) im dreidimensionalen Raum kannst Du mit der Formel \[d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\]ausrechnen.
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