Term

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Du hast zwei Kugeln Eis für Dich gekauft und Deinem Freund auch noch eine Kugel mitgebracht. Ein weiterer Freund hat sich auch zwei Milchshakes gekauft und ein weiterer Freund ein Dir unbekanntes Gericht. Es gibt also unterschiedliche Dinge, die ihr gemeinsam in der Eisdiele gekauft habt.

\[2e\,\text{(Eiskugeln)}+1e\,\text{(Eiskugel)}+2m\,\text{(Milchshakes)}+1x\,\text{(?)}\]

Diese Informationen lassen sich mithilfe von Termen und Termumformungen zusammenfassen. In dieser Kapitelübersicht wirst Du Grundsätzliches erfahren und Einblicke in die einzelnen Unterthemen erhalten.

Termumformung – Definition & Erklärung

Den Einkauf in der Eisdiele kannst Du als einen Term schreiben.

Ein Term ist ein mathematischer Rechenausdruck, der aus Zahlen, Variablen und sinnvoll verknüpften Rechenzeichen besteht. Es sind keine Relationszeichen enthalten.

Termumformungen wiederum werden in der Mathematik verwendet, wenn Du einen Term zusammenfassen oder ihn abändern sollst.

Eine Termumformung ist in der Mathematik das Umstellen eines Terms, ohne dabei das Ergebnis dieses Terms zu verändern.

Dabei ist das Ziel vor allem das Vereinfachen oder Umschreiben des Termes.

Termumformungen sind also entscheidend, damit ein Term übersichtlicher wird.

Und so wird aus dem Einkauf in der Eisdiele ein Term.

Es wurden unterschiedliche Dinge gekauft: 3 Kugeln Eis, 2 Milchshakes und ein unbekanntes Gericht. Die Produktanzahl lässt sich jetzt mathematisch wie folgt zusammenfassen:

$3 + 2 + ? = 3 + 2 + x$

Für die unbekannte Zahl werden in der Mathematik oft sogenannte Variablen verwendet, meist x, y oder z.

Es handelt sich hierbei um einen Term, da Zahlen und Variablen sinnvoll durch Rechenzeichen verknüpft sind.

Termumformung – Arten von Termen

Terme können übrigens auch zueinander in Relation stehen. Dabei können Terme nämlich gleichartig, ungleichartig oder auch gleichwertig sein.

Gleichartige Terme

Gleichartige Terme sind die erste Art von Termen, die dieselben Variablen besitzen.

Terme werden als gleichartig bezeichnet, wenn sie dieselben Variablen nutzen.

Dabei ist es uninteressant, mit welchem Faktor diese Variablen vorkommen. Für die nachfolgenden Terme sind überall die Variablen x und y enthalten.

$5 x + y$ und $7 x - 3 y$ und $x + y$

Sind die Variablen nicht identisch, handelt es sich um ungleichartige Terme.

Gleichwertige Terme

Gleichwertige Terme sind nun eine weitere Stufe nach den gleichartigen Termen.

Gleichwertige Terme sind Terme, die denselben Wert besitzen.

Gleichwertige Terme sind gleichzeitig auch immer gleichartig.

Eine Sonderform der gleichwertigen Terme sind die identischen Terme.

Es können dabei auch keine Variablen vorkommen. Folgende Beispiele zeigen die Gleichwertigkeit deutlich:

$5 a + 7 b$ und $7 b + 5 a$

$2 \cdot 10 + 5$ und $5 \cdot 5$

Für nähere Informationen zu gleichartigen, gleichwertigen und äquivalenten Termen, kannst Du gerne bei der Erklärung Äquivalente Terme vorbeisehen.

Term, Variable, Termwert

Bei Termen handelt es sich um Rechenausdrücke, die logische Rechenzeichen beinhalten.

Term

Was ist also ein Term und wobei handelt es sich nicht um einen Term?

Im Folgenden sind Dir Beispiele für korrekte Terme gegeben, beziehungsweise welche keine Terme sein können:

Ein Term	Kein Term
$7 + 5 - 2$	$7 € + 5 - 2$
$3 - 2 + 1$	$3 - 2 + + 1$

Du hast vielleicht bereits bemerkt, wo die Fehler lagen, die zu keinem Term führen konnten:

Zum einen kannst Du keine Zahl mit einer Währung oder Ähnliches zusammenrechnen. Außerdem ist bei der zweiten Zeile ein + doppelt angegeben, was mathematisch nicht richtig ist.

Variable

Termumformungen können allerdings auch Variablen beinhalten. Dabei kannst Du

bei einer Addition/Subtraktion gleiche Variablen addieren/subtrahieren.
bei einer Multiplikation/Division gleiche Variablen multiplizieren/dividieren.

Näheres dazu gibt es im folgenden Kapitel. Ein Beispiel für einen Term mit einer Variablen und einer Umformung siehst Du im folgenden Beispiel.

Dabei handelt es sich um einen korrekten Term mit Variablen:

$3 a + 2 b - a + 2 b$

In diesem Fall solltest Du zunächst die einzelnen Variablen betrachten. Dabei kannst Du die Variablen auch als Äpfel (a) und Birnen (b) ansehen.

Es werden also in ein Supermarktregal 3 Äpfel von einem Mitarbeiter/einer Mitarbeiterin gelegt und von einem Kunden ein Apfel entnommen. Damit befinden sich nun sozusagen 2 Äpfel im Regal, falls das Regal vorher leer gewesen ist.

Somit betrachtest Du alle gleichen Variablen und rechnest diese zusammen.

$\begin{array}{rcl} 3 a + 2 b - a + 2 b \\ = & 3 a - 1 a + 2 b + 2 b \\ = & 2 a + 4 b \end{array}$

Du kannst bei Termen mit Variablen auch andere Rechenoperationen wie die Multiplikation durchführen oder auch mit Klammern rechnen, mehr dazu im nächsten Kapitel.

Um das Beispiel mit den Äpfeln und Birnen zu verwenden, so kannst Du diese nicht zusammenfassen, also eine Addition mit der Variablen a und der Variablen b ist nicht erlaubt. Äpfel und Birnen dürfen also nicht zusammengezählt werden.

Hierfür kannst Du auch gerne bei der Erklärung Term Mathe vorbeisehen.

Termumformung – Regeln

Um mit Termen zu rechnen, benötigst Du auch das Wissen über die wichtigsten Rechenregeln, diese sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst.

Rechenregel	Funktion	Beispiel
Punkt-vor-Strich	Multiplikation/Division ( $\cdot u n d :$ ) vor Addition/Subtraktion( $+ u n d -$ ).	$\begin{array}{rcl} 2 \cdot 3 + 4 \cdot 5 & = & 6 + 20 \\ = & 26 \end{array}$
Klammerregel	Klammern kommen zuerst.	$\begin{array}{rcl} 5 + [(3 - 2) \cdot 2] & = & 5 + [1 \cdot 2] \\ = & 5 + 2 \\ = & 7 \end{array}$
Assoziativgesetz	Für Multiplikation und Addition kannst Du die Klammern anders setzen.	$\begin{array}{rcl} (a + b) + c & = & a + (b + c) \\ (a \cdot b) \cdot c & = & a \cdot (b \cdot c) \end{array}$
Kommutativgesetz	Für Addition und Multiplikation dürfen Zahlen und Variablen vertauscht werden.	$\begin{array}{rcl} a + b & = & b + a \\ a \cdot b & = & b \cdot a \end{array}$
Distributivgesetz	Du kannst Klammern ausmultiplizieren.	$\begin{array}{rcl} (a + b) \cdot c & = & a \cdot c + b \cdot c \\ (a - b) \cdot c & = & a \cdot c - b \cdot c \end{array}$

Diese Rechenregeln gilt es nun im nächsten Beispiel ein klein wenig zu üben.

Aufgabe 1

Fasse folgenden Term zusammen:

$4 \cdot (16 - 8) + 20 : 2 - 12 + 9$

Lösung

Im ersten Schritt schaust Du nach, ob Du eine Klammer findest. Da das der Fall ist, löst Du erst einmal die Klammer auf.

$\begin{array}{rcl} 4 \cdot (16 - 8) + 20 : 2 - 12 + 9 \\ = & 4 \cdot 8 + 20 : 2 - 12 + 9 \end{array}$

Als Nächstes wendest Du die Punkt-vor-Strich Regel in zwei Fällen an.

$\begin{array}{rcl} 4 \cdot 8 + 20 : 2 - 12 + 9 \\ = & 32 + 10 - 12 + 9 \end{array}$

In einem weiteren Schritt kannst Du nun alle Zahlen addieren bzw. subtrahieren.

$\begin{array}{rcl} 32 + 10 - 12 + 9 \\ = & 42 - 12 + 9 \\ = & 30 + 9 \\ = & 39 \end{array}$

Näheres zu den Rechenregeln findest Du in der Erklärung Rechengesetze.

Rechnen mit Termen - Terme berechnen

Dazu soll Dir erklärt werden, wie Du...

kannst. Außerdem kommen die Themen wie Terme strukturieren, Terme berechnen und Terme aufstellen vor.

Terme strukturieren

Terme können Variablen beinhalten, oder auch nicht. Zumindest ist für Variablen eine Addition oder Subtraktion nur möglich, falls es sich um dieselben Variablen handelt. Bei einer Addition kannst Du wie im vorherigen Kapitel den Term nach den einzelnen Variablen strukturieren und danach diese zusammenfassen. Mit diesen Schritten kannst Du Terme vereinfachen.

Um einen Term zu strukturieren, überlegst Du Dir, dass zum Beispiel nur gleiche Variablen bei einer Addition zusammengezogen werden können. Dazu benötigst Du auch die Rechenregeln für das Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und die weiteren aus der vorangegangenen Tabelle. Bei der Struktur gehst Du von außen nach innen vor:

$a + b \cdot (c + d)$

In diesem Fall würdest Du also zuerst die Klammer berechnen. Im nächsten Schritt dieses Ergebnis mit b multiplizieren und zum Schluss die Addition durchführen. Das entspricht einer Struktur.

Nähere Informationen, wie Du Terme nacheinander berechnen kannst, erfährst Du unter Terme strukturieren.

Auch im nächsten Beispiel werden die einzelnen Variablen jeweils sortiert, um die Variablen zu addieren, bzw. subtrahieren.

Aufgabe 2

Füge diesen Term zusammen:

$7 a - 5 b + a - a b + 10 b$

Lösung

Dazu bietet es sich erst einmal an, den Term soweit zu strukturieren. Es sind auch Variablen dabei, die Du nicht zusammenfassen kannst.

$7 a + a - 5 b + 10 b - a b$

Nun kannst Du gleichartige Ausdrücke mit denselben Variablen miteinander addieren bzw. subtrahieren.

$\begin{array}{rcl} 7 a + a - 5 b + 10 b - a b \\ = & 8 a + 5 b - a b \end{array}$

Terme vereinfachen

Um Terme vereinfachen zu können, ist auch wieder wichtig, dass es sich um gleichartige Ausdrücke handelt. Dabei kannst Du nun also die Koeffizienten, also die Zahlen, die bei einer Variablen mit einem Multiplikationszeichen verbunden sind, multiplizieren und in manchen Fällen auch die Variablen und eine Potenz bilden. Dazu gibt es in der folgenden Tabelle mehr.

Multiplikation (Variable und Koeffizient mit Zahl)	Multiplikation (zwei Variablen mit Koeffizient)
$\begin{array}{rcl} 3 x \cdot 2 \\ = & 3 \cdot 2 \cdot x \\ = & 6 x \end{array}$	$\begin{array}{rcl} 3 x \cdot 2 x \\ = & 3 \cdot 2 \cdot x \cdot x \\ = & 6 \cdot x^{2} \end{array}$

Potenzen und das Gegenstück dazu, das Wurzeln zu ziehen, sind nicht Teil dieser Erklärung. Dazu kannst Du gerne bei den vorgesehenen Erklärungen Potenzgesetze und Wurzelgesetze vorbeisehen.

Mit dem Wissen um die Grundrechenarten kannst Du bereits Terme vereinfachen, indem Du einzelne Zahlen und Variablen miteinander berechnest, um einen kürzeren Term zu erhalten. Selbstverständlich kannst Du auch über die Addition und Subtraktion Terme vereinfachen. Dabei werden gleiche Variablen zusammengezogen und Zahlen miteinander verrechnet.

Du kannst die Multiplikation von Termen und dabei auch das Zusammenfassen von Termen am folgenden Beispiel noch üben.

Aufgabe 3

Führe die Termumformung für dieses Beispiel durch:

$5 x \cdot 10 + 2 y \cdot 3 y - 2 x y$

Lösung

Du kannst die Multiplikationen nutzen, wie in der Tabelle. Beide Fälle aus der Tabelle kommen vor:

$\begin{array}{rcl} 5 x \cdot 10 + 2 y \cdot 3 y - 2 x y \\ = & 5 \cdot 10 \cdot x + 2 \cdot 3 \cdot y \cdot y - 2 x y \\ = & 50 x + 6 y^{2} - 2 x y \end{array}$

Um Terme zu vereinfachen mithilfe von verschiedenen Rechenoperationen, kannst Du gerne die Erklärung Terme vereinfachen ansehen.

Terme aufstellen

Eine weitere Möglichkeit ist es, gar keinen Term direkt zu erhalten, sondern in Form eines Textes oder einer Übungsaufgabe einen Term zu bestimmen. Dazu sind einzelne Informationen aus dem Text zu entnehmen. Es kann sich um konkrete Werte handeln, um Unbekannte, aber auch um die Rechenoperation.

Sieh Dir dazu das Beispiel an.

In München wird für einen Kindergarten ein Sandkasten gebaut. Dazu werden insgesamt 8 Bauarbeiter benötigt. Jeder von ihnen bekommt einen Stundenlohn von 18€. Während einer kurzen Mittagspause bespricht der Chef mit ihnen, dass ihr Stundenlohn um 2 € erhöht wird. Insgesamt wird davon ausgegangen, dass für die Bauarbeiten 10 Stunden benötigt wird. Die Kosten für den Sandkasten belaufen sich bei 5000 €. Wie viel wird der Kindergarten insgesamt bezahlen?

1. Schritt:

Suche Dir alle Textpassagen heraus, die für die Berechnung wichtige Informationen enthalten:

8 Bauarbeiter benötigt
einen Stundenlohn von 18€
ihr Stundenlohn um 2 € erhöht wird
dass für die Bauarbeiten 10 Stunden benötigt wird
Die Kosten für den Sandkasten belaufen sich bei 5000 €

2. Schritt:

Strukturiere nun die Informationen ein wenig. Der fünfte Punkt sind die fixen Kosten für den Sandkasten. Dieser Betrag wird also hinzugezählt. Die Informationen aus 3 und 4 kannst Du zusammenziehen, da die Arbeiter nun also 20 € verdienen. Außerdem wird dieser Lohn achtmal ausgegeben. Das bedeutet vorläufig sieht der Term wie folgt aus:

$8 \cdot 20 + 5000$

Nun ist allerdings nicht berücksichtigt, dass insgesamt 10 Stunden benötigt werden. Damit lautet der Term also:

$8 \cdot 20 \cdot 10 + 5000$

3. Schritt:

Jetzt kannst Du alles zusammenfassen und auf das Endergebnis kommen.

$\begin{array}{rcl} 8 \cdot 20 \cdot 10 + 5000 \\ = & 160 \cdot 10 + 5000 \\ = & 1600 + 5000 \\ = & 6600 \end{array}$

Insgesamt bezahlt also der Kindergarten 6600 €.

In der Erklärung Terme aufstellen sind nochmals mehr Übungen, damit Du ein Gefühl für solche Aufgaben erhältst.

Termumformung – Ausklammern

Beim Ausklammern wird eine Klammer gesetzt, indem ein Faktor abgespalten wird, der in beiden oder mehreren Summanden vorkommt. Dazu ist das Terme vereinfachen mit Klammern relativ wichtig bzw. auch das Distributivgesetz, das Dir in der Wiederholung bereits etwas erklärt wurde.

Das Distributivgesetz kannst Du in zwei Richtungen anwenden. Die Variante zum Ausmultiplizieren funktioniert in dieser Weise.

$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

Du kannst aber auch das Distributivgesetz zum Ausklammern verwenden:

$a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$

Das Ausklammern kann für Dich von Vorteil sein, falls Dir nicht sofort ersichtlich ist, wie Du gleichartige Ausdrücke zusammenrechnen kannst. Dazu erhältst Du auch hier ein Beispiel.

Aufgabe 4

Forme diesen Term um:

$8 \cdot a b c \cdot 2 \cdot 9 \cdot b c a + 12 x^{2} + 6 y^{2}$

Lösung

Für die Multiplikation kannst Du auch hier sozusagen eine Klammer anwenden, um die Koeffizienten zu berechnen. Die Variablen sind dabei identisch, da Du das Kommutativgesetz anwenden kannst und tauschen kannst, denn es gilt:

$\begin{array}{rcl} a b c & = & b c a \\ a b c & = & a b c \end{array}$

Damit berechnest Du nun die Koeffizienten:

$\begin{array}{rcl} 8 \cdot a b c \cdot 2 \cdot 9 + 12 x^{2} + 6 y^{2} \\ = & (8 \cdot 2 \cdot 9) \cdot a b c + 12 x^{2} + 6 y^{2} \\ = & (72 \cdot 2) \cdot a b c + 12 x^{2} + 6 y^{2} \\ = & 144 \cdot a b c + 12 x^{2} + 6 y^{2} \end{array}$

Nun nutzt Du das tatsächliche Ausklammern, um den hinteren Ausdruck zusammenzufassen:

$\begin{array}{rcl} 144 \cdot a b c + 12 x^{2} + 6 y^{2} \\ = & 144 \cdot a b c + 2 \cdot 6 \cdot x^{2} + 6 y^{2} \\ = & 144 \cdot a b c + 6 \cdot (2 x^{2} + y^{2}) \end{array}$

Weiteres dazu findest Du in Klammern auflösen. Rechenvorteile könnte für Dich ebenso interessant sein.

Termumformung – Wurzel und Bruchterme

Mit Wurzeln kannst Du etliche unterschiedliche Operationen durchführen. Das reicht vom Multiplizieren und Dividieren der Wurzeln bis hin zum Wurzel ziehen.

Umfangreiche Erläuterungen mit vielen Beispielen erhältst Du in der Erklärung Wurzelgesetze. Dieses Wissen kannst Du mit der Erklärung Potenzgesetze verknüpfen und auch das Thema Bruchterme ist Teil davon.

Termumformung Wurzel

Für das Addieren und Dividieren von Wurzeln in Termen gelten jeweils folgende Regeln:

Multiplikationsregel:

$\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}, f ü r x, y \geq 0$

Divisionsregel:

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}, f ü r x, y \geq 0$

Dies wird Dir in folgender Tabelle etwas näher erläutert:

Wurzel mit Multiplikationsregel	Wurzel mit Divisionsregel
$\begin{array}{rcl} \sqrt{15} \cdot \sqrt{2 x} & = & \sqrt{15 \cdot 2 x} \\ = & \sqrt{30 x} \end{array}$	$\begin{array}{rcl} \frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2}} & = & \sqrt{\frac{2 x}{2}} \\ = & \sqrt{x} \end{array}$

Termumformung – Bruchterme

Bei Bruchtermen gibt es verschiedene Möglichkeiten, Rechnungen durchzuführen. Zum einen können Bruchterme gekürzt werden, um sie ein wenig zu vereinfachen.

Dieser Term wird gekürzt, indem derselbe Faktor aus dem Nenner und Zähler entfernt wird.

$\begin{array}{rcl} \frac{5 x^{2} - 5 x}{x - 1} & = & \frac{5 x \cdot (x - 1)}{x - 1} \\ = & \frac{5 x}{1} \\ = & 5 x \end{array}$

Auch ist es möglich, zwei oder mehrere Bruchterme zu addieren, bzw. zu subtrahieren. Das ist mit der Multiplikation und Division ebenso durchführbar.

Es sind zwei Terme gegeben, die addiert werden sollen.

$\frac{5 x}{7}$ und $\frac{4}{5 x}$

Dazu werden beide Terme auf denselben Hauptnenner gebracht. Am besten, indem beide Nenner miteinander multipliziert werden. Wenn dies geschieht, ist auch der Zähler anzupassen.

$\begin{array}{rcl} \frac{5 x \cdot 5 x}{7 \cdot 5 x} & = & \frac{25 \cdot x \cdot x}{35 \cdot x} \\ = & \frac{25 \cdot x^{2}}{35 x} \end{array}$

Das geschieht auch mit dem zweiten Term:

$\begin{array}{rcl} \frac{4}{5 x} & = & \frac{4 \cdot 7}{5 x \cdot 7} \\ = & \frac{28}{35 x} \end{array}$

Nun können beide Bruchterme addiert werden, weil sie sich denselben Hauptnenner teilen.

$\frac{25 \cdot x^{2}}{35 x} + \frac{28}{35 x} = \frac{25 x^{2} + 28}{35 x}$

Viel umfangreichere Erläuterungen findest Du in der Erklärung Bruchterme.

Termumformung – Aufgaben & Beispiele

Nun bist Du an der Reihe und kannst Dich an einzelnen kleinen Aufgaben beweisen, um Dein Wissen über Terme und Termumformungen zu festigen.

Aufgabe 5

Vereinfache den folgenden Term:

$5 x \cdot 2 + 20 y - x y + 3 \cdot 3$

Lösung

Denke bei der Umformung des Terms an die Regel Punkt-vor-Strich und auch welche Variablen gleichartig sind.

$\begin{array}{rcl} 5 x \cdot 2 + 20 y - x y + 3 \cdot 3 \\ = & 10 x + 20 y - x y + 3 \cdot 3 \\ = & 10 x + 20 y - x y + 9 \end{array}$

Aufgabe 6

Forme den nachfolgenden Term um.

$4 x^{2} - \sqrt{8 y} : \sqrt{2 y} + 16 y - z + 0, 5 x \cdot 2 x$

Lösung

1. Schritt:

Fasse alle Multiplikationen und Divisionen zusammen. Dazu benötigst Du auch das Wissen über Wurzeln.

$\begin{array}{rcl} 4 x^{2} - \sqrt{8 y} : \sqrt{2 y} + 16 y - z + 0, 5 x \cdot 2 x \\ = & 4 x^{2} - \sqrt{\frac{8 y}{2 y}} + 16 y - z + 0, 5 x \cdot 2 x \\ = & 4 x^{2} - \sqrt{\frac{8 y}{2 y}} + 16 y - z + 0, 5 x \cdot 2 x \\ = & 4 x^{2} - \sqrt{4} + 16 y - z + 0, 5 x \cdot 2 x \\ = & 4 x^{2} - 2 + 16 y - z + 0, 5 x \cdot 2 x \\ = & 4 x^{2} - 2 + 16 y - z + x^{2} \end{array}$

2. Schritt:

Ordne alle gleichartigen Ausdrücke um und fasse diese zusammen.

$\begin{array}{rcl} 4 x^{2} - 2 + 16 y - z + x^{2} \\ = & 4 x^{2} + x^{2} - 2 + 16 y - z \\ = & 5 x^{2} + 16 y - z - 2 \end{array}$

Term - Das Wichtigste

Ein Term ist ein mathematischer Rechenausdruck mit einer sinnvollen Verknüpfung von Rechenzeichen wie $3 x + 5$ .
Dabei können Terme oder auch Ausdrücke gleichartig sein, falls sie zum Beispiel dieselben Variablen besitzen. Das ist vor allem wichtig zum Addieren und Subtrahieren von Ausdrücken.
Eine Termumformung ist die Umstellung eines Terms, ohne das Ergebnis dieses Terms zu verändern, wie zum Beispiel $15 x + 3 y - 2 = 3 y - 2 + 15 x$ .
Du kannst nur gleichartige Terme addieren, wobei die Variablen identisch sind bzw. die Ausdrücke gar keine Variablen besitzen.
Bei einer Multiplikation/Division von Termen multiplizierst/dividierst Du die Koeffizienten vor den Variablen und auch die Variablen. Dazu benötigst Du Potenzgesetze.
Durch das Distributivgesetz kannst Du Terme ausklammern, aber auch ausmultiplizieren.
Wurzeln können bei einer Multiplikation/Division zu einer zusammen gezogen werden. Dabei kannst Du in manchen Fällen nur bei einem Teil der Ausdrücke die Wurzeln durch das Wurzeln ziehen entfernen.

Nachweise

Erbrecht et al. (2012). Das große Tafelwerk interaktiv Formelsammlung für die Sekundarstufe I und II. Cornelsen Verlag, Berlin

Häufig gestellte Fragen zum Thema Term

Mithilfe von Termen können reale Situationen oder Sachverhalte mathematisch dargestellt werden. Sie beinhalten Zahlen, Variablen und Rechenoperationen.

Definiert sein, bedeutet in der Mathematik, mathematisch Sinn zu ergeben. Kannst Du mit einem Term also Werte ausrechnen, ohne auf mathematische Fehler zu stoßen, dann ist der Term definiert.

Ein Term, bei dem durch 0 geteilt wird, ist zum Beispiel nicht definiert, da Du bekanntlich nicht durch 0 teilen kannst.

Um einen Term bzw. genauer einen Termwert zu berechnen, setzt Du für die Variable, von der der Term abhängt, einen gegebenen oder gewählten Wert ein. Dann berechnest Du den Term nach den gängigen Regeln: zuerst die Klammern, dann die Potenzen und zuletzt Punkt-vor-Strich.

Jede Zahl ist auch ein Term. Eine Zahl, oder eine Variable und jede sinnvolle Verknüpfung von Zahlen, Variablen und Rechenzeichen beschreiben einen Term.

Finales Term Quiz

Term Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Was kommt zuerst - Klammer oder Potenz?

Antwort anzeigen

Antwort

Klammern

Frage anzeigen

Frage

Was rechnest du zuerst aus - Potenzen oder Punktoperatoren?

Antwort anzeigen

Antwort

Potenzen

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Lösung folgender Gleichung?

(2 + 6 - 4)² = ?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Klammer auflösen:

(4)² = ?

2. Potenz ausrechnen:

4 * 4 = 16

Lösung: 16

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Lösung folgender Gleichung?

(3+5) * 2 - 6 = ?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Klammer auflösen:

(8) * 2 - 6 = ?

2. Punktoperatoren:

16 - 6 = ?

3. Strichoperatoren:

Lösung = 10

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Lösung folgender Gleichung?

(3 * 3 - 5)² - 6 + 2 * 4 = ?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Klammer:

Da in der Klammer sowohl Punkt-, also auch Strichoperatoren vorkommen, müssen zuerst die Punktoperatoren ausgerechnet werden.

1.1 Punktoperator in Klammer:

(9 - 5)² - 6 + 2 * 4 = ?

1.2 Strichoperator in Klammer:

(4)² - 6 + 2 * 4 = ?

2 Potenz:

16 - 6 + 2 * 4 = ?

3. Punktoperatoren:

16 - 6 + 8 = ?

4. Strichoperatoren:

Lösung = 18

(4)² -

Frage anzeigen

Frage

Was kommt zuerst - Punkt oder Strich?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Regeln lautet Punkt vor Strich. Es werden also Punktoperatoren bzw. Multiplikationen vor Strichoperatoren ausgeführt.

Frage anzeigen

Frage

Löse folgende Gleichung:

3 * 4 - 1 = ?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Punktoperatoren:

12 - 1 = ?

2. Strichoperator:

Lösung = 11

Frage anzeigen

Frage

Löse folgende Gleichung:

6 * (3 -1)² = ?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Klammer

6 * (2)² = ?

2. Potenzen

6 * 4 = ?

3. Punktoperatoren

Lösung = 24

Frage anzeigen

Frage

Löse folgende Gleichung:

4 + (2 * 3)²

Antwort anzeigen

Antwort

1. Klammer

4 + (6)² = ?

2. Potenzen

4 + 36 = ?

3. Strichoperator:

Lösung = 40

Frage anzeigen

Frage

Welchen Schritt rechnest du als erstes aus?

(6 - 2) * 5 -1 = ?

Antwort anzeigen

Antwort

(6 - 2)

Frage anzeigen

Frage

Welche Vorrangregel ist die erste?

Antwort anzeigen

Antwort

Klammer

Frage anzeigen

Frage

Definiere den Begriff Rechengesetz.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Rechengesetz ist eine verbindliche Rechenvorschrift.

Frage anzeigen

Frage

Nenne alle Rechengesetze und Rechenregeln, an die du dich erinnerst.

Antwort anzeigen

Antwort

Dir könnten einfallen:

das Assoziativgesetz
das Kommutativgesetz
das Distributivgesetz
die Regel "Punkt vor Strich"
die Klammerregeln
die Vorrangregeln
die Potenzgesetze
die Wurzelgesetze

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wozu Rechengesetze und Rechenregeln in der Mathematik benötigt werden.

Antwort anzeigen

Antwort

Rechengesetze und Rechenregeln stellen sicher, dass die Ergebnisse in der Mathematik eindeutig sind, und nicht jeder Mathematiker willkürlich festlegen kann, was bei einer Rechnung herauskommen soll.

Sie regeln, was richtig und falsch ist, und geben somit eine Struktur.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Rechenregel "Punkt vor Strich"?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie lautet:

Punktrechnungen ( ⋅ und : ) müssen vor Strichrechnungen ( + und - ) berechnet werden.

Frage anzeigen

Frage

Wie lauten die Vorrangregeln?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie lauten:

Potenz vor Klammer vor Punkt vor Strich.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was beim Kommutativgesetz passiert.

Antwort anzeigen

Antwort

Wird das Kommutativgesetz angewendet, wird in einer Addition oder Multiplikation die Reihenfolge der Zahlen vertauscht. Dadurch verändert sich das Endergebnis nicht.

Frage anzeigen

Frage

Nenne einen wichtigen Unterschied zwischen dem Distributivgesetz der Multiplikation und dem Distributivgesetz der Division.

Antwort anzeigen

Antwort

Das Distributivgesetz der Multiplikation gilt auch, wenn der Faktor c vor der Klammer steht. Die Multiplikation ist also links- und rechtsdistributiv.

Das Distributivgesetz der Division gilt dagegen nur, wenn c hinter der Klammer steht. Die Division ist also nur rechtsdistributiv.

Frage anzeigen

Frage

Welche Arten von Klammern gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt:

runde Klammern: ( )
eckige Klammern: [ ]
geschweifte Klammern: { }

Frage anzeigen

Frage

Wozu braucht man die Klammerregel?

Antwort anzeigen

Antwort

Klammern werden beispielsweise benötigt, wenn du eine Punktrechnung vor einer Strichrechnung ausführen willst, also die Punkt-vor-Strich-Regel außer Kraft setzen möchtest.

Zudem werden Klammern benötigt, wenn negative Zahlen vorkommen. Sie gewährleisten, dass Vorzeichen und Rechenzeichen nicht direkt hintereinander stehen.

Frage anzeigen

Frage

Für welche Grundrechenarten gilt das Assoziativgesetz?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Addition

Frage anzeigen

Frage

Wie wird das Assoziativgesetz noch genannt, und warum?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Assoziativgesetz wird auch Verbindungsgesetz genannt, denn das Assoziativgesetz hat seinen Namen vom lateinischen Wort "associare", was "verbinden" bedeutet.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird das Ausklammern noch genannt?

Antwort anzeigen

Antwort

Man kann statt Ausklammern auch Faktorisieren sagen.

Frage anzeigen

Frage

Wozu brauchst du das Ausklammern und Ausmultiplizieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Ausklammern und Ausmultiplizieren brauchst du, wenn du Terme so weit es geht vereinfachen sollst. Diese Fertigkeiten nutzen dir aber auch, um Gleichungen zu lösen oder Nullstellen von Funktionen zu berechnen.

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst du dir gut merken, was das Assoziativgesetz ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Du kannst bei assoziativ an sozial denken: beim Assoziativgesetz werden alle Termglieder so vereint, wie sie möchten.

Frage anzeigen

Frage

Mit welcher Eselsbrücke kannst du dir merken, was beim Distributivgesetz passiert?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei distributiv kann man an den Diskus denken, das Wurfgerät aus der Leichtathletik.

Du kannst dir also vorstellen, dass der Faktor außerhalb der Klammer mit dem Diskus auf jedes Element innerhalb der Klammer geworfen wird.

Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Multiplikation ist links- und rechtsdistributiv.

Frage anzeigen

Frage

Wie gehst du vor, wenn in einem Term eine Minusklammer in Verbindung mit dem Distributivgesetz auftritt?

Antwort anzeigen

Antwort

Hierfür gibt es zwei Wege:

Du kümmerst dich zuerst um die Minusklammer, also drehst alle Vorzeichen in der Klammer um, schreibst ein + vor die Klammer, und multiplizierst dann aus.
Du multiplizierst erst aus, lässt aber dafür die Klammer stehen. Dann drehst du alle Vorzeichen in der Klammer um, und kannst die Klammer weglassen.

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Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

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Immer, wenn man das Distributivgesetz anwenden kann, sollte man das auch machen.

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Nenne ein paar Gründe, weshalb man Klammern in der Mathematik braucht.

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Du brauchst Klammern zum Beispiel, um Strichrechnungen vor Punktrechnungen durchführen zu dürfen
Du brauchst Klammern um negative Zahlen, damit nicht ein Rechenzeichen und ein negatives Vorzeichen direkt hintereinander stehen
Klammern strukturieren Terme.

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Welche Arten von Klammern gibt es?

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Es gibt:

runde Klammern: ( )
eckige Klammern: [ ]
geschweifte Klammern: { }

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Was ist eine Minusklammer?

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Eine Minusklammer ist eine Klammer, in der eine Summe oder eine Differenz steht, und vor der ein negatives Vorzeichen steht.

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Erläutere, wie du Minusklammern auflösen kannst.

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Minusklammern werden aufgelöst, indem alle Vorzeichen von den Termgliedern innerhalb der Klammer umgedreht werden.

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Wie gehst du vor, wenn in einem Term mehrere Klammern vorkommen?

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Sind in einem Term mehrere Klammern, so löst man diese von innen nach außen auf.

Du beginnst also, die innerste Klammer aufzulösen, und arbeitest dich dann Schritt für Schritt voran.

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Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

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Wenn man in einem Term mit Strichrechnungen (+ und -) die Termglieder zusammen mit dem Vorzeichen, das vor ihnen steht, vertauscht, dann ist die Umformung richtig.

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Wie multipliziert Du zwei Summen?

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Du multiplizierst zwei Summen, indem Du jeden Summanden mit jedem Summanden der anderen Klammer multipliziert und am Ende addierst.

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Woraus besteht eine Addition?

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Eine Addition besteht immer aus mindestens zwei Summanden und einer Summe.

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Wie viele binomische Formeln gibt es es?

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Es gibt 3 verschiedene binomische Formeln.

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Welche Summengesetze gibt es?

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Es gibt das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz.

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Wofür ist die Multiplikation von Summen besondern wichtig?

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Für die Berechnung von Flächen, ist diese Methode sehr hilfreich.

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Gibt es noch eine andere Möglichkeit, den Flächeninhalt von mehreren Flächen zu berechnen?

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Ja, indem man jede einzelne Fläche einzeln ausrechnet und diese dann addiert.

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Wie nennt man die Bestandteile einer Multiplikation?

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Eine Multplikation besteht aus mindestes zwei Faktoren und dem Produkt als Ergebnis.

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Welche anderen Rechenarten neben Addition und Multiplikation gibt es noch?

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Es gibt noch die Division und die Subtraktion.

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Woraus besteht ein Term?

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Ein Term besteht aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen, aber enthält keine Relationszeichen.

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Nenne die Reihenfolge bei der Berechnung von Termen.

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1. Term Umordnen

2. Klammern auflösen

3. Potenzen

4. Multiplikation und Division

5. Addition uns Subtraktion

6. Rechenschritte überprüfen

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Wie berechnest Du einen Termwert?

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1. Wert für Variable einsetzten

2. Term ausrechnen

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Was musst Du beim Zusammenfassen von verschiedenen Variablen beachten?

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Beim Zusammenfassen von verschiedene Variablen werden die Koeffizienten immer miteinander addiert

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Erläutere den Begriff Variable.

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Eine Variable ist ein Buchstabe oder ein Symbol, die als eine Leerstelle für eine Zahl dient.

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Benenne den Zeitpunkt, zu dem die Potenzen berechnet werden.

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Beim Ausmultiplizieren des Terms.

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Nenne die vier Grundrechenarten

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Die vier Grundrechenarten sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

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