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Kongruente Figuren

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Mathe

Zwei oder mehrere Figuren stehen immer in einer Beziehung zueinander. Das wird auch als Relation bezeichnet. Eine Relation zwischen Figuren ist die Kongruenz und im folgenden lernst du, was das für die kongruenten Figuren bedeutet.



Kongruenz – Wiederholung


Bevor du mit den kongruenten Figuren loslegen kannst, solltest du die Definition von Kongruenz im Allgemeinen kennen.


Kongruenz beschreibt das Verhältnis zweier Figuren zueinander. Stimmen diese Figuren in Form und Größe überein, nennt man sie kongruent oder auch deckungsgleich.


Bei kongruenten Figuren stimmen sich entsprechende Seiten und Winkel in ihrer Größe überein.


Um kongruente Figuren zu erzeugen, gibt es vier Kongruenzabbildungen:


  • Achsenspiegelung
  • Drehung/ Punktspiegelung
  • Verschiebung
  • Schubspiegelung 


Möchtest du nochmal genauer nachlesen, was Kongruenz ist und was die Kongruenzabbildungen sind? Dann solltest du dir den Artikel Kongruenz anschauen.



Kongruente Figuren - Eigenschaften


Sind dir zwei Figuren gegeben, kannst du prüfen, ob diese kongruent zueinander sind.


Kongruente Figuren sind Figuren, welche in Form und Größe übereinstimmen. Alle Strecken und Bildstrecken sowie Winkel und Bildwinkel der beiden Figuren sind also gleich groß.


Seien die Dreiecke ABC und A'B'C' kongruent. 


Kongruente Figuren Kongruente Dreiecke StudySmarterAbbildung 1: Kongruente Dreiecke


Dann gilt:


  • Alle Seiten haben dieselbe Länge: a = a', b = b', c = c'
  • Alle Winkel sind gleich groß: α = α', β = β', γ = γ'


Kongruente Figuren - Strecke und Bildstrecke


Kongruente Figuren besitzen an all ihren Seiten die gleichen Seitenlängen. 


Für die beiden kongruenten Dreiecke gilt also:


  • a = a' = 4 cm
  • b = b' = 4 cm
  • c = c' = 5,7 cm


Kongruente Figuren Kongruente Dreiecke StudySmarterAbbildung 2: Kongruente Dreiecke


 Kongruente Figuren - Winkel und Bildwinkel


Sind zwei Figuren kongruent zueinander, stimmen auch ihre Winkel überein.


In den beiden kongruenten Dreiecken ist dann:


  • α = α' = 45°
  • β = β' =45°
  • γ = γ' = 90°


Kongruente Figuren Kongruente Dreiecke StudySmarterAbbildung 3: Kongruente Dreiecke


Kongruente Figuren - Flächeninhalt


In den zwei vorigen Abschnitten hast du gesehen, dass kongruente Figuren in ihren Angaben übereinstimmen. Da sich der Flächeninhalt aus diesen Angaben berechnet ist folglich auch der Flächeninhalt beider Figuren gleich groß. Kongruente Figuren lassen sich exakt aufeinander abbilden.


Für die zwei kongruenten Dreiecke gilt:


  • Flächeninhalt ABC = Flächeninhalt A'B'C' = 8 cm²


Kongruente Figuren Kongruente Dreiecke StudySmarterAbbildung 4: Kongruente Dreiecke


Die Dreiecke ABC und DEF sind kongruent zueinander und können durch eine Punktspiegelung ineinander überführt werden.


Kongruente Figuren Kongruente Dreiecke Beispiel StudySmarterAbbildung 5: Kongruente Dreiecke


Wir können also darauf schließen, dass 


  • a = f = 1 cm
  • b = d = 2,5 cm
  • c = e = 2,7 cm


Daraus folgt ebenfalls die Flächengleichheit beider Dreiecke.


Deckungsgleichheit und der Unterschied zur Flächengleichheit


Sind zwei Figuren kongruent nennt man sie auch deckungsgleich


Da sie in Form und Größe übereinstimmen, kann man sie so übereinander legen, dass sie sich gänzlich abdecken.


Das kannst du dir so vorstellen: 


Auf einem Stück Papier sind zwei Figuren aufgezeichnet. Du schneidest diese aus und um zu prüfen, ob sie kongruent zueinander sind legst du sie übereinander. Decken die Figuren sich so ab, dass an keiner Stelle ein Rand übersteht, sind sie kongruent. Steht jedoch etwas über und kann dieser Rand nicht durch Drehen, Verschieben etc. beseitigt werden, liegt keine Kongruenz vor.


Deckungsgleiche ViereckeNicht deckungsgleiche Vierecke 
Kongruente Figuren Kongruente Vierecke StudySmarter
Abbildung 6: Deckungsgleiche Vierecke


Kongruente Figuren Kongruente Vierecke StudySmarterAbbildung 7: Deckungsgleiche Vierecke übereinander gelegt

Kongruente Figuren Vierecke StudySmarter
Abbildung 8: Vierecke


Kongruente Figuren Vierecke StudySmarterAbbildung 9: Vierecke übereinander gelegt


Oft wird Deckungsgleichheit mit Flächengleichheit verwechselt.


Flächengleich bedeutet, dass zwei Figuren den selben Flächeninhalt haben. 


Deckungsgleichheit besagt, dass zwei Figuren sowohl in ihrem Flächeninhalt als auch in Form und Größe übereinstimmen. 


Das bedeutet Deckungsgleiche Figuren sind auch immer flächengleich aber flächengleiche Figuren sind nicht immer deckungsgleich, da sie unterschiedliche Form und Größe haben können.


Schau dir das nochmal im folgenden Überblick an!


Deckungsgleichheit (Kongruenz)Flächengleichheit


  • Figuren A und B stimmen in ihrem Flächeninhalt überein
  • Figuren A und B haben die gleiche Form und Größe


Kongruente Figuren Kongruente Vierecke mit gleichem Flächeninhalt StudySmarterAbbildung 10: Deckungsgleiche Vierecke

  • Figuren C und D stimmen in ihrem Flächeninhalt überein 


Kongruente Figuren Flächengleiche Vierecke StudySmarterAbbildung 11: Flächengleiche Vierecke



Kongruent oder ähnlich?


Während kongruente Figuren in Form und Größe übereinstimmen, können ähnliche Figuren hinsichtlich ihrer Größe unterschiedlich sein. 


Kongruente Figuren Kongruente Vierecke Beispiel StudySmarterAbbildung 12: Kongruente ViereckeKongruente Figuren Ähnliche Vierecke Beispiel StudySmarterAbbildung 13: Ähnliche Vierecke


Die Operation der Vergrößerung oder Verkleinerung kann also aus zwei kongruenten Figuren zwei ähnliche, nicht mehr kongruente, Figuren machen. Andersherum können zwei ähnliche Figuren durch Vergrößerung oder Verkleinerung in kongruente Figuren überführt werden.


Möchtest du mehr über Ähnlichkeit wissen? Dann lies dir gerne unsere Artikel dazu durch!


Die Vierecke ABCD und EFGH sind ähnlich zueinander, da sie dieselbe Form haben.


Kongruente Figuren Ähnliche Vierecke Beispiel StudySmarteAbbildung 13: Ähnliche Vierecke


Vergrößern wir das Viereck ABCD, stimmen die beiden Vierecke nicht nur in ihrer Form, sondern auch in ihrer Größe überein und sind somit kongruent.


Kongruente Figuren Kongruente Vierecke Beispiel StudySmarterAbbildung 14: Kongruente Vierecke



Wie erkennt man, dass zwei Figuren kongruent sind?


Möchtest du feststellen, ob zwei Figuren A und B kongruent zueinander sind hast du verschiedene Möglichkeiten dies zu überprüfen.


Kongruenzabbildungen


Möchtest du mit Hilfe von Kongruenzabbildungen prüfen, ob es sich bei zwei Figuren A und B um kongruente Figuren handelt solltest du so vorgehen!


Prüfen von Kongruenzabbildungen – Vorgehen


  1. Prüfe ob die Figuren A und B in Form und Größe übereinstimmen. Sollte dies nicht der Fall sein kann es sich nicht um kongruente Figuren handeln.
  2. Haben die Figuren A und B die gleiche Ausrichtung? Ansonsten kannst du eine der beiden drehen oder eine Punktspiegelung durchführen.
  3. Sind die Figuren A und B spiegelverkehrt, kannst du eine Achsenspiegelung bei einer der Figuren durchführen.
  4. Kannst du die Figuren A und B nun so verschieben, dass diese aufeinander liegen und sich gänzlich abdecken liegt Kongruenz vor.


Solltest du dir nicht mehr sicher sein, was Kongruenzabbildungen sind und welche es gibt, kannst du das im Artikel Kongruenz nachlesen. Du findest ihn vor diesem Artikel.


Aufgabe


Prüfe mit Hilfe von Kongruenzabbildungen, ob die Parallelogramme ABCD und EFGH kongruent zueinander sind.


Kongruente Figuren Kongruente Vierecke Beispiel StudySmarterAbbildung 16: Parallelogramme


Lösung


Die Parallelogramme ABCD und EFGH sind kongruent zueinander.


1.2.
Die Parallelogramme ABCD und EFGH besitzen die gleiche Größe.

Abbildung 17: Größenangaben der Parallelogramme

Drehe das Parallelogramm EFGH am Punkt P um 90° gegen den Uhrzeigersinn.

Kongruente Figuren Kongruente Vierecke Kongruenzabbildungen StudySmarterAbbildung 18: Drehung von EFGH um 90°


3.4.
Spiegel das Parallelogramm EFGH an einer zu EF senkrechten Gerade.

Kongruente Figuren Kongruente Vierecke Kongruenzabbildungen StudySmarterAbbildung 19 Spiegelung von E'F'G'H'

Verschiebe das Parallelogramm EFGH so weit nach links, dass es über dem Parallelogramm ABCD liegt.

Kongruente Figuren Kongruente Vierecke Kongruenzabbildungen StudySmarter
Abbildung 20: Verschiebung der beiden Vierecke übereinander


Kongruenzsätze – Kongruenz bei Dreiecken 


Für Dreiecke gibt es die sogenannten Kongruenzsätze. Sie sagen aus, welche Angaben zweier Dreiecke gegeben sein müssen, damit du entscheiden kannst, ob sie kongruent sind oder nicht. Falls du dir die vier Kongruenzsätze noch einmal anschauen möchtest, kannst du dies im Artikel Kongruenzsätze tun.


Sind dir zwei Dreiecke gegeben, kannst du folgendermaßen prüfen, ob es sich um kongruente Dreiecke handelt:


  1. Finde heraus, welche Angaben du von deinen Dreiecken hast.
  2. Prüfe, ob diese Angaben reichen, um einen Kongruenzsatz anzuwenden. 


Achte bei den Kongruenzsätzen besonders darauf, dass die Reihenfolge der Angaben in den meisten Fällen eine wichtige Rolle spielt.


Aufgabe


Prüfe ob die Dreiecke ABC und DEF kongruent zueinander sind.


Kongruente Figuren Kongruente Dreiecke Kongruenzsätze StudySmarterAbbildung 21: Dreieck mit Angaben

Lösung


Wir können den 2. Kongruenzsatz (SWS) anwenden:


  • a = a' = 4 cm
  • b = b' = 6 cm
  • α = α' = 90°


Da diese beiden Seiten und ihr eingeschlossener Winkel übereinstimmen handelt es sich um kongruente Dreiecke.


Kongruente Figuren Kongruente Dreiecke Kongruenzsätze StudySmarterAbbildung 22: Anwendung von SWS


Hast du keine Dreiecke sondern zwei Vierecke gegeben, könntest du diese jeweils in zwei Dreiecke teilen. Die Dreiecke der verschiedenen Vierecke könntest du dann mit den Kongruenzsätzen auf Kongruenz untersuchen. 

Sind die Dreiecke kongruent zueinander, sind auch die Vierecke kongruent zueinander.


Kongruente Figuren Viereck StudySmarterAbbildung 16: ViereckKongruente Figuren Aufteilung in Dreiecke StudySmarterAbbildung 17: Viereck in zwei Dreiecke unterteilt



Kongruente Figuren – Übungsaufgaben


Aufgabe 1


Welcher der Figuren sind kongruent zueinander? Kannst du ähnliche Figuren erkennen?


Kongruente Figuren Kongruente Figuren Beispiel StudySmarterAbbildung 18: Figurenauswahl


Lösung


Kongruent zueinander:


  • A & G
  • E & I
  • H & D


Ähnlich:


  • H & D sind ähnlich zu C


Aufgabe 2


Prüfe mithilfe von Kongruenzabbildungen, ob die Vierecke kongruent zueinander sind.


Kongruente Figuren Kongruente Vierecke Beispiel StudySmarterAbbildung 26: Vierecke


Lösung


Die Vierecke sind kongruent zueinander, da EFGH durch eine Achsenspiegelung von ABCD erzeugt werden kann.


Kongruente Figuren Kongruente Vierecke Achsenspiegelung StudySmarterAbbildung 27: Kongruente Vierecke mit Achsenspiegelung



Kongruente Figuren – Das Wichtigste auf einen Blick


  • Kongruente Figuren stimmen in Form und Größe überein.
  • Strecke und Bildstrecke, Winkel und Bildwinkel, sowie die Flächeninhalte zweier kongruenter Figuren sind gleich.
  • Legst du zwei kongruente Figuren übereinander, decken diese sich gänzlich ab.
  • Kongruente Figuren lassen sich durch Kongruenzabbildungen ineinander überführen.
  • Mit Kongruenzabbildungen kannst du auch überprüfen, ob zwei Figuren kongruent zueinander sind.
  • Bei Dreiecken überprüfst du Kongruenz auch mit den Kongruenzsätzen.
  • Deckungsgleichheit impliziert Flächengleichheit, aber nicht andersherum.
  • Ähnliche Figuren sind nicht immer kongruent aber kongruente Figuren immer ähnlich.


Häufig gestellte Fragen zum Thema Kongruente Figuren

Kongruente Figuren entstehen durch Kongruenzabbildungen.

Jene Figuren sind kongruent zueinander, welche in all ihren Angaben übereinstimmen. Seitenlängen, Winkelangaben und der Flächeninhalt sind bei kongruenten Figuren identisch.

Figuren sind deckungsgleich, wenn sie kongruent zueinander sind. Das bedeutet, dass sie in Form und Größe übereinstimmen, sich also gänzlich abdecken, wenn man sie übereinander legt.

Kongruent zueinander ist eine Relation zweier oder mehrerer Figuren zueinander. Es bedeutet, dass diese Figuren in Form und Größe übereinstimmen.

Finales Kongruente Figuren Quiz

Frage

Wann sind zwei Figuren kongruent zueinander?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn sie in ihrer Form und Größe übereinstimmen.

Frage anzeigen

Frage

Haben kongruente Figuren den gleichen Flächeninhalt?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen Deckungsgleichheit und Flächengleichheit?

Antwort anzeigen

Antwort

Deckungsgleiche Figuren haben den gleichen Flächeninhalt bei gleicher Form. Flächengleiche Figuren haben ebenfalls den gleichen Flächeninhalt, können sich jedoch in ihrer Form unterscheiden.

Frage anzeigen

Frage

Was sind Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Kongruenz und Ähnlichkeit.

Antwort anzeigen

Antwort

Sowohl bei Kongruenz als auch bei Ähnlichkeit haben die Figuren die selbe Form. Während kongruente Figuren zusätzlich in ihrer Größe übereinstimmen, können ähnliche Figuren unterschiedlich groß sein.

Frage anzeigen

Frage

Welche Möglichkeiten gibt es zwei Figuren auf Kongruenz zu überprüfen?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Mit Kongruenzabbildungen
  • Bei Dreiecken mit den Kongruenzsätzen
Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften treffen auf kongruente Figuren zu?

Antwort anzeigen

Antwort

Strecke und Bildstrecke sind gleich groß.

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst du speziell bei Dreiecken die Kongruenz prüfen?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei Dreiecken gibt es zusätzlich die Möglichkeit mit den Kongruenzsätzen auf Kongruenz zu prüfen.

Frage anzeigen

Frage

Welche Aussage ist richtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Deckungsgleiche Figuren sind auch immer flächengleich.

Frage anzeigen

Frage

Welche Aussage ist richtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Kongruente Figuren sind immer ähnlich.

Frage anzeigen

Frage

Dir sind zwei Dreiecke mit folgenden Angaben gegeben:

Seite a = a' = 3 cm

Seite b = b' = 6 cm

Seite c = c' = 7 cm

Kannst du anhand dieser Angaben entscheiden, ob die Dreiecke kongruent sind?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, anhand dieser Angaben kann entschieden werden, ob die Dreiecke kongruent sind. Man verwendet den Kongruenzsatz SSS.

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