Winkelsumme Viereck

Winkelsumme im Viereck – Beweis

Ein Viereck kann in vielen Formen auftreten, wobei jede Form die gleiche Winkelsumme hat. Wie Du die Winkelsumme berechnest, sie anwendest und welche Besonderheiten in manchen Vierecken vorkommen, wird Dir diese Erklärung zeigen.

Die Winkelsumme im Viereck kann durch 2 Methoden bewiesen werden; über die Winkelsumme im Dreieck und über die Winkelsumme im Kreis.

Beweis der Winkelsumme im Viereck – Möglichkeit 1

Die Winkelsumme im Viereck kann auch über einen Kreis bewiesen werden. Jeder Kreis hat \(360°\), genauso wie im Viereck. Folge folgender Anleitung, um die Winkelsumme im Viereck zu beweisen.

1. Schritt:

Nimm Dir ein Stück Papier und zerschneide oder zerreiße es so, dass Du ungefähr die Form eines allgemeinen Vierecks hast. Es muss nicht so aussehen, wie das Viereck in der Abbildung.

Abbildung 1: Beweis Winkelsumme Viereck

2. Schritt:

Zeichne dann anschließend die Winkel Deines Vierecks mit einem bunten Stift ein. Wie groß der Winkel ist, ist dabei egal.

Abbildung 2: Beweis Winkelsumme Viereck

3. Schritt:

Schneide nun die Winkel entlang der Linie, welche Du für die Winkel eingezeichnet hast, aus. So hast du jetzt also die Ecken des Vierecks abgeschnitten.

Abbildung 3: Beweis Winkelsumme Viereck

4. Schritt:

Lege zum Schluss die abgeschnittenen Ecken/Winkel mit der spitzen Ecke nach innen aneinander, sodass sie einen Kreis ergeben.

Abbildung 4: Beweis Winkelsumme Viereck

Da Du einen perfekten Kreis mit den ausgeschnittenen Winkeln legen kannst, hast Du damit die Winkelsumme im Viereck über den Kreis bewiesen.

Beweis der Winkelsumme im Viereck – Möglichkeit 2

Jedes Viereck, egal welche Form es hat, kann in 2 Dreiecke unterteilt werden. Die Winkelsumme im Dreieck beträgt immer \(180°\) und da ein Viereck aus 2 Dreiecken gebaut werden kann, ist die Winkelsumme im Viereck \(2 \cdot 180° = 360°\).

Abbildung 2: Beweis der Winkelsumme mit der Winkelsumme des Dreiecks

In der Abbildung siehst Du ein Viereck, welches durch eine Strecke in zwei Dreiecke aufgeteilt wurde. Die Winkel \(\alpha_1\) und \(\alpha_2\), sowie \(\gamma_1\) und \(\gamma_2\) sind durch die Teilung der Winkel \(\alpha\) und \(\gamma\) entstanden.

Wenn Du nun die gelben und rosafarbenen Winkel getrennt voneinander berechnest, wirst Du jeweils die Winkelsumme im Dreieck als Ergebnis bekommen.

Als Rechnung sieht das wie folgt aus:

gelbe Winkel:

\[\begin{align} \alpha_1 + \beta + \gamma_1 &= \\25,78° + 131,7° + 22,52° &= 180° \end{align}\]

rosafarbene Winkel:

\[\begin{align} \alpha_2 + \delta + \gamma_2 &= \\38,43° + 74,4° + 67,17° &= 180° \end{align}\]

Als letzten Schritt rechnest Du die zwei Winkelsummen zusammen und hast damit die Winkelsumme des Vierecks bewiesen.

\[180° + 180° = 360°\]

Winkelsumme in besonderen Vierecken

Ein Viereck ist nicht immer wie ein Quadrat, mit 4 gleich großen Winkeln und 4 gleich langen Seiten. Es kommt vor, dass nur 2 Winkel oder sogar gar keine Winkel gleich groß sind, je nachdem, in welcher Beziehung die Ecken und Seiten zueinander stehen.

Innenwinkelsumme im Parallelogramm

Das Parallelogramm ist eine besondere Form des Rechtecks. Das Besondere am Parallelogramm sind die parallelen, gegenüberliegenden Seiten.

Abbildung 4: Winkelsumme im Parallelogramm

Wie Du in der Abbildung gut siehst, sind immer die gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms parallel zueinander. Das heißt, dass auch die gegenüberliegenden Winkel immer gleich groß sind, also:

\[\begin{align} \alpha &= \gamma \\\beta &= \delta \end{align}\]

Winkel, die in einem Parallelogramm auf derselben Seite liegen, ergeben als Summe 180°.

Aufgrund dieser Besonderheiten kannst Du die Winkelsumme eines Parallelogramms mit nur einem gegebenen Winkel berechnen.

Innenwinkelsumme in der Raute

Die Raute ist eine Sonderform des Parallelogramms. Bei der Raute sind, wie beim Quadrat, alle Seiten gleich lang und die gegenüberliegenden Seiten sind parallel. Du kannst Dir eine Raute vorstellen, wie ein Quadrat, das zur Seite geneigt und mit einer Spitze nach unten gedreht wurde.

Abbildung 5: Winkelsumme in der Raute

Da die Raute eine Sonderform des Parallelogramms ist, haben die Winkel in einer Raute dieselben Besonderheiten wie Winkel in einem Parallelogramm. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß und Winkel, welche auf der gleichen Seite liegen, ergeben in der Summe \(180°\).

In mathematischer Schreibweise sieht das wie folgt aus:

\[\begin{align} \alpha = \gamma \\\beta = \delta\end{align}\]

Also kannst Du, genauso wie beim Parallelogramm, die Winkelsumme einer Raute mit nur einem gegebenen Winkel berechnen.

Innenwinkelsumme im Drachenviereck

Das Drachenviereck hat, wie der Name schon sagt, die Form eines klassischen Drachen, den Du steigen lassen kannst. Es hat zwei kurze und zwei lange Seiten, welche jeweils immer gleich lang sind. Das klingt genauso wie die Beschreibung eines Parallelogramms. Ein Drachenviereck ist allerdings achsensymmetrisch zu den zwei Symmetrieachsen e und f und es sind nur zwei Winkel gleich groß.

Abbildung 6: allgemeines Drachenviereck

Die Winkel \(\beta\) und \(\delta\) sind im Drachenviereck immer gleich groß. Von den restlichen 2 Winkeln \(\alpha\) und \(\gamma\) wird Dir einer meistens in der Aufgabenstellung gegeben, sodass Du mit der Winkelsumme den letzten Winkel berechnen kannst.

Innenwinkelsumme im allgemeinen Viereck

In allen Vierecken, die bisher angesprochen wurden, gab es Besonderheiten, mit dessen Hilfe Du die Winkel berechnen konntest. Im allgemeinen Viereck gibt es allerdings keine Besonderheiten, welche Dir auf den ersten Blick die Berechnung mancher Winkel abnehmen können. Hier benötigst Du auf jeden Fall die Winkelsumme, um alle Winkel herausfinden zu können.

Abbildung 7: Beispiel für ein allgemeines Viereck

Hier siehst Du ein Beispiel für ein allgemeines Viereck ohne Besonderheiten bei der Winkelberechnung. In Aufgaben werden Dir meist 3 Winkel vorgegeben und Du sollst den vierten Winkel mithilfe der Winkelsumme berechnen.

Winkelsumme im Viereck – Übungen

In diesem Abschnitt der Erklärung findest Du einige Übungsaufgaben, um das Gelernte vertiefen zu können.