Abbildung 1: Haus der Vierecke
In der Abbildung siehst Du ein Haus, welches nur aus Vierecken gebaut wurde. Es besteht aus
- einem gelben Trapez,
- einem blauen Quadrat,
- einem pinkfarbenen Drachenviereck,
- einer türkisfarbenen Raute
- und einem lilafarbenen Rechteck.
All diese Vierecke haben eine Gemeinsamkeit: die Summe ihrer Innenwinkel, die sogenannte Winkelsumme, beträgt immer \(360°\).
Winkelsumme im Viereck – Beweis
Ein Viereck kann in vielen Formen auftreten, wobei jede Form die gleiche Winkelsumme hat. Wie Du die Winkelsumme berechnest, sie anwendest und welche Besonderheiten in manchen Vierecken vorkommen, wird Dir diese Erklärung zeigen.
Diese Summe aller Innenwinkel wird die Winkelsumme im Viereck genannt. Die allgemeine Formel der Winkelsumme ist: \(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°\).
Die Winkelsumme im Viereck kann durch 2 Methoden bewiesen werden; über die Winkelsumme im Dreieck und über die Winkelsumme im Kreis.
Beweis der Winkelsumme im Viereck – Möglichkeit 1
Die Winkelsumme im Viereck kann auch über einen Kreis bewiesen werden. Jeder Kreis hat \(360°\), genauso wie im Viereck. Folge folgender Anleitung, um die Winkelsumme im Viereck zu beweisen.
1. Schritt:
Nimm Dir ein Stück Papier und zerschneide oder zerreiße es so, dass Du ungefähr die Form eines allgemeinen Vierecks hast. Es muss nicht so aussehen, wie das Viereck in der Abbildung.
Abbildung 1: Beweis Winkelsumme Viereck
2. Schritt:
Zeichne dann anschließend die Winkel Deines Vierecks mit einem bunten Stift ein. Wie groß der Winkel ist, ist dabei egal.
Abbildung 2: Beweis Winkelsumme Viereck
3. Schritt:
Schneide nun die Winkel entlang der Linie, welche Du für die Winkel eingezeichnet hast, aus. So hast du jetzt also die Ecken des Vierecks abgeschnitten.
Abbildung 3: Beweis Winkelsumme Viereck
4. Schritt:
Lege zum Schluss die abgeschnittenen Ecken/Winkel mit der spitzen Ecke nach innen aneinander, sodass sie einen Kreis ergeben.
Abbildung 4: Beweis Winkelsumme Viereck
Da Du einen perfekten Kreis mit den ausgeschnittenen Winkeln legen kannst, hast Du damit die Winkelsumme im Viereck über den Kreis bewiesen.
Beweis der Winkelsumme im Viereck – Möglichkeit 2
Jedes Viereck, egal welche Form es hat, kann in 2 Dreiecke unterteilt werden. Die Winkelsumme im Dreieck beträgt immer \(180°\) und da ein Viereck aus 2 Dreiecken gebaut werden kann, ist die Winkelsumme im Viereck \(2 \cdot 180° = 360°\).
Abbildung 2: Beweis der Winkelsumme mit der Winkelsumme des Dreiecks
In der Abbildung siehst Du ein Viereck, welches durch eine Strecke in zwei Dreiecke aufgeteilt wurde. Die Winkel \(\alpha_1\) und \(\alpha_2\), sowie \(\gamma_1\) und \(\gamma_2\) sind durch die Teilung der Winkel \(\alpha\) und \(\gamma\) entstanden.
Wenn Du nun die gelben und rosafarbenen Winkel getrennt voneinander berechnest, wirst Du jeweils die Winkelsumme im Dreieck als Ergebnis bekommen.
Als Rechnung sieht das wie folgt aus:
gelbe Winkel:
\[\begin{align} \alpha_1 + \beta + \gamma_1 &= \\25,78° + 131,7° + 22,52° &= 180° \end{align}\]
rosafarbene Winkel:
\[\begin{align} \alpha_2 + \delta + \gamma_2 &= \\38,43° + 74,4° + 67,17° &= 180° \end{align}\]
Als letzten Schritt rechnest Du die zwei Winkelsummen zusammen und hast damit die Winkelsumme des Vierecks bewiesen.
\[180° + 180° = 360°\]
Du lernst in dieser Erklärung, wie groß die Winkelsumme im Viereck ist. Aber wie groß ist die Winkelsumme in einem Fünfeck, Sechseck oder einem n-Eck?
Die Berechnung der Winkelsumme in Vielecken geht von der Winkelsumme im Dreieck aus. Du rechnest sie immer mit \(180°\) aus.
Das Viereck hat eine Ecke mehr als ein Dreieck, weswegen Du \(2 \cdot 180°\) für die Winkelsumme rechnest. Das Fünfeck hat wieder eine Ecke mehr als das Viereck, weshalb Du \(3 \cdot 180°\) berechnest. Dieses Schema zieht sich immer weiter. Um den Faktor vor \(180°\) herauszufinden, ziehst Du von der Anzahl der Ecken Deines Vieleckes 2 ab.
Eine genauere Erklärung findest Du im Artikel zur Winkelsumme in Vielecken.
| Vieleck | Winkelsumme | Berechnung des Faktors |
| Fünfeck | 3 * 180° = 540° | 5 - 2 = 3 |
| Sechseck | 4 * 180° = 720° | 6 - 2 = 4 |
| Siebeneck | 5 * 180° = 900° | 7 - 2 = 5 |
| 235-Eck | 233 * 180° = 41940° | 235 - 2 = 233 |
| n-Eck | m * 180° | n - 2 = m |
Winkelsumme in besonderen Vierecken
Ein Viereck ist nicht immer wie ein Quadrat, mit 4 gleich großen Winkeln und 4 gleich langen Seiten. Es kommt vor, dass nur 2 Winkel oder sogar gar keine Winkel gleich groß sind, je nachdem, in welcher Beziehung die Ecken und Seiten zueinander stehen.
Innenwinkelsumme im Parallelogramm
Das Parallelogramm ist eine besondere Form des Rechtecks. Das Besondere am Parallelogramm sind die parallelen, gegenüberliegenden Seiten.
Abbildung 4: Winkelsumme im Parallelogramm
Wie Du in der Abbildung gut siehst, sind immer die gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms parallel zueinander. Das heißt, dass auch die gegenüberliegenden Winkel immer gleich groß sind, also:
\[\begin{align} \alpha &= \gamma \\\beta &= \delta \end{align}\]
Winkel, die in einem Parallelogramm auf derselben Seite liegen, ergeben als Summe 180°.
Die Formel für Winkel, welche auf derselben Seite in einem Parallelogramm liegen, lautet:
\[\alpha + \beta = \gamma + \delta = 180°\]
Aufgrund dieser Besonderheiten kannst Du die Winkelsumme eines Parallelogramms mit nur einem gegebenen Winkel berechnen.
Aufgabe 1
Gegeben ist der Winkel \(\alpha = 63°\). Berechne die restlichen 3 Winkel des dazugehörigen Parallelogramms.
Lösung
Wie Du oben gelernt hast, sind gegenüberliegende Winkel eines Parallelogramms immer gleich groß.
\[\alpha = \gamma = 63°\]
Genauso ergibt die Summe der Winkel, welche nebeneinander liegen, \(180°\).
\[\begin{align} \alpha + \beta &= 180° \\ 63° + \beta &= 180° ~~|-63° \\ \beta &= 177° \end{align}\]
Da sich \(\beta\) und \(\delta\) gegenüberliegen, sind diese auch gleich groß.
\[\beta = \delta = 117°\]
Zur Überprüfung der Ergebnisse solltest Du nachrechnen, ob die Winkelsumme stimmt.
\[\begin{align} \alpha + \beta + \gamma + \delta &= 360° \\ 63° + 117° + 63° + 117° &= 360° \end{align}\]
Somit hast Du die 3 restlichen Winkel \(\beta = 117°\), \(\gamma = 63°\) und \(\delta = 117°\) des Parallelogramms berechnet.
Innenwinkelsumme in der Raute
Die Raute ist eine Sonderform des Parallelogramms. Bei der Raute sind, wie beim Quadrat, alle Seiten gleich lang und die gegenüberliegenden Seiten sind parallel. Du kannst Dir eine Raute vorstellen, wie ein Quadrat, das zur Seite geneigt und mit einer Spitze nach unten gedreht wurde.
Abbildung 5: Winkelsumme in der Raute
Da die Raute eine Sonderform des Parallelogramms ist, haben die Winkel in einer Raute dieselben Besonderheiten wie Winkel in einem Parallelogramm. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß und Winkel, welche auf der gleichen Seite liegen, ergeben in der Summe \(180°\).
In mathematischer Schreibweise sieht das wie folgt aus:
\[\begin{align} \alpha = \gamma \\\beta = \delta\end{align}\]
Die Formel für die Winkel, welcher in einer Raute an der gleichen Seite liegen, lautet:
\[\alpha + \beta = \gamma + \delta = 180°\]
Also kannst Du, genauso wie beim Parallelogramm, die Winkelsumme einer Raute mit nur einem gegebenen Winkel berechnen.
Innenwinkelsumme im Drachenviereck
Das Drachenviereck hat, wie der Name schon sagt, die Form eines klassischen Drachen, den Du steigen lassen kannst. Es hat zwei kurze und zwei lange Seiten, welche jeweils immer gleich lang sind. Das klingt genauso wie die Beschreibung eines Parallelogramms. Ein Drachenviereck ist allerdings achsensymmetrisch zu den zwei Symmetrieachsen e und f und es sind nur zwei Winkel gleich groß.
Die vertikale Symmetrieachse, in der Abbildung die Achse f, des symmetrischen Drachenvierecks teilt die Winkel \(\alpha\) und \(\gamma\) genau in der Hälfte. Außerdem stehen die Symmetrieachsen immer im \(90°\) Winkel zueinander.
Abbildung 6: allgemeines Drachenviereck
Die Winkel \(\beta\) und \(\delta\) sind im Drachenviereck immer gleich groß. Von den restlichen 2 Winkeln \(\alpha\) und \(\gamma\) wird Dir einer meistens in der Aufgabenstellung gegeben, sodass Du mit der Winkelsumme den letzten Winkel berechnen kannst.
Die Formeln für die Berechnung der Winkelsumme eines Drachenvierecks sind:
\[\beta = \delta\] \[\alpha + 2 \cdot \beta + \gamma = 360°\]
Aufgabe 2
Gegeben sind die Winkel \(\alpha = 113°\) und \(\beta = 100°\) eines symmetrischen Drachenvierecks. Berechne die restlichen 2 Winkel.
Lösung
Den Winkel \(\delta\) kannst Du als Erstes angeben. Dieser ist genauso groß wie der Winkel \(\beta\).
\[\delta = \beta = 100°\]
Den letzten Winkel kannst Du über die Winkelsumme im Viereck berechnen.
\[\begin{align} \alpha + \beta + \gamma + \delta &= 360° \\113° + 100° + \gamma + 100° &= 360° \\313° + \gamma &= 360° ~~~~~~~~~~~~~~| - 313° \\\gamma &= 360° -313° \\\gamma &= 47° \end{align}\]
Damit hast Du alle Winkel des symmetrischen Drachenvierecks berechnet.
Innenwinkelsumme im allgemeinen Viereck
In allen Vierecken, die bisher angesprochen wurden, gab es Besonderheiten, mit dessen Hilfe Du die Winkel berechnen konntest. Im allgemeinen Viereck gibt es allerdings keine Besonderheiten, welche Dir auf den ersten Blick die Berechnung mancher Winkel abnehmen können. Hier benötigst Du auf jeden Fall die Winkelsumme, um alle Winkel herausfinden zu können.
Abbildung 7: Beispiel für ein allgemeines Viereck
Hier siehst Du ein Beispiel für ein allgemeines Viereck ohne Besonderheiten bei der Winkelberechnung. In Aufgaben werden Dir meist 3 Winkel vorgegeben und Du sollst den vierten Winkel mithilfe der Winkelsumme berechnen.
Aufgabe 3
Berechne den fehlenden Winkel des Vierecks mithilfe der Winkelsumme.
Lösung
Abbildung 8: Winkelsumme im allgemeinen Viereck
Die Winkelsumme jedes Vierecks beträgt \(360°\). Somit sieht die Rechnung wie folgt aus:
\[\begin{align} \alpha + \beta + \delta + \gamma &= 360° \\64,21° + \beta + 89,69° + 74,4° &= 360° \\228,3 + \beta &= 360° ~~~~| - 228,3° \\\beta &= 131,7° \end{align}\]
Mit dieser Rechnung hast Du den Winkel \(\beta\) als \(131,7°\) herausgefunden.
Winkelsumme im Viereck – Übungen
In diesem Abschnitt der Erklärung findest Du einige Übungsaufgaben, um das Gelernte vertiefen zu können.
Aufgabe 4
Gegeben ist der Winkel \(\gamma = 67°\) einer symmetrischen Raute. Berechne die anderen 3 Winkel mithilfe der Winkelsumme.
Lösung
Abbildung 9: Winkelberechnung in einer Raute
In einer symmetrischen Raute gelten die gleichen Besonderheiten, wie in einem Parallelogramm. Das heißt, dass gegenüberliegende Winkel gleich groß sind und Winkel, die an der gleichen Seite liegen, in der Summe \(180°\) ergeben.
Damit kannst Du die fehlenden 3 Winkel berechnen.
\[\gamma = \alpha = 67°\]
\[\begin{align} \gamma + \beta &= 180° \\67° + \beta &= 180° ~~~~| - 67° \\\beta &= 113° \end{align}\]
Laut der Aufgabenstellung sollst Du die Winkelsumme zur Berechnung der Winkel benutzen. Dementsprechend solltest Du mit dieser den letzten Winkel berechnen.
\[\begin{align} \alpha + \beta + \gamma + \delta &= 360° \\67° + 113° + 67° + \delta &= 360° \\247° + \delta &= 360° ~~~~| - 247° \\\delta &= 113° \end{align}\]
Damit hast Du alle Winkel der symmetrischen Raute herausgefunden.
Aufgabe 5
Berechne den fehlenden Winkel \(\gamma\) des allgemeinen Vierecks mithilfe der Winkelsumme.
Lösung
Abbildung 10: Winkelberechnung im allgemeinen Viereck
In diesem Viereck gibt es keine Besonderheit, um den fehlenden Winkel \(\gamma\) schnell herausfinden zu können. Deswegen ist hier die Winkelsumme der einzige Weg, diesen Winkel herauszufinden.
\[\begin{align} \alpha + \beta + \gamma + \delta &= 360° \\67,31° + 41,82° + \gamma + 41,64° &= 360° \\150,77° + \gamma &= 360° ~~~~~~| - 150,77° \\\gamma &= 209,23° \end{align}\]
Damit hast Du den fehlenden Winkel \(\gamma\) als \(209,23°\) berechnet.
Aufgabe 6
Gegeben sind die Winkel \(\gamma = 47,92°\) und \(\beta = 102,91°\) eines symmetrischen Drachenvierecks. Berechne die fehlenden Winkel.
Lösung
Abbildung 11: Winkelberechnung im Drachenviereck
Die Winkel \(\beta\) und \(\delta\) sind in einem Drachenviereck gleich groß. Auf Grundlage dieser Besonderheit kannst Du den letzten Winkel mit der Winkelsumme berechnen.
\[\beta = \delta = 102,91°\]
\[\begin{align} \alpha + \beta+ \gamma + \delta &= 360° \\\alpha + 102,91° + 47,92° + 102,91° &= 360° \\\alpha + 253,74° &= 360° ~~~~~~| - 253,74° \\\alpha &= 106,26° \end{align}\]
Somit hast Du alle Winkel des symmetrischen Drachenvierecks berechnet.
Winkelsumme im Viereck – Das Wichtigste auf einen Blick
- Die Winkelsumme in einem Viereck ist die Summe aller Innenwinkel eines Vierecks
- Die Winkelsumme im Viereck beträgt immer \(360°\)
- Die Formel der Winkelsumme lautet: \(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°\)
- Die Winkelsumme benötigst Du vorwiegend im allgemeinen Viereck, in dem es keine Besonderheiten zur schnellen Berechnung von Winkeln gibt
- Gegenüberliegende Winkel in einem Parallelogramm oder einer Raute sind immer gleich groß
- Die Winkel, die bei einem symmetrischen Drachenviereck an der linken und rechten Spitze liegen, sind gleich groß
- Das allgemeine Viereck hat keine Besonderheiten, welche die Berechnung von Winkeln vereinfachen könnten
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