Select your language

Suggested languages for you:
Login Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Winkelsumme Viereck

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Winkelsumme Viereck

Winkelsumme Viereck Haus der Vierecke StudySmarterAbbildung 1: Haus der Vierecke

In der Abbildung siehst Du ein Haus, welches nur aus Vierecken gebaut wurde. Es besteht aus

All diese Vierecke haben eine Gemeinsamkeit: die Summe ihrer Innenwinkel, die sogenannte Winkelsumme, beträgt immer \(360°\).

Winkelsumme im Viereck – Beweis

Ein Viereck kann in vielen Formen auftreten, wobei jede Form die gleiche Winkelsumme hat. Wie Du die Winkelsumme berechnest, sie anwendest und welche Besonderheiten in manchen Vierecken vorkommen, wird Dir diese Erklärung zeigen.

Diese Summe aller Innenwinkel wird die Winkelsumme im Viereck genannt. Die allgemeine Formel der Winkelsumme ist: \(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°\).

Die Winkelsumme im Viereck kann durch 2 Methoden bewiesen werden; über die Winkelsumme im Dreieck und über die Winkelsumme im Kreis.

Beweis der Winkelsumme im Viereck – Möglichkeit 1

Die Winkelsumme im Viereck kann auch über einen Kreis bewiesen werden. Jeder Kreis hat \(360°\), genauso wie im Viereck. Folge folgender Anleitung, um die Winkelsumme im Viereck zu beweisen.

1. Schritt:

Nimm Dir ein Stück Papier und zerschneide oder zerreiße es so, dass Du ungefähr die Form eines allgemeinen Vierecks hast. Es muss nicht so aussehen, wie das Viereck in der Abbildung.

2. Schritt:

Zeichne dann anschließend die Winkel Deines Vierecks mit einem bunten Stift ein. Wie groß der Winkel ist, ist dabei egal.

3. Schritt:

Schneide nun die Winkel entlang der Linie, welche Du für die Winkel eingezeichnet hast, aus. So hast du jetzt also die Ecken des Vierecks abgeschnitten.

4. Schritt:

Lege zum Schluss die abgeschnittenen Ecken/Winkel mit der spitzen Ecke nach innen aneinander, sodass sie einen Kreis ergeben.

Da Du einen perfekten Kreis mit den ausgeschnittenen Winkeln legen kannst, hast Du damit die Winkelsumme im Viereck über den Kreis bewiesen.

Beweis der Winkelsumme im Viereck – Möglichkeit 2

Jedes Viereck, egal welche Form es hat, kann in 2 Dreiecke unterteilt werden. Die Winkelsumme im Dreieck beträgt immer \(180°\) und da ein Viereck aus 2 Dreiecken gebaut werden kann, ist die Winkelsumme im Viereck \(2 \cdot 180° = 360°\).

Winkelsumme Viereck Beweis der Winkelsumme mit der Winkelsumme im Dreieck StudySmarterAbbildung 2: Beweis der Winkelsumme mit der Winkelsumme des Dreiecks

In der Abbildung siehst Du ein Viereck, welches durch eine Strecke in zwei Dreiecke aufgeteilt wurde. Die Winkel \(\alpha_1\) und \(\alpha_2\), sowie \(\gamma_1\) und \(\gamma_2\) sind durch die Teilung der Winkel \(\alpha\) und \(\gamma\) entstanden.

Wenn Du nun die gelben und rosafarbenen Winkel getrennt voneinander berechnest, wirst Du jeweils die Winkelsumme im Dreieck als Ergebnis bekommen.

Als Rechnung sieht das wie folgt aus:

gelbe Winkel:

\[\begin{align} \alpha_1 + \beta + \gamma_1 &= \\25,78° + 131,7° + 22,52° &= 180° \end{align}\]

rosafarbene Winkel:

\[\begin{align} \alpha_2 + \delta + \gamma_2 &= \\38,43° + 74,4° + 67,17° &= 180° \end{align}\]

Als letzten Schritt rechnest Du die zwei Winkelsummen zusammen und hast damit die Winkelsumme des Vierecks bewiesen.

\[180° + 180° = 360°\]

Du lernst in dieser Erklärung, wie groß die Winkelsumme im Viereck ist. Aber wie groß ist die Winkelsumme in einem Fünfeck, Sechseck oder einem n-Eck?

Die Berechnung der Winkelsumme in Vielecken geht von der Winkelsumme im Dreieck aus. Du rechnest sie immer mit \(180°\) aus.

Das Viereck hat eine Ecke mehr als ein Dreieck, weswegen Du \(2 \cdot 180°\) für die Winkelsumme rechnest. Das Fünfeck hat wieder eine Ecke mehr als das Viereck, weshalb Du \(3 \cdot 180°\) berechnest. Dieses Schema zieht sich immer weiter. Um den Faktor vor \(180°\) herauszufinden, ziehst Du von der Anzahl der Ecken Deines Vieleckes 2 ab.

Eine genauere Erklärung findest Du im Artikel zur Winkelsumme in Vielecken.

VieleckWinkelsummeBerechnung des Faktors
Fünfeck3 * 180° = 540°5 - 2 = 3
Sechseck4 * 180° = 720°6 - 2 = 4
Siebeneck5 * 180° = 900°7 - 2 = 5
235-Eck233 * 180° = 41940°235 - 2 = 233
n-Eckm * 180°n - 2 = m

Winkelsumme in besonderen Vierecken

Ein Viereck ist nicht immer wie ein Quadrat, mit 4 gleich großen Winkeln und 4 gleich langen Seiten. Es kommt vor, dass nur 2 Winkel oder sogar gar keine Winkel gleich groß sind, je nachdem, in welcher Beziehung die Ecken und Seiten zueinander stehen.

Innenwinkelsumme im Parallelogramm

Das Parallelogramm ist eine besondere Form des Rechtecks. Das Besondere am Parallelogramm sind die parallelen, gegenüberliegenden Seiten.

Winkelsumme Viereck allgemeines Parallelogramm StudySmarterAbbildung 4: Winkelsumme im Parallelogramm

Wie Du in der Abbildung gut siehst, sind immer die gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms parallel zueinander. Das heißt, dass auch die gegenüberliegenden Winkel immer gleich groß sind, also:

\[\begin{align} \alpha &= \gamma \\\beta &= \delta \end{align}\]

Winkel, die in einem Parallelogramm auf derselben Seite liegen, ergeben als Summe 180°.

Die Formel für Winkel, welche auf derselben Seite in einem Parallelogramm liegen, lautet:

\[\alpha + \beta = \gamma + \delta = 180°\]

Aufgrund dieser Besonderheiten kannst Du die Winkelsumme eines Parallelogramms mit nur einem gegebenen Winkel berechnen.

Aufgabe 1

Gegeben ist der Winkel \(\alpha = 63°\). Berechne die restlichen 3 Winkel des dazugehörigen Parallelogramms.

Lösung

Wie Du oben gelernt hast, sind gegenüberliegende Winkel eines Parallelogramms immer gleich groß.

\[\alpha = \gamma = 63°\]

Genauso ergibt die Summe der Winkel, welche nebeneinander liegen, \(180°\).

\[\begin{align} \alpha + \beta &= 180° \\ 63° + \beta &= 180° ~~|-63° \\ \beta &= 177° \end{align}\]

Da sich \(\beta\) und \(\delta\) gegenüberliegen, sind diese auch gleich groß.

\[\beta = \delta = 117°\]

Zur Überprüfung der Ergebnisse solltest Du nachrechnen, ob die Winkelsumme stimmt.

\[\begin{align} \alpha + \beta + \gamma + \delta &= 360° \\ 63° + 117° + 63° + 117° &= 360° \end{align}\]

Somit hast Du die 3 restlichen Winkel \(\beta = 117°\), \(\gamma = 63°\) und \(\delta = 117°\) des Parallelogramms berechnet.

Innenwinkelsumme in der Raute

Die Raute ist eine Sonderform des Parallelogramms. Bei der Raute sind, wie beim Quadrat, alle Seiten gleich lang und die gegenüberliegenden Seiten sind parallel. Du kannst Dir eine Raute vorstellen, wie ein Quadrat, das zur Seite geneigt und mit einer Spitze nach unten gedreht wurde.

Winkelsumme Viereck allgemeine Raute StudySmarterAbbildung 5: Winkelsumme in der Raute

Da die Raute eine Sonderform des Parallelogramms ist, haben die Winkel in einer Raute dieselben Besonderheiten wie Winkel in einem Parallelogramm. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß und Winkel, welche auf der gleichen Seite liegen, ergeben in der Summe \(180°\).

In mathematischer Schreibweise sieht das wie folgt aus:

\[\begin{align} \alpha = \gamma \\\beta = \delta\end{align}\]

Die Formel für die Winkel, welcher in einer Raute an der gleichen Seite liegen, lautet:

\[\alpha + \beta = \gamma + \delta = 180°\]

Also kannst Du, genauso wie beim Parallelogramm, die Winkelsumme einer Raute mit nur einem gegebenen Winkel berechnen.

Innenwinkelsumme im Drachenviereck

Das Drachenviereck hat, wie der Name schon sagt, die Form eines klassischen Drachen, den Du steigen lassen kannst. Es hat zwei kurze und zwei lange Seiten, welche jeweils immer gleich lang sind. Das klingt genauso wie die Beschreibung eines Parallelogramms. Ein Drachenviereck ist allerdings achsensymmetrisch zu den zwei Symmetrieachsen e und f und es sind nur zwei Winkel gleich groß.

Die vertikale Symmetrieachse, in der Abbildung die Achse f, des symmetrischen Drachenvierecks teilt die Winkel \(\alpha\) und \(\gamma\) genau in der Hälfte. Außerdem stehen die Symmetrieachsen immer im \(90°\) Winkel zueinander.

Winkelsumme Viereck allgemeines Drachenviereck StudySmarterAbbildung 6: allgemeines Drachenviereck

Die Winkel \(\beta\) und \(\delta\) sind im Drachenviereck immer gleich groß. Von den restlichen 2 Winkeln \(\alpha\) und \(\gamma\) wird Dir einer meistens in der Aufgabenstellung gegeben, sodass Du mit der Winkelsumme den letzten Winkel berechnen kannst.

Die Formeln für die Berechnung der Winkelsumme eines Drachenvierecks sind:

\[\beta = \delta\] \[\alpha + 2 \cdot \beta + \gamma = 360°\]

Aufgabe 2

Gegeben sind die Winkel \(\alpha = 113°\) und \(\beta = 100°\) eines symmetrischen Drachenvierecks. Berechne die restlichen 2 Winkel.

Lösung

Den Winkel \(\delta\) kannst Du als Erstes angeben. Dieser ist genauso groß wie der Winkel \(\beta\).

\[\delta = \beta = 100°\]

Den letzten Winkel kannst Du über die Winkelsumme im Viereck berechnen.

\[\begin{align} \alpha + \beta + \gamma + \delta &= 360° \\113° + 100° + \gamma + 100° &= 360° \\313° + \gamma &= 360° ~~~~~~~~~~~~~~| - 313° \\\gamma &= 360° -313° \\\gamma &= 47° \end{align}\]

Damit hast Du alle Winkel des symmetrischen Drachenvierecks berechnet.

Innenwinkelsumme im allgemeinen Viereck

In allen Vierecken, die bisher angesprochen wurden, gab es Besonderheiten, mit dessen Hilfe Du die Winkel berechnen konntest. Im allgemeinen Viereck gibt es allerdings keine Besonderheiten, welche Dir auf den ersten Blick die Berechnung mancher Winkel abnehmen können. Hier benötigst Du auf jeden Fall die Winkelsumme, um alle Winkel herausfinden zu können.

Winkelsumme Viereck allgemeines Viereck StudySmarterAbbildung 7: Beispiel für ein allgemeines Viereck

Hier siehst Du ein Beispiel für ein allgemeines Viereck ohne Besonderheiten bei der Winkelberechnung. In Aufgaben werden Dir meist 3 Winkel vorgegeben und Du sollst den vierten Winkel mithilfe der Winkelsumme berechnen.

Aufgabe 3

Berechne den fehlenden Winkel des Vierecks mithilfe der Winkelsumme.

Lösung

Winkelsumme Viereck Winkelsumme im allgemeinen Viereck StudySmarterAbbildung 8: Winkelsumme im allgemeinen Viereck

Die Winkelsumme jedes Vierecks beträgt \(360°\). Somit sieht die Rechnung wie folgt aus:

\[\begin{align} \alpha + \beta + \delta + \gamma &= 360° \\64,21° + \beta + 89,69° + 74,4° &= 360° \\228,3 + \beta &= 360° ~~~~| - 228,3° \\\beta &= 131,7° \end{align}\]

Mit dieser Rechnung hast Du den Winkel \(\beta\) als \(131,7°\) herausgefunden.

Winkelsumme im Viereck – Übungen

In diesem Abschnitt der Erklärung findest Du einige Übungsaufgaben, um das Gelernte vertiefen zu können.

Aufgabe 4

Gegeben ist der Winkel \(\gamma = 67°\) einer symmetrischen Raute. Berechne die anderen 3 Winkel mithilfe der Winkelsumme.

Lösung

Winkelsumme Viereck Winkelberechnung in einer Raute StudySmarterAbbildung 9: Winkelberechnung in einer Raute

In einer symmetrischen Raute gelten die gleichen Besonderheiten, wie in einem Parallelogramm. Das heißt, dass gegenüberliegende Winkel gleich groß sind und Winkel, die an der gleichen Seite liegen, in der Summe \(180°\) ergeben.

Damit kannst Du die fehlenden 3 Winkel berechnen.

\[\gamma = \alpha = 67°\]

\[\begin{align} \gamma + \beta &= 180° \\67° + \beta &= 180° ~~~~| - 67° \\\beta &= 113° \end{align}\]

Laut der Aufgabenstellung sollst Du die Winkelsumme zur Berechnung der Winkel benutzen. Dementsprechend solltest Du mit dieser den letzten Winkel berechnen.

\[\begin{align} \alpha + \beta + \gamma + \delta &= 360° \\67° + 113° + 67° + \delta &= 360° \\247° + \delta &= 360° ~~~~| - 247° \\\delta &= 113° \end{align}\]

Damit hast Du alle Winkel der symmetrischen Raute herausgefunden.

Aufgabe 5

Berechne den fehlenden Winkel \(\gamma\) des allgemeinen Vierecks mithilfe der Winkelsumme.

Lösung

Winkelsumme Viereck Winkelberechnung im allgemeinen Viereck StudySmarterAbbildung 10: Winkelberechnung im allgemeinen Viereck

In diesem Viereck gibt es keine Besonderheit, um den fehlenden Winkel \(\gamma\) schnell herausfinden zu können. Deswegen ist hier die Winkelsumme der einzige Weg, diesen Winkel herauszufinden.

\[\begin{align} \alpha + \beta + \gamma + \delta &= 360° \\67,31° + 41,82° + \gamma + 41,64° &= 360° \\150,77° + \gamma &= 360° ~~~~~~| - 150,77° \\\gamma &= 209,23° \end{align}\]

Damit hast Du den fehlenden Winkel \(\gamma\) als \(209,23°\) berechnet.

Aufgabe 6

Gegeben sind die Winkel \(\gamma = 47,92°\) und \(\beta = 102,91°\) eines symmetrischen Drachenvierecks. Berechne die fehlenden Winkel.

Lösung

Winkelsumme Viereck Winkelberechnung im Drachenviereck StudySmarterAbbildung 11: Winkelberechnung im Drachenviereck

Die Winkel \(\beta\) und \(\delta\) sind in einem Drachenviereck gleich groß. Auf Grundlage dieser Besonderheit kannst Du den letzten Winkel mit der Winkelsumme berechnen.

\[\beta = \delta = 102,91°\]

\[\begin{align} \alpha + \beta+ \gamma + \delta &= 360° \\\alpha + 102,91° + 47,92° + 102,91° &= 360° \\\alpha + 253,74° &= 360° ~~~~~~| - 253,74° \\\alpha &= 106,26° \end{align}\]

Somit hast Du alle Winkel des symmetrischen Drachenvierecks berechnet.

Winkelsumme im Viereck – Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die Winkelsumme in einem Viereck ist die Summe aller Innenwinkel eines Vierecks
  • Die Winkelsumme im Viereck beträgt immer \(360°\)
  • Die Formel der Winkelsumme lautet: \(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°\)
  • Die Winkelsumme benötigst Du vorwiegend im allgemeinen Viereck, in dem es keine Besonderheiten zur schnellen Berechnung von Winkeln gibt
  • Gegenüberliegende Winkel in einem Parallelogramm oder einer Raute sind immer gleich groß
  • Die Winkel, die bei einem symmetrischen Drachenviereck an der linken und rechten Spitze liegen, sind gleich groß
  • Das allgemeine Viereck hat keine Besonderheiten, welche die Berechnung von Winkeln vereinfachen könnten

Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkelsumme Viereck

Du kannst jedes Viereck in 2 Dreiecke unterteilen. Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt 180 Grad, weswegen die Winkelsumme im Viereck 360 Grad ist.

Die Winkelsumme eines Vierecks ist Summe aller Innenwinkel und beträgt 360°. Diese wendest Du vor allem an, wenn Du einen oder mehrere Winkel in einem Viereck berechnen sollst.

Die Winkelsumme berechnest Du, indem Du alle 4 Innenwinkel des Vierecks addierst. Bei dieser Addition muss immer 360° als Ergebnis rauskommen.

Die Winkelsumme im Parallelogramm ist die Summe aller 4 Innenwinkel und beträgt 360 Grad. Dabei kannst Du Dir die Hälfte der Berechnung sparen, da gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm gleich groß sind.

Finales Winkelsumme Viereck Quiz

Frage

Erkläre mithilfe der Winkelsumme im Dreieck, warum die Winkelsumme im Viereck 360° beträgt.

Antwort anzeigen

Antwort

Du kannst jedes Viereck in 2 Dreiecke unterteilen. Die Winkelsumme im Dreieck beträgt immer 180°. Wenn Du diese mal 2 nimmst, kommst Du auf 360° für die Winkelsumme im Viereck.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Besonderheiten der Winkel in einem Parallelogramm.

Antwort anzeigen

Antwort

In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Winkel gleich groß. Außerdem ergeben Winkel, die an der gleichen Seite liegen, in der Summe 180°.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre allgemein, wie Du die Winkelsumme in einem Vieleck berechnest.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Winkelsumme in einem Vieleck geht immer von der Winkelsumme im Dreieck mit 180° aus. Erst rechnest Du den Faktor aus, welcher immer die Anzahl der Ecken minus 2 ist. Diesen Faktor multiplizierst Du anschließend mit 180° und erhältst die gesuchte Winkelsumme.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie Du die Winkelsumme im Viereck über die Winkelsumme im Kreis beweist.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Winkelsumme im Kreis beträgt 360°, genauso wie im Viereck. Wenn Du alle 4 Winkel eines Vierecks weißt, kannst Du Dir vorstellen diese auszuschneiden und aneinander zu legen. Du legst somit einen Kreis mit 360° und hast die Winkelsumme im Viereck bewiesen.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Unterschiede zwischen einem Drachenviereck und einem Parallelogramm.

Antwort anzeigen

Antwort

In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten immer parallel. Außerdem sind alle Winkel, welche sich gegenüberliegen, gleich groß. Das Drachenviereck hat nur 2 gleich große Winkel und 2 Symmetrieachsen, welche es aufspannen. Zusätzlich sind keine Seiten parallel.

Frage anzeigen

Mehr zum Thema Winkelsumme Viereck
60%

der Nutzer schaffen das Winkelsumme Viereck Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.