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Flächeninhalt Quadrat

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Mathe

Hast du dir schon mal die Seiten eines Würfels angesehen und dich gefragt, welche Form diese genau haben? Du hast richtig Lust darauf, das Thema rund um das Quadrat zu meistern? 


Im Matheunterricht bist du sicherlich schon oft über den Begriff Quadrat gestolpert und hast erste Aufgaben bewältigt. Weißt du noch, was genau ein Quadrat ausmacht? Um das herauszufinden, musst du dir nochmal kurz vor Augen führen, was ein Viereck überhaupt ist.  



Die Familie der Vierecke


Unter Vierecken versteht man geometrische Figuren, welche genau vier Ecken, folglich auch vier Seiten und vier Winkel aufweisen. Sie haben immer eine Innenwinkelsumme von 360°.


Zählt man alle Winkel innerhalb des Vierecks zusammen, erhält man die sogenannte Winkelsumme.


Je nachdem, wie die Seiten angeordnet sind, unterscheidet man zwischen den folgenden Vierecken.


Die Vierecksarten

Flächeninhalt Quadrat Allgemeines Viereck StudySmarterAbbildung 1: Allgemeines Viereck

Flächeninhalt Quadrat Das Quadrat StudySmarterAbbildung 2: Das Quadrat

Flächeninhalt Quadrat Rechteck StudySmarterAbbildung 3: Das Rechteck

Flächeninhalt Quadrat Die Raute StudySmarterAbbildung 4: Die Raute

Flächeninhalt Quadrat Der Drache StudySmarterAbbildung 5: Der Drache

Flächeninhalt Quadrat Parallelogramm StudySmarterAbbildung 6: Das Parallelogramm

Flächeninhalt Quadrat Trapez StudySmarterAbbildung 7: Das Trapez


Die Seiten werden mit Buchstaben beschriftet, wobei jeder Buchstabe für einen konkreten Wert steht. Gleich lange Seiten haben also dieselben Beschriftungen.


In diesem Beitrag werden wir uns voll und ganz auf das Quadrat stürzen.


Das Quadrat


Ein Quadrat gehört der Gruppe der Vierecke an und weist insgesamt vier gleich lange Seiten auf, wobei die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander stehen. 


Flächeninhalt Quadrat Das Quadrat StudySmarterAbbildung 8: Das Quadrat


Sehen wir uns dazu einmal den Unterschied zwischen einem Rechteck und einem Quadrat an.


Rechteck vs. Quadrat


Es gibt ein konkretes Merkmal, welches die beiden geometrischen Figuren grundlegend voneinander unterscheidet: die Länge der Seiten. Beim Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang. Hingegen beim Rechteck ist die Länge der Figur und die Breite der Figur unterschiedlich lang. Folgende Abbildungen der beiden Figuren sollen ein besseres Verständnis über deren Unterscheidung geben:


Flächeninhalt Quadrat Rechteck StudySmarterAbbildung 9: Das Rechteck                   Flächeninhalt Quadrat Quadrat StudySmarterAbbildung 10: Das Quadrat


Möchtest du mehr über die geometrische Figur Rechteck erfahren, dann sieh dir den hier den dazugehörigen Beitrag dazu an!



Der Flächeninhalt des Quadrats


In den folgenden Abschnitten werden wir gemeinsam lernen, was genau eine Fläche ist, wozu man diese benötigt und wie man die Fläche eines Quadrats ausrechnen kann. 


Was ist eine Fläche?


Unter einer Fläche versteht man eine zweidimensionale Ebene im Raum, welche aufzeigt, wie groß eine bestimmte Figur ist.


Um genau verstehen zu können, was man unter einer Fläche versteht, bedienen wir uns dem folgenden praktischen Beispiel.


Aufgabe 


Nimm dein kariertes Rechenheft zur Hand und schlage eine beliebige leere Seite auf. Hier siehst du zahlreiche Kästchen. Du stellst dir jetzt folgende Frage:


„Wie viele Kästchen befinden sich eigentlich innerhalb meiner Zeichnung, wenn ich ein Quadrat zeichne, welches 6 Kästchen hoch und 6 Kästchen breit ist?“


Flächeninhalt Quadrat Skizze StudySmarterAbbildung 11: Skizze


Lösung


Zählst du nun händisch alle einzelnen Kästchen innerhalb der Zeichnung zusammen, dann erhältst du die Fläche des Quadrats, wobei Kästchen hierbei als Einheit für die Fläche verwendet werden. Wenn du richtig gezählt hast, sollten insgesamt 36 Kästchen innerhalb der von dir gezeichneten Figur als Ergebnis herauskommen. 


Die Fläche ist also die Anzahl der Kästchen und gibt die Größe des Quadrats in "Kästchen" an.


Damit du nicht händisch zählen musst, gibt es eine Formel, mit welcher du die Fläche blitzschnell berechnen kannst.


Formel für die Flächenberechnung - Quadrat


Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge a:


 Flächeninhalt Quadrat Formel Flächeninhalt StudySmarter 

Die Fläche wird in der Mathematik immer mit einem "A"  und die Seiten des Quadrats mit "a" bezeichnet.


Klingt doch gar nicht so schwer, oder? Überprüfen wir mit der Formel unser Beispiel von oben.


Bevor wir mit der Berechnung anfangen, machen wir uns immer eine kleine Skizze des Sachverhaltes bzw. der Aufgabenstellung. Gegeben haben wir unser Quadrat, dass wir mit einer bestimmten Kästchenanzahl gezeichnet haben. 


Flächeninhalt Quadrat Skizze StudySmarterAbbildung 12: Skizze


Als Nächstes schreiben wir die Werte aus der Aufgabenstellung neben den jeweiligen Buchstaben, welcher für die Länge der Seiten der Figur steht. Hierbei gehen wir davon aus, dass die Seiten eines Kästchens einem halben Zentimeter entsprechen. 


 


  


Nun müssen wir nur mehr die Werte anstatt der Buchstaben in die Formel für die Berechnung des Flächeninhaltes des Quadrats einsetzen und schon sind wir fertig. Das sieht wie folgt aus:


 


Multipliziert man nun diese beide Werte aus erhält man  oder 36 Kästchen. Warum sind diese beiden Werte unterschiedlich? Das liegt daran, dass die Seiten des Kästchens nur einen halben Zentimeter lang sind. Dadurch ergibt sich für die Fläche eines Kästchen ein anderer Wert:



Berechnen wir nun den Flächeninhalt des Quadrats mithilfe unserer 36 Kästchen so erhalten wir:


 


Vergleichen wir diesen Wert mit dem, welchen wir beim händischen Zählen der Kästchen herausgekriegt haben, sehen wir, dass die beiden Werte übereinstimmen.                                           


Wenn die Maßeinheit der Seiten der Figur einer Längeneinheit, also mm, cm, dm, m, km ist, musst du das Ergebnis der Fläche mit einem " ² "(hoch 2) nach deiner Längeneinheit versehen. 


Umrechnungshilfe Einheiten


Damit du besser nachvollziehen kannst, welche Einheit du benutzen musst, haben wir dir eine kleine Tabelle zusammengestellt.


Sieh dir hierzu folgende Tabelle an:


Längeneinheit
Fläche
mm - Millimeter
mm² - Quadratmillimeter
cm - Zentimeter
cm² - Quadratzentimeter 
dm - Dezimeter
dm² - Quadratdezimeter 
m - Meter
m² - Quadratmeter 
km - Kilometer
km² - Quadratkilometer 


Sehen wir uns zur Übung gleich noch ein weiteres Beispiel an.


Aufgabe 


Gegeben ist folgender Wert eines Quadrats:



Berechne die Fläche des Quadrats.


Für die Berechnung ist es notwendig zu verstehen, was der Umfang eines Quadrats ist. Falls dir das nicht mehr ganz klar ist, lies einfach im entsprechenden Kapitel auf StudySmarter noch einmal nach.


Lösung


Als ersten Schritt fertigen wir immer eine kleine Skizze des Sachverhaltes ähnlich der Abbildung 13 an.


Flächeninhalt Quadrat Skizze StudySmarterAbbildung 13: Skizze


Nun schreiben wir uns die Formel der Fläche des Quadrates nieder, welche wie folgt lautet:


 


Da wir für die Berechnung die Seite a benötigen, müssen wir versuchen mithilfe des gegebenen Wertes, also des Umfangs, auf unsere Seite a schließen zu können.


Gegeben ist der Umfang, welchen wir durch das Zusammenzählen aller Seiten berechnen. Wenn wir auf unsere Skizze schauen wird klar, dass die Formel des Umfangs lautet:

 


Wie wir in der Formel sehen können, befindet sich dort ein a, was bedeutet, dass wir die Formel ganz einfach nach a freistellen können, indem wir die 4 mit dem Gegenoperator der Multiplikation, also der Division, auf die andere Seite schieben.


 


Da wir die Seitenlänge a nun ausgerechnet haben, können wir dessen Wert nun in die Flächenformel einsetzen.




Die Fläche des Quadrats beträgt also .


Soweit alles verstanden? Super, dann auf zur nächsten Aufgabe! 

Falls du dich bereits in höheren Jahrgangsstufen befindest, sieh dir gerne unsere Vertiefungsübung an. Ansonsten überspringe diese Aufgabe einfach.



Aufgabe 


Die Diagonale eines Quadrats beträgt .

Berechne die Fläche!


Um diese Aufgabe lösen zu können, ist es notwendig, sich zuvor den hier verlinkten Beitrag zum Satz des Pythagoras unbedingt anzusehen, falls du nicht mehr genau weißt, was es damit auf sich hat.


Lösung


Als ersten Schritt fertigen wir eine Skizze des Sachverhaltes an.


Flächeninhalt Quadrat Skizze StudySmarterAbbildung 14: Skizze


Da wir für die Berechnung der Fläche die Seitenlänge a benötigen, müssen wir versuchen von der Diagonale auf die Seite schließen zu können, genau hierbei kommt der Satz des Pythagoras ins Spiel.


   


Unter  und versteht man die kürzeren Seiten im rechtwinkligen Dreieck, welches in Abbildung 15 dargestellt wird. Die Hypotenuse H stellt die Diagonale dar.



Flächeninhalt Quadrat Skizze zum Beispiel StudySmarterAbbildung 15: Skizze


Setzen wir nun unsere Werte bzw. Buchstaben in die Formel ein, sieht dies wie folgt aus:


      


Da wir nun die Seitenlänge a bestimmt haben, können wir den Wert in die Formel für die Flächenberechnung einsetzen.


 


Die Fläche des Quadrats beträgt also .


Bereit für die letzte Übungsaufgabe? Dann los.


Aufgabe 


Eine quadratische Wiese hat insgesamt eine Fläche von   Berechne die Länge der Seiten der Wiese!


Lösung


Als ersten Schritt fertigen wir uns eine Skizze des Sachverhaltes wie in Abbildung 16 an.


Flächeninhalt Quadrat Skizze StudySmarterAbbildung 16: Skizze


Als Nächstes schreiben wir die allgemeine Flächenformel für das Quadrat hin und setzen die uns bekannten Werte ein.



  

Nachdem wir nun die gegebene Zahl für die Fläche eingesetzt haben, müssen wir diese Formel nach dem gesuchten Wert a auflösen, indem wir beim Quadrat die Quadratwurzel des Wertes der Fläche ziehen. Als Ergebnis erhalten wir somit:


 


Als Lösung für diese Aufgabe erhalten wir also eine Seitenlänge der Wiese von .


Flächeninhalt Quadrat - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Ein Viereck erkennst du daran, dass es vier Winkel, vier Ecken und vier Seiten aufweist.
  • Beim Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang, alle Winkel genau 90° und jeweils zwei Seiten parallel zueinander.
  • Die Flächenformel des Quadrats lautet:         
  • Die Umfangsformel lautet:  
  • Die Seitenformel bei gegebener Fläche lautet:    
  • Die Seitenformel bei gegebenem Umfang lautet:                





Häufig gestellte Fragen zum Thema Flächeninhalt Quadrat

Um die Fläche eines Quadrates auszurechnen, müssen die beiden Seitenlänge des Quadrates miteinander multipliziert werden:


A = a · a = a²

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