Flächeninhalt Quadrat

Aufgabe

Nimm dein kariertes Rechenheft zur Hand und schlage eine beliebige leere Seite auf. Hier siehst du zahlreiche Kästchen. Folgende Frage kommt hierbei auf:

"Wie viele Kästchen befinden sich eigentlich innerhalb meiner Zeichnung, wenn ich ein Quadrat zeichne, welches 6 Kästchen hoch und 6 Kästchen breit ist?"

Lösung

Zählst du nun händisch alle einzelnen Kästchen innerhalb der Zeichnung zusammen, dann erhältst du die Fläche des Quadrats, wobei Kästchen hierbei als Einheit für die Fläche verwendet werden. Wenn du richtig gezählt hast, sollten insgesamt 36 Kästchen innerhalb der von dir gezeichneten Figur als Ergebnis herauskommen.

Bevor wir mit der Berechnung anfangen, machen wir uns immer eine kleine Skizze des Sachverhaltes bzw. der Aufgabenstellung. Gegeben haben wir unser Quadrat, dass wir mit einer bestimmten Kästchenanzahl gezeichnet haben:

Als Nächstes schreiben wir die Werte aus der Aufgabenstellung neben den jeweiligen Buchstaben, welcher für die Länge der Seiten der Figur steht. Hierbei gehen wir davon aus, dass die Seiten eines Kästchens einem halben Zentimeter entsprechen:

$1Kästchenlänge=0,5cm$

$a=\hspace{0.17em}6Kästchenlängen=3cm$

Nun müssen wir nur die Werte anstatt der Buchstaben in die Formel für die Berechnung des Flächeninhaltes des Quadrats einsetzen.

$$\begin{gathered} A=6Kästchen·6Kästchen \\ A=36Kästchen \\ A=3cm·3cm \\ A=9c{m}^2 \end{gathered}$$

Multipliziert man nun diese beide Werte aus, erhält man $9c{m}^2$ oder 36 Kästchen. Warum sind diese beiden Werte unterschiedlich? Das liegt daran, dass die Seiten des Kästchens nur einen halben Zentimeter lang sind. Dadurch ergibt sich für die Fläche eines Kästchen ein anderer Wert:

$$\begin{gathered} 1Kästchenlänge=0,5cm \\ 1Kästchenfläche=0,5cm·0,5cm=0,25c{m}^2 \end{gathered}$$

Berechnen wir nun den Flächeninhalt des Quadrats mithilfe unserer 36 Kästchen, so erhalten wir:

$$\begin{gathered} 36Kästchenflächen=0,25c{m}^2·36 \\ Quadratfläche=9c{m}^2 \end{gathered}$$

Vergleichen wir diesen Wert mit dem, welchen wir beim händischen Zählen der Kästchen herausgekriegt haben, sehen wir, dass die beiden Werte übereinstimmen.

Aufgabe

Gegeben ist folgender Wert eines Quadrats:

$U=24cm$

Berechne die Fläche des Quadrats.

Lösung

Als ersten Schritt fertigen wir immer eine kleine Skizze des Sachverhaltes ähnlich der Abbildung 13 an:

Nun schreiben wir uns die Formel der Fläche des Quadrats nieder, welche wie folgt lautet:

Da wir für die Berechnung die Seite a benötigen, versuchen wir, mithilfe des gegebenen Wertes, also des Umfangs, auf unsere Seite a schließen zu können.

Gegeben ist der Umfang, welchen wir durch das Zusammenzählen aller Seiten berechnen. Wenn wir auf unsere Skizze schauen, wird klar, dass die Formel des Umfangs lautet:

Wie wir in der Formel sehen können, befindet sich dort ein a. Das bedeutet, dass wir die Formel nach a freistellen können, indem wir die 4 mit dem Gegenoperator der Multiplikation, also der Division, auf die andere Seite schieben:

Da wir die Seitenlänge a nun ausgerechnet haben, können wir dessen Wert nun in die Flächenformel einsetzen:

Die Fläche des Quadrats beträgt also $36c{m}^2$.

Aufgabe

Eine quadratische Wiese hat insgesamt eine Fläche von $1600m^2$. Berechne die Länge der Seiten der Wiese.

Lösung

Als ersten Schritt fertigen wir uns eine Skizze des Sachverhaltes wie in Abbildung 16 an:

Als Nächstes schreiben wir die allgemeine Flächenformel für das Quadrat hin und setzen die uns bekannten Werte ein:

$$\begin{gathered} A=a·a=a^2 \\ A=a^2=1600m^2 \end{gathered}$$

Nachdem wir nun die gegebene Zahl für die Fläche eingesetzt haben, müssen wir diese Formel nach dem gesuchten Wert a auflösen, indem wir beim Quadrat die Quadratwurzel des Wertes der Fläche ziehen. Als Ergebnis erhalten wir somit:

$$\begin{gathered} a^2=1600m^2\overline{)\sqrt{}} \\ a=40m \end{gathered}$$

Als Lösung für diese Aufgabe erhalten wir also eine Seitenlänge der Wiese von $40Meter$.