Ein Dreieck hat viele besondere Eigenschaften. Es hilft bei der Berechnung in verschiedensten Alltagssituationen und besitzt besondere Linien, die sogenannten Transversalen.
„Transver – was?“
Was Transversalen sind und wofür sie in der Geometrie gebraucht werden, erfährst Du in dieser Erklärung.
Besondere Linien im Dreieck – Grundlagen
Bevor Du Dir ansehen kannst, welche besonderen Linien es in einem Dreieck gibt, solltest Du Dir diese kurze Wiederholung des Dreiecks ansehen.
Ein Dreieck ist eine Figur in der Geometrie und besitzt, wie der Name es schon sagt, drei Ecken.
Die Verbindungsstrecken zwischen drei Punkten A, B und C bilden ein Dreieck. Hierbei ist darauf zu achten, dass die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen dürfen.
Die Seiten des Dreiecks heißen a, b und c und liegen immer gegenüber den Punkten. Die Beschriftung mit den Buchstaben erfolgt immer gegen den Uhrzeigersinn.
Abbildung 1: Beispiel Dreieck
Transversalen im Dreieck – Einfach erklärt
Transversalen – der Begriff ist zunächst nicht vielsagend. Er kommt aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie „Durchgehende“ oder „Querende“. Was genau sind also Transversalen?
Eine Transversale bezeichnet in der Geometrie eine Gerade oder Strecke, die eine Figur schneidet.
Eine solche Figur kann etwa ein Dreieck oder ein Viereck sein.
Transversalen im Dreieck – Definition
Transversalen sind also Geraden, die Figuren schneiden. Im Dreieck können sie also so definiert werden:
Transversalen im Dreieck sind besondere Linien, genauer gesagt Geraden bzw. Strecken, die das Dreieck schneiden. Sie besitzen verschiedene Eigenschaften.
Doch was für besondere Linien sind in einem Dreieck auffindbar?
Transversalen im Dreieck bestimmen – Winkel, Seiten, Höhen
Es gibt insgesamt vier verschiedene Arten von Transversalen, die im Dreieck von besonderer Bedeutung sind. Diese haben sowohl mit den Winkeln des Dreiecks, als auch mit dessen Seiten und Höhen zu tun.
Winkelhalbierende
Wie der Name schon sagt, halbieren die Winkelhalbierenden eines Dreiecks die Innenwinkel im Dreieck.
Die Winkelhalbierenden des Dreiecks sind diejenigen Geraden zu den Innenwinkeln, die durch den Scheitel der Winkel verlaufen und diese in zwei kongruente Winkelfelder teilen.
Sie bilden außerdem einen geometrischen Ort. Auf ihnen liegen alle Punkte, die jeweils den gleichen Abstand zu den anliegenden Dreiecksseiten besitzen.
Abbildung 2: Winkelhalbierende im Dreieck
Ihr Schnittpunkt M ist ebenfalls ein geometrischer Ort, denn er besitzt zu allen Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand. Daher ist er der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks.
Abbildung 3: Inkreis des Dreiecks
Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechten stehen mittig und senkrecht auf den Dreiecksseiten.
Die Mittelsenkrechten des Dreiecks sind Geraden, die senkrecht auf den Dreiecksseiten stehen und durch deren Mittelpunkte verlaufen.
Auch sie bilden einen geometrischen Ort. Sie sind der Ort aller Punkte, die von den zwei anliegenden Ecken der jeweiligen Dreiecksseiten jeweils den gleichen Abstand besitzen.
Abbildung 4: Mittelsenkrechten im Dreieck
Ihr Schnittpunkt M bildet zusätzlich den geometrischen Ort, der zu allen Ecken des Dreiecks den gleichen Abstand hat. Dieser ist somit der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks. Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Schnittpunkt außerhalb des Dreiecks.
Abbildung 5: Umkreis eines Dreiecks
Seitenhalbierenden
Die Seitenhalbierenden halbieren die Dreiecksseiten.
Bei den Seitenhalbierenden handelt es sich um Strecken, die von einem Eckpunkt des Dreiecks zur Seitenmitte der gegenüberliegenden Dreiecksseite verlaufen. Jedes Dreieck hat somit drei Seitenhalbierende.
Auch die Seitenhalbierenden besitzen einen Schnittpunkt innerhalb des Dreiecks. Dieser bildet den Schwerpunkt S des Dreiecks. Der Schwerpunkt S teilt die Seitenhalbierenden so, dass die Strecke von Seitenmittelpunkt zu S genau halb so lang ist, wie die Strecke von S zur entsprechenden Ecke.
Abbildung 6: Seitenhalbierende des Dreiecks
Höhen des Dreiecks
Ein Dreieck besitzt meist drei verschiedene Höhen.
Die Höhe eines Dreiecks ist das Lot einer Dreiecksseite oder deren Verlängerung, das durch den gegenüberliegenden Eckpunkt verläuft.
Abbildung 7: Höhen des Dreiecks
Die sogenannten Höhenfußpunkte sind die Punkte, an denen die Höhen die Seiten treffen. Verbindest Du alle drei Höhenfußpunkte (oder ihre Verlängerungen) in einem spitzwinkligen Dreieck, erhältst Du ein kleineres Dreieck im Inneren. Dieses nennt sich Höhenfußpunktdreieck und die Höhen des ursprünglichen Dreiecks bilden dessen Winkelhalbierenden. In einem stumpfwinkligen Dreieck befindet sich der Schnittpunkt der Höhen außerhalb des Dreiecks.
Abbildung 8: Höhenfußpunktdreieck
Alles Weitere zu den einzelnen Transversalen im Dreieck findest Du in den einzelnen Erklärungen zu Mittelsenkrechte Dreieck, Seitenhalbierende Dreieck, Winkelhalbierende Dreieck und Höhe Dreieck. Außerdem findest Du in den Erklärungen Inkreis Dreieck und Umkreis Dreieck mehr über die Inkreise und Umkreise von Dreiecken.
Besondere Linien im Dreieck konstruieren
Du weißt nun, welche Transversalen es im Dreieck gibt. Doch wie werden diese konstruiert?
Allgemein kannst Du sie genau so konstruieren, wie sie normalerweise konstruiert werden. Für die genauen Konstruktionsanleitungen siehst Du Dir am besten die folgenden Erklärungen an.
- Die Konstruktion der Winkelhalbierenden wird Dir in der Erklärung Grundkonstruktionen erklärt
- Genau dort findest Du auch die Konstruktion der Mittelsenkrechten.
- Wie Du die Seitenhalbierenden konstruierst, erfährst Du in der Erklärung Seitenhalbierende Dreieck.
- Die Höhen in verschiedenen Dreiecken kannst Du bestimmen, wenn Du Dir die Erklärung Höhe Dreieck ansiehst.
Transversalen in besonderen Dreiecken bestimmen
Dreiecke können verschiedene Winkel und Seitenlängen haben. Allerdings gibt es bestimmte Dreiecke, bei deren Transversalen Besonderheiten auftreten.
Transversalen in rechtwinkligen Dreiecken
Rechtwinklige Dreiecke sind Dreiecke, die einen rechten Winkel besitzen.
In diesem Dreieck liegt der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten M mittig auf der längsten Seite des Dreiecks, die gegenüber dem rechten Winkel liegt.
Abbildung 9: Mittelsenkrechten im rechtwinkligen Dreieck
Transversalen in gleichschenkligen Dreiecke
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß und somit zwei der Seiten gleich lang. Das bedeutet, dass auch zwei der Höhen des Dreiecks gleich lang sind. Außerdem ist die Mittelsenkrechte der Grundseite gleichzeitig auch die Seitenhalbierende der Grundseite, die Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels sowie eine Höhe des Dreiecks.
Abbildung 10: Transversalen im gleichschenkligen Dreieck
Transversalen in gleichseitigen Dreiecken
In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel betragen .
Für die Transversalen bedeutet das: Die Mittelsenkrechten des Dreiecks verlaufen gleichzeitig genau mittig durch die gegenüberliegenden Ecken, weshalb sie ebenfalls die Höhen des Dreiecks, die Seitenhalbierenden des Dreiecks sowie die Winkelhalbierenden des Dreiecks bilden.
Abbildung 11: Transversalen im gleichseitigen Dreieck
Falls Du mehr über die besonderen Dreiecke erfahren willst, sieh Dir die Erklärungen rechtwinkliges Dreieck, gleichschenkliges Dreieck und gleichseitiges Dreieck an.
Besondere Linien im Dreieck – Aufgaben mit Lösungen
Hier kannst Du dein Wissen direkt an ein paar Übungsaufgaben testen.
Aufgabe 1
Zeichne drei beliebige Punkte in Dein Heft und verbinde sie zu einem Dreieck. Beschrifte es korrekt und finde den Mittelpunkt des Inkreises.
Lösung
Um den Inkreismittelpunkt zu finden, solltest Du die Winkelhalbierenden des Dreiecks konstruieren und ihren Schnittpunkt markieren. Das kann in etwa so aussehen:
Abbildung 12: Lösung Aufgabe 1
Aufgabe 2
Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit beliebigen Seitenlängen und restlichen Winkeln und beschrifte es korrekt. Markiere dann den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, ohne mehr als eine Mittelsenkrechte einzuzeichnen.
Lösung
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten liegt im rechtwinkligen Dreieck immer genau mittig auf der Seite, die gegenüber dem rechten Winkel liegt. Es reicht hier also, die Mittelsenkrechte für diese Seite zu konstruieren, um ihren Mittelpunkt herauszufinden. Das kann wie folgt aussehen:
Abbildung 13: Lösung Aufgabe 2
Aufgabe 3
Zeichne das Höhenfußpunktdreieck für ein beliebiges spitzwinkliges Dreieck.
Lösung
Zunächst zeichnest Du ein beliebiges Dreieck. Dann fällst Du das Lot auf die Dreiecksseiten, um die Höhen durch die gegenüberliegenden Eckpunkte einzuzeichnen. Zuletzt verbindest Du die Höhenfußpunkte zu einem Dreieck. Hier findest Du ein Beispiel:
Abbildung 14: Lösung Aufgabe 3
Besondere Linien im Dreieck – Das Wichtigste
- Transversalen im Dreieck sind besondere Linien, genauer gesagt Geraden bzw. Strecken, die das Dreieck schneiden. Sie besitzen verschiedene Eigenschaften.
- Es gibt vier besondere Arten von Transversalen im Dreieck:
- Die Winkelhalbierenden des Dreiecks sind diejenigen Geraden zu den Innenwinkeln, die durch den Scheitel der Winkel verlaufen und diese in zwei kongruente Winkelfelder teilen.
- Die Mittelsenkrechten des Dreiecks sind Geraden, die senkrecht auf den Dreiecksseiten stehen und durch deren Mittelpunkte verlaufen.
- Die Seitenhalbierenden des Dreiecks sind die Verbindungsstrecken zwischen den Mittelpunkten der Dreiecksseiten und den gegenüberliegenden Ecken.
- Die Höhen des Dreiecks stehen senkrecht auf den Seiten des Dreiecks und verlaufen durch den gegenüberliegenden Eckpunkt.
- Diese Transversalen werden wie üblich konstruiert. Die Konstruktionsanleitungen findest Du unter Grundkonstruktionen, Seitenhalbierende Dreieck und Höhe Dreieck.
Nachweise
- Alsina, Nelsen (2015). Perlen der Mathematik. Springer Berlin-Heidelberg.
- Walz et. al. (2011). Brückenkurs Mathematik für Studieneinsteiger aller Disziplinen. Spektrum Akademischer Verlag.
- Helmerich, Lengnink (2015). Einführung Mathematik Primarstufe – Geometrie. Springer Verlag.
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