Besondere Linien im Dreieck

Ein Dreieck hat viele besondere Eigenschaften. Es hilft bei der Berechnung in verschiedensten Alltagssituationen und besitzt besondere Linien, die sogenannten Transversalen. 

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Besondere Linien im Dreieck Geometrie Icon StudySmarter

    „Transver – was?“

    Was Transversalen sind und wofür sie in der Geometrie gebraucht werden, erfährst Du in dieser Erklärung.

    Besondere Linien im Dreieck – Grundlagen

    Bevor Du Dir ansehen kannst, welche besonderen Linien es in einem Dreieck gibt, solltest Du Dir diese kurze Wiederholung des Dreiecks ansehen.

    Ein Dreieck ist eine Figur in der Geometrie und besitzt, wie der Name es schon sagt, drei Ecken.

    Die Verbindungsstrecken zwischen drei Punkten A, B und C bilden ein Dreieck. Hierbei ist darauf zu achten, dass die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen dürfen.

    Die Seiten des Dreiecks heißen a, b und c und liegen immer gegenüber den Punkten. Die Beschriftung mit den Buchstaben erfolgt immer gegen den Uhrzeigersinn.

    Besondere Linien im Dreieck Beispiel Dreieck StudySmarterAbbildung 1: Beispiel Dreieck

    Transversalen im Dreieck – Einfach erklärt

    Transversalen – der Begriff ist zunächst nicht vielsagend. Er kommt aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie „Durchgehende“ oder „Querende“. Was genau sind also Transversalen?

    Eine Transversale bezeichnet in der Geometrie eine Gerade oder Strecke, die eine Figur schneidet.

    Eine solche Figur kann etwa ein Dreieck oder ein Viereck sein.

    Transversalen im Dreieck – Definition

    Transversalen sind also Geraden, die Figuren schneiden. Im Dreieck können sie also so definiert werden:

    Transversalen im Dreieck sind besondere Linien, genauer gesagt Geraden bzw. Strecken, die das Dreieck schneiden. Sie besitzen verschiedene Eigenschaften.

    Doch was für besondere Linien sind in einem Dreieck auffindbar?

    Transversalen im Dreieck bestimmen – Winkel, Seiten, Höhen

    Es gibt insgesamt vier verschiedene Arten von Transversalen, die im Dreieck von besonderer Bedeutung sind. Diese haben sowohl mit den Winkeln des Dreiecks, als auch mit dessen Seiten und Höhen zu tun.

    Winkelhalbierende

    Wie der Name schon sagt, halbieren die Winkelhalbierenden eines Dreiecks die Innenwinkel im Dreieck.

    Die Winkelhalbierenden des Dreiecks sind diejenigen Geraden zu den Innenwinkeln, die durch den Scheitel der Winkel verlaufen und diese in zwei kongruente Winkelfelder teilen.

    Sie bilden außerdem einen geometrischen Ort. Auf ihnen liegen alle Punkte, die jeweils den gleichen Abstand zu den anliegenden Dreiecksseiten besitzen.

    Besondere Linien im Dreieck Winkelhalbierende im Dreieck StudySmarterAbbildung 2: Winkelhalbierende im Dreieck

    Ihr Schnittpunkt M ist ebenfalls ein geometrischer Ort, denn er besitzt zu allen Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand. Daher ist er der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks.

    Besondere Linien im Dreieck Inkreis Dreieck StudySmarterAbbildung 3: Inkreis des Dreiecks

    Mittelsenkrechte

    Die Mittelsenkrechten stehen mittig und senkrecht auf den Dreiecksseiten.

    Die Mittelsenkrechten des Dreiecks sind Geraden, die senkrecht auf den Dreiecksseiten stehen und durch deren Mittelpunkte verlaufen.

    Auch sie bilden einen geometrischen Ort. Sie sind der Ort aller Punkte, die von den zwei anliegenden Ecken der jeweiligen Dreiecksseiten jeweils den gleichen Abstand besitzen.

    Besondere Linien im Dreieck Mittelsenkrechten StudySmarterAbbildung 4: Mittelsenkrechten im Dreieck

    Ihr Schnittpunkt M bildet zusätzlich den geometrischen Ort, der zu allen Ecken des Dreiecks den gleichen Abstand hat. Dieser ist somit der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks. Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Schnittpunkt außerhalb des Dreiecks.

    Besondere Linien im Dreieck Umkreis StudySmarterAbbildung 5: Umkreis eines Dreiecks

    Seitenhalbierenden

    Die Seitenhalbierenden halbieren die Dreiecksseiten.

    Bei den Seitenhalbierenden handelt es sich um Strecken, die von einem Eckpunkt des Dreiecks zur Seitenmitte der gegenüberliegenden Dreiecksseite verlaufen. Jedes Dreieck hat somit drei Seitenhalbierende.

    Auch die Seitenhalbierenden besitzen einen Schnittpunkt innerhalb des Dreiecks. Dieser bildet den Schwerpunkt S des Dreiecks. Der Schwerpunkt S teilt die Seitenhalbierenden so, dass die Strecke von Seitenmittelpunkt zu S genau halb so lang ist, wie die Strecke von S zur entsprechenden Ecke.

    Besondere Linien im Dreieck Seitenhalbierende Dreieck StudySmarterAbbildung 6: Seitenhalbierende des Dreiecks

    Höhen des Dreiecks

    Ein Dreieck besitzt meist drei verschiedene Höhen.

    Die Höhe eines Dreiecks ist das Lot einer Dreiecksseite oder deren Verlängerung, das durch den gegenüberliegenden Eckpunkt verläuft.

    Besondere Linien im Dreieck Höhen Dreieck StudySmarterAbbildung 7: Höhen des Dreiecks

    Die sogenannten Höhenfußpunkte sind die Punkte, an denen die Höhen die Seiten treffen. Verbindest Du alle drei Höhenfußpunkte (oder ihre Verlängerungen) in einem spitzwinkligen Dreieck, erhältst Du ein kleineres Dreieck im Inneren. Dieses nennt sich Höhenfußpunktdreieck und die Höhen des ursprünglichen Dreiecks bilden dessen Winkelhalbierenden. In einem stumpfwinkligen Dreieck befindet sich der Schnittpunkt der Höhen außerhalb des Dreiecks.

    Besondere Linien im Dreieck Höhenfußpunktdreieck StudySmarterAbbildung 8: Höhenfußpunktdreieck

    Alles Weitere zu den einzelnen Transversalen im Dreieck findest Du in den einzelnen Erklärungen zu Mittelsenkrechte Dreieck, Seitenhalbierende Dreieck, Winkelhalbierende Dreieck und Höhe Dreieck. Außerdem findest Du in den Erklärungen Inkreis Dreieck und Umkreis Dreieck mehr über die Inkreise und Umkreise von Dreiecken.

    Besondere Linien im Dreieck konstruieren

    Du weißt nun, welche Transversalen es im Dreieck gibt. Doch wie werden diese konstruiert?

    Allgemein kannst Du sie genau so konstruieren, wie sie normalerweise konstruiert werden. Für die genauen Konstruktionsanleitungen siehst Du Dir am besten die folgenden Erklärungen an.

    • Die Konstruktion der Winkelhalbierenden wird Dir in der Erklärung Grundkonstruktionen erklärt
    • Genau dort findest Du auch die Konstruktion der Mittelsenkrechten.
    • Wie Du die Seitenhalbierenden konstruierst, erfährst Du in der Erklärung Seitenhalbierende Dreieck.
    • Die Höhen in verschiedenen Dreiecken kannst Du bestimmen, wenn Du Dir die Erklärung Höhe Dreieck ansiehst.

    Transversalen in besonderen Dreiecken bestimmen

    Dreiecke können verschiedene Winkel und Seitenlängen haben. Allerdings gibt es bestimmte Dreiecke, bei deren Transversalen Besonderheiten auftreten.

    Transversalen in rechtwinkligen Dreiecken

    Rechtwinklige Dreiecke sind Dreiecke, die einen rechten Winkel besitzen.

    In diesem Dreieck liegt der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten M mittig auf der längsten Seite des Dreiecks, die gegenüber dem rechten Winkel liegt.

    Besondere Linien im Dreieck Mittelsenkrechten im rechtwinkligen Dreieck StudySmarterAbbildung 9: Mittelsenkrechten im rechtwinkligen Dreieck

    Transversalen in gleichschenkligen Dreiecke

    In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß und somit zwei der Seiten gleich lang. Das bedeutet, dass auch zwei der Höhen des Dreiecks gleich lang sind. Außerdem ist die Mittelsenkrechte der Grundseite gleichzeitig auch die Seitenhalbierende der Grundseite, die Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels sowie eine Höhe des Dreiecks.

    Besondere Linien im Dreieck Transversalen im gleichschenkligen Dreieck StudySmarterAbbildung 10: Transversalen im gleichschenkligen Dreieck

    Transversalen in gleichseitigen Dreiecken

    In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel betragen 60°.

    Für die Transversalen bedeutet das: Die Mittelsenkrechten des Dreiecks verlaufen gleichzeitig genau mittig durch die gegenüberliegenden Ecken, weshalb sie ebenfalls die Höhen des Dreiecks, die Seitenhalbierenden des Dreiecks sowie die Winkelhalbierenden des Dreiecks bilden.

    Besondere Linien im Dreieck Transversalen im gleichseitigen Dreieck StudySmarterAbbildung 11: Transversalen im gleichseitigen Dreieck

    Falls Du mehr über die besonderen Dreiecke erfahren willst, sieh Dir die Erklärungen rechtwinkliges Dreieck, gleichschenkliges Dreieck und gleichseitiges Dreieck an.

    Besondere Linien im Dreieck – Aufgaben mit Lösungen

    Hier kannst Du dein Wissen direkt an ein paar Übungsaufgaben testen.

    Aufgabe 1

    Zeichne drei beliebige Punkte in Dein Heft und verbinde sie zu einem Dreieck. Beschrifte es korrekt und finde den Mittelpunkt des Inkreises.

    Lösung

    Um den Inkreismittelpunkt zu finden, solltest Du die Winkelhalbierenden des Dreiecks konstruieren und ihren Schnittpunkt markieren. Das kann in etwa so aussehen:

    Besondere Linien im Dreieck Lösung Aufgabe 1 StudySmarterAbbildung 12: Lösung Aufgabe 1

    Aufgabe 2

    Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit beliebigen Seitenlängen und restlichen Winkeln und beschrifte es korrekt. Markiere dann den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, ohne mehr als eine Mittelsenkrechte einzuzeichnen.

    Lösung

    Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten liegt im rechtwinkligen Dreieck immer genau mittig auf der Seite, die gegenüber dem rechten Winkel liegt. Es reicht hier also, die Mittelsenkrechte für diese Seite zu konstruieren, um ihren Mittelpunkt herauszufinden. Das kann wie folgt aussehen:

    Besondere Linien im Dreieck Lösung Aufgabe 2 StudySmarterAbbildung 13: Lösung Aufgabe 2

    Aufgabe 3

    Zeichne das Höhenfußpunktdreieck für ein beliebiges spitzwinkliges Dreieck.

    Lösung

    Zunächst zeichnest Du ein beliebiges Dreieck. Dann fällst Du das Lot auf die Dreiecksseiten, um die Höhen durch die gegenüberliegenden Eckpunkte einzuzeichnen. Zuletzt verbindest Du die Höhenfußpunkte zu einem Dreieck. Hier findest Du ein Beispiel:

    Besondere Linien im Dreieck Lösung Aufgabe 3 StudySmarterAbbildung 14: Lösung Aufgabe 3

    Besondere Linien im Dreieck – Das Wichtigste

    • Transversalen im Dreieck sind besondere Linien, genauer gesagt Geraden bzw. Strecken, die das Dreieck schneiden. Sie besitzen verschiedene Eigenschaften.
    • Es gibt vier besondere Arten von Transversalen im Dreieck:
      • Die Winkelhalbierenden des Dreiecks sind diejenigen Geraden zu den Innenwinkeln, die durch den Scheitel der Winkel verlaufen und diese in zwei kongruente Winkelfelder teilen.
      • Die Mittelsenkrechten des Dreiecks sind Geraden, die senkrecht auf den Dreiecksseiten stehen und durch deren Mittelpunkte verlaufen.
      • Die Seitenhalbierenden des Dreiecks sind die Verbindungsstrecken zwischen den Mittelpunkten der Dreiecksseiten und den gegenüberliegenden Ecken.
      • Die Höhen des Dreiecks stehen senkrecht auf den Seiten des Dreiecks und verlaufen durch den gegenüberliegenden Eckpunkt.
    • Diese Transversalen werden wie üblich konstruiert. Die Konstruktionsanleitungen findest Du unter Grundkonstruktionen, Seitenhalbierende Dreieck und Höhe Dreieck.

    Nachweise

    1. Alsina, Nelsen (2015). Perlen der Mathematik. Springer Berlin-Heidelberg.
    2. Walz et. al. (2011). Brückenkurs Mathematik für Studieneinsteiger aller Disziplinen. Spektrum Akademischer Verlag.
    3. Helmerich, Lengnink (2015). Einführung Mathematik Primarstufe – Geometrie. Springer Verlag.
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Besondere Linien im Dreieck

    Was sind besondere Linien im Dreieck?

    Besondere Linien, die ein Dreieck schneiden, werden auch Transversalen genannt. Es gibt verschiedene Arten mit unterschiedlichen Eigenschaften: die Mittelsenkrechten des Dreiecks, die Winkelhalbierenden des Dreiecks, die Seitenhalbierenden des Dreiecks und die Höhen des Dreiecks.

    Was sind Transversalen im Dreieck einfach erklärt?

    Transversalen im Dreieck sind besondere Linien, genauer gesagt Geraden bzw. Strecken, die das Dreieck schneiden. Sie besitzen verschiedene Eigenschaften, die die Winkel, Seiten und Höhen des Dreiecks betreffen.

    Wie kann man besondere Linien im Dreieck bestimmen?

    Um die besonderen Linien im Dreieck zu bestimmen, musst Du wissen, welche Arten von besonderen Linien es in einem Dreieck gibt. Das sind die Mittelsenkrechten, die Winkelhalbierenden, die Seitenhalbierenden und die Höhen des Dreiecks. Diese kannst Du auf unterschiedliche Weisen konstruieren.

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    Wie viele Höhenfußpunkte kann ein Dreieck haben?

    Bewerte folgende Aussage:Die Konstuktion von Mittelsenkrechten in einem Dreieck funktioniert genau so, wie die normale Konstuktion einer Mittelsenkrechten.

    Entscheide, welche besonderen Linien nötig sind, um den Inkreis eines Dreiecks zu konstruieren.

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