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Besondere Linien im Dreieck

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Besondere Linien im Dreieck

Ein Dreieck hat viele besondere Eigenschaften. Es hilft bei der Berechnung in verschiedensten Alltagssituationen und besitzt besondere Linien, die sogenannten Transversalen.

Besondere Linien im Dreieck Geometrie Icon StudySmarter

„Transver – was?“

Was Transversalen sind und wofür sie in der Geometrie gebraucht werden, erfährst Du in dieser Erklärung.

Wiederholung der Grundlagen

Bevor Du Dir ansehen kannst, welche besonderen Linien es in einem Dreieck gibt, solltest Du Dir diese kurze Wiederholung des Dreiecks ansehen.

Ein Dreieck ist eine Figur in der Geometrie und besitzt, wie der Name es schon sagt, drei Ecken.

Die Verbindungsstrecken zwischen drei Punkten A, B und C bilden ein Dreieck. Hierbei ist darauf zu achten, dass die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen dürfen.

Die Seiten des Dreiecks heißen a, b und c und liegen immer gegenüber den Punkten. Die Beschriftung mit den Buchstaben erfolgt immer gegen den Uhrzeigersinn.

Besondere Linien im Dreieck Beispiel Dreieck StudySmarterAbbildung 1: Beispiel Dreieck

Transversalen im Dreieck – Einfach erklärt

Transversalen – der Begriff ist zunächst nicht vielsagend. Er kommt aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie „Durchgehende“ oder „Querende“. Was genau sind also Transversalen?

Eine Transversale bezeichnet in der Geometrie eine Gerade oder Strecke, die eine Figur schneidet.

Eine solche Figur kann etwa ein Dreieck oder ein Viereck sein.

Transversalen im Dreieck – Definition

Transversalen sind also Geraden, die Figuren schneiden. Im Dreieck können sie also so definiert werden:

Transversalen im Dreieck sind besondere Linien, genauer gesagt Geraden bzw. Strecken, die das Dreieck schneiden. Sie besitzen verschiedene Eigenschaften.

Doch was für besondere Linien sind in einem Dreieck auffindbar?

Transversalen im Dreieck bestimmen – Winkel, Seiten, Höhen

Es gibt insgesamt vier verschiedene Arten von Transversalen, die im Dreieck von besonderer Bedeutung sind. Diese haben sowohl mit den Winkeln des Dreiecks, als auch mit dessen Seiten und Höhen zu tun.

Winkelhalbierende

Wie der Name schon sagt, halbieren die Winkelhalbierenden eines Dreiecks die Innenwinkel im Dreieck.

Die Winkelhalbierenden des Dreiecks sind diejenigen Geraden zu den Innenwinkeln, die durch den Scheitel der Winkel verlaufen und diese in zwei kongruente Winkelfelder teilen.

Sie bilden außerdem einen geometrischen Ort. Auf ihnen liegen alle Punkte, die jeweils den gleichen Abstand zu den anliegenden Dreiecksseiten besitzen.

Besondere Linien im Dreieck Winkelhalbierende im Dreieck StudySmarterAbbildung 2: Winkelhalbierende im Dreieck

Ihr Schnittpunkt M ist ebenfalls ein geometrischer Ort, denn er besitzt zu allen Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand. Daher ist er der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks.

Besondere Linien im Dreieck Inkreis Dreieck StudySmarterAbbildung 3: Inkreis des Dreiecks

Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechten stehen mittig und senkrecht auf den Dreiecksseiten.

Die Mittelsenkrechten des Dreiecks sind Geraden, die senkrecht auf den Dreiecksseiten stehen und durch deren Mittelpunkte verlaufen.

Auch sie bilden einen geometrischen Ort. Sie sind der Ort aller Punkte, die von den zwei anliegenden Ecken der jeweiligen Dreiecksseiten jeweils den gleichen Abstand besitzen.

Besondere Linien im Dreieck Mittelsenkrechten StudySmarterAbbildung 4: Mittelsenkrechten im Dreieck

Ihr Schnittpunkt M bildet zusätzlich den geometrischen Ort, der zu allen Ecken des Dreiecks den gleichen Abstand hat. Dieser ist somit der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks. Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Schnittpunkt außerhalb des Dreiecks.

Besondere Linien im Dreieck Umkreis StudySmarterAbbildung 5: Umkreis eines Dreiecks

Seitenhalbierenden

Die Seitenhalbierenden halbieren die Dreiecksseiten.

Bei den Seitenhalbierenden handelt es sich um Strecken, die von einem Eckpunkt des Dreiecks zur Seitenmitte der gegenüberliegenden Dreiecksseite verlaufen. Jedes Dreieck hat somit drei Seitenhalbierende.

Auch die Seitenhalbierenden besitzen einen Schnittpunkt innerhalb des Dreiecks. Dieser bildet den Schwerpunkt S des Dreiecks. Der Schwerpunkt S teilt die Seitenhalbierenden so, dass die Strecke von Seitenmittelpunkt zu S genau halb so lang ist, wie die Strecke von S zur entsprechenden Ecke.

Besondere Linien im Dreieck Seitenhalbierende Dreieck StudySmarterAbbildung 6: Seitenhalbierende des Dreiecks

Höhen des Dreiecks

Ein Dreieck besitzt meist drei verschiedene Höhen.

Die Höhe eines Dreiecks ist das Lot einer Dreiecksseite oder deren Verlängerung, das durch den gegenüberliegenden Eckpunkt verläuft.

Besondere Linien im Dreieck Höhen Dreieck StudySmarterAbbildung 7: Höhen des Dreiecks

Die sogenannten Höhenfußpunkte sind die Punkte, an denen die Höhen die Seiten treffen. Verbindest Du alle drei Höhenfußpunkte (oder ihre Verlängerungen) in einem spitzwinkligen Dreieck, erhältst Du ein kleineres Dreieck im Inneren. Dieses nennt sich Höhenfußpunktdreieck und die Höhen des ursprünglichen Dreiecks bilden dessen Winkelhalbierenden. In einem stumpfwinkligen Dreieck befindet sich der Schnittpunkt der Höhen außerhalb des Dreiecks.

Besondere Linien im Dreieck Höhenfußpunktdreieck StudySmarterAbbildung 8: Höhenfußpunktdreieck

Alles Weitere zu den einzelnen Transversalen im Dreieck findest Du in den einzelnen Erklärungen zu Mittelsenkrechte Dreieck, Seitenhalbierende Dreieck, Winkelhalbierende Dreieck und Höhe Dreieck. Außerdem findest Du in den Erklärungen Inkreis Dreieck und Umkreis Dreieck mehr über die Inkreise und Umkreise von Dreiecken.

Besondere Linien im Dreieck konstruieren

Du weißt nun, welche Transversalen es im Dreieck gibt. Doch wie werden diese konstruiert?

Allgemein kannst Du sie genau so konstruieren, wie sie normalerweise konstruiert werden. Für die genauen Konstruktionsanleitungen siehst Du Dir am besten die folgenden Erklärungen an.

  • Die Konstruktion der Winkelhalbierenden wird Dir in der Erklärung Grundkonstruktionen erklärt
  • Genau dort findest Du auch die Konstruktion der Mittelsenkrechten.
  • Wie Du die Seitenhalbierenden konstruierst, erfährst Du in der Erklärung Seitenhalbierende Dreieck.
  • Die Höhen in verschiedenen Dreiecken kannst Du bestimmen, wenn Du Dir die Erklärung Höhe Dreieck ansiehst.

Transversalen in besonderen Dreiecken

Dreiecke können verschiedene Winkel und Seitenlängen haben. Allerdings gibt es bestimmte Dreiecke, bei deren Transversalen Besonderheiten auftreten.

Rechtwinklige Dreiecke

Rechtwinklige Dreiecke sind Dreiecke, die einen rechten Winkel besitzen.

In diesem Dreieck liegt der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten M mittig auf der längsten Seite des Dreiecks, die gegenüber dem rechten Winkel liegt.

Besondere Linien im Dreieck Mittelsenkrechten im rechtwinkligen Dreieck StudySmarterAbbildung 9: Mittelsenkrechten im rechtwinkligen Dreieck

Gleichschenklige Dreiecke

In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß und somit zwei der Seiten gleich lang. Das bedeutet, dass auch zwei der Höhen des Dreiecks gleich lang sind. Außerdem ist die Mittelsenkrechte der Grundseite gleichzeitig auch die Seitenhalbierende der Grundseite, die Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels sowie eine Höhe des Dreiecks.

Besondere Linien im Dreieck Transversalen im gleichschenkligen Dreieck StudySmarterAbbildung 10: Transversalen im gleichschenkligen Dreieck

Gleichseitige Dreiecke

In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel betragen .

Für die Transversalen bedeutet das: Die Mittelsenkrechten des Dreiecks verlaufen gleichzeitig genau mittig durch die gegenüberliegenden Ecken, weshalb sie ebenfalls die Höhen des Dreiecks, die Seitenhalbierenden des Dreiecks sowie die Winkelhalbierenden des Dreiecks bilden.

Besondere Linien im Dreieck Transversalen im gleichseitigen Dreieck StudySmarterAbbildung 11: Transversalen im gleichseitigen Dreieck

Falls Du mehr über die besonderen Dreiecke erfahren willst, sieh Dir die Erklärungen rechtwinkliges Dreieck, gleichschenkliges Dreieck und gleichseitiges Dreieck an.

Besondere Linien im Dreieck – Aufgaben mit Lösungen

Hier kannst Du dein Wissen direkt an ein paar Übungsaufgaben testen.

Aufgabe 1

Zeichne drei beliebige Punkte in Dein Heft und verbinde sie zu einem Dreieck. Beschrifte es korrekt und finde den Mittelpunkt des Inkreises.

Lösung

Um den Inkreismittelpunkt zu finden, solltest Du die Winkelhalbierenden des Dreiecks konstruieren und ihren Schnittpunkt markieren. Das kann in etwa so aussehen:

Besondere Linien im Dreieck Lösung Aufgabe 1 StudySmarterAbbildung 12: Lösung Aufgabe 1

Aufgabe 2

Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit beliebigen Seitenlängen und restlichen Winkeln und beschrifte es korrekt. Markiere dann den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, ohne mehr als eine Mittelsenkrechte einzuzeichnen.

Lösung

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten liegt im rechtwinkligen Dreieck immer genau mittig auf der Seite, die gegenüber dem rechten Winkel liegt. Es reicht hier also, die Mittelsenkrechte für diese Seite zu konstruieren, um ihren Mittelpunkt herauszufinden. Das kann wie folgt aussehen:

Besondere Linien im Dreieck Lösung Aufgabe 2 StudySmarterAbbildung 13: Lösung Aufgabe 2

Aufgabe 3

Zeichne das Höhenfußpunktdreieck für ein beliebiges spitzwinkliges Dreieck.

Lösung

Zunächst zeichnest Du ein beliebiges Dreieck. Dann fällst Du das Lot auf die Dreiecksseiten, um die Höhen durch die gegenüberliegenden Eckpunkte einzuzeichnen. Zuletzt verbindest Du die Höhenfußpunkte zu einem Dreieck. Hier findest Du ein Beispiel:

Besondere Linien im Dreieck Lösung Aufgabe 3 StudySmarterAbbildung 14: Lösung Aufgabe 3

Besondere Linien im Dreieck – Das Wichtigste

  • Transversalen im Dreieck sind besondere Linien, genauer gesagt Geraden bzw. Strecken, die das Dreieck schneiden. Sie besitzen verschiedene Eigenschaften.
  • Es gibt vier besondere Arten von Transversalen im Dreieck:
    • Die Winkelhalbierenden des Dreiecks sind diejenigen Geraden zu den Innenwinkeln, die durch den Scheitel der Winkel verlaufen und diese in zwei kongruente Winkelfelder teilen.
    • Die Mittelsenkrechten des Dreiecks sind Geraden, die senkrecht auf den Dreiecksseiten stehen und durch deren Mittelpunkte verlaufen.
    • Die Seitenhalbierenden des Dreiecks sind die Verbindungsstrecken zwischen den Mittelpunkten der Dreiecksseiten und den gegenüberliegenden Ecken.
    • Die Höhen des Dreiecks stehen senkrecht auf den Seiten des Dreiecks und verlaufen durch den gegenüberliegenden Eckpunkt.
  • Diese Transversalen werden wie üblich konstruiert. Die Konstruktionsanleitungen findest Du unter Grundkonstruktionen, Seitenhalbierende Dreieck und Höhe Dreieck.

Nachweise

  1. Alsina, Nelsen (2015). Perlen der Mathematik. Springer Berlin-Heidelberg.
  2. Walz et. al. (2011). Brückenkurs Mathematik für Studieneinsteiger aller Disziplinen. Spektrum Akademischer Verlag.
  3. Helmerich, Lengnink (2015). Einführung Mathematik Primarstufe – Geometrie. Springer Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Besondere Linien im Dreieck

Besondere Linien, die ein Dreieck schneiden, werden auch Transversalen genannt. Es gibt verschiedene Arten mit unterschiedlichen Eigenschaften: die Mittelsenkrechten des Dreiecks, die Winkelhalbierenden des Dreiecks, die Seitenhalbierenden des Dreiecks und die Höhen des Dreiecks.

Transversalen im Dreieck sind besondere Linien, genauer gesagt Geraden bzw. Strecken, die das Dreieck schneiden. Sie besitzen verschiedene Eigenschaften, die die Winkel, Seiten und Höhen des Dreiecks betreffen.

Um die besonderen Linien im Dreieck zu bestimmen, musst Du wissen, welche Arten von besonderen Linien es in einem Dreieck gibt. Das sind die Mittelsenkrechten, die Winkelhalbierenden, die Seitenhalbierenden und die Höhen des Dreiecks. Diese kannst Du auf unterschiedliche Weisen konstruieren.

Finales Besondere Linien im Dreieck Quiz

Frage

Gib an, wie man den Punkt nennt, an dem sich die drei Höhen eines Dreiecks schneiden

Antwort anzeigen

Antwort

Der Punkt heißt Höhenschnittpunkt H. 

Frage anzeigen

Frage

Gib an, wie viele Höhen ein Dreieck hat. 

Antwort anzeigen

Antwort

Jedes Dreieck hat genau drei Höhen. 

Frage anzeigen

Frage

Gib an, was der Höhenfußpunkt eines Dreiecks ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Punkt, an dem die Höhe die gegenüberliegende Seite schneidet, heißt Höhenfußpunkt.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte diese Aussage:

Eine Höhe liegt immer im Dreieck. 

Antwort anzeigen

Antwort

Das ist so nicht richtig. Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegen zwei der drei Höhen außerhalb des Dreiecks. Bei rechtwinkligen Dreiecken sind zwei der drei Höhen des Dreiecks gleichzeitig Dreiecksseiten

Frage anzeigen

Frage

Fasse die wichtigsten Informationen zum Thema "Höhe eines Dreiecks" kurz zusammen. 

Antwort anzeigen

Antwort

  • Die Höhe eines Dreiecks ist das Lot einer Dreiecksseite oder deren Verlängerung, das durch den gegenüberliegenden Eckpunkt verläuft. 
  • Der Punkt, an dem sich die drei Höhen eines Dreiecks schneiden, heißt Höhenschnittpunkt H. Je nach Dreiecksart liegt dieser Punkt innerhalb vom Dreieck, außerhalb vom Dreieck oder auf einem der drei Eckpunkte
  • Die Höhen des Dreiecks können mit dem Sinussatz berechnet werden. 

Frage anzeigen

Frage

Beurteile folgende Aussage:

Die Höhen eines gleichseitigen Dreiecks müssen alle einzeln berechnet werden. 

Antwort anzeigen

Antwort

Falsch! Da die drei Höhen eines gleichseitigen Dreiecks gleich lang sind, reicht es aus, eine der drei Höhen zu berechnen.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was der Höhenschnittpunkt eines Dreiecks ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Höhenschnittpunkt H eines Dreiecks ist der Punkt, an dem sich die drei Höhen eines Dreiecks schneiden. 

Frage anzeigen

Frage

Gib an, wo der Höhenschnittpunkt H eines spitzwinkligen Dreiecks liegt. 

Antwort anzeigen

Antwort

Der Höhenschnittpunkt H eines spitzwinkligen Dreiecks liegt innerhalb des Dreiecks

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wo der Höhenschnittpunkt eines stumpfwinkligen Dreiecks liegt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Höhenschnittpunkt eines stumpfwinkligen Dreiecks liegt außerhalb vom Dreieck

Frage anzeigen

Frage

Gib an, wo sich der Höhenschnittpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks befindet.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Höhenschnittpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks liegt genau auf dem Eckpunkt des Dreiecks, an dessen Winkel sich der rechte Winkel des Dreiecks befindet. 

Frage anzeigen

Frage

Nenne den Namen des Punktes, an dem sich die drei Höhen eines Dreiecks schneiden

Antwort anzeigen

Antwort

Dieser Punkt heißt Höhenschnittpunkt H. 

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie man die genaue Lage des Höhenschnittpunkts eines Dreiecks bestimmt. 

Antwort anzeigen

Antwort

Um die genaue Lage zu bestimmen konstruiert man zunächst die drei Höhen des Dreiecks. Der Punkt, an dem sich die Höhen schneiden, wird als Höhenschnittpunkt H gekennzeichnet.

Frage anzeigen

Frage

Fasse die wichtigsten Informationen zum Thema "Höhenschnittpunkt eines Dreiecks" kurz zusammen.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Der Punkt, an dem sich die drei Höhen eines Dreiecks schneiden, wird Höhenschnittpunkt H genannt. 
  • Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H innerhalb vom Dreieck, bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt er außerhalb vom Dreieck und bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt er auf dem Eckpunkt des Dreiecks, an dessen Winkel sich der rechte Winkel befindet.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob es theoretisch ausreichen würde nur zwei Höhen eines Dreiecks zu konstruieren, um die Lage des Höhenschnittpunkts zu ermitteln.

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Geraden können sich an maximal einer Stelle schneiden. Da es sich bei der Verlängerung der Höhen um Geraden handelt, gilt das auch für die Höhen. 

Deshalb reicht es aus, den Schnittpunkt zweier Höhen zu ermitteln.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:

Der Höhenschnittpunkt H kann mitten auf der Seite a eines Dreiecks liegen. 

Antwort anzeigen

Antwort

Das ist falsch! Der Höhenschnittpunkt kann nur innerhalb des Dreiecks, außerhalb des Dreiecks oder auf einem der Eckpunkte liegen, nicht aber mitten auf einer der Dreiecksseiten. 

Frage anzeigen

Frage

Werte aus, ob man alleine unter Berücksichtigung des Höhenschnittpunkts Rückschlüsse auf das dazugehörige Dreieck schließen kann, wenn sonst keine Informationen über das Dreieck vorliegen.

Antwort anzeigen

Antwort

Nein. Ohne Hintergrundwissen über die Seitenlängen oder Winkelgrößen sind keine Rückschlüsse auf das zugrundeliegende Dreieck möglich. 

Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob zwei verschiedene Dreiecke, die nebeneinander liegen, den gleichen Höhenschnittpunkt haben können. 


Antwort anzeigen

Antwort

Ja, das ist möglich. Das liegt daran, dass je nach Dreiecksart der Höhenschnittpunkt innerhalb des Dreiecks, außerhalb des Dreiecks oder auf einem der Eckpunkte liegt. So kann es passieren, dass der Höhenschnittpunkt von zwei Dreiecken der gleiche ist. 

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:

Ein Dreieck kann mehr als einen Höhenschnittpunkt haben. 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch! Da sich zwei Geraden an maximal einem Punkt schneiden können, kann es auch nur einen Höhenschnittpunkt geben.

Frage anzeigen

Frage

Gib an, wie viele Seitenhalbierende jedes Dreieck hat. 

Antwort anzeigen

Antwort

Jedes Dreieck hat drei Eckpunkte, drei Seiten und damit auch drei Seitenhalbierende. 

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was die Seitenhalbierenden eines Dreiecks sind. 

Antwort anzeigen

Antwort

Bei den Seitenhalbierenden handelt es sich um Strecken, die von einem Eckpunkt des Dreiecks zur Seitenmitte der gegenüberliegenden Dreiecksseite verlaufen. 

Frage anzeigen

Frage

Gib an, wie der Punkt heißt, an dem sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden. 

Antwort anzeigen

Antwort

Bei diesem Punkt handelt es sich um den Schwerpunkt des Dreiecks. Dieser Punkt wird auch als Punkt S bezeichnet. 

Frage anzeigen

Frage

Nenne die vier Schritte bei der Konstruktion einer Seitenhalbierenden mit dem Lineal.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Länge der entsprechenden Seite des Dreiecks bestimmen
  2. Länge der Dreiecksseite halbieren
  3. Mittelpunkt der Dreiecksseite einzeichnen
  4. Mittelpunkt mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks verbinden 


Frage anzeigen

Frage

Erläutere, in welchem Verhältnis die drei Seitenhalbierenden am Schwerpunkt S des Dreiecks geteilt werden.

Antwort anzeigen

Antwort

Am Schwerpunkt des Dreiecks werden die Seitenhalbierenden jeweils – ausgehend vom dazugehörigen Eckpunkt - im Verhältnis 2:1 geteilt. Das bedeutet, dass genau 2/3 der Strecke der Seitenhalbierenden zwischen Eckpunkt und Schwerpunkt und 1/3 der Strecke der Seitenhalbierenden zwischen Schwerpunkt und Mittelpunkt der Dreiecksseite liegt. 


Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob Seitenhalbierende auch gleichzeitig die Winkelhalbierenden eines Dreiecks sein können.

Antwort anzeigen

Antwort

In den meisten Fällen ist die Seitenhalbierende eines Dreiecks nicht gleichzeitig auch eine Winkelhalbierende, sie kann es aber sein!

Bei gleichseitigen Dreiecken zum Beispiel ist jede Seitenhalbierende auch eine Winkelhalbierende. Bei gleichschenkligen Dreiecken ist die Seitenhalbierende der Basis auch eine Winkelhalbierende des Dreiecks.

Frage anzeigen

Frage

Fasse die wichtigsten Informationen zur Seitenhalbierenden eines Dreiecks kurz zusammen. 

Antwort anzeigen

Antwort

  • Bei den Seitenhalbierenden handelt es sich um Strecken, die von einem Eckpunkt des Dreiecks zur Seitenmitte der gegenüberliegenden Dreiecksseite verlaufen. Sie gehören zu den Transversalen im Dreieck
  • Jedes Dreieck hat drei Seitenhalbierende
  • Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich in genau einem Punkt, dem Schwerpunkt des Dreiecks. An diesem Punkt werden die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 geteilt. 
  • Durch das Einzeichnen einer der drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks, wird das Dreieck in zwei gleich große Dreieckshälften unterteilt. 

Frage anzeigen

Frage

Fasse kurz zusammen, welche Möglichkeiten es zur Konstruktion der Seitenhalbierenden eines Dreiecks gibt. 

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Ausmessen mit dem Lineal
  2. Konstruktion mit dem Zirkel

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:

"Wenn eine Seitenhalbierende eines Dreiecks eingezeichnet wird, entstehen zwei Teildreiecke, deren Flächeninhalte im Verhältnis 2:1 zueinander stehen."

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Es entstehen zwei gleich große Teildreiecke

Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob der Schwerpunkt S eines Dreiecks auch außerhalb des Dreiecks liegen kann. 

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, der Schwerpunkt liegt immer Innerhalb des Dreiecks, da auch der Verlauf Seitenhalbierenden vollständig innerhalb des Dreiecks liegt. 

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was der Höhenfußpunkt eines Dreiecks ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Höhenfußpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt einer Höhe mit der zugehörigen Seite bzw der Verlängerung der zugehörigen Seite bei stumpfwinkligen Dreiecken.

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Höhenfußpunkte kann ein Dreieck haben?

Antwort anzeigen

Antwort

0

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob die Höhenfußpunkte eines Dreiecks innerhalb des Dreiecks liegen und begründe deine Wahl.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei spitzwinkligen und rechtwinkligen Dreiecken liegen alle Höhenfußpunkte innerhalb des Dreiecks, bei stumpfwinkligen Dreiecken lediglich der Höhenfußpunkt der längsten Seite.

Frage anzeigen

Frage

Nenne das Merkmal des Höhenfußpunktdreiecks im Bezug auf Innen- und Außenwinkel.

Antwort anzeigen

Antwort

Spitzwinklige Dreiecke:

Die Höhen des ursprünglichen Dreiecks bilden die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks

Stumpfwinklige Dreiecke:

Die Höhe auf die längste Seite bildet die Winkelhalbierende des anliegenden Innenwinkels des Höhenfußpunktdreiecks; die Höhen auf die Seitenverlängernden bilden die Winkelhalbierenden des Außenwinkels der anderen beiden Winkel. Hier ist die Seitenverlängernde die Winkelhalbierende des Innenwinkels.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe das bedeutende Merkmal des Umkreises des Höhenfußpunktdreiecks.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Umkreis des Höhenfußpunktdreiecks entspricht dem Feuerbachkreis des ursprünglichen Dreiecks.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie man die Lage eines Höhenfußpunkts im Koordinatensystem berechnet.

Antwort anzeigen

Antwort

Zunächst stellt man eine Geradengleichung auf, die die Seite des zu berechnenden Höhenfußpunkts abbildet. Dann stellt man mithilfe der allgemeinen Normalengleichung eine Normale zu dieser Gerade auf, die durch den Punkt gegenüber der Seite geht. Diese Normale bildet die Höhe ab. Der Schnittpunkt der Geraden mit ihrer Normale ist der Höhenfußpunkt.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, warum ein rechtwinkliges Dreieck nur 2 Höhenfußpunkte hat.

Antwort anzeigen

Antwort

Die beiden Katheten bilden die Höhe auf die jeweils andere. Damit ist der Dreieckspunkt zwischen den Katheten auch gleichzeitig ein doppelter Höhenfußpunkt. Der zweite Höhenfußpunkt liegt auf der Hypotenuse.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die ausgezeichneten Punkte im Dreieck, die auf dem Feuerbachkreis liegen.

Antwort anzeigen

Antwort

Auf dem Feuerbachkreis liegen die Höhenfußpunkte, die Mittelpunkte der Seiten und die Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte.

Frage anzeigen

Frage

Gib an, wo sich der Mittelpunkt des Feuerbachkreises befindet.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Mittelpunkt des Feuerbachkreises ist der Streckenmittelpunkt der Strecke zwischen Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt.

Frage anzeigen

Frage

Nenne, wie viele Mittelsenkrechten im Dreieck konstruierbar sind.

Antwort anzeigen

Antwort

Im Dreieck können drei Mittelsenkrechten konstruiert werden, eine zu jeder Dreiecksseite.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was das besondere am Schnittpunkt der Mittelsenkrechten in einem Dreieck ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist der Punkt, der den gleichen Abstand zu allen Ecken besitzt. Damit ist er ein geometrischer Ort und bildet den Mittelpunkt des Umkreises vom Dreieck.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie der Umkreis eines Dreiecks konstruiert wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Umkreis eines Dreiecks wird über die Mittelsenkrechten konstruiert. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und sein Radius der Abstand des Schnittpunktes zu den Ecken des Dreiecks.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wo der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten in einem rechtwinkligen Dreieck liegt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten in einem rechtwinkligen Dreieck liegt immer mittig auf der längsten Dreiecksseite.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was eine Mittelsenkrechte ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist diejenige Gerade, die durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft und senkrecht auf ihr steht.

Frage anzeigen

Frage

Nenne alle Punkte eines Dreiecks, die der Umkreis berührt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Umkreis berührt alle Ecken des Dreiecks.

Frage anzeigen

Frage

Nenne alle Punkte eines Dreiecks, die der Inkreis berührt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Inkreis berührt die Dreiecksseiten in jeweils einem Punkt.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, warum die Mittelsenkrechten zu einem Dreieck, welches im dreidimensionalen Raum liegt, nicht einfach mithilfe eines Normalenvektors auf die einzelnen Seiten berechnet werden können?

Antwort anzeigen

Antwort

Da das Dreieck eine Ebene im dreidimensionalen Raum ist, reicht es nicht, einen Vektor zu berechnen, der senkrecht auf einer der Dreiecksseiten steht. Dieser kann außerhalb der Dreiecksebene liegen, also in den Raum zeigen. Deshalb ist es nötig, davor einen Vektor zu berechnen, der senkrecht auf der Ebene steht. Der Vektor, der zu diesem und zur Dreiecksseite senkrecht ist, liegt dann in der Dreiecksebene.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte die folgende Aussage:


Die Ecken eines Dreiecks werden immer im Uhrzeigersinn mit Buchstaben (z. B. A, B, C) beschriftet.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Die Beschriftung erfolgt immer gegen den Uhrzeigersinn.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, welchen Radius der Umkreis eines Dreiecks besitzt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Umkreisradius ist der Abstand der Ecken des Dreiecks zum Schnittpunkt der Mittelsenlrechten von den Dreiecksseiten.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:


Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten besitzt den gleichen Abstand zu allen Seiten des Dreiecks.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten besitzt den gleichen Abstand zu allen Ecken des Dreiecks.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:


Die Konstuktion von Mittelsenkrechten in einem Dreieck funktioniert genau so, wie die normale Konstuktion einer Mittelsenkrechten.

Antwort anzeigen

Antwort

Wahr

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was eine Transversale ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Transversale bezeichnet in der Geometrie eine Gerade oder Strecke, die eine Figur schneidet.

Frage anzeigen

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