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Oberflächeninhalt Kugel

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Oberflächeninhalt Kugel

Forscher*innen haben herausgefunden, dass circa 71 % der Erdoberfläche mit Wasser bedeckt sind. Weil die Erde deswegen aus dem Weltall betrachtet sehr blau aussieht, wird sie auch oft der blaue Planet genannt. Wie viel Wasser sind das denn dann, die man auf der Erdoberfläche sieht?

Oberflächeninhalt Kugel Motivation Erde StudySmarterAbbildung 1: Der blaue Planet Erde

Das wollen wir uns in diesem Artikel einmal genauer anschauen. Der mathematische Hintergrund, den wir dazu brauchen, ist die Kugel und ihr Oberflächeninhalt. Du lernst in diesem Artikel, wie du den Oberflächeninhalt einer Kugel und einer Halbkugel berechnest und wo die Formel eigentlich herkommt. Außerdem zeigen wir dir einige Aufgaben, die in diesem Zusammenhang oft gestellt werden.

Oberflächeninhalt Kugel Grundlagen

Bevor wir dir neuen Stoff zeigen, werden zunächst einige wichtige Grundlagen wiederholt, die du für das Verständnis und die Herleitung der Formel benötigst.

Wiederholung: Die Kugel

Die Kugel ist eine der klassischen geometrischen Körper. Wenn du einen Kreis um seinen Durchmesser drehst, erhältst du eine Kugel.

Eine Kugel K sind alle Punkte, die von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt M der Kugel, einen Abstand haben, der kleiner oder gleich dem Radius der Kugel ist.

Oberflächeninhalt Kugel Wiederholung Kugel StudySmarterAbbildung 2: Die Kugel

Alle Punkte der Kugeloberfläche haben genau den Abstand r zum Mittelpunkt der Kugel.

Wiederholung: Die Oberfläche und ihr Flächeninhalt

Bei der Oberfläche eines Körpers handelt es sich um die Hülle oder den Rand des Körpers.

Anschaulich ist die Oberfläche alles, was du anmalen musst, wenn du einen Körper in eine bestimmte Farbe färben willst.

Als Oberfläche einer Figur bezeichnet man die Flächen der Figur, die sie nach außen begrenzen.

Wie jede Fläche hat auch die Oberfläche eines Körpers einen Flächeninhalt. Dieser lässt sich je nach Form der Fläche mehr oder weniger leicht berechnen.

Wiederholung: Das Volumen der Kugel

Zur Berechnung des Volumens der Kugel haben wir einen eigenen Artikel für dich (Volumen Kugel). Die Formel soll hier allerdings kurz wiederholt werden, weil sie für die Herleitung der Oberflächeninhaltsformel wichtig ist.

Das Volumen einer Kugel mit Radius r berechnet sich mit

Oberflächeninhalt Kugel Formel Volumen Kugel StudySmarter

Wiederholung: Das Volumen der Pyramide

Im Artikel Volumen Pyramide findest du eine ausführliche Anleitung zum Pyramidenvolumen. Auch hier wird allerdings die Volumenformel zur Herleitung der Formel des Oberflächeninhalts der Kugel benötigt, weswegen sie hier explizit erwähnt wird.

Das Volumen einer Pyramide mit dem Grundfläche G und der Höhe h berechnet sich mit

Oberflächeninhalt Kugel Formel Volumen Pyramide StudySmarter

Oberflächeninhalt Kugel Herleitung Pyramide StudySmarterAbbildung 3: Die Pyramide

Oberflächeninhalt Kugel Berechnen

Nun kommen wir zum eigentlichen Teil des Artikels. Hier erfährst du nun endlich, wie die Formel für den Oberflächeninhalt der Kugel lautet und wo sie herkommt.

Oberflächeninhalt Kugel Herleitung der Formel

Die Herleitung der Formel für das Kugelvolumen ist relativ komplex.

Oberflächeninhalt Kugel Herleitung Pyramide StudySmarterAbbildung 4: Herleitung Oberflächeninhalt Kugel

Die Idee dabei ist, dass Pyramiden, deren Höhen dem Radius der Kugel entsprechen, in die Kugel eingefügt werden. Das Volumen der Kugel, dessen Formel bekannt ist, kann dann mithilfe der Volumen der Pyramiden ausgedrückt werden. In der Formel kommen dann die Grundflächen der Pyramiden vor, die für eine hohe Anzahl an Pyramiden die Oberfläche der Kugel ergeben. Aber noch einmal Schritt für Schritt:

Schritt
Beschreibung
Ausgangssituation
Die Kugel wird mit gleich großen Pyramiden gefüllt. Die Pyramiden haben als Höhe den Radius der Kugel und als Grundfläche einen Teil der Oberfläche der Kugel.
Idee
Bekannt sind die Formeln für das Pyramidenvolumen und das Kugelvolumen. Das Kugelvolumen wird mithilfe des Pyramidenvolumens dargestellt, in dem die Grundfläche der Pyramide vorkommt. So kann durch Umstellen eine Formel für die Grundflächen der Pyramide in Abhängigkeit vom Radius r der Kugel ermittelt werden.
Warum funktioniert das?
Das Prinzip mit den Pyramiden funktioniert, weil hier mit dem Grenzwert gearbeitet wird. Das heißt, es werden unendlich viele Pyramiden mit sehr kleiner Grundfläche eingefügt, sodass die Differenz von Kugeloberfläche und Pyramidengrundflächen sehr klein wird.
Berechnung des Kugelvolumens mit Pyramiden
Volumen Kugel (mit Pyramiden):
Im ersten Schritt steht für das Volumen der ersten Pyramide usw.. Im dritten Schritt werden die Höhen bis durch den Radius r der Kugel ersetzt, dem sie ja entsprechen.
Umstellen der Formel
Interpretation
Die n Pyramidengrundflächen entsprechen der Oberfläche der Kugel. Daher gilt:

Oberflächeninhalt Kugel Formel

Im oberen Abschnitt wurde die Formel für die Oberfläche des Volumens mathematisch aus dem bekannten Volumen der Kugel hergeleitet.

Der Oberflächeninhalt einer Kugel mit Radius r berechnet sich mit

Oberflächeninhalt Kugel Formel StudySmarter

Wie du auch direkt an der Formel erkennen kannst (der Radius wird mitsamt seiner Einheit quadriert), hat der Oberflächeninhalt der Kugel immer eine Einheit im Quadrat, also beispielsweise (Quadratmeter), (Quadratkilometer) oder (Quadratzentimeter). Wenn bei einer deiner Berechnungen zum Oberflächeninhalt einer Kugel (bzw. allgemein jedes Körpers) keine quadratische Einheit herauskommt, solltest du deine Rechnung noch einmal überprüfen.

Aufgaben zum Oberflächeninhalt der Kugel

Nun wollen wir dein neu gelerntes Wissen direkt anwenden!

Aufgabe 1

Eine Kugel hat einen Radius von 5 cm. Wie groß ist ihr Oberflächeninhalt?

Lösung

Verwende dazu die Formel für den Oberflächeninhalt der Kugel.

Setze dann den gegebenen Radius r der Kugel in die Formel ein.

Damit beträgt der Oberflächeninhalt der Kugel mit 5 cm Radius.

Nun bist du schon soweit, dass du die Einstiegsaufgabe zu unserem blauen Planeten lösen kannst.

Aufgabe 2

Die Erdoberfläche ist zu 71% mit Wasser bedeckt. Wie viel Wasser sind also vom Weltall aus zu sehen?Recherchiere dafür selbst die Größe, die du für die Berechnung benötigst.

Oberflächeninhalt Kugel Erdoberfläche Wasseranteil StudySmarterAbbildung 5: Der blaue Planet Erde

Lösung

Die gesuchte Größe, die du für die Berechnung recherchieren musst, ist der Erdradius. Er beträgt im Mittel 6.370 km.

Damit kannst du nun mithilfe der bekannten Formel den Oberflächeninhalt der Erde berechnen.

Die Erde hat also eine Oberfläche von , also von circa 510 Millionen Quadratkilometern.

Um die Größe des Anteils zu berechnen, der mit Wasser bedeckt ist, brauchst du elementare Prozentrechnung.

Um den Anteil von 71% zu ermitteln, muss die Grundmenge mit multipliziert werden.

Nun kannst du das Ergebnis noch in eine andere Einheit umrechnen.

Bei Flächeninhalten gibt es noch die Einheiten ha (Hektar) und a (Ar). Dabei entspricht 1 ha , 1 a sind . Ein quadratisches Grundstück mit Seitenlänge 10 km ist also 1 ha groß, ein Grundstück mit Seitenlänge 10 m hat einen Flächeninhalt von 1 a.

Um die Oberfläche des Wassers in ha anzugeben, musst du also das Komma um zwei Stellen nach links verschieben.

Die Erdoberfläche, die mit Wasser bedeckt ist, beträgt damit bzw. 3.620.321 ha.

Oberflächeninhalt Kugel aus gegebenem Durchmesser berechnen

Oft kommt es vor, dass von der Kugel statt dem Radius, den du direkt in die Formel einsetzen kannst, ihr Durchmesser gegeben ist. Da der Durchmesser dem doppelten Radius entspricht, musst du den Durchmesser dadurch, bevor die ihn in die Formel einsetzten kannst, halbieren.

Aufgabe 3

Ein Fußball hat in der Regel einen Durchmesser von rund 20 cm. Du möchtest deinen Fußball gerne gold ansprühen. Wie viel Sprühfarbe brauchst du für dein Vorhaben?

Oberflächeninhalt Kugel Aufgabe Fußball StudySmarterAbbildung 2: Fußball

Lösung

Da nur der Durchmesser des Fußballs gegeben ist, musst du zunächst seinen Radius berechnen. Wie oben erwähnt, beträgt der Radius die Hälfte des Durchmessers.

Damit beträgt der Radius des Fußballs 10 cm. Dieser kann nun in die Formel für den Oberflächeninhalt eingesetzt werden.

Wenn du quadratische Flächeninhaltseinheiten ineinander umrechnen willst, wird durch das Quadrat aus dem Umrechnungsfaktor 10, der sonst zwischen benachbarten Einheiten gilt, der Umrechnungsfaktor 100.

Beispielsweise entsprechen 100 cm ja 10 dm, aber 100 sind 1 .

Man bräuchte daher Sprühfarbe, um einen Fußball mit einem Durchmesser von 20 cm einzusprühen.

Oberflächeninhalt Halbkugel berechnen – Formel und Aufgaben

Einige Aufgaben beinhalten Fragen nach dem Oberflächeninhalt einer Halbkugel. Dabei kommt es darauf an, ob der Schnittkreis mit zum Flächeninhalt der Halbkugel zählt oder nur ihre äußere Hülle.

Ohne den Schnittkreis berechnest du den Oberflächeninhalt der Halbkugel, indem du den Oberflächeninhalt der gesamten Kugel berechnest und halbierst. Alternativ kannst du die Formel mit dem Faktor multiplizieren.

Das Volumen einer Halbkugel mit Radius r (ohne den Schnittkreis) berechnet sich mit

Oberflächeninhalt Kugel Formel Halbkugel StudySmarter

Ist nach dem Oberflächeninhalt der gesamten Halbkugel gefragt, muss der Schnittkreis addiert werden.

Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises mit Radius r lautet

Aufgabe 4

Du möchtest aus halben, leeren Kokosnüssen Getränkebecher basteln. Weil du auf eine "Black and White"-Party gehst, malst du die Außenseite der Kokosnüsse dafür schwarz an.a) Wie viel Farbe brauchst du für eine Kokosnusshälfte, wenn eine Kokosnuss ungefähr einen Radius von 6 cm hat?

b) Zu der Feier kommen 20 Gäste. Wie viel Farbe brauchst du, um entsprechend viele Kokosnüsse anzumalen, dass jede*r einen Becher bekommt?

Lösung

a) Du musst, um die Menge der Farbe zu bestimmen, den Oberflächeninhalt einer halben Kokosnuss berechnen. Der Radius der Kokosnuss beträgt dabei 6 cm.

Um eine Kokosnusshälfte schwarz anzumalen, brauchst du also Farbe.

b) Um 20 Becher anzumalen, musst du die Farbe, die du für eine Hälfte brauchst, entsprechend mit 20 multiplizieren. Die Menge der Farbe ergibt sich daher durch

Auf dasselbe Ergebnis kommst du übrigens, wenn du den Oberflächeninhalt von 10 ganzen Kokosnüssen mit der Formel für die Kugel berechnest.

Um die 20 Getränkebecher anzumalen, benötigst du also schwarze Farbe.

Hier noch eine weitere Aufgabe zum Oberflächeninhalt der Halbkugel.

Aufgabe 5

In einer Stadt steht eine bronzene Statue, die die Form einer Halbkugel hat. Die Halbkugel ist so am Boden befestigt, dass die kreisrunde Schnittfläche der Kugel nach oben zeigt. Der Schnittkreis hat einen Durchmesser von 4 m. Um wetterbeständiger zu sein, soll die gesamte Statue nun lackiert werden. Für wie viele muss der Lack reichen?

Lösung

Hier musst du den Oberflächeninhalt der Halbkugel berechnen, und zwar inklusive des Schnittkreises. Dieser ist ja Teil der Statue und soll auch lackiert werden.

Der Durchmesser des Schnittkreises entspricht dem Durchmesser der Kugel. Um den Radius der Kugel zu erhalten, muss also der Durchmesser des Schnittkreises halbiert werden.

Damit kann nun der Oberflächeninhalt der Halbkugel berechnet werden.

Außerdem musst du den Flächeninhalt des Schnittkreises berechnen.

Der Oberflächeninhalt der Statue ergibt sich durch die Summe der beiden Oberflächeninhalte.

Du benötigst Lack für , um die Statue zu lackieren.

Radius einer Kugel mit dem Oberflächeninhalt berechnen

Auch bei diesem Thema gibt es Aufgaben, für die die Formel umgestellt werden muss. Dies ist dann der Fall, wenn von einer (Halb-)Kugel der Oberflächeninhalt gegeben ist und der Radius oder Durchmesser der Kugel berechnet werden soll.

Betrachte dazu die Formel für den Oberflächeninhalt der Kugel.

Diese Formel soll nun nach r ausgelöst werden, um den Radius berechnen zu können.

Schauen wir uns das ganze doch einmal in einer Aufgabe an.

Aufgabe 6

Du hast eine Kugel mit einer Sprühdose besprüht, die für genau Oberfläche vorgesehen ist. Genau als du fertig bist, ist auch die Sprühdose leer. Welchen Durchmesser hat die Kugel?

Lösung

Weil die Sprühdose genau am Ende leer ist, entspricht der Oberflächeninhalt der Kugel dem Inhalt der Sprühdose, also Farbe für . Dieses Mal hast du mit den Oberflächeninhalt der Kugel gegeben und sollst den Durchmesser der Kugel berechnen.

Verwende für diese Aufgabe die umgestellte Formel von oben.

Setze nun den gegebenen Oberflächeninhalt der Kugel in die Formel ein.

Da der Durchmesser der Kugel gesucht ist, muss der Radius noch verdoppelt werden.

Der Durchmesser einer Kugel mit Flächeninhalt beträgt 5,64 cm.

Einfluss der Veränderung des Radius auf den Oberflächeninhalt

Es gibt immer wieder Aufgaben, die nach dem Einfluss der Veränderung des Radius auf den Oberflächeninhalt fragen. Dazu muss zunächst der ursprüngliche Oberflächeninhalt berechnet werden und anschließend der der Kugel mit verändertem Radius. Um die beiden Oberflächeninhalte zu vergleichen, werden sie durcheinander dividiert.

Schau dir auch dazu einfach ein Beispiel an!

Aufgabe 7

Eine Kugel hat einen Radius von 4 m. Deine Hausaufgabe ist es zu berechnen, wie sich eine Verdoppelung des Radius der Kugel auf den Oberflächeninhalt der Kugel auswirkt.

Lösung

Berechne dafür wie oben beschrieben zunächst den Oberflächeninhalt der Ausgangskugel mit Radius 4 m.

Berechne nun den Oberflächeninhalt der Kugel mit verdoppeltem Radius. Bestimme dazu zunächst den Radius der neuen Kugel. Durch die Verdoppelung hat die neue Kugel einen Radius von . Ihr Oberflächeninhalt lautet dementsprechend

Um die Veränderung zu berechnen, wird der neue Oberflächeninhalt durch den ursprünglichen Flächeninhalt dividiert.

Eine Verdoppelung des Radius führt also zu einer Vervierfachung des Oberflächeninhalts einer Kugel!

Wir wollen dir außerdem zeigen, wie man Aufgaben dieser Art allgemeiner stellen und lösen kann.

Aufgabe 8

Dein großer Bruder erzählt dir mit Blick auf deine Hausaufgabe, die Aufgabe 7, dass man diese Aufgabe auch für eine beliebige Ver-x-fachung des Radius lösen kann. Versuche herauszufinden, wie das funktioniert.Gefragt ist also, wie sich der Oberflächeninhalt einer Kugel mit Radius r verändert, wenn der Radius ver-x-facht wird.

Lösung

Bestimme zunächst den Oberflächeninhalt der Kugel mit Radius r. Ihn kannst du direkt der allgemeinen Formel zum Oberflächeninhalt einer Kugel mit Radius r entnehmen.

Welchen Radius hat nun die Kugel, deren Radius x mal so lang ist wie der er Kugel r? Mathematisch formuliert hat die zweite Kugel dann den Radius . Und um den Oberflächeninhalt der zweiten Kugel zu berechnen, wird ihr Radius, so wie er ist, in die Formel eingesetzt.

Mehr lässt sich ja aufgrund der Variablen nicht berechnen. Nun werden die beiden Oberflächeninhalte durcheinander geteilt, um die Veränderung zu ermitteln.

Das bedeutet, dass eine Ver-x-fachung des Radius r einer Kugel zur Ver--fachung ihres Oberflächeninhaltes führt.

Dies bedeutet, dass z. B. eine Verdoppelung bzw. Ver-zwei-fachung des Radius zu einer Ver-vier-fachung des Oberflächeninhalts führt. Eine Ver-drei-fachung des Radius ver-neun-facht den Oberflächeninhalt.

Eine Halbierung des Radius führt dazu, dass sich der Oberflächeninhalt auf ein Viertel reduziert.

Volumen und Oberflächeninhalt Kugel Gemischte Aufgaben

Wenn du dir den Artikel Volumen Kugel auch schon durchgelesen hast bzw. die Formel kennst, kannst du auch Aufgaben lösen, die beide Formeln bzw. Größen kombinieren.

Wie oben im Artikel schon erwähnt, lautet die Formel für das Volumen der Kugel

Diese Aufgaben benötigen kein neues Wissen, sondern meistens nur zwei Schritte. Prinzipiell musst du zunächst aus der einen gegebenen Größe den Radius der Kugel berechnen, um dann die andere Größe zu bestimmen.

Aufgabe 9

Eine Kugel hat einen Oberflächeninhalt von . Berechne aus dieser Angabe ihr Volumen.

Lösung

Für die Berechnung des Radius aus dem gegebenen Oberflächeninhalt musst du wie in vorigen Aufgaben die Formel umstellen.

Damit kannst du den Radius der gesuchten Kugel berechnen.

Oberflächeninhalt Kugel Das Wichtigste

  • Die Kugel hat als klassischer geometrischer Körper eine Oberfläche, von der man den Flächeninhalt bestimmen kann
  • Die Formel für den Oberflächeninhalt einer Kugel mit Radius r lautet
  • Der Oberflächeninhalt hat immer eine quadratische Einheit, also z. B. , oder
  • Mit der Formel kann auch leicht der Oberflächeninhalt der Halbkugel bestimmt werden: Er ergibt sich durch den halben Flächeninhalt der ganzen Kugel (je nach Aufgabenstellung muss evtl. der Schnittkreis addiert werden)
  • Aus gegebenem Oberflächeninhalt können durch Umstellen der Formel Radius und Durchmesser der Kugel berechnet werden

Häufig gestellte Fragen zum Thema Oberflächeninhalt Kugel

Du berechnest den Oberflächeninhalt einer Kugel mit Radius r mit der entsprechenden Formel O = 4• r2• π. Du benötigst dafür also nur ihren Radius r, um diesen in die Formel einzusetzen. Alternativ kannst du bei gegebenem Durchmesser diesen halbieren, um den Radius zu erhalten, den du dann wiederum in die Formel einsetzt.

Mit dem Oberflächeninhalt einer Figur ist der Flächeninhalt der Oberfläche des Körpers gemeint. Die Oberfläche ist dabei die Hülle der Figur, die sie nach außen abschirmt. Wie jede Fläche hat auch diese Fläche einen Flächeninhalt, der je nach Figur mehr oder weniger schwer berechnet werden kann.

Man berechnet die Oberfläche einer Halbkugel, indem man die Formel für die Oberfläche der ganzen Kugel mit 0,5 multipliziert. Man erhält die Formel O = 2• r2• π. Je nach Aufgabenstellung muss noch der Flächeninhalt des Schnittkreises addiert werden, um den Oberflächeninhalt der gesamten Halbkugel zu erhalten.

Um vom Volumen einer Kugel auf ihren Durchmesser zu kommen, muss die Formel für den Oberflächeninhalt nach dem Radius r der Kugel umgestellt werden. Der Radius, der sich durch Einsetzen des Oberflächeninhalts ergibt, muss noch verdoppelt werden, um den Durchmesser der Kugel zu erhalten.

Finales Oberflächeninhalt Kugel Quiz

Frage

Wie erhält man aus dem Durchmesser einer Kugel den Radius der Kugel?

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Antwort

Man halbiert ihn.

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