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Kreisausschnitt

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Mathe

Was ist eigentlich ein Kreisausschnitt? Ist jeder Teil eines Kreises, der aus diesem ausgeschnitten wird, ein Kreisausschnitt? Leider nicht. Was ein Kreisausschnitt in der Geometrie wirklich ist, wird dir in diesem Artikel erklärt.

Kreisausschnitt Definition

Der Kreisausschnitt ist in der Geometrie eine Teilfläche eines Kreises, der zwischen zwei Radien des Kreises und dem dazugehörigen Kreisbogen b liegt.

Der Kreisausschnitt wird auch Kreissektor genannt.

Kreisausschnitt Kreisausschnitt Definition StudySmarter

Abbildung 1: Kreisausschnitt

Im Verlauf dieses Artikels wird an einigen Stellen der Kreisbogen eines Kreises erwähnt. Um das Thema Kreisausschnitt zu verstehen ist es daher wichtig zu wissen, was der Kreisbogen b eines Kreises ist. Wenn du nicht mehr genau wissen solltest, was genau der Kreisbogen ist, solltest du unbedingt einen Blick in unseren dazugehörigen Artikel werfen.

Kreisausschnitt – Erklärung

Bevor du erfährst, wie man den Kreisausschnitt berechnen kann, erfährst du in diesem Abschnitt erst einmal alles über die Grundlagen und die Herleitung des Kreisausschnitts.

Kreisausschnitt – Grundlagen

Der Kreisausschnitt gehört zu den Kreisteilen. Zu dem Thema Kreisteile haben wir bereits einen eigenen Artikel verfasst. Wenn du dich also auch für die anderen Teile eines Kreises außer dem Kreisausschnitt interessierst, solltest du in diesem Artikel unbedingt vorbeischauen.

Um das Prinzip des Kreisausschnitts zu verstehen, hilft dir vielleicht folgende Veranschaulichung:

Stell dir vor, du hast für deinen Geburtstag einen runden Kuchen gebacken und bist gerade dabei das erste Stück des Kuchens anzuschneiden.

Wenn du den Kuchen nun von oben betrachtest, entspricht der gesamte Kuchen einem Kreis und das geschnittene Kuchenstück dem Kreisausschnitt.

Kreisausschnitt Kreisausschnitt Erklärung StudySmarter

Abbildung 2: Kuchenstück als Kreisausschnitt

Ein anderer Name für den Kreisausschnitt ist Kreissektor, wie du bereits oben in der Definition lesen konntest.

Wenn die Punkte A und B auf der Kreislinie eines Kreises liegen, dann ist der Kreisausschnitt bzw. Kreissektor genau die Fläche, die von den beiden Radien, die durch den Punkt A bzw. Punkt B und den Mittelpunkt M verlaufen, und dem Kreisbogen b zwischen den Punkten A und B begrenzt wird.

Damit unterscheidet sich der Kreisausschnitt maßgeblich vom Kreisabschnitt.

Der Kreisabschnitt ist die Fläche, die zwischen dem Kreisbogen b, also der Verbindung vom Punkt A und Punkt B entlang der Kreislinie, und der Kreissehne s, also der direkten Verbindung von Punkt A und Punkt B, liegt.

Kreisabschnitte werden auch Kreissegmente genannt.

Der Unterschied zwischen einem Kreisausschnitt und einem Kreisabschnitt wird in der folgenden Abbildung noch einmal verdeutlicht:

Kreisausschnitt Vergleich Kreisausschnitt Kreisabschnitt StudySmarter

Abbildung 3: Vergleich Kreisausschnitt (links) und Kreisabschnitt (rechts)

Der Kreisausschnitt ist die Fläche zwischen den beiden Radien r und dem Kreisbogen b des Kreises.

Der Kreisabschnitt ist die Fläche zwischen dem Kreisbogen b und der Kreissehne s des Kreises.

Kreisausschnitt – Herleitung

Wie du gelernt hast, ist der Kreisausschnitt eine Teilfläche der Gesamtfläche des Kreises. Die Herleitung der Formel für die Fläche des Kreisausschnitts baut daher auf der Formel für den gesamten Flächeninhalt des Kreises auf.

Die Formel für den gesamten Flächeninhalt eines Kreises lautet

Kreisausschnitt Formel Flächeninhalt Kreis StudySmarter

Die Formel für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts erweitert die oben genannte Formel für den Flächeninhalt des gesamten Kreis lediglich um den Faktor :

Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts lautet

Kreisausschnitt Formel Flächeninhalt Kreisausschnitt StudySmarter

Das liegt daran, dass durch den Faktor angegeben wird, welchen Anteil der Kreisausschnitt am Gesamtflächeninhalt des Kreises hat. gibt an, wie groß der Mittelpunktswinkel ist.

Der Mittelpunktswinkel ist derjenige Winkel, der zwischen den beiden Radien, die den Kreisausschnitt begrenzen, liegt.

Nimm an, der Mittelpunktswinkel von einem Kreisausschnitt beträgt 180°. Grafisch dargestellt sieht der Kreisausschnitt dann folgendermaßen aus:

Kreisausschnitt 180 Grad Erklärung StudySmarter

Abbildung 4: Kreisausschnitt mit halber Fläche des Gesamtkreises

Du siehst, dass der Kreisausschnitt bei einem Mittelpunktswinkel von genau die Hälfte des Kreises ausmacht. Dadurch ist der Flächeninhalt des Kreisausschnitts genau halb so groß wie der Flächeninhalt des gesamten Kreises.

Das wird in der Formel des Kreisausschnitts zum Ausdruck gebracht, indem der Mittelpunktswinkel in Relation zum 360°-Winkel gesetzt wird. Wenn du den Flächeninhalt für einen gesamten Kreis berechnen möchtest, dann beträgt der Mittelpunktswinkel = 360°. Da gilt , kannst du den Teil bei der Flächenberechnung eines ganzen Kreises weglassen.

Es folgt:

Das entspricht genau der Hälfte des Flächeninhalts des Gesamtkreises.

Nimm nun an, dass für den Mittelpunktswinkel des Kreisausschnitts gilt: .

Grafisch dargestellt sieht der Kreisausschnitt dieses Kreises folgendermaßen aus:

Kreisausschnitt Kreisausschnitt 90 Grad Erklärung StudySmarter

Abbildung 5: Kreisausschnitt mit einem Viertel der Fläche des Gesamtkreises

Du siehst, dass der Kreisausschnitt bei einem Mittelpunktswinkel von genau ein Viertel des Kreises ausmacht. Dadurch ist der Flächeninhalt des Kreisausschnitts genau ein Viertel so groß wie der Flächeninhalt des gesamten Kreises.

Das wird in der Formel des Kreisausschnitts zum Ausdruck gebracht, indem der Mittelpunktswinkel in Relation zum 360°-Winkel gesetzt wird. Wenn du den Flächeninhalt für einen gesamten Kreis berechnen möchtest, dann beträgt der Mittelpunktswinkel = 360°. Da gilt , kannst du den Teil bei der Flächenberechnung eines ganzen Kreises weglassen.

Es folgt:

Das entspricht genau einem Viertel des Flächeninhalts des Gesamtkreises.

Kreisausschnitt – Umfang berechnen

In diesem Abschnitt lernst du, wie du den Umfang eines Kreisausschnitts berechnen kannst. Dazu lernst du zunächst die allgemeine Formel für den Umfang eines Kreisausschnitts kennen und erfährst anschließend, wie du diese Formel nach dem Radius r und dem Kreisbogen b auflösen kannst.

Kreisausschnitt Umfang berechnen StudySmarter

Umfang eines Kreisausschnitts berechnen – Formel

Schau dir erstmal die genaue Definition des Umfangs eines Kreisausschnitts an!

Da es sich beim Kreisausschnitt um die Fläche handelt, die zwischen dem Kreisbogen und zwei Kreisradien liegt, lautet die Formel für den Umfang eines Kreisausschnitts folgendermaßen

Kreisausschnitt Kreisausschnitt Umfang berechnen Formel StudySmarter

Der Umfang eines Kreisausschnitts ist daher vom Radius r und dem Kreisbogen b des Kreises abhängig.

Für den Kreisbogen b gilt

Kreisausschnitt Kreisausschnitt Kreisbogen berechnen Formel StudySmarter

Der Umfang des Kreisausschnitts wird damit auch von der Größe des Mittelpunktswinkels beeinflusst.

Umfang eines Kreisausschnitts berechnen – Formel umstellen

Die Formel für den Umfang des Kreisausschnitts kann nach dem Radius r und dem Kreisbogen b aufgelöst werden. Wie das funktioniert, erfährst du jetzt.

Formel für den Umfang eines Kreisausschnitts nach dem Radius auflösen

Zuerst soll die Formel für den Umfang des Kreisausschnitts nach dem Radius r des Kreises aufgelöst werden.

Die Ausgangsformel für den Umfang des Kreisausschnitts sieht folgendermaßen aus:

Um die Formel nach dem Radius r aufzulösen, wird zunächst der Kreisbogen b auf beiden Seiten der Gleichung subtrahiert und anschließend die Gleichung durch 2 dividiert. Es folgt:

Für den Radius r eines Kreisausschnitts gilt

Kreisausschnitt Kreisausschnitt Formel umstellen Radius StudySmarter

Formel für den Umfang eines Kreisausschnitts nach dem Kreisbogen auflösen

Als Nächstes soll die Formel für den Umfang des Kreisausschnitts nach dem Kreisbogen b des Kreises aufgelöst werden.

Die Ausgangsformel für den Umfang des Kreissektors sieht wieder folgendermaßen aus:

Um die Formel nach dem Kreisbogen b aufzulösen, wird einfach nur auf beiden Seiten der Gleichung subtrahiert.

Es folgt:

Für den Kreisbogen b eines Kreisausschnittsgilt

Kreisausschnitt Kreisausschnitt Formel umstellen Kreisbogen Formel StudySmarter

Kreisausschnitt – Fläche berechnen

Kreisausschnitt Fläche berechnen StudySmarter

Nachdem du nun bereits gelernt hast, wie du den Umfang des Kreisausschnitts berechnen kannst, lernst du in diesem Abschnitt die Berechnung des Flächeninhalts des Kreisausschnitts. Auch in diesem Abschnitt wird so vorgegangen, dass du zunächst lernst, wie die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreisausschnitts lautet. Anschließend wird die Formel einzeln nach allen beinhalteten Variablen aufgelöst.

Fläche eines Kreisausschnitts berechnen – Formel

Schau dir zunächst die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreisausschnitts an! Der Mittelpunktswinkel ist dabei im Gradmaß angegeben!

Der Flächeninhalt eines Kreisausschnitts lautet

Kreisausschnitt Kreisausschnitt Flächeninhalt berechnen StudySmarter

Da für den Kreisbogen b eines Kreises gilt

,

lässt sich die Formel für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts vereinfachen!

Für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts gilt

Kreisausschnitt Kreisausschnitt Formel umstellen Flächeninhalt KreisausschnittStudySmarter

Je nachdem, welche Angaben dir zur Berechnung des Flächeninhalts des Kreisausschnitts zur Verfügung stehen, kannst du eine der beiden Formel zur Flächenberechnung des Kreisausschnitts auswählen.

Fläche eines Kreisausschnitts berechnen – Formel umstellen

Die Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreissektors lassen sich nach dem Radius r, dem Mittelpunktswinkel und dem Kreisbogen b auflösen.

Formel für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts nach dem Radius auflösen

Zuerst soll die Formel für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts nach dem Radius r des Kreises aufgelöst werden.

Die Ausgangsformel für den Flächeninhalt des Kreissektors sieht folgendermaßen aus:

Um die Formel nach dem Radius r aufzulösen, wird sie auf beiden Seiten durch die Kreiszahl und den Mittelpunktswinkel dividiert und anschließend mit multipliziert.

Es folgt:

Abschließend muss nur noch die Wurzel gezogen werden:

Der Radius r eines Kreisausschnitts ist wie folgt definiert

Kreisausschnitt Kreisausschnitt Formel umstellen Radius mit Fläche StudySmarter

Wird stattdessen die Formel als Ausgangsformel für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts verwendet, so resultiert nach Division durch den Kreisbogen b und Multiplikation mit dem Faktor 2:

Eine alternative Formel für den Radius r eines Kreisausschnitts lautet

Kreisausschnitt Kreisausschnitt Formel umstellen Radius mit Kreisbogen StudySmarter

Formel für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts nach dem Mittelpunktswinkel auflösen

Als Nächstes soll die Formel für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts nach dem Mittelpunktswinkel des Kreisausschnitts aufgelöst werden.

Die Ausgangsformel sieht erneut folgendermaßen aus:

Um die Formel nach dem Mittelpunktswinkel des Kreissektors aufzulösen, wird sie auf beiden Seiten mit dem Faktor multipliziert und anschließend durch dividiert.

Das Ergebnis ist:

Der Mittelpunktswinkel eines Kreisausschnitts berechnet sich aus

Kreisausschnitt Kreisausschnitt Formel umstellen StudySmarter

Formel für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts nach dem Kreisbogen auflösen

Abschließend muss die Formel für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts nur noch nach dem Kreisbogen b aufgelöst werden.

Dafür wird die folgende Ausgangsformel verwendet:

Nach einer Multiplikation der Gleichung mit 2 und Division durch den Radius r folgt für den Kreisbogen b:

Für den Kreisbogen b eines Kreisausschnitts gilt damit auch

Kreisausschnitt Kreisausschnitt Formel umstellen Kreisbogen mit Fläche StudySmarter

Kreisausschnitt – Übungsaufgaben

Kreisausschnitt Übungsaufgaben StudySmarter

Super! Du hast jetzt alles, was du über den Kreisausschnitt wissen musst, gelernt!

In den drei abschließenden Übungsaufgaben kannst du nun dein Wissen zum Thema Kreisausschnitt überprüfen.

Aufgabe 1

Berechne den Umfang des Kreisausschnitts eines Kreises, wenn für den Kreisbogen b und den Radius r des Kreissektors gilt:

Lösung

Die Formel für den Umfang des Kreisausschnitts lautet:

Nach Einsetzen der Werte für den Radius und den Kreisbogen resultiert:

Der Umfang des Kreisausschnitts beträgt daher 26 cm.

Aufgabe 2

Berechne den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts, wenn für den Radius r und den Mittelpunktswinkel des Kreissektors gilt:

Lösung

Die Formel für die Fläche des Kreisausschnitts lautet:

Nach Einsetzen der Werte für den Radius und den Mittelpunktswinkel resultiert:

Die Fläche des Kreisausschnitts ist etwa groß.

Aufgabe 3

Berechne die Länge des Kreisbogens b, wenn für die Fläche des Kreisausschnitts und den Radius des dazugehörigen Kreises gilt:

Lösung

Die nach dem Kreisbogen aufgelöste Formel für die Fläche des Kreisausschnitts lautet:

Nach Einsetzen der Werte für den Flächeninhalt und den Radius resultiert:

Der Kreisbogen b des Kreissektors ist daher 8 cm lang.

Kreisausschnitt - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Der Kreisausschnitt ist in der Geometrie eine Teilfläche eines Kreises, der zwischen zwei Radien des Kreises und dem dazugehörigen Kreisbogen b liegt.
  • Der Kreisausschnitt wird auch Kreissektor genannt.
  • Der Kreisausschnitt bzw. Kreissektor muss vom Kreisabschnitt bzw. Kreissegment unterschieden werden.
  • Die Formel zur Berechnung des Umfangs des Kreisausschnitts lautet:
  • Die Formel zur Berechnung der Fläche des Kreisausschnitts lautet:

Kreisausschnitt

Man kann sowohl den Umfang, als auch den Flächeninhalt des Kreisausschnitts berechnen. 

Der Umfang des Kreisausschnitts wird berechnet, indem man den Kreisbogen b mit dem doppelten Radius addiert. 

Der Flächeninhalt eines Kreisausschnitts wird berechnet, indem man die Kreiszahl pi mit dem quadrierten Radius und dem Mittelpunktswinkel multipliziert und dieses Produkt anschließend durch 360° dividiert.

Die Bogenlänge berechnet man, indem man die Kreiszahl pi mit dem doppelten Radius des Kreises und dem Mittelpunktswinkel multipliziert und dieses Produkt anschließend durch 360° dividiert.

Der Flächeninhalt eines Kreisausschnitts wird berechnet, indem man die Kreiszahl pi mit dem quadrierten Radius und dem Mittelpunktswinkel multipliziert und dieses Produkt anschließend durch 360° dividiert.

Der Kreisausschnitt und der Kreisabschnitt sind Teilflächen eines Kreisfläche. Sie unterscheiden sich folgendermaßen:

Der Kreisausschnitt ist die Fläche zwischen den beiden Radien r und dem Kreisbogen b des Kreises. 

Der Kreisabschnitt ist die Fläche zwischen dem Kreisbogen b und der Kreissehne s des Kreises. 

Finales Kreisausschnitt Quiz

Frage

​Nenne einen anderen Namen für den Kreisausschnitt eines Kreises. 

Antwort anzeigen

Antwort

Der Kreisausschnitt kann auch Kreissektor genannt werden. 

Frage anzeigen

Frage

Gib die Formel für den Umfang eines Kreisausschnitts an. 

Antwort anzeigen

Antwort

 


Frage anzeigen

Frage

Zeichne den Kreisausschnitt eines Kreises mit beliebigem Radius, der einen 90°-Winkel zum Mittelpunktswinkel hat.


Antwort anzeigen

Antwort

Der Kreis mit seinem Kreisausschnitt kann zum Beispiel so aussehen:


Frage anzeigen

Frage

Gib die Formel für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts an.

Antwort anzeigen

Antwort

 


Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was ein Kreisausschnitt ist, indem du ihn mit einem Kuchenstück vergleichst.


Antwort anzeigen

Antwort

Angenommen, man hat einen runden Kuchen gebacken und ist gerade dabei das erste Stück des Kuchens anzuschneiden. 

Wenn man den Kuchen nun von oben betrachtet, entspricht der gesamte Kuchen einem Kreis und das geschnittene Kuchenstück dem Kreisausschnitt. 

Frage anzeigen

Frage

Vergleiche den Kreisausschnitt mit dem Kreisabschnitt

Antwort anzeigen

Antwort

Der Kreisausschnitt ist die Fläche zwischen zwei Radien und dem Kreisbogen b des Kreises. 

Der Kreisabschnitt ist die Fläche zwischen dem Kreisbogen b und der Kreissehne s des Kreises. 

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, auf welcher Formel die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Kreisausschnitts aufbaut.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Kreisausschnitt ist eine Teilfläche der Gesamtfläche des Kreises. Die Formel für die Fläche des Kreisausschnitts baut daher auf der Formel für den gesamten Flächeninhalt des Kreises auf


Die Formel für den gesamten Flächeninhalt eines Kreises lautet:  

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wann ein Kreisausschnitt entsteht. 


Antwort anzeigen

Antwort

Wenn die Punkte A und B auf der Kreislinie eines Kreises liegen, dann ist der Kreisausschnitt bzw. Kreissektor genau die Fläche, die von den beiden Radien, die durch den Punkt A bzw. Punkt B und den Mittelpunkt M verlaufen, und dem Kreisbogen b zwischen den Punkten A und B begrenzt wird.

Frage anzeigen

Frage

 

Bestimme den Umfang des Kreisausschnitts, wenn für den Radius r und den Kreisbogen b des Kreisausschnitts gilt:





Antwort anzeigen

Antwort


Der Umfang des Kreisausschnitts beträgt 35 cm. 

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts, wenn für den Radius r und den Kreisbogen b des Kreisausschnitts gilt:



Antwort anzeigen

Antwort


Die Fläche ist daher  groß.

Frage anzeigen

Frage

Fasse die wichtigsten Informationen zum Kreisausschnitt kurz zusammen.

Antwort anzeigen

Antwort


  • Der Kreisausschnitt ist in der Geometrie eine Teilfläche eines Kreises, der zwischen zwei Radien des Kreises und dem dazugehörigen Kreisbogen b liegt. 
  • Der Kreisausschnitt wird auch Kreissektor genannt. 
  • Der Kreisausschnitt muss vom Kreisabschnitt unterschieden werden. 
  •  Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Kreisausschnitts lautet:
  •  Die Formel zur Berechnung des Umfangs des Kreisausschnitts lautet:


Frage anzeigen

Frage

Fasse die Formel für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts so zusammen, dass sie nur die Variablen r und b beinhaltet:




Antwort anzeigen

Antwort

 


Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob ein Kreisausschnitt größer sein kann als der Gesamtkreis

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, der Kreisausschnitt kann nicht größer sein als sein Ausgangskreis. 

Der Kreisausschnitt ist eine Teilfläche der Gesamtfläche des Kreises und damit höchstens so groß wie der Kreis selbst

Frage anzeigen

Frage

Werte aus, ob der Radius eines Kreises wirklich 3 cm lang ist, wenn für den Umfang und den Kreisbogen des dazugehörigen Kreisausschnitt gilt:






Antwort anzeigen

Antwort


 

Nein, der Radius ist eigentlich nur 2 cm lang. 

Frage anzeigen

Frage

Bewerte, ob es sich bei der Fläche zwischen dem Kreisbogen b und der Kreissehne s des Kreises um den Kreisausschnitt des Kreises handelt. 


Antwort anzeigen

Antwort

Nein, es handelt sich um den Kreisabschnitt des Kreises. 

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