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Wann sind Vektoren linear unabhängig?
Lineare Unabhängigkeit liegt genau dann vor, wenn kein Vektor ein Vielfaches eines anderen Vektors von n Vektoren ist und egal wie man die anderen Vektoren miteinander kombiniert, keiner dieser n Vektoren lässt sich durch eine Linearkombination der Anderen erzeugen.
Etwas komplizierter gesagt:
Wenn du den Nullvektor einzig und allein durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen kannst, dann sind diese n Vektoren linear unabhängig.
Die Koeffizienten 
müssen dabei alle gleich 0 sein.
Und wie kannst du jetzt die lineare Unabhängigkeit feststellen?
Du kannst die lineare Unabhängigkeit von 2 bzw. 3 Vektoren mithilfe der Determinante feststellen. Falls die Determinante nicht null ist, dann sind diese 2 bzw. 3 Vektoren linear unabhängig.
Das klingt doch gar nicht so schwer! ☺
Wie das funktioniert, zeigen wir dir in den folgenden Beispielen!
Beispielaufgabe 1: lineare Unabhängigkeit von 2 Vektoren
Aufgabe:
Weise nach, dass die beiden Vektoren 
und 
linear unabhängig sind.
Lösung:
Hierfür berechnen wir die Determinante der beiden Vektoren:
Da die Determinante ≠ 0 ist, haben wir die lineare Unabhängigkeit nachgewiesen.
Beispielaufgabe 2: lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren
Aufgabe:
Weise nach, dass die drei Vektoren 
unabhängig sind.
Lösung:
Hierfür berechnen wir die Determinante der drei Vektoren:
Da die Determinante ≠ 0 ist, haben wir die lineare Unabhängigkeit nachgewiesen.
Wäre die Determinante = 0 , wären die Vektoren linear abhängig.
Lineare Unabhängigkeit - Alles Wichtige auf einen Blick
- n Vektoren sind linear unabhängig, wenn kein Vektor ein Vielfaches eines anderen Vektors ist und sich kein Vektor durch eine Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt.
- Du kannst die lineare Unabhängigkeit von 2 Vektoren in
bzw. 3 Vektoren in 
prüfen, indem du die Determinante bildest. - Wenn diese ≠ 0 ist, dann sind die Vektoren linear unabhängig.
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