Lineare Unabhängigkeit

Stochastik

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Vektoren können sowohl linear abhängig, als auch linear unabhängig sein. Was das bedeutet, erfährst du in diesem Artikel.

Wann sind Vektoren linear unabhängig?

Lineare Unabhängigkeit liegt genau dann vor, wenn kein Vektor ein Vielfaches eines anderen Vektors von n Vektoren ist und egal wie man die anderen Vektoren miteinander kombiniert, keiner dieser n Vektoren lässt sich durch eine Linearkombination der Anderen erzeugen.

Etwas komplizierter gesagt:

Wenn du den Nullvektor einzig und allein durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen kannst, dann sind diese n Vektoren linear unabhängig.

Die Koeffizienten müssen dabei alle gleich 0 sein.

Und wie kannst du jetzt die lineare Unabhängigkeit feststellen?

Du kannst die lineare Unabhängigkeit von 2 bzw. 3 Vektoren mithilfe der Determinante feststellen. Falls die Determinante nicht null ist, dann sind diese 2 bzw. 3 Vektoren linear unabhängig.

Das klingt doch gar nicht so schwer! ☺

Wie das funktioniert, zeigen wir dir in den folgenden Beispielen!

Beispielaufgabe 1: lineare Unabhängigkeit von 2 Vektoren

Aufgabe:

Weise nach, dass die beiden Vektoren und linear unabhängig sind.

Lösung:

Hierfür berechnen wir die Determinante der beiden Vektoren:

Da die Determinante ≠ 0 ist, haben wir die lineare Unabhängigkeit nachgewiesen.

Beispielaufgabe 2: lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren

Aufgabe:

Weise nach, dass die drei Vektoren unabhängig sind.

Lösung:

Hierfür berechnen wir die Determinante der drei Vektoren:

Da die Determinante ≠ 0 ist, haben wir die lineare Unabhängigkeit nachgewiesen.

Wäre die Determinante = 0 , wären die Vektoren linear abhängig.

Lineare Unabhängigkeit - Alles Wichtige auf einen Blick

n Vektoren sind linear unabhängig, wenn kein Vektor ein Vielfaches eines anderen Vektors ist und sich kein Vektor durch eine Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt.

Du kannst die lineare Unabhängigkeit von 2 Vektoren in bzw. 3 Vektoren in prüfen, indem du die Determinante bildest.
Wenn diese ≠ 0 ist, dann sind die Vektoren linear unabhängig.