Wie findet man den Umkreis eines Dreiecks?

Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten. Von dort zeichnest Du einen Kreis durch die Eckpunkte des Dreiecks und erhältst den Umkreis des Dreiecks.

Wie konstruiert man den Umkreis eines Dreiecks?

Als erstes musst Du die Mittelsenkrechten der Seiten konstruieren. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist der Umkreismittelpunkt. Um diesen zeichnest Du einen Kreis durch die Eckpunkte des Dreiecks.

Wie findet man den Umkreismittelpunkt?

Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten. Diese musst Du konstruieren, um den Mittelpunkt zu erhalten.

Wo liegt der Umkreismittelpunkt bei einem rechtwinkligen Dreieck?

Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der längste Seite des Dreiecks. Die längste Seite liegt immer dem rechtwinkligen Winkel gegenüber.

Wie definieren sich Mittelsenkrechten?

Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft.

Umkreis Dreieck: Konstruktion, Formel & Berechnen

Umkreis Dreieck

Dreiecke haben viele Eigenschaften und können mit vielen anderen Figuren der Geometrie verbunden werden. Eine Verbindung von Dreieck und Kreis sind die Kreise eines Dreiecks, welche gleichzeitig auch besondere Eigenschaften haben. In diesem Artikel soll es jedoch nur um einen dieser Kreise gehen, um genauer zu sein den Umkreis eines Dreiecks.

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Umkreis Dreieck – Grundlagenwissen

Um den Umkreis eines Dreiecks zu berechnen und zu konstruieren, benötigst Du allgemeines Wissen über die beiden wichtigen Figuren der Geometrie, den Kreis und das Dreieck.

Mehr zu diesen geometrischen Figuren erfährst Du in den Erklärungen "Dreieck" und "Kreis".

Dreieck

Ein Dreieck hat drei Ecken, welche durch drei Strecken miteinander verbunden werden.

Das Dreieck ABC ist eine geometrische Figur, bei welcher drei Punkte verbunden werden. Die drei Punkte dürfen dabei nicht auf einer Geraden liegen. Die Verbindungsstrecken zwischen den Punkten heißen Dreiecksseiten a, b und c.

Umkreis Dreieck Dreieck StudySmarter Abbildung 1: Dreieck

Die Verbindungsstrecken werden nach dem gegenüberliegendem Eckpunkt benannt.

Kreis

Als Kreis wird eine runde Linie verstanden, wobei diese Linie an jedem Punkt denselben Abstand zu dem Kreismittelpunkt hat, welcher nicht auf der Linie liegt.

Die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, heißt Kreis. Dieser hat den Mittelpunkt M und den Radius r. Der Mittelpunkt M ist dabei kein Punkt des Kreises.

Umkreis Dreieck Kreis StudySmarter Abbildung 2: Kreis

Die doppelte Länge des Radius wird Durchmesser genannt und ist die maximale Entfernung zweier Punkte auf einem Kreis.

Umkreis Dreieck – Erklärung

Der Umkreis ist ein Kreis um das Dreieck.

Der Umkreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis U, welcher durch alle drei Eckpunkte verläuft.

Sein Mittelpunkt M ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten m_a, m_b und m_c der Dreiecksseiten a, b und c.

Die Mittelsenkrechten sind Geraden, welche senkrecht auf einer Strecke stehen und durch den Mittelpunkt der Strecke verlaufen.

Der Umkreismittelpunkt hat zu jedem Eckpunkt des Dreiecks denselben Abstand. Der Abstand zwischen dem Umkreismittelpunkt und den Eckpunkten ist der Umkreisradius.

Umkreis Dreieck Umkreis Dreieck StudySmarter Abbildung 3: Umkreis Dreieck

Umkreise verschiedener Dreiecke

Da verschiedene Dreiecksarten existieren, sehen Umkreis nicht immer gleich aus. Wo die Umkreismittelpunkte liegen, ist abhängig von den Winkeln des Dreiecks.

Umkreis – spitzwinkliges Dreieck

Wenn ein Dreieck spitzwinklig ist, so liegt der Umkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks.

Ein Dreieck ist spitzwinklig, wenn für alle Winkel des Dreiecks gilt: 0°<α <90°.

Umkreis Dreieck Umkreis Dreieck StudySmarter Abbildung 4: Umkreis spitzwinkliges Dreieck

Umkreis – stumpfwinkliges Dreieck

Wenn ein Dreieck stumpfwinklig ist, so liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.

Ein Dreieck ist stumpfwinklig, wenn für einen Winkel α gilt: 90°<α<180°.

Umkreis Dreieck Umkreis stumpfwinkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 5: stumpfwinkliges Dreieck

Umkreis – rechtwinkliges Dreieck

Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so liegt der Umkreismittelpunkt auf der längsten Seite des Dreiecks. Diese liegt dem rechten Winkel gegenüber. Der Mittelpunkt bildet in diesem Fall nicht nur den Mittelpunkt des Umkreises U, sondern ist gleichzeitig auch Mittelpunkt der Hypotenuse.

Umkreis Dreieck Umkreis rechtwinkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 6: rechtwinkliges Dreieck

Umkreis Dreieck berechnen

Den Radius kannst Du natürlich messen. Dafür nimmst Du ein Lineal oder Geodreieck und legst es bei null an den Umkreismittelpunkt und misst bis zu einem Eckpunkt. Hierfür musst Du das Dreieck und den Umkreis vorher gezeichnet haben. Stattdessen kannst Du den Radius auch berechnen ohne zeichnen zu müssen. Zwei Formel gibt es zur Berechnung des Umkreisradius.

Du kannst den Radius mithilfe der Winkel des Dreiecks berechnen.

$r = \frac{a}{2 \cdot \sin (α)} = \frac{b}{2 \cdot \sin (β)} = \frac{c}{2 \cdot \sin (γ)}$

Dabei sind $α, β, γ$ die Winkel des Dreiecks und $a, b, c$ die Seiten des Dreiecks. Wenn Du diesen Wert mit zwei dividierst, erhältst Du den Radius des Kreises.

Du kannst den Radius mithilfe des Flächeninhalts des Dreiecks berechnen.

$r = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot A_{△}}$

Dabei sind $a, b, c$ die Dreiecksseiten und $A$ der Flächeninhalt des Dreiecks.

Mit diesen Formeln kannst Du auch die Seitenlängen, Winkel oder den Flächeninhalt von einem Dreieck bestimmen.

Aufgabe 1

Berechne den Radius des Umkreises des Dreiecks mit den Seitenlängen $a = 6 c m$ und $c = 7 c m$ . Die Winkel sind $α = 58, 7 °$ und $β = 34, 8 °$ groß. Ermittle anschließend die dritte Dreiecksseite.

Lösung

Als Erstes setzt Du die Werte in die Gleichung ein. Sinnvoll ist es, den Teil der Gleichung zu nutzen, für welche Du bereits alle Werte gegeben hast.

$r = \frac{a}{2 \cdot \sin (α)} r = \frac{6}{2 \cdot \sin (58, 7 °)}$

Berechne nun den Radius.

Denke daran Deinen Taschenrechner richtig einzustellen.

$r = \frac{6}{2 \cdot \sin (58, 7 °)} r = 3, 51 c m$

Jetzt berechnest Du die fehlende Dreiecksseite b. Dafür stellst Du die Gleichung nach b um.

$\begin{array}{rrlc} \frac{a}{2 \cdot \sin (α)} & = & \frac{b}{2 \cdot \sin (β)} & | \cdot 2 \cdot \sin (β) \\ b & = & \frac{a}{2 \cdot \sin (α)} \cdot 2 \cdot \sin (β) \\ b & = & \frac{a \cdot \sin (β)}{\sin (α)} \end{array}$

Setze die Werte ein und berechne b.

$b = \frac{a \cdot \sin (β)}{\sin (α)} b = \frac{6 \cdot \sin (34, 8 °)}{\sin (58, 7 °)} b = 4 c m$

Der Radius des Umkreises beträgt $3, 51 c m$ und die fehlende Seite b ist $4 c m$ lang.

Konstruktion – Umkreis Dreieck

Für die Konstruktion des Umkreises eines Dreiecks benötigst Du ein Lineal und einen Zirkel.

Beschreibung	Konstruktionsschritte
Zuerst brauchst Du ein Dreieck. Wenn Du keins vorgegeben hast, dann zeichne Dir ein beliebiges Dreieck und beschrifte es.	Abbildung 7: Umkreiskonstruktion
Schritt 1:Als Nächstes konstruierst Du alle drei Mittelsenkrechten m_a, m_b und m_cder Dreiecksseiten a, b und c. Ließ im Artikel Mittelsenkrechte konstruieren nach, wenn Du nicht mehr weißt, wie man diese konstruiert.	Abbildung 8: Umkreiskonstruktion
Schritt 2:Du bestimmst jetzt den Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten.	Abbildung 9: Umkreiskonstruktion
Schritt 3:Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten und der Radius des Umkreises ist der Abstand vom Umkreismittelpunkt und einem Eckpunkt des Dreiecks. Mit diesen Angaben kannst Du nun den Umkreis U konstruieren.	Abbildung 10: Umkreiskonstruktion

Zusammenhang zwischen Umkreis und Inkreis

Ein besonderes Dreieck ist das gleichseitige Dreieck. Bei diesem Dreieck ist der Umkreismittelpunkt gleichzeitig auch der Inkreismittelpunkt. Die Mittelsenkrechten der Seiten sind gleich der Winkelhalbierenden der Ecken.

Umkreis Dreieck Umkreis, Inkreis gleichseitiges Dreieck StudySmarter Abbildung 11: Umkreis, Inkreis gleichseitiges Dreieck

Für dieses Dreieck gilt:

Bei einem gleichseitigen Dreieck ist der Radius des Inkreises halb so groß wie der Radius des Umkreises. Die Radien stehen im Verhältnis 1 zu 2 zueinander.

Einen Zusammenhang zwischen Inkreis und Umkreis stellt der Satz von Carnot in jedem Dreieck dar.

Satz von Carnot

Der Satz von Carnot beschäftigt sich mit dem allgemeinen Verhältnis zwischen Inkreisradius und Umkreisradius.

Der Umkreismittelpunkt M und dessen Abstand zu den Mittelpunkten der Seiten ergeben addiert die Summe des Radius des Umkreises und Inkreises.

Es gilt:

$\bar{O M} + \bar{P M} + \bar{Q M} = r_{U} + r_{I}$

In spitzwinkligen Dreiecken darfst Du den Satz so anwenden, ohne die Formel anpassen zu müssen.

Umkreis Dreieck spitzwinkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 12: spitzwinkliges Dreieck

Für das rechtwinklige Dreieck gilt $P = M$ . Dementsprechend kannst Du die Formel vereinfachen zu $\bar{O M} + \bar{Q M} = r_{U} + r_{I}$ .

Umkreis Dreieck rechtwinkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 13: rechtwinkliges Dreieck

Das stumpfwinklige Dreieck ist ein Sonderfall. Für dieses Dreieck rechnest Du $\bar{O M} - \bar{P M} + \bar{Q M} = r_{U} + r_{I}$ statt $\bar{O M} + \bar{P M} + \bar{Q M} = r_{U} + r_{I}$ . Du subtrahierst, da der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.

Umkreis Dreieck stumpfwinkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 14: stumpfwinkliges Dreieck

Aufgabe 2

Berechne mithilfe des Satzes von Carnot den Radius des Umkreises von einem spitzwinkligem Dreieck. Gegeben sind Dir die Strecken $\bar{O M} = 1 c m$ , $\bar{P M} = 1, 58 c m$ und $\bar{Q M} = 0, 71 c m$ sowie der Radius des Inkreises .

Lösung

Als Erstes stellst Du die Formel nach $r_{U}$ um.

$\begin{array}{rclc} r_{U} + r_{I} & = & \bar{O M} + \bar{P M} + \bar{Q M} & | - r_{I} \\ r_{U} & = & \bar{O M} + \bar{P M} + \bar{Q M} - r_{I} \end{array}$

Jetzt setzt Du alle Werte ein.

$r_{U} = 1 + 1, 58 + 0, 71 - \sqrt{1, 1}$

Zum Schluss berechnest Du noch $r_{U}$ .

id="2811396" role="math" $r_{U} = 1 + 1, 58 + 0, 71 - \sqrt{1, 1} r_{U} \approx 2, 24 c m$

Der Radius des Umkreises beträgt rund $2, 24 c m$ .

Umkreis Dreieck Übungsaufgaben

Hier kannst Du Dein Wissen testen.

Aufgabe 3

Berechne den Radius des Dreiecks mit den Seitenlängen $a = 3 c m$ , $b = 4, 19 c m$ und $c = 5 c m$ sowie dem Flächeninhalt $A = 6, 28 c m^{2}$ .

Lösung

Als Erstes setzt Du die gegebenen Werte in die Gleichung ein.

$r = \frac{a b c}{4 A} r = \frac{3 \cdot 4, 19 \cdot 5}{4 \cdot 6, 28}$

Jetzt berechnest Du den Radius.

$r = \frac{3 \cdot 4, 19 \cdot 5}{4 \cdot 6, 28} r = 2, 5 c m$

Der Radius des Umkreises ist $2, 5 c m$ lang.

Aufgabe 4

Ein gleichseitiges Dreieck hat einen Inkreisradius von $5 c m$ . Berechne den Umkreisradius und anschließend die Länge der Seiten.

Lösung

In einem gleichseitigen Dreieck ist der Inkreisradius r_I halb so groß wie der Umkreisradius r_U. Du verdoppelst den Inkreisradius und erhältst den Umkreisradius.

Dieser Zusammenhang gilt NUR im gleichseitigen Dreieck.

$r_{U} = 2 \cdot r_{I} r_{U} = 2 \cdot 5 r_{U} = 10 c m$

Der Umkreisradius beträgt $10 c m$ .

Als Nächstes berechnest Du die Seitenlängen des Dreiecks.

In jedem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel 60° groß und alle Seiten sind gleichlang.

Zuerst stellst Du die Formel nach einer Seitenlänge um, da alle Seiten gleich lang sind, ist es egal nach welcher Seite Du umstellst.

$\begin{matrix} r & = & \frac{a}{2 \cdot \sin (α)} & | \cdot (2 \cdot \sin (α)) \\ a & = & r \cdot 2 \cdot \sin (α) \end{matrix}$

Jetzt setzt Du die Werte für das Dreieck ein.

$\begin{array}{ccl} a & = & r \cdot 2 \cdot \sin (α) \\ a & = & 10 \cdot 2 \cdot \sin (60 °) \end{array}$

Zum Schluss berechnest Du die Seite.

$\begin{array}{ccl} a & = & 10 \cdot 2 \cdot \sin (60 °) \\ a & = & 17, 32 c m \end{array}$

Die Seiten des Dreiecks sind $17, 32 c m$ lang.

Umkreis Dreieck - Das Wichtigste

Der Umkreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis U, welcher durch alle drei Eckpunkte verläuft. Sein Mittelpunkt M ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten $m_{a}$ , $m_{b}$ und $m_{c}$ der Dreiecksseiten a, b und c. Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft.
Die Lage des Umkreismittelpunkts ist abhängig von den Winkeln des Dreiecks:
- Wenn ein Dreieck spitzwinklig ist, so liegt der Umkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks.
- Wenn ein Dreieck stumpfwinklig ist, so liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.
- Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so liegt der Umkreismittelpunkt auf der längsten Seite des Dreiecks. Diese liegt dem rechten Winkel gegenüber.
Mit der Formel $r = \frac{a}{2 \cdot \sin (α)} = \frac{b}{2 \cdot \sin (β)} = \frac{c}{2 \cdot \sin (γ)}$ kannst Du den Radius eines Umkreises und nicht gegebene Winkel und Seiten berechnen.
Mit der Formel $r = \frac{a b c}{4 A}$ kannst Du den Radius eines Umkreises berechnen.

Nachweise

Kürpig; Niewiadomski (1992). Grundlehre Geometrie : Begriffe, Lehrsätze, Grundkonstruktionen. Vieweg Braunschweig.

Umkreis Dreieck

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