Dreiecke haben viele Eigenschaften und können mit vielen anderen Figuren der Geometrie verbunden werden. Eine Verbindung von Dreieck und Kreis sind die Kreise eines Dreiecks, welche gleichzeitig auch besondere Eigenschaften haben. In diesem Artikel soll es jedoch nur um einen dieser Kreise gehen, um genauer zu sein den Umkreis eines Dreiecks.
Umkreis Dreieck – Grundlagenwissen
Um den Umkreis eines Dreiecks zu berechnen und zu konstruieren, benötigst Du allgemeines Wissen über die beiden wichtigen Figuren der Geometrie, den Kreis und das Dreieck.
Mehr zu diesen geometrischen Figuren erfährst Du in den Erklärungen "Dreieck" und "Kreis".
Dreieck
Ein Dreieck hat drei Ecken, welche durch drei Strecken miteinander verbunden werden.
Das Dreieck ABC ist eine geometrische Figur, bei welcher drei Punkte verbunden werden. Die drei Punkte dürfen dabei nicht auf einer Geraden liegen. Die Verbindungsstrecken zwischen den Punkten heißen Dreiecksseiten a, b und c.
Abbildung 1: Dreieck
Die Verbindungsstrecken werden nach dem gegenüberliegendem Eckpunkt benannt.
Kreis
Als Kreis wird eine runde Linie verstanden, wobei diese Linie an jedem Punkt denselben Abstand zu dem Kreismittelpunkt hat, welcher nicht auf der Linie liegt.
Die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, heißt Kreis. Dieser hat den Mittelpunkt M und den Radius r. Der Mittelpunkt M ist dabei kein Punkt des Kreises.
Abbildung 2: Kreis
Die doppelte Länge des Radius wird Durchmesser genannt und ist die maximale Entfernung zweier Punkte auf einem Kreis.
Umkreis Dreieck – Erklärung
Der Umkreis ist ein Kreis um das Dreieck.
Der Umkreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis U, welcher durch alle drei Eckpunkte verläuft.
Sein Mittelpunkt M ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten ma, mb und mc der Dreiecksseiten a, b und c.
Die Mittelsenkrechten sind Geraden, welche senkrecht auf einer Strecke stehen und durch den Mittelpunkt der Strecke verlaufen.
Der Umkreismittelpunkt hat zu jedem Eckpunkt des Dreiecks denselben Abstand. Der Abstand zwischen dem Umkreismittelpunkt und den Eckpunkten ist der Umkreisradius.
Abbildung 3: Umkreis Dreieck
Umkreise verschiedener Dreiecke
Da verschiedene Dreiecksarten existieren, sehen Umkreis nicht immer gleich aus. Wo die Umkreismittelpunkte liegen, ist abhängig von den Winkeln des Dreiecks.
Umkreis – spitzwinkliges Dreieck
Wenn ein Dreieck spitzwinklig ist, so liegt der Umkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks.
Ein Dreieck ist spitzwinklig, wenn für alle Winkel des Dreiecks gilt: 0°<α <90°.
Abbildung 4: Umkreis spitzwinkliges Dreieck
Umkreis – stumpfwinkliges Dreieck
Wenn ein Dreieck stumpfwinklig ist, so liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.
Ein Dreieck ist stumpfwinklig, wenn für einen Winkel α gilt: 90°<α<180°.
Abbildung 5: stumpfwinkliges Dreieck
Umkreis – rechtwinkliges Dreieck
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so liegt der Umkreismittelpunkt auf der längsten Seite des Dreiecks. Diese liegt dem rechten Winkel gegenüber. Der Mittelpunkt bildet in diesem Fall nicht nur den Mittelpunkt des Umkreises U, sondern ist gleichzeitig auch Mittelpunkt der Hypotenuse.
Abbildung 6: rechtwinkliges Dreieck
Umkreis Dreieck berechnen
Den Radius kannst Du natürlich messen. Dafür nimmst Du ein Lineal oder Geodreieck und legst es bei null an den Umkreismittelpunkt und misst bis zu einem Eckpunkt. Hierfür musst Du das Dreieck und den Umkreis vorher gezeichnet haben. Stattdessen kannst Du den Radius auch berechnen ohne zeichnen zu müssen. Zwei Formel gibt es zur Berechnung des Umkreisradius.
Du kannst den Radius mithilfe der Winkel des Dreiecks berechnen.
Dabei sind die Winkel des Dreiecks und die Seiten des Dreiecks. Wenn Du diesen Wert mit zwei dividierst, erhältst Du den Radius des Kreises.
Du kannst den Radius mithilfe des Flächeninhalts des Dreiecks berechnen.
Dabei sind die Dreiecksseiten und der Flächeninhalt des Dreiecks.
Mit diesen Formeln kannst Du auch die Seitenlängen, Winkel oder den Flächeninhalt von einem Dreieck bestimmen.
Aufgabe 1
Berechne den Radius des Umkreises des Dreiecks mit den Seitenlängen und . Die Winkel sind und groß. Ermittle anschließend die dritte Dreiecksseite.
Lösung
Als Erstes setzt Du die Werte in die Gleichung ein. Sinnvoll ist es, den Teil der Gleichung zu nutzen, für welche Du bereits alle Werte gegeben hast.
Berechne nun den Radius.
Denke daran Deinen Taschenrechner richtig einzustellen.
Jetzt berechnest Du die fehlende Dreiecksseite b. Dafür stellst Du die Gleichung nach b um.
Setze die Werte ein und berechne b.
Der Radius des Umkreises beträgt und die fehlende Seite b ist lang.
Konstruktion – Umkreis Dreieck
Für die Konstruktion des Umkreises eines Dreiecks benötigst Du ein Lineal und einen Zirkel.
| Beschreibung | Konstruktionsschritte |
| Zuerst brauchst Du ein Dreieck. Wenn Du keins vorgegeben hast, dann zeichne Dir ein beliebiges Dreieck und beschrifte es. |  Abbildung 7: Umkreiskonstruktion
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Schritt 1:Als Nächstes konstruierst Du alle drei Mittelsenkrechten ma, mb und mc der Dreiecksseiten a, b und c. Ließ im Artikel Mittelsenkrechte konstruieren nach, wenn Du nicht mehr weißt, wie man diese konstruiert. |  Abbildung 8: Umkreiskonstruktion
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| Schritt 2:Du bestimmst jetzt den Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten. |  Abbildung 9: Umkreiskonstruktion
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| Schritt 3:Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten und der Radius des Umkreises ist der Abstand vom Umkreismittelpunkt und einem Eckpunkt des Dreiecks. Mit diesen Angaben kannst Du nun den Umkreis U konstruieren. |  Abbildung 10: Umkreiskonstruktion
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Zusammenhang zwischen Umkreis und Inkreis
Ein besonderes Dreieck ist das gleichseitige Dreieck. Bei diesem Dreieck ist der Umkreismittelpunkt gleichzeitig auch der Inkreismittelpunkt. Die Mittelsenkrechten der Seiten sind gleich der Winkelhalbierenden der Ecken.
Abbildung 11: Umkreis, Inkreis gleichseitiges Dreieck
Für dieses Dreieck gilt:
Bei einem gleichseitigen Dreieck ist der Radius des Inkreises halb so groß wie der Radius des Umkreises. Die Radien stehen im Verhältnis 1 zu 2 zueinander.
Einen Zusammenhang zwischen Inkreis und Umkreis stellt der Satz von Carnot in jedem Dreieck dar.
Satz von Carnot
Der Satz von Carnot beschäftigt sich mit dem allgemeinen Verhältnis zwischen Inkreisradius und Umkreisradius.
Der Umkreismittelpunkt M und dessen Abstand zu den Mittelpunkten der Seiten ergeben addiert die Summe des Radius des Umkreises und Inkreises.
Es gilt:
In spitzwinkligen Dreiecken darfst Du den Satz so anwenden, ohne die Formel anpassen zu müssen.
Abbildung 12: spitzwinkliges Dreieck
Für das rechtwinklige Dreieck gilt . Dementsprechend kannst Du die Formel vereinfachen zu .
Abbildung 13: rechtwinkliges Dreieck
Das stumpfwinklige Dreieck ist ein Sonderfall. Für dieses Dreieck rechnest Du statt . Du subtrahierst, da der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.
Abbildung 14: stumpfwinkliges Dreieck
Aufgabe 2
Berechne mithilfe des Satzes von Carnot den Radius des Umkreises von einem spitzwinkligem Dreieck. Gegeben sind Dir die Strecken , und sowie der Radius des Inkreises .
Lösung
Als Erstes stellst Du die Formel nach um.
Jetzt setzt Du alle Werte ein.
Zum Schluss berechnest Du noch .
id="2811396" role="math"
Der Radius des Umkreises beträgt rund .
Umkreis Dreieck Übungsaufgaben
Hier kannst Du Dein Wissen testen.
Aufgabe 3
Berechne den Radius des Dreiecks mit den Seitenlängen , und sowie dem Flächeninhalt .
Lösung
Als Erstes setzt Du die gegebenen Werte in die Gleichung ein.
Jetzt berechnest Du den Radius.
Der Radius des Umkreises ist lang.
Aufgabe 4
Ein gleichseitiges Dreieck hat einen Inkreisradius von . Berechne den Umkreisradius und anschließend die Länge der Seiten.
Lösung
In einem gleichseitigen Dreieck ist der Inkreisradius rI halb so groß wie der Umkreisradius rU. Du verdoppelst den Inkreisradius und erhältst den Umkreisradius.
Dieser Zusammenhang gilt NUR im gleichseitigen Dreieck.
Der Umkreisradius beträgt .
Als Nächstes berechnest Du die Seitenlängen des Dreiecks.
In jedem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel 60° groß und alle Seiten sind gleichlang.
Zuerst stellst Du die Formel nach einer Seitenlänge um, da alle Seiten gleich lang sind, ist es egal nach welcher Seite Du umstellst.
Jetzt setzt Du die Werte für das Dreieck ein.
Zum Schluss berechnest Du die Seite.
Die Seiten des Dreiecks sind lang.
Umkreis Dreieck - Das Wichtigste
- Der Umkreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis U, welcher durch alle drei Eckpunkte verläuft. Sein Mittelpunkt M ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten , und der Dreiecksseiten a, b und c. Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft.
- Die Lage des Umkreismittelpunkts ist abhängig von den Winkeln des Dreiecks:
- Wenn ein Dreieck spitzwinklig ist, so liegt der Umkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks.
- Wenn ein Dreieck stumpfwinklig ist, so liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.
- Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so liegt der Umkreismittelpunkt auf der längsten Seite des Dreiecks. Diese liegt dem rechten Winkel gegenüber.
- Mit der Formel kannst Du den Radius eines Umkreises und nicht gegebene Winkel und Seiten berechnen.
- Mit der Formel kannst Du den Radius eines Umkreises berechnen.
Nachweise
- Kürpig; Niewiadomski (1992). Grundlehre Geometrie : Begriffe, Lehrsätze, Grundkonstruktionen. Vieweg Braunschweig.
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