In einer Stadt findet im Sommer eine Parade statt, die jedes Jahr in einer anderen geraden Straße startet. Um die nötigen Absperrungen am Straßenrand aufzustellen, muss das Planungskomitee genau wissen, wie breit die Straße ist, um die Zäune im gleichen Abstand zur Straßenmitte aufstellen zu können. Dabei hilft ihnen die Mathematik, genauer gesagt das Parallelenpaar.
Was genau das Parallelenpaar ist und wie Du es konstruierst, erfährst Du in dieser Erklärung. Dafür müssen zunächst noch einmal ein paar wichtige Basics angeschaut werden.
Parallelenpaar – Grundlagenwissen
Bevor Du Dich mit dem Thema Parallelenpaar vertraut machen kannst, gibt es hier ein paar Grundlagen der Mathematik, die für das Verständnis wichtig sind. Dazu gehören Geraden, Parallelen und Ortslinien.
Gerade einfach erklärt
Eine Gerade kannst Du Dir als eine Linie vorstellen, die keine Knicke oder Biegungen hat. Außerdem hat sie keinen Anfangs- oder Endpunkt.
Eine Gerade ist eine Linie, die auf beiden Seiten ins Unendliche reicht. Sie besitzt keinen Start- und Endpunkt.
In dieser Abbildung siehst Du, wie Geraden aussehen können.
Abbildung 1: Beispiele für Geraden
Mehr zu Geraden erfährst Du unter in der Erklärung Gerade..
Parallele Geraden – Definition
Parallelen sind ebenfalls Geraden. Diese haben eine besondere Lagebeziehung.
Parallele Geraden sind Geraden, die in jedem Punkt den gleichen Abstand besitzen. Das bedeutet, dass sie sich in keinem Punkt schneiden.
In der Mathematik wird das Zeichen || verwendet, um die Parallelität von zwei Geraden zu beschreiben.
Damit Du Dir vorstellen kannst, wie das aussieht, sind hier zwei Geraden eingezeichnet, die in jedem Punkt den gleichen Abstand besitzen. Es kann aber auch drei oder mehr Geraden geben, die alle zueinander parallel sind.
Abbildung 2: Parallele Geraden im Koordinatensystem
Es gibt noch mehr, was Du darüber herausfinden kannst. Dafür kannst Du Dir die Erklärung Parallele Geraden ansehen.
Der Straßenrand für die Parade besteht auch aus zwei parallelen Geraden. Das wird später für das Aufstellen der Absperrungen nützlich sein.
Geometrischer Ort – Definition
Unter einem geometrischen Ort kannst Du Dir vielleicht im Alltag etwas vorstellen, doch wie sieht ein geometrischer Ort in der Mathematik aus?
Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen.
Ein geometrischer Ort hat dabei oft die Form einer Linie oder Kurve, weshalb er auch Ortslinie oder Ortskurve genannt wird. Eine Eigenschaft kann dabei etwa sein, dass ein geometrischer Ort einen bestimmten Abstand zu etwas hat.
Wenn Du mehr über den geometrischen Ort im Allgemeinen erfahren möchtest, kannst Du in der Erklärung Geometrischer Ort nachsehen.
Du weißt nun (wieder), was parallele Geraden sind. Der Sprung zum Parallelenpaar ist jetzt nicht mehr weit. Was genau ist also ein Parallelenpaar?
Parallelenpaar Definition
Das Wort an sich beschreibt hier schon, was Du Dir unter einem Parallelenpaar vorstellen kannst. „Parallel“ – das sagt etwas über die Lagebeziehung aus. Das Wort „Paar“ beschreibt, dass es sich um genau zwei Geraden handelt.
Ein Parallelenpaar besteht aus zwei parallelen Geraden, die einen bestimmten Abstand zueinander haben.
In der folgenden Abbildung siehst Du zwei Parallelenpaare. Die Geraden f und g bilden ein Parallelenpaar. Die Geraden h und i bilden ein weiteres Parallelenpaar. Hier kannst Du erkennen, dass sich zwar unterschiedliche Parallelenpaare schneiden können, die einzelnen parallelen Geraden innerhalb eines Paares aber nicht.
Abbildung 3: Beispiele Parallelenpaar
Okay, ein Parallelenpaar ist also einfach ein Paar aus parallelen Geraden. So weit, so gut. Doch was hat das jetzt mit Ortslinien zu tun? Und wie soll das dabei helfen, die Zäune für die Parade aufzustellen? Das erfährst Du jetzt.
Ortslinien Parallelenpaar
Wie Du nun schon weißt, hat ein Parallelenpaar in allen Punkten den gleichen Abstand zueinander. Doch wie sieht das aus, wenn nur eine einzelne Gerade gegeben ist? Wo liegen ihre Ortslinien?
Ortslinien einer Geraden – Definition
Du hast es vielleicht schon vermutet: Ein Parallelenpaar ist ein besonderer geometrischer Ort. Doch was für einer?
Ein Parallelenpaar bildet die Ortslinie einer Geraden.
Die mathematische Definition eines Parallelenpaars lautet .
Was bedeutet das?
Stell Dir vor, Du hast eine Gerade g gegeben. In der Definition steht das für die Distanz, also den Abstand zwischen Punkt P und der Geraden g. Du sollst nun alle Punkte finden, die im Abstand , z. B. 3 cm, zu dieser Geraden liegen. Diese Punkte haben also alle die Eigenschaft, genau 3 cm von der Geraden entfernt zu sein und bilden somit eine Ortslinie auf beiden Seiten der Geraden g. Sie sind parallel zur Gerade g und zueinander.
Zur Veranschaulichung kannst Du Dir folgende Abbildung ansehen.
Abbildung 4: Ortslinien einer Gerade
Hier bilden und das Parallelenpaar, also die Ortslinien von g. Die Gerade g nennt sich dann Mittelparallele.
Jetzt ist bekannt, dass alle Punkte, die den Abstand 3 cm von der Geraden haben, auf dem Parallelenpaar liegen. Doch was ist mit den Punkten, die innerhalb oder außerhalb des Parallelenpaars liegen?
Abstand innerhalb des Parallelenpaars
Es kann sein, dass Du den Bereich der Punkte bestimmen sollst, deren Abstand zur Mittelparallele kleiner als ist. Dieser Bereich lässt sich anhand des Parallelenpaars beschreiben.
Alle Punkte, deren Abstand zur Geraden kleiner als ist, bilden den Bereich, der von beiden Parallelen eingeschlossen wird.
In dem grün gekennzeichneten Bereich liegen dann also alle Punkte, für die gilt.
Abbildung 5: Abstand innerhalb des Parallelenpaars
Abstand außerhalb des Parallelenpaars
Genau so kannst Du bestimmen, wo die Punkte liegen, deren Abstand zur Mittelparallele größer als ist.
Alle Punkte, deren Abstand zur Geraden größer als ist, bilden den Bereich, der außerhalb der beiden Parallelen liegt.
Alle Punkte, für die gilt, liegen außerhalb der Geraden im grün gekennzeichneten Bereich.
Abbildung 6: Abstand außerhalb des Parallelenpaars
Zurück zu dem Problem vom Anfang: Das Planungskomitee soll Absperrungen aufstellen, die vom Straßenmittelpunkt, also der gestrichelten Linie, genau 5 Meter entfernt sind. Da die Straße sehr gerade ist, kann die Straßenmitte mathematisch als eine Gerade interpretiert werden. Um nun auf einem Plan zu kennzeichnen, wo die Absperrungen stehen sollen, sollte das Komitee wissen, wie das passende Parallelenpaar mit dem Abstand 5 m konstruiert wird.
Parallelenpaar und Mittelparallele konstruieren – Anleitung
Nachdem Du nun weißt, was ein Parallelpaar ist, geht es jetzt darum, wie Du ein Parallelenpaar zu einer gegebenen Gerade konstruierst. Hier bekommst Du eine Schritt-für-Schritt-Anleitung.
Gegeben sei eine Gerade g wie in der folgenden Abbildung.
Abbildung 7: Ausgangsgerade Parallelenpaar konstruieren
1. Mittelsenkrechte konstruieren
Wenn Du ein Parallelenpaar zu einer Geraden konstruieren sollst, musst Du zunächst eine Mittelsenkrechte für Deine Gerade konstruieren. In dieser Tabelle ist kurz zusammengefasst, wie Du vorgehst. Für die Konstruktion benötigst Du einen Zirkel und ein Geodreieck.
| Konstruktionsbeschreibung | Konstruktionsbild |
| 1. Zeichne auf Deiner Gerade zwei beliebige Punkte A und B ein. |  Abbildung 8: Mittelsenkrechte konstruieren Schritt 1
|
| 2. Dann beginnst Du, mithilfe Deines Zirkels einen Kreis um Punkt A zu zeichnen. Zu beachten ist hierbei, dass der Radius des Kreises um Punkt A größer sein muss als die Hälfte der Strecke . |  Abbildung 9: Mittelsenkrechte konstruieren Schritt 2
|
| 3. Mit gleichem Radius ziehst Du dann einen Kreis um den Punkt B. |  Abbildung 10: Mittelsenkrechte konstruieren Schritt 3
|
| 4. Nun findest Du zwei Schnittpunkte und , an denen sich die Kreise schneiden. Du ziehst eine Gerade durch diese beiden Punkte und erhältst die Mittelsenkrechte. |  Abbildung 11: Mittelsenkrechte konstruieren Schritt 4
|
Wenn Du Weiteres über die Mittelsenkrechte erfahren möchtest, schau in der Geometrie unter Grundkonstruktionen vorbei. Dort wird genau erklärt, was die Mittelsenkrechte ist und wie sie konstruiert wird.
2. Abstand markieren
Markiere nun mithilfe des Geodreiecks oder Deines Zirkels den Abstand, den die Gerade zu den Parallelen haben soll. Wenn Du den Zirkel nutzt, setze die Spitze in den Schnittpunkt der Gerade und der Mittelsenkrechte und stelle den Radius auf den gesuchten Abstand ein. Die Punkte setzt Du genau auf der Mittelsenkrechten. In der Abbildung sind es die Punkte und .
Abbildung 12: Abstand des Parallelenpaars markieren
3. Parallelenpaar zeichnen
Mithilfe Deines Geodreiecks zeichnest Du nun jeweils eine senkrechte Gerade auf die Mittelsenkrechte, die durch Deine zwei Punkte und verläuft. So entsteht das Parallelenpaar, bestehend aus den Geraden und .
Abbildung 13: Parallelenpaar zeichnen
Alles zum Thema „senkrecht“ findest Du bei der Erklärung vom Lot.
Mittelparallele konstruieren
Wie weiter oben schon erwähnt, steht die Mittelparallele in direktem Zusammenhang mit dem Parallelenpaar. Sie ist ebenfalls ein geometrischer Ort und bildet die Ortslinie des Parallelenpaars. Auf ihr liegen alle Punkte, die den gleichen Abstand zu beiden Parallelen haben.
Nicht immer geht es in Aufgaben nur darum, ein Parallelenpaar zu einer gegebenen Gerade zu konstruieren. Manchmal sollst Du auch eine Mittelparallele zum gegebenen Parallelenpaar zeichnen. Doch wie geht das?
| Konstruktionsbeschreibung | Konstruktionsbild |
| 1. Gegeben ist das Parallelenpaar (g,h). Zeichne auf einer der Parallelen einen beliebigen Punkt P ein. |  Abbildung 14: Mittelparallele zeichnen
|
| 2. Fälle nun mithilfe des Geodreiecks das Lot durch den Punkt P auf die gewählte Gerade. Du erhältst einen SchnittpunktS mit der anderen Parallelen. |  Abbildung 14: Mittelparallele zeichnen
|
| 3. Konstruiere nun, ähnlich wie weiter oben beschrieben, die Mittelsenkrechtem zur Strecke . Diese bildet dann die Mittelparallele des Parallelenpaars. |  Abbildung 15: Mittelparallele zeichnen
|
Alle weiteren Informationen zur Mittelparallele sowie eine genaue Konstruktionsbeschreibung findest Du außerdem in der Erklärung der Mittelparallele.
Parallelenpaar – Aufgaben
Damit Du das soeben Gelernte auch direkt anwenden kannst, findest Du hier ein paar Aufgaben.
Aufgabe 1
Erinnerst Du Dich an die Situation mit der Parade? Jetzt bist Du gefragt! Hilf dem Planungskomitee dabei, den Plan für die Absperrungen zu erstellen. Zeichne dafür zunächst eine Gerade g. Diese wird die Mittelparallele und bildet den Straßenmittelpunkt. Die Straße ist genau 6 m breit und die Absperrungen sollen am Rand der Straße stehen.
a) Konstruiere das Parallelenpaar für den Aufstellplan im passenden Abstand.
b) Erkläre, mit welchem Abstand zur Straßenmitte die Paradeteilnehmenden maximal laufen können und warum.
c) Beschreibe, wie nah die Zuschauenden an die Straßenmitte herankommen und weshalb das so ist.
Lösung:
a) Du kannst für die 6 m Breite in Deinem Heft z. B. 6 cm wählen, also einen Maßstab von 1:100. Dann sollte Deine Zeichnung ungefähr so aussehen:
Abbildung 17: Lösung Aufgabe 1 a)
b) Die Teilnehmenden der Parade können nur innerhalb der Absperrung laufen, also innerhalb des Parallelenpaars. Dieses ist 3 Meter von der Mittelparallele entfernt. Das heißt, sie laufen maximal 3 Meter vom Straßenmittelpunkt entfernt. Du kannst es mathematisch so ausdrücken: Wenn der Punkt T für einen Teilnehmer oder eine beliebige Teilnehmerin steht, dann gilt .
c) Die Zuschauenden dürfen sich nur außerhalb der Absperrung aufhalten. Sie können also nur mehr als 3 Meter von der Straßenmitte entfernt stehen. Wenn der Punkt Z für einen beliebigen Zuschauer oder eine beliebige Zuschauerin steht, dann kannst Du es mathematisch so ausdrücken: .
Aufgabe 2
Konstruiere ein Parallelenpaar zur Gerade g. Diese Gerade solltest Du schräg in Dein Heft zeichnen. Sie soll nicht parallel zu den Kästchen liegen.
Lösung
Deine Zeichnung sollte in etwa so aussehen:
Abbildung 18: Lösung Aufgabe 2
Aufgabe 3
Im Alltag kannst Du überall Parallelenpaare finden. Wenn Du Dir etwa Bahngleise anschaust, merkst Du, dass diese immer den gleichen Abstand zueinander haben.
Auf der folgenden Abbildung siehst Du den Bauplan für ein Bahngleis. Zeichne das zweite Bahngleis dazu, indem Du zunächst das erste in Dein Heft überträgst. Die Rollen des Zuges, die auf den Gleisen fahren, sind dabei genau 2,5 Meter voneinander entfernt.
Abbildung 19: Aufgabe 3
Lösung
Hier ist es nicht nötig, eine Mittelparallele zu konstruieren. Es reicht aus, das zweite Gleis mithilfe einer Mittelsenkrechten zu zeichnen. Du kannst Deine Zeichnung mit dieser Abbildung vergleichen:
Abbildung 20: Lösung Aufgabe 3
Parallelenpaar – Das Wichtigste
- Ein Parallelenpaar besteht aus zwei parallelen Geraden und hat einen bestimmten Abstand zueinander.
- Die Ortslinie einer Gerade ist ein Parallelenpaar. Dabei lautet die mathematische Definition eines Parallelenpaars. Die Gerade ist dabei die sogenannte Mittelparallele.
Alle Punkte P, deren Abstand zur Gerade kleiner als ist, bilden den Bereich, der von beiden Parallelen eingeschlossen wird. Dann gilt.
Alle Punkte P, deren Abstand zur Gerade größer als ist, bilden den Bereich, der außerhalb der beiden Parallelen liegt. Dann gilt.
Ein Parallelenpaar konstruierst Du, indem Du zur gegebenen Gerade zunächst die Mittelsenkrechte konstruierst. Dann markierst Du mithilfe des Geodreiecks oder Deines Zirkels den Abstand, den die Gerade zu den Parallelen haben soll. Die Markierungen setzt Du genau auf der Mittelsenkrechten. Zuletzt zeichnest Du jeweils eine zur Mittelsenkrechte orthogonale Gerade durch Deine zwei gesetzten Markierungen.
Nachweise
- Bettner, Dinges (2010). Mathe an Stationen Umgang mit Geodreieck: (5. bis 10. Klasse). Auer Verlag.
- Grillmayer (2009). Im Reich der Geometrie: Teil I: Ebene Geometrie. BoD – Books on Demand.
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