Kreis konstruieren

Bestimmt hast Du schon einmal einen Kreis mit einem Zirkel gezeichnet. Dabei ist wichtig, wo Du den Zirkel einstichst und wie Du ihn einstellst. 

Kreis konstruieren Kreis konstruieren

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Wie Du aber aus angegebenen Punkten oder Figuren einen Kreis konstruierst, wird Dir hier gezeigt.

    Kreis – Wiederholung

    Bevor Du einen Kreis konstruierst, sollte Dir klar sein, welche Eigenschaften und Bestandteile dieser besitzt.

    Ein Kreis K besitzt einen Mittelpunkt M und einen Radius r. Der Durchmesser d des Kreises ergibt sich aus

    d=2·r

    Kreis konstruieren Kreis Wiederholung StudySmarterAbbildung 1: Kreis K

    Wie Du später sehen wirst, brauchst Du den Radius und den Mittelpunkt häufig zur Konstruktion. Aber auch Punkte auf der Kreislinie werden relevant.

    In folgender Abbildung siehst Du neben dem Mittelpunkt M und dem Kreis K auch noch die Punkte A, B, C und D. Diese liegen alle auf der Kreislinie des Kreises K.

    Kreis konstruieren Punkte auf der Kreislinie StudySmarterAbbildung 2: Punkte auf der Kreislinie

    Wie Dir die Punkte auf der Kreislinie dabei helfen, einen Kreis zu konstruieren, kannst Du Dir in den nächsten Abschnitten anschauen.

    Kreis konstruieren

    Bei der Konstruktion von Kreisen kann zwischen verschiedenen Fällen unterschieden werden. Je nachdem, was Dir gegeben ist, gehst Du bei der Konstruktion anders vor.

    Kreis durch 2 Punkte konstruieren

    Wenn Du zwei Punkte gegeben hast und mithilfe dieser zwei Punkte einen Kreis konstruieren sollst, ist einer der beiden gegebenen Punkte immer der Mittelpunkt und der andere Punkt liegt auf der Kreislinie.

    Allgemein kannst Du Dich bei der Konstruktion an folgende Schrittfolge halten:

    SchrittVisualisierung
    1. SchrittEntscheide, welcher der beiden Punkte der Mittelpunkt M ist und welcher der Punkt P, welcher auf der Kreislinie liegt.

    Oft ist angegeben, bei welchem der Punkte es sich um den Mittelpunkt handelt

    Kreis konstruieren Mittelpunkt und Punkt auf Kreislinie StudySmarterAbbildung 3: Mittelpunkt M und Punkt P

    2. SchrittMiss den Abstand zwischen den beiden Punkten. Das Ergebnis ist der Radius r des zu konstruierenden Kreises K.

    Kreis konstruieren Kreis Radius StudySmarterAbbildung 4: Radius r

    3 SchrittStelle den so ermittelten Radius an Deinem Zirkel ein, positioniere ihn in den Mittelpunkt M und zeichne den Kreis K.

    Wenn Du den Zirkel in den Mittelpunkt eingestochen hast und anfängst, die Kreislinie zu zeichnen, dann kipp den Zirkel ein wenig in die Richtung, in die Du zeichnen möchtest. So fällt Dir das Arbeiten mit dem Zirkel leichter, da die Nadel des Zirkels nicht so schnell verrutscht.

    Kreis konstruieren Kreis Konstruktion mit Zirkel StudySmarterAbbildung 5: Kreis K

    An einem ausführlichen Beispiel kannst Du Dir das Ganze noch einmal genauer anschauen.

    1. Schritt

    Im ersten Schritt musst Du entscheiden, welcher der beiden Punkte Dein Mittelpunkt ist und welcher Punkt auf der Kreislinie liegen soll. In diesem Beispiel wird Punkt A zum Mittelpunkt des Kreises K und Punkt B liegt auf der Kreislinie.

    Kreis konstruieren zwei Punkte StudySmarterAbbildung 6: Punkte A und B

    2. Schritt

    Als nächstes musst Du den Abstand zwischen den Punkten A und B messen. Der Abstand zwischen den beiden Punkten ist der Radius r des Kreises K. In diesem Fall beträgt r=6 cm.

    Kreis konstruieren zwei Punkte Radius StudySmarterAbbildung 7: Radius r von 6 cm

    3. Schritt

    Anschließend nimmst Du Deinen Zirkel und stellst diesen so ein, dass Du damit einen Kreis mit dem ermittelten Radius zeichnen kannst.

    Nachdem Du Deinen Zirkel richtig eingestellt hast, stichst Du in den Mittelpunkt ein und ziehst einen Kreis. Wenn der Kreis den zweiten Punkt schneidet, hast Du alles richtig gemacht.

    Kreis konstruieren Konstruierter Kreis StudySmarterAbbildung 8: Konstruierter Kreis K

    Umkreis konstruieren

    Es kann vorkommen, dass Du nicht nur zwei, sondern gleich mehrere Punkte auf dem Kreis gegeben hast. Das Vorgehen ist grundsätzlich gleich, egal ob es drei, vier oder sechs Punkte sind.

    Im Folgenden werden einige dieser Fälle thematisiert und mit Beispielen erklärt.

    Kreis mit drei Punkten konstruieren - Dreieck im Kreis

    In diesem Abschnitt lernst Du, wie Du einen Kreis aus drei Punkten konstruieren kannst. Die Besonderheit hierbei ist, dass die drei Punkte in den meisten Fällen ein Dreieck bilden.

    Ausnahme ist, wenn alle drei Punkte auf einer Geraden liegen. Dann ist der mittlere der drei Punkte der Mittelpunkt des Kreises und die anderen beiden liegen auf der Kreislinie.

    Das Vorgehen bei der Konstruktion eines Kreises durch drei Punkte ist somit meistens gleich dem der Konstruktion des Umkreises eines Dreiecks.

    SchrittVisualisierung
    1. SchrittFalls noch nicht geschehen, verbinde die drei gegebenen Punkte zu einem Dreieck

    Kreis konstruieren Dreieck StudySmarterAbbildung 9: Dreieck

    2. SchrittKonstruiere die Mittelsenkrechte zweier Seiten.

    Wie Du eine Mittelsenkrechte konstruierst, kannst Du in der Erklärung Mittelsenkrechte konstruieren nachlesen.

    Kreis konstruieren Mittelsenkrechten StudySmarterAbbildung 10: Mittelsenkrechten im Dreieck

    3. SchrittMarkiere den Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten. Er ist der Mittelpunkt M des zu konstruierenden Kreises K.

    Kreis konstruieren Mittelpunkt StudySmarterAbbildung 11: Mittelpunkt M

    4. SchrittMiss den Abstand zwischen dem Mittelpunkt M und einem der drei Punkte. Dieser Abstand entspricht dem Radius r des Kreises K.

    Kreis konstruieren Radius StudySmarterAbbildung 12: Radius r

    5. SchrittStelle den Zirkel auf den ermittelten Radius r ein und zeichne den Kreis K.Kreis konstruieren Umkreis StudySmarterAbbildung 13: Kreis K

    Solltest Du dir mit der Konstruktion eines Umkreises noch unsicher sein, findest Du in der Erklärung "Umkreis Dreieck konstruieren" noch einige Anwendungsbeispiele zum Üben.

    Thaleskreis konstruieren

    Auch der Thaleskreis stellt eine Sonderform für die Konstruktion eines Kreises dar.

    Der Thaleskreis ist ein Kreis, auf dem alle drei Punkte eines Dreiecks liegen. Wenn ein Thaleskreis vorliegt, ist ein Dreieck rechtwinklig und die Hypotenuse des Dreiecks verläuft durch den Mittelpunkt des Kreises. Das bedeutet, dass die Länge der Hypotenuse des Dreiecks dem Durchmesser des Kreises entspricht.

    Wenn du mehr über die Hypotenuse erfahren willst, schau gerne in die Erklärung "Hypotenuse".

    Dein Vorgehen ist also gleich dem bei dem Umkreis eines Dreiecks mit der Besonderheit, dass das Dreieck rechtwinklig ist.

    1. Schritt

    Du hast ein rechtwinkliges Dreieck gegeben und sollst jetzt einen Kreis konstruieren, bei dem alle drei Eckpunkte des Dreiecks auf der Kreislinie liegen.

    Kreis konstruieren rechtwinkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 14: Rechtwinkliges Dreieck

    2. Schritt

    Konstruiere die Mittelsenkrechten zweier Seiten, indem du Kreise um die drei Eckpunkte zeichnest und ihre Schnittpunkte markierst.

    Kreis konstruieren Mittelsenkrechten StudySmarterAbbildung 15: Mittelsenkrechten des rechtwinkligen Dreiecks

    3. Schritt

    Markiere diesen Schnittpunkt. Er ist der Mittelpunkt M des zu konstruierenden Kreises K. Da es sich um einen Thaleskreis handelt, liegt der Mittelpunkt auf der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks.

    Kreis konstruieren Mittelpunkt StudySmarterAbbildung 16: Mittelpunkt des Thaleskreis

    4. Schritt

    Miss den Abstand von M zu einem der Eckpunkte, um den Radius r des Kreises K zu erhalten.

    Kreis konstruieren Radius StudySmarterAbbildung 17: Radius des Thaleskreis

    5. Schritt

    Stelle deinen Zirkel auf den entsprechenden Radius ein und zeichne den Kreis K um den Mittelpunkt M.

    Kreis konstruieren Thaleskreis StudySmarterAbbildung 18: Thaleskreis des rechtwinkligen Dreiecks

    Du erhältst den Thaleskreis K des rechtwinkligen Dreiecks.

    Satz des Thales

    Eine Besonderheit des Thaleskreises ist es, dass die von der Kreislinie beschriebenen Dreiecke alle rechtwinklig sind. Die Hypotenuse beschreibt dabei immer den Durchmesser d des Thaleskreis.

    Kreis konstruieren Thaleskreis StudySmarterAbbildung 19: verschiedene rechtwinklige Dreiecke im Thaleskreis

    Umkreise können nicht nur für Dreiecke, sondern auch für andere Figuren wie zum Beispiel Quadrate konstruiert werden

    Kreis konstruieren mit 4 Punkten – Quadrat im Kreis

    Während die Dreiecke verschieden aussehen können, ist die Form der Quadrate festgeschrieben, denn bis auf die Seitenlänge lässt sich hier nichts verändern.

    Bei einem Quadrat sind alle vier Seiten gleichlang. Außerdem stehen benachbarte Seiten im rechten Winkel zueinander.

    Entsprechend ist das Vorgehen beim Konstruieren ihres Umkreises immer gleich.

    SchrittVisualisierung
    1. SchrittVerbinde (falls noch nicht gegeben) die Eckpunkte zu einem Quadrat.

    Kreis konstruieren Quadrat StudySmarterAbbildung 20: Quadrat ABCD

    2. SchrittKonstruiere die Mittelsenkrechte einer Seite und anschießend die Mittelsenkrechte einer der benachbarten Seiten.

    Hier ist es wichtig, dass die Seiten benachbart sind, da die Mittelsenkrechten der gegenüberliegenden Seiten identisch sind.

    Kreis konstruieren Quadrat Mittelsenkrechten StudySmarterAbbildung 21: Mittelsenkrechten benachbarter Seiten

    3. SchrittMarkiere den Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten. Er ist der Mittelpunkt M des zu konstruierenden Kreises K.

    Kreis konstruieren Quadrat Mittelpunkt StudySmarterAbbildung 22: Mittelpunkt des Quadrates

    4. SchrittMiss den Abstand zwischen dem Mittelpunkt M und einem der Eckpunkte. Dieser Abstand entspricht dem Radius r des zu konstruierenden Kreises K.Kreis konstruieren Quadrat Radius StudySmarterAbbildung 23: Radius r des gesuchten Kreises
    5. SchrittZeichne mit dem ermittelten Radius r den Kreis K um seinen Mittelpunkt M,Kreis konstruieren Quadrat Umkreis StudySmarterAbbildung 24: Umkreis K des Quadrates

    Mittelpunkt Kreis konstruieren

    Bis hier hin hast Du gelernt, wie man aus gegebenen Punkten einen Kreis konstruieren kann. Dieses Vorgehen kannst Du allerdings auch anwenden, um bei einem gegebenen Kreis den zu Mittelpunkt konstruieren.

    Dir ist folgender Kreis K gegeben. Indem du ein beliebiges Dreieck mit Eckpunkten auf der Kreislinie einzeichnest, kannst Du den Mittelpunkt des Kreises ermitteln.

    Um das zu tun musst Du zunächst drei beliebige Punkte auf dem Kreis K markieren.

    Kreis konstruieren beliebige Punkte StudySmarterAbbildung 25: Beliebige Punkte A, B und C auf der Kreislinie

    Verbinde diese drei Punkte zu einem Dreieck, um die Mittelsenkrechten konstruieren zu können

    Kreis konstruieren Dreieck zur Konstruktion StudySmarterAbbildung 26: Dreieck im Kreis K

    Jetzt kannst Du die Mittelsenkrechten zweier Seiten konstruieren.

    Kreis konstruieren Mittelsenkrechten StudySmarterAbbildung 27: Mittelsenkrechten des Dreiecks

    Der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten ist der gesuchte Mittelpunkt M des Kreises K.

    Kreis konstruieren Konstruierter Mittelpunkt StudySmarterAbbildung 28: Konstruierter Mittelpunkt des Kreises K

    Kreis konstruieren – Das Wichtigste

    • Ein Kreis K besitzt einen Mittelpunkt M und einen Radius r.
    • Der Durchmesser r eines Kreises k ergibt sich aus dem doppelten Radius: d=2·r
    • Bei der Konstruktion durch zwei Punkte, ist ein Punkt immer der Mittelpunkt des Kreises und der andere liegt auf der Kreislinie
    • Ein Kreis lässt sich aus drei Punkten konstruieren
      • Konstruiere die drei Mittelsenkrechten der Strecken zwischen den Punkten
      • Der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des gesuchten Kreises
      • Stich den Zirkel in den Mittelpunkt ein und stelle ihn so ein, dass er alle drei Punkte schneidet
    • Um den Mittelpunkt eines Kreises zu konstruieren, musst du:
      • Drei Punkte auf der Kreislinie markieren
      • Zwei Mittelsenkrechten zwischen den Punkten konstruieren
      • Der Punkt an dem sich die beiden Mittelsenkrechten schneiden ist der Mittelpunkt des Kreises
    • Der Thaleskreis ist ein Kreis, auf dem alle drei Punkte eines Dreiecks liegen. Wenn ein Thaleskreis vorliegt, ist ein Dreieck rechtwinklig und die Hypotenuse des Dreiecks verläuft durch den Mittelpunkt des Kreises. Das bedeutet, dass die Länge der Hypotenuse des Dreiecks dem Durchmesser des Kreises entspricht.

    Wie gehst du bei der Konstruktion eines Kreises vor, wenn drei Punkte gegeben sind?

    1. Falls noch nicht geschehen, verbinde die drei gegebenen Punkte zu einem Dreieck
    2. Konstruiere die Mittelsenkrechten zweier Seiten.
    3. Markiere den Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten. Er ist der Mittelpunkt M des zu konstruierenden Kreises K.
    4. Miss den Abstand zwischen dem Mittelpunkt M und einem der drei Punkte. Dieser Abstand entspricht dem Radius r des Kreises K.
    5. Stelle den Zirkel auf den ermittelten Radius r ein und zeichne den Kreis K.

    Was ist ein Thaleskreis?

    Der Thaleskreis ist ein Kreis, auf dem alle drei Punkte eines Dreiecks liegen. Wenn ein Thaleskreis vorliegt, ist ein Dreieck rechtwinklig und die Hypotenuse des Dreiecks verläuft durch den Mittelpunkt des Kreises. Das bedeutet, dass die Länge der Hypotenuse des Dreiecks dem Durchmesser des Kreises entspricht.

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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Kreis konstruieren

    Wie konstruiert man einen Kreis?

    Für die Konstruktion eines Kreises benötigst du Zirkel und Lineal. Hast du beispielsweise zwei Punkte gegeben, wird einer der Punkte zum Mittelpunkt und der andere liegt auf der Kreislinie. Der Abstand der Punkte entspricht dem Radius, sodass Du Deinen Zirkel nur noch auf diesen Radius einstellen musst, um den Kreis zu zeichnen. 

    Wie konstruiert man einen Mittelpunkt in einem Kreis?

    1. Markiere drei beliebige Punkte auf der Kreislinie und verbinde diese zu einem Dreieck.
    2. Konstruiere die Mittelsenkrechten zweier Seiten des Dreiecks.
    3. Markiere den Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten. Er entspricht dem Mittelpunkt des Kreises.

    Wie findet man die Mitte eines Kreises?

    1. Markiere drei beliebige Punkte auf der Kreislinie und verbinde diese zu einem Dreieck.
    2. Konstruiere die Mittelsenkrechten zweier Seiten des Dreiecks.
    3. Markiere den Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten. Er entspricht dem Mittelpunkt des Kreises.

    Wie kann man eine Tangente konstruieren?

    1. Markiere einen Punkt auf der Kreislinie und ziehe eine Gerade durch diesen Punkt und den Mittelpunkt des Kreises.
    2. Zeichne einen Kreis um den Punkt auf der Kreislinie und markiere die Schnittpunkte dieses Kreises mit der Geraden.
    3. Konstruiere die Mittelsenkrechte zwischen diesen beiden Schnittpunkten.

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