Oberflächeninhalt Pyramide

Stochastik

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In diesem Artikel lernst Du wie du den Oberflächeninhalt einer Pyramide berechnen kannst und wirst anhand von Beispielaufgaben zum richtigen Ergebnis geführt.

Oberflächeninhalt Pyramide - Grundlagen

Um die Formel für die Berechnung besser verstehen zu können, solltest Du erst verstehen woraus eine Pyramide besteht.

Oberflächeninhalt Pyramide Grundlagen StudySmarter Abbildung 1: Grund- und Mantelfläche

Eine Pyramide besteht aus Seitenflächen, welche Dreiecke darstellen und zu einer Spitze zusammenlaufen. Diese Seitenflächen werden zusammen auch als Mantelfläche M bezeichnet. Die Grundfläche G einer Pyramide kann ein beliebiges n-Eck sein.

Wenn du die Höhe h einer Pyramide herausfinden möchtest, kannst du sie am Abstand zwischen der Spitze und der Grundfläche G messen. Ebenso gibt es die Höhe $h_{a}$ , welche die Höhe der Dreiecksflächen darstellt. Diese Dreiecksflächen werden durch die Seitenkante s begrenzt und werden auch als Seitenflächen bezeichnet.

Oberflächeninhalt Pyramide Grundlagen StudySmarter Abbildung 2: Seiten und Höhen

Wenn Du mehr über den Körper Pyramide erfahren möchtest, dann schau Dir die dazugehörigen Erklärung an!

Dadurch, dass die Grundfläche und somit auch die Seitenflächen variieren können, kann es sein, dass eine weitere Höhe für die Seitenflächen benötigt wird. Das ist immer dann nötig, wenn die Grundfläche nicht gleichseitig ist.

Beispielsweise kann die Grundfläche einer Pyramide auch ein Drei oder Sechseck sein. Aber auch bei einer rechteckigen Grundfläche kann eine zweite Seitenhöhe benötigt werden:

Oberflächeninhalt Pyramide Grundlagen StudySmarter Abbildung 3: Höhen der Seitenflächen

Da die Grundfläche nicht gleichseitig ist gilt

$h_{a} \neq h_{b}$

Nun weißt Du, aus welchen Komponenten sich eine Pyramide zusammensetzt und kannst so den Oberflächeninhalt dieser berechnen.

Oberflächeninhalt einer Pyramide - Formel und Beispiel

Für die Berechnung des Oberflächeninhaltes einer Pyramide gibt es eine allgemeine Formel.

Der Oberflächeninhalt O einer Pyramide wird berechnet aus der Mantelfläche M und der Grundfläche G.

Diese ergeben addiert den Oberflächeninhalt.

$O = G + M$

Das heißt Du benötigst zur Berechnung die Grundfläche G und Mantelfläche M. Diese werden je nach Art der Pyramide unterschiedlich berechnet.

Du hast eine quadratische Pyramide mit $a = 8 c m$ und $h_{a} = 5 c m$ gegeben.

Oberflächeninhalt Pyramide Beispiel StudySmarter Abbildung 4: quadratische Pyramide

1. Berechne die Grundfläche

Die Grundfläche der quadratischen Pyramide ist ein Quadrat. Entsprechend wird diese berechnet mit

$\begin{array}{rcl} G & = & a^{2} = a \cdot a \\ = & 8 \cdot 8 \\ = & 64 c m^{2} \end{array}$

2. Berechne die Mantelfläche

Um die Mantelfläche zu berechnen müssen alle Seitenflächen addiert werden. Berechne also zunächst den Flächeninhalt einer Seitenfläche.

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a} \\ = & \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \\ = & 20 c m^{2} \end{array}$

Eine Seitenfläche ist 20 cm² groß. Da die Pyramide vier solcher Seitenflächen hat gilt

$\begin{array}{rcl} M & = & 4 \cdot 20 \\ = & 80 c m^{2} \end{array}$

3. Grund- und Mantelfläche addieren

Um den Oberflächeninhalt O der Pyramide zu erhalten, musst Du die Grund- und die Mantelfläche miteinander addieren.

$\begin{array}{rcl} O & = & G + M \\ = & 64 + 80 \\ = & 144 c m^{2} \end{array}$

In der Definition hast Du gelesen, dass es sich bei der Formel um eine allgemeine Formel handelt. Das liegt daran, dass Grund- und Mantelfläche je nach Art der Grundfläche unterschiedlich berechnet werden.

Zusammenhang Grundfläche und Oberflächeninhalt

Die Wahl der Grundfläche der Pyramide hat Einfluss auf die Berechnung des Oberflächeninhaltes. Zum einen wird sie zur Mantelfläche addiert, um den Oberflächeninhalt zu erhalten. Außerdem beeinflusst sie noch die Anzahl der Seitenflächen.

Ist die Grundfläche ein Dreieck, hat die Pyramide drei Seitenflächen.

Oberflächeninhalt Pyramide dreieckige Pyramide StudySmarter Abbildung 5: dreiseitige Pyramide

Wenn ein Viereck, wie z.B. ein Rechteck oder Quadrat, als Grundfläche gewählt wird, hat die Pyramide vier Seitenflächen.

Oberflächeninhalt Pyramide quadratische Pyramide StudySmarter Abbildung 6: quadratische Pyramide

Bei einem Sechseck als Grundfläche hat die Pyramide sechs Seitenflächen.

Oberflächeninhalt Pyramide sechseckige Pyramide StudySmarter Abbildung 7: sechseckige Pyramide

Die Pyramide hat also immer so viele Seitenflächen, wie ihre Grundfläche Seiten hat.

In den folgenden Abschnitten wirst Du die Berechnung an einigen wichtigen beispielhaften Pyramiden lernen.

Formel umstellen

Oben ist die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhaltes einer Pyramide bereits aufgeführt. Für die Berechnung benötigst du die Grundfläche G und die Mantelfläche M.

Wenn Du aber beispielsweise den Oberflächeninhalt und Grund- oder Mantelfläche gegeben hast, kannst Du die Formel entsprechend umstellen, um die gesuchte Komponente zu berechnen.

Du hast den Oberflächeninhalt O und die Grundfläche G einer Pyramide gegeben.

$O = 60 c m^{2} G = 17 c m^{2}$

Um nun den Flächeninhalt der Mantelfläche zu erhalten, kannst Du die allgemeine Formel für den Oberflächeninhalt einer Pyramide umstellen und deine gegebenen Werte einsetzen.

$O = G + M 60 = 17 + M - 17 43 = M M = 43 c m^{2}$

Die Mantelfläche M der Pyramide hat also einen Flächeninhalt von 43 cm².

Hast Du die Mantelfläche und den Oberflächeninhalt gegeben gehst Du genauso vor. Der einzige Unterschied ist, dass Du dann die Mantelfläche vom Oberflächeninhalt abziehst, um die Grundfläche zu erhalten.

Oberflächeninhalt besonderer Pyramiden

Die Grundfläche einer Pyramide kann ein beliebiges Vieleck sein. Besonders häufig kommen aber Quadrate, Rechtecke oder auch Dreiecke als Grundfläche vor. Wie Du den Oberflächeninhalt in diesen Fällen berechnest, erfährst Du im Folgenden.

Oberflächeninhalt quadratische Pyramide

Zuerst wirst Du erfahren was eine quadratische Pyramide ist.

Eine quadratische Pyramide besteht aus einer quadratischen Grundfläche G und besitzt somit vier Seitenflächen.

Um den Oberflächeninhalt einer quadratischen Pyramide zu berechnen, kannst Du dich an folgenden Schritten orientieren:

1.Schritt: Grundfläche berechnen

Dein erster Schritt besteht darin, dass Du die Grundfläche der Pyramide berechnen musst. Da die Grundfläche einer quadratischen Pyramide ein Quadrat darstellt, sind die Seiten gleichlang.

Um nun den Flächeninhalt des Quadrats herauszufinden, musst Du die beiden Seiten miteinander multiplizieren.

$G = a \cdot a = a^{2}$

2.1 Schritt: Mantelfläche berechnen

Im zweiten Schritt musst Du die Mantelfläche der Pyramide berechnen. Zunächst musst Du den Flächeninhalt eines der seitlichen Dreiecke berechnen. Um nun den Flächeninhalt des Dreiecks herauszufinden verwendest Du folgende Formel.

$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot h_{a} \cdot a$

Du benötigst hierzu die Seitenlänge a, sowie die Höhe h_a der Seitenfläche.

2.2 Schritt:

Nun multiplizierst Du den Flächeninhalt des Dreiecks $A_{△}$ mit 4 , da die die seitlichen Dreiecke identisch sind und aufgrund der quadratischen Grundfläche vier dieser vorliegen.

$M = 4 \cdot A_{△}$

3.Schritt: Oberflächeninhalt berechnen.

Nun wendest Du die Formel für den Oberflächeninhalt an.

$O = G + M$

Im folgendem Beispiel siehst du die Anwendung dieser Formeln.

Aufgabe

Berechne den Oberflächeninhalt der quadratischen Pyramide mit der Seitenlänge $a = 6 c m$ und der Höhe der Dreiecksfläche $h_{a} = 10 c m$ .

Lösung

1.Schritt

Grundfläche berechnen.

$\begin{array}{rcl} G & = & 6 \cdot 6 \\ = & 36 c m^{2} \end{array}$

2.1 Schritt

Flächeninhalt seitliches Dreieck berechnen.

$\begin{array}{rcl} A_{△} & = & \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \\ = & 30 c m^{2} \end{array}$

2.2 Schritt

Mantelfläche berechnen.

$\begin{array}{rcl} M & = & 4 \cdot 30 \\ = & 120 c m^{2} \end{array}$

3.Schritt

Oberflächeninhalt berechnen.

$\begin{array}{rcl} G & = & 36 + 120 \\ = & 156 c m^{2} \end{array}$

Die Pyramide hat einen Oberflächeninhalt von $156 c m^{2}$ .

Oberflächeninhalt rechteckige Pyramide

Bei der rechteckigen Pyramide sind nicht alle Seiten der Grundfläche gleich lang, sodass du bei der Berechnung des Oberflächeninhaltes besonders auf die Seitenflächen achten solltest.

Eine rechteckige Pyramide hat ein Rechteck als Grundfläche G und vier Seitenflächen. Die Grundfläche hat zwei gleich lange Seiten a und zwei gleich lange Seiten b. Entsprechend sind auch jeweils die gegenüberliegenden Seitenflächen gleich.

So kannst du Schritt für Schritt bei der Berechnung vorgehen:

1.Schritt: Grundfläche berechnen

Dein erster Schritt besteht daraus die Grundfläche der Pyramide zu berechnen. Da die Grundfläche einer rechteckigen Pyramide ein Rechteck darstellt, sind die zwei gegenüberliegenden Seitenflächen gleich lang.

Um nun den Flächeninhalt der Grundfläche zu erfahren, multiplizierst du die Seitenfläche a mit der anderen Seitenfläche b.

$G = a \cdot b$

2.1 Schritt: Berechnung der Dreieckshöhe

Da die Höhe der Dreiecksflächen $h_{a}$ und $h_{b}$ in manchen Fällen nicht gegeben ist, musst du diese erst ermitteln.

Dies gelingt dir mit dem Satz des Pythagoras. Die Pyramiden Höhe h, sowie $\frac{b}{2}$ bilden mit der gesuchten Dreieckshöhe $h_{a}$ ein rechtwinkliges Dreieck.

Oberflächeninhalt Pyramide rechteckige Pyramide StudySmarter Abbildung 8: Anwendung Satz des Pythagoras

$h_{a} = \sqrt{{(\frac{b}{2})}^{2} + {(h)}^{2}} h_{b} = \sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} + {(h)}^{2}}$

2.2 Schritt: Berechnung Dreiecksfläche

Um die Mantelfläche der rechteckigen Pyramide zu berechnen, benötigst Du zunächst den Flächeninhalt der seitlichen Dreiecke.

Um nun den Flächeninhalt des Dreiecks herauszufinden verwendest Du folgende Formel.

$A_{△ a} = \frac{1}{2} \cdot h_{a} \cdot a$

$A_{△ b} = \frac{1}{2} \cdot h_{b} \cdot b$

2.3 Schritt: Mantelfläche berechnen

Da Du die Seite b und die Seite a jeweils zwei mal vorliegen, multiplizierst Du den Flächeninhalt des Dreiecks jeweils mit 2 und addierst anschließend.

$M = 2 \cdot A_{△ a} + 2 \cdot A_{△ b}$

3.Schritt: Oberflächeninhalt

Nun kannst Du die Formel für den Oberflächeninhalt anwenden.

$O = G + M$

Im folgendem Beispiel siehst Du die Anwendung dieser Formeln.

Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt der rechteckigen Pyramide mit den Seitenlängen $a = 6 c m$ und $b = 8 c m$ , mit der Höhe $h = 10 c m$ .

Lösung

1.Schritt: Grundfläche berechnen.

$\begin{array}{rcl} G & = & 6 \cdot 8 \\ = & 48 c m^{2} \end{array}$

2.1 Schritt: Berechnung der Dreieckshöhe.

$\begin{array}{rcl} h_{a} & = & \sqrt{{(\frac{8}{2})}^{2} + {(10)}^{2}} \\ \approx & 10, 77 c m \\ h_{b} & = & \sqrt{{(\frac{6}{2})}^{2} + {(10)}^{2}} \\ \approx & 10, 44 c m \end{array}$

2.2 Schritt: Berechnung Dreiecksfläche.

$\begin{array}{rcl} A_{△ a} & = & \frac{1}{2} \cdot 10, 77 \cdot 6 \\ = & 32, 31 c m^{2} \\ A_{△ b} & = & \frac{1}{2} \cdot 10, 44 \cdot 8 \\ = & 41, 76 c m^{2} \end{array}$

2.3 Schritt: Mantelfläche berechnen.

$\begin{array}{rcl} M & = & 2 \cdot 32, 31 + 2 \cdot 41, 76 \\ = & 148, 14 c m^{2} \end{array}$

3.Schritt: Oberflächeninhalt berechnen.

$\begin{array}{rcl} O & = & 48 + 148, 14 \\ = & 196, 14 c m^{2} \end{array}$

Die Pyramide hat einen Oberflächeninhalt von $196, 14 c m^{2}$ .

Oberflächeninhalt dreiseitige Pyramide

Wie der Name schon sagt besitzt die dreiseitige Pyramide ein Dreieck als Grundfläche.

Eine dreiseitige Pyramide hat ein Dreieck als Grundfläche G und drei Seitenflächen.

Auch hier kannst Du schrittweise vorgehen.

1.Schritt: Grundfläche berechnen

Dein erster Schritt besteht daraus die Grundfläche zu berechnen. Da die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide ein Dreieck ist, wird hier die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks verwendet. Dabei verwendest Du die $h_{△}$ für die Höhe der dreieckigen Grundfläche und a für die Breite.

$G = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{△}$

2.1 Schritt: Berechnung Dreiecksfläche

Um die Mantelfläche zu berechnen, benötigst Du zunächst den Flächeninhalt der seitlichen Dreiecke. Bei einer dreiseitigen Pyramide können diese alle unterschiedlich sein.

Oberflächeninhalt Pyramide dreiseitige Pyramide StudySmarter Abbildung 9: Höhen im Dreieck

$A_{△ a} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a} A_{△ b} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{b} A_{△ c} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c}$

Wenn die Dreieckshöhen nicht vorhanden sind, musst Du diese zuerst berechnen. Siehe Kapitel zur rechteckigen Pyramide

2.2 Schritt: Mantelfläche berechnen.

Nun kannst Du die Mantelfläche der dreiseitigen Pyramide berechnen. Das heißt Du musst alle Dreiecksflächen miteinander addieren.

$M = A_{△ a} + A_{△ b} + A_{△ c}$

3.Schritt: Oberflächeninhalt berechnen.

Nun kannst Du die Formel für die Berechnung des Oberflächeninhaltes anwenden.

$O = G + M$

Im folgendem Beispiel siehst Du die Anwendung dieser Formeln.

Aufgabe

Berechne den Oberflächeninhalt der dreiseitigen Pyramide. Die Pyramide ist gleichseitig mit einer Seitenlänge von $a = 4 c m$ und der Seitenhöhe $h_{a} = 9, 07 c m$ . Die dreieckige Grundfläche hat eine Höhe von $h_{△} = 3, 46 c m$ .

Lösung

1.Schritt: Grundfläche berechnen.

$\begin{array}{rcl} G & = & \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3, 46 \\ = & 6, 92 c m^{2} \end{array}$

2.1 Schritt: Berechnung Dreiecksfläche.

Da es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt und somit alle Seiten gleich groß sind genügt es eine der Seitenflächen zu berechnen.

$\begin{array}{rcl} A_{△} & = & \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9, 07 \\ = & 18, 14 c m^{2} \end{array}$

2.2 Schritt: Mantelfläche berechnen.

$\begin{array}{rcl} M & = & 3 \cdot 18, 14 \\ = & 54, 42 c m^{2} \end{array}$

3.Schritt: Oberflächeninhalt berechnen.

$\begin{array}{rcl} O & = & 6, 92 + 54, 42 \\ = & 61, 34 c m^{2} \end{array}$

Der Oberflächeninhalt der Pyramide beträgt $61, 34 c m^{2}$ .

Oberflächeninhalt Pyramide - Das Wichtigste

Die Formel für die Berechnung des Oberflächeninhaltes lautet $O = G + M$
Für die Berechnung benötigst du die Mantelfläche und die Grundfläche der Pyramide
Je nach Art der Pyramide gibt es unterschiedliche Formeln für die Berechnung der Mantelfläche
Du benötigst die Dreieckshöhe zur Berechnung der Mantelfläche
Eine quadratische Pyramide besteht aus einer quadratischen Grundfläche G und besitzt somit vier Seitenflächen
Eine rechteckige Pyramide hat ein Rechteck als Grundfläche G und vier Seitenflächen. Die Grundfläche hat zwei gleich lange Seiten a und zwei gleich lange Seiten b. Entsprechend sind auch jeweils die gegenüberliegenden Seitenflächen gleich
Eine dreiseitige Pyramide hat ein Dreieck als Grundfläche G und drei Seitenflächen

Häufig gestellte Fragen zum Thema Oberflächeninhalt Pyramide

Den Oberflächeninhalt einer Pyramide berechnet man, indem man die Grundfläche der Pyramide mit der Mantelfläche addiert.

Den Oberflächeninhalt einer rechteckigen Pyramide berechnest du, indem du zunächst die Grundfläche G berechnest und anschließend die Dreiecksfläche von den Seiten a und b. Danach kannst du die Mantelfläche M berechnen und dann den Oberflächeninhalt (O=G+M).

Den Oberflächeninhalt einer quadratischen Pyramide berechnest du, indem du zunächst die Grundfläche G berechnest. Da alle Seiten der Pyramide gleich sind berechnest du nun den Flächeninhalt einer dreieckigen Seitenfläche und anschließend daraus die Mantelfläche. Nun kannst du den Oberflächeninhalt berechnen (O=G+M).

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