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Nebenwinkel

Nebenwinkel

Du planst Dein Zimmer ein wenig zu verändern und einen eigenen Stil zu entwickeln. Dazu hast Du Dir bereits eine Sitzecke gekauft, die in einem Winkel von 110° zueinander steht. Um nun daneben auch noch ein Schränkchen an die Wand zu platzieren, benötigst Du noch ca. 80°. Kannst Du beide Möbelstücke direkt nebeneinander stellen?

Für diese Aufgabe ist das Wissen über Nebenwinkel nötig.

Nebenwinkel in der Mathematik gehören zu den verschiedenen Winkeln zwischen zwei sich kreuzenden Geraden. Wie Du diese berechnen kannst und wie der Kontext zu anderen Winkeln ist, erfährst Du in dieser Erklärung.

Nebenwinkel – Wiederholung Winkel

Winkel können grundsätzlich auftreten, wenn sich zwei Geraden schneiden beziehungsweise wenn drei Punkte einen Winkel aufspannen.

Wenn zwei Geraden sich schneiden, dann entstehen in der Geometrie insgesamt vier Winkel. Die Größe eines Winkels wird in Grad (°) angegeben.

Wichtig ist dabei, dass bei der Angabe des Winkels immer die Richtung gegen den Uhrzeigersinn gewählt wird.

Winkel können auf zwei verschiedene Arten entstehen:

  • zwischen zwei sich schneidenden Geraden ()
  • zwischen drei Punkten, wobei der Scheitelpunkt - der Punkt am Winkel - mittig geschrieben wird ()

Nebenwinkel Winkel zwei Geraden drei Punkte StudySmarterAbbildung 2: Winkel mit Angabe für zwei Geraden und drei Punkte

Besondere Winkelgrößen sind zum Beispiel 0° oder auch 90°. Alle weiteren Winkelgrößen werden folgendermaßen eingeteilt:

  • Der sogenannte spitze Winkel ist ein Winkel mit einer Größe zwischen 0 und 90°, für ihn gilt also:.
  • Der rechte Winkel ist der Winkel, der genau 90° besitzt.
  • Der stumpfe Winkel ist ein Winkel, der mehr als 90°, aber weniger als 180° beträgt, also .
  • Der gestreckte Winkel ist exakt der Winkel mit 180°.
  • Der überstumpfe Winkel besitzt mehr als 180°, aber weniger als 360°. .
  • Der Vollwinkel wiederum besitzt genau 360°.

Nebenwinkel Winkel Winkelarten StudySmarterAbbildung 3: Winkelarten (spitzer, stumpfer, gestreckter, überstumpfer Winkel)

An zwei sich schneidenden Geraden entstehen insgesamt 4 Winkel. Hierbei kann man vier verschiedene Nebenwinkel ausmachen. Doch auch die Scheitelwinkel spannen sich dort auf.

Ein Scheitelwinkel entsteht an zwei sich schneidenden Geraden. Von den entstehenden vier Winkeln werden die sich gegenüberliegenden Winkel als Scheitelwinkel bezeichnet.

In Abbildung 3 befinden sich vier verschiedene Winkel, nämlich . Sie wurden dabei gegen den Uhrzeigersinn angeordnet, wobei bzw. Scheitelwinkel sind.

Nebenwinkel Scheitelwinkel zwei schneidende Geraden StudySmarterAbbildung 4: Scheitelwinkel für zwei sich schneidende Geraden

Wenn zwei Geraden parallel laufen und eine weitere Gerade diese beiden schneidet, können weitere Winkelarten entstehen, etwa der Wechselwinkel oder auch der Stufenwinkel. Sieh doch gerne bei diesen Erklärungen vorbei, wenn Du dazu mehr erfahren möchtest.

Nebenwinkel – Eigenschaften

Zu Beginn wird Dir nun erläutert, was Nebenwinkel genau sind und wie Du auf diese schließen kannst. Es gibt eine kleine Herleitung, die Dir dabei helfen soll, Nebenwinkel gut zu verstehen.

Nebenwinkel – Erklärung und Herleitung

Nebenwinkel entstehen, wenn sich zwei Geraden g und h an einem Punkt P schneiden.

Am Schnittpunkt P entsteht dann eine Geradenkreuzung. Diese unterteilt den umliegenden Bereich in vier Teile, die durch die beiden Geraden g und h begrenzt werden. Das sieht zum Beispiel folgendermaßen aus:

Nebenwinkel Geradenkreuzung zwei Geraden StudySmarterAbbildung 5: Geradenkreuzung von zwei Geraden

Wie Du bereits weißt, beträgt bei einer Geraden ein gestreckter Winkel 180°. Dieser gestreckte Winkel wird im Folgenden als ε bezeichnet.

ε ist der griechische Buchstabe für e und wird "epsilon" ausgesprochen.

Herleitung

Nebenwinkel Geradenkreuzung gestrecktem Winkel StudySmarterAbbildung 6: Geradenkreuzung mit gestrecktem Winkel

Um das Prinzip vom Nebenwinkel besser zu verstehen, wurde der Winkel entlang der Geraden g in das Schaubild eingetragen.

Nebenwinkel Nebenwinkel Geradenkreuzung 180° StudySmarterAbbildung 7: Nebenwinkel an einer Geradenkreuzung mit zusammen 180°

Anhand dieses Bildes kannst Du erkennen, dass die Winkelsumme aus der in Abbildung 6 gezeigten Winkel α und β, zusammen den Winkel ε (180°) aus Abbildung 5 ergibt.

Es gilt also:

Die Winkel α und β sind sogenannte Nebenwinkel. Sie liegen an der Geradenkreuzung nebeneinander.

Dasselbe Prinzip gilt für die beiden Winkel γ und δ, die oberhalb der Geraden g liegen:

Nebenwinkel Weitere Nebenwinkel Geradenkreuzung 180° StudySmarterAbbildung 8: Weitere Nebenwinkel an einer Geradenkreuzung mit zusammen 180°

Auch bei diesen Winkeln gilt: .

Das gilt dann ebenso für die letzten Winkel:

Es gibt also insgesamt vier Winkelpaare die zusammen Nebenwinkel bilden.

Nebenwinkel 4 Winkel Geradenkreuzung 4 Winkelpaaren StudySmarterAbbildung 9: Vier Winkel an einer Geradenkreuzung mit insgesamt 4 Winkelpaare

Nebenwinkel – Definition

Allgemein hilft es, sich die zwei kreuzenden Geraden bildlich vorzustellen.

Nebenwinkel entstehen, wenn sich zwei Geraden schneiden. Zwei Winkel sind Nebenwinkel voneinander, wenn sie an der Kreuzung der Geraden nebeneinander liegen.

Zusammengehörige Nebenwinkel werden auch als Winkelpaar bezeichnet. Insgesamt entstehen am Schnittpunkt zweier Geraden vier Nebenwinkelpaare.

Nebenwinkel Vier Winkelpaare zwei schneidende Geraden StudySmarterAbbildung 10: Vier Nebenwinkelpaare

Für diese Nebenwinkelpaare gilt der sogenannte Nebenwinkelsatz.

Nebenwinkelsatz und Nebenwinkelpaare

Es wurde bereits angedeutet, dass es insgesamt vier verschiedene Winkelpaare gibt. Dabei treten sie immer bei einer Geradenkreuzung auf, wobei folgende Bedingungen gelten:

Nebenwinkelsatz

Die Winkelsumme von Nebenwinkeln an einer Geradenkreuzung beträgt immer 180°. Nebenwinkel ergänzen sich demnach immer zu einem gestreckten Winkel.

Dabei sind sich gegenüberliegende Winkelpaare folgende:

Die anderen beiden Winkelpaare sind:

Diese sind Dir noch einmal in folgender Grafik gezeigt:

Nebenwinkel 4 Winkelpaare  Geradenkreuzung StudySmarterAbbildung 11: Vier Winkelpaare bei Geradenkreuzung

Die beiden Winkel sind dabei jeweils kommutativ, das heißt Du kannst sie auch vertauscht angeben. Beide Angaben sind also identisch:

Was genau bedeutet "kommutativ" denn eigentlich? Das kannst Du im Artikel zum Kommutativgesetz noch einmal nachlesen.

Nebenwinkel – berechnen

Du hast also bereits herleiten können, wie die Nebenwinkel funktionieren und dass sie insgesamt 180° ergeben.

Nutze gleich das zuvor genannte Beispiel, um Nebenwinkel nun konkret zu berechnen. Mit der Angabe eines Nebenwinkels kannst Du auf den anderen schließen.

Es sind also zum Beispiel zwei Winkel gegeben. Dabei handelt es sich um die exakten Werte.

Beide zusammengenommen ergeben 180°.

Gehe nun davon aus, dass nur α gegeben ist. Damit kannst Du auf β schließen, indem Du den einen Nebenwinkel von den 180° abziehst.

Das bedeutet also, bei der Angabe eines Winkels, kannst Du über die automatisch zweite Angabe 180° auf den dritten Winkel schließen.

Aufgabe 1

Aus der Einleitung hast Du erfahren, dass Du ein Ecksofa gekauft hast, das insgesamt 110° beträgt. Daneben möchtest Du ein Schränkchen platzieren, für das Du 80° benötigst. Kannst Du beide Möbelstücke unmittelbar nebeneinander platzieren?

Lösung

Du hast also einen Winkel gegeben, nämlich 110°. Der zweite Winkel ist die Wand selbst, die selbst flach ist und damit insgesamt 180° beträgt. Du kannst nun den Nebenwinkel ermitteln.

Bezeichne zum Beispiel den gegebenen Winkel als α und den gesuchten als β.

Das bedeutet also, dass Du für das Möbelstück insgesamt einen Winkel von 70° zur Verfügung hast. Du benötigst allerdings 80°, das sind 10° zu viel. Deshalb kannst Du die Möbelstücke nicht direkt nebeneinander stellen.

Es kann aber auch sein, dass Du zuvor einen Winkel selbst mit dem Geodreieck bestimmen solltest, um den anderen zu berechnen. Falls Du wissen möchtest, wie Du Winkel mit einem Geodreieck bestimmst, kannst Du bei der Erklärung Winkel messen oder Winkel berechnen vorbeisehen.

Nebenwinkel – Dreieck

Nebenwinkel können auch eine wichtige Rolle im Dreieck spielen, wenn es um die sogenannten Innenwinkel und die Innenwinkelsumme im Dreieck geht.

Sieh Dir die folgende Grafik an, dort wirst Du sehen, wie Nebenwinkel mit einer Gerade über die Ecken eines Dreiecks bestimmt werden können:

Nebenwinkel Nebenwinkel violett Innenwinkel Dreiecks StudySmarterAbbildung 12: Nebenwinkel in violett für Innenwinkel des Dreiecks (in pink)

Das bedeutet also Du kannst über den Nebenwinkel den Innenwinkel eines Dreiecks bestimmen.

Der Winkel α' ist mit 135° angegeben. Damit kannst Du über den Nebenwinkelsatz den Winkel α bestimmen:

Dieses Ergebnis kannst Du nun für die sogenannte Innenwinkelsumme im Dreieck verwenden.

Hast Du nun noch einen zweiten Innenwinkel des Dreiecks berechnet, so kannst Du über die Innenwinkelsumme im Dreieck auch den dritten Winkel bestimmen.

Denn im Dreieck gilt, dass alle Winkel zusammen genommen 180° ergeben.

Du kennst nun zwei Angaben:

Nun kannst Du auf schließen, indem Du die Werte für die Winkel einträgst und nach dem gesuchten Winkel auflöst.

Näheres dazu findest Du in der Erklärung Innenwinkelsumme Dreieck oder auch das Gegenteil dazu: Außenwinkelsumme Dreieck.

Nebenwinkel – Beispiele & Aufgaben

Abschließend kannst Du in diesem Abschnitt alles, was Du in diesem Artikel über Nebenwinkel gelernt hast, an einigen Beispielen üben.

Aufgabe 2

α und β sind Nebenwinkel. Du weißt, dass der Winkel α 72° beträgt. Wie groß ist der Winkel β?Lösung

Da α und β Nebenwinkel sind, beträgt die Winkelsumme der beiden Winkel 180°.

Um die Größe vom Winkel β zu berechnen, nutzt Du folgende Formel:

Im nächsten Schritt setzt Du in die Formel ein.

Die Größe vom Winkel β beträgt also 108°.

Aufgabe 3

Dir liegt diese Skizze von drei sich schneidenden Geraden vor:

Nebenwinkel Nebenwinkel Dreiecks StudySmarterAbbildung 13: Nebenwinkel eines Dreiecks

Beantworte mithilfe der Informationen aus der Skizze folgende Fragen zum Thema Nebenwinkel:

1. Welche Winkel sind Nebenwinkel vom Winkel α?

2. Welche Winkel sind Nebenwinkel vom Winkel ε?

3. Welche Winkel sind Nebenwinkel vom Winkel μ?

Lösung

1. Nebenwinkel von α sind die Winkel β und δ.

2. Nebenwinkel von ε sind die Winkel θ und ζ.

3. Nebenwinkel von μ sind die Winkel λund ξ.

Nebenwinkel – Das Wichtigste

  • Wenn zwei Geraden sich schneiden, entstehen insgesamt vier Winkel, wobei sich gegenüberliegende Winkel als Scheitelwinkel bezeichnet werden.
  • Nebenwinkel entstehen, wenn sich zwei Geraden schneiden. Sind zwei Winkel Nebenwinkel voneinander, werden sie auch als Nebenwinkelpaar bezeichnet.
  • An einem Schnittpunkt von zwei Geraden entstehen insgesamt vier Nebenwinkelpaare.
  • Die Winkelsumme eines Nebenwinkelpaars beträgt immer 180°.
  • Wenn α und β Nebenwinkel sind, gilt: .

Nachweise

  1. Erbrecht et al. (2012). Das große Tafelwerk interaktiv Formelsammlung für die Sekundarstufe I und II. Cornelsen Verlag, Berlin

Häufig gestellte Fragen zum Thema Nebenwinkel

Nebenwinkel ergeben in der Summe immer 180°. Ist die Größe einer der beiden Winkel bekannt, kann der andere Winkel berechnet werden. Es gilt: β = 180° - α. 

Wenn ein Winkel der Nebenwinkel eines anderen Winkels ist, bedeutet das, dass die Winkelsumme der beiden Winkel 180° beträgt.

Es gilt: α + β = 180°

Es handelt sich also um zwei Winkel an einer Geraden, die insgesamt 180° ergibt.

Nebenwinkel ergeben in der Summe immer 180°. Ist die Größe einer der beiden Winkel bekannt, kann die Größe seines Nebenwinkels über den Nebenwinkelsatz berechnet werden. Es gilt: α + β = 180° . Möchtest Du zum Beispiel den Winkel β ermitteln, so stellst Du um: β = 180° - α

Schneiden sich zwei Geraden, so ergibt sich eine Geradenkreuzung. Winkel, die an dieser Kreuzung nebeneinander liegen, bezeichnest Du als Nebenwinkel. Dabei gibt es insgesamt vier Nebenwinkelpaare, jeweils zwei sich gegenüberliegende.

Finales Nebenwinkel Quiz

Frage

Gib die Formel an, mit der Du die Größe des Winkels β berechnen kannst, wenn er ein Nebenwinkel von α ist. Die Größe des Winkels α ist Dir bekannt. 

Antwort anzeigen

Antwort




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Frage

Zeichne die beiden Nebenwinkel von β in die Skizze ein. 


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie Nebenwinkel entstehen. 


Antwort anzeigen

Antwort

Nebenwinkel entstehen dadurch, dass sich zwei Geraden schneiden. Es entsteht eine Geradenkreuzung mit vier Winkel. Winkel, die an dieser Geradenkreuzung nebeneinander liegen, sind Nebenwinkel. 

Frage anzeigen

Frage


Gib an, wie viele Nebenwinkelpaare entstehen, wenn sich zwei Geraden schneiden.

Antwort anzeigen

Antwort

Es ergeben sich insgesamt 4 Nebenwinkelpaare.

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Frage

Benenne die vier Nebenwinkelpaare, die sich am Schnittpunkt zweier Geraden ergeben.

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Antwort



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Frage

α und β sind Nebenwinkel. Es ist bekannt, dass α 33° beträgt. Bestimme die Größe von β.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Größe des Winkels β beträgt 147°.


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Frage

α und β sind Nebenwinkel. Es ist bekannt, dass  beträgt. Berechne die Größe von β.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Größe des Winkels β beträgt 92°. 

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Frage

Erläutere, warum es sich bei den beiden Winkeln nicht um Nebenwinkel handelt. 


Antwort anzeigen

Antwort

Nebenwinkel entstehen, wenn sich zwei Geraden kreuzen. Sie liegen an der Geradenkreuzung nebeneinander. Die beiden Winkel in dieser Skizze liegen jedoch gegenüber voneinander. Deshalb sind sie keine Nebenwinkel, sondern Scheitelwinkel.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie Du mithilfe Deines Wissen zu Nebenwinkeln den Winkel γ berechnen kannst, wenn Du die Größe des Winkels α kennst. 




Antwort anzeigen

Antwort

Obwohl die beiden Winkel keine Nebenwinkel voneinander sind, ist es möglich, die Größe des Winkels γ zu bestimmen. Dazu berechnest Du zunächst die Größe eines Nebenwinkels von α. Ein Nebenwinkel von α ist zum Beispiel β. Wenn du die Größe von β kennst, kannst Du den Winkel γ bestimmen, da dieser ebenfalls ein Nebenwinkel von β ist. 

Frage anzeigen

Frage

Nenne die beiden Vorteile, die Du hast, wenn Du Winkelgrößen mithilfe Deines Wissens über Winkelpaare berechnest, anstatt sie mit dem Geodreieck auszumessen. 

Antwort anzeigen

Antwort

  1. geringerer Zeitaufwand
  2. genauere Ergebnisse

Frage anzeigen

Frage

Benenne die vier Arten von Winkelpaaren, die an Schnittpunkten von Geraden entstehen. 

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Nebenwinkel
  2. Scheitelwinkel
  3. Stufenwinkel
  4. Wechselwinkel

Frage anzeigen

Frage

Wie bezeichnest Du einen 180°-Winkel auch?

Antwort anzeigen

Antwort

gestreckter Winkel

Frage anzeigen

Frage

Dir liegt diese Skizze vor: 

Bestimme die Größe des Winkels β, wenn gilt: α = 52°. Dies ist übrigens der Nebenwinkel.

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Antwort

Für Nebenwinkel gilt:


Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob sich bei den drei Winkeln α, β und γ eine Winkelsumme von 180° ergibt. 


Antwort anzeigen

Antwort

Ja, die drei Winkel haben zusammen eine Winkelsumme von 180°. Das liegt daran, dass sich auf einer Seite einer Geraden immer ein gestreckter Winkel (180°-Winkel) befindet. Der gestreckte Winkel wird, wenn sich drei Geraden an einem Punkt schneiden, in drei Winkel unterteilt. In diesem Beispiel handelt es sich hierbei um die Winkel α, β und γ. 

Frage anzeigen

Frage

α und β sind Nebenwinkel.

Beweise, dass der Winkel β ebenso ein rechter Winkel ist, wenn es sich bei α um einen rechten Winkel handelt.


Antwort anzeigen

Antwort

Wenn α ein rechter Winkel ist, handelt es sich um einen 90°-Winkel. Es gilt also:



Wenn es sich bei α um einen rechten Winkel handelt, ist auch β ein rechter Winkel, sofern α und β Nebenwinkel sind. 

Frage anzeigen

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