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Nebenwinkel

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Mathe

In diesem Artikel erfährst du alles was du dem Thema Nebenwinkel wissen musst. Das Thema Winkel und damit auch die Nebenwinkel sind inhaltlich der Geometrie im Fach Mathematik zuzuordnen. 


Nebenwinkel einfach erklärt

In diesem Abschnitt findest du zunächst eine Definition von Nebenwinkeln und alle weiteren wichtigen Informationen, die du im Zusammenhang mit dem Nebenwinkel kennen solltest. 

Darauf aufbauend kannst du durch die Herleitung der Nebenwinkel dein Wissen in diesem Thema festigen und vertiefen. 

Wenn du bei dem Begriff "Herleitung" direkt an komplizierte Formeln denkst, kann ich dich erleichtern! Die Herleitung der Nebenwinkel ist leicht verständlich! Erfahrungsgemäß fällt es vielen außerdem leichter mit Nebenwinkeln zu rechnen, wenn man dieses Prinzip mithilfe der Herleitung einmal verstanden hat.


Was sind Nebenwinkel?

Nebenwinkel entstehen, wenn sich zwei Geraden schneiden. Zwei Winkel sind Nebenwinkel voneinander, wenn sie an der Kreuzung der Geraden nebeneinander liegen. 

Zusammengehörige Nebenwinkel werden auch als Winkelpaar bezeichnet. Insgesamt entstehen am Schnittpunkt zweier Geraden vier Nebenwinkelpaare. 

Die Winkelsumme von Nebenwinkeln beträgt immer 180°. Nebenwinkel ergänzen sich demnach immer zu einem gestreckten Winkel

Dieses Wissen kann dir helfen, die Größe von einem Winkel zu bestimmen, ohne sie aufwändig mit einem Geodreieck ausmessen zu müssen. 

Am Schnittpunkt der Geraden g und h entstehen neben Nebenwinkeln noch weitere Winkelpaare: die Scheitelwinkel. Schneidet eine Gerade zwei parallel liegende Geraden, so entstehen außerdem Stufenwinkel und Wechselwinkel. Wenn du mehr zu diesen Winkeln wissen möchtest, empfehle ich dir, in unseren separaten Artikeln zu diesen Winkelpaaren nachzulesen.


Nebenwinkel einfach erklärt - Herleitung Nebenwinkel

Nebenwinkel entstehen, wenn sich zwei Geraden g und h an einem Punkt P schneiden. 

Am Schnittpunkt P entsteht dann eine Geradenkreuzung. Diese unterteilt den umliegenden Bereich in vier Teile, die durch die beiden Geraden g und h begrenzt werden. 

Das sieht zum Beispiel folgendermaßen aus: 



Du weißt sicherlich, dass der Winkel auf einer Seite einer Geraden 180° beträgt. Das entspricht einem gestreckten Winkel. Dieser gestreckte Winkel wird im Folgenden als  bezeichnet.  ist der griechische Buchstabe für e und wird "epsilon" ausgesprochen.



Um das Prinzip vom Nebenwinkel besser zu verstehen, wurde der Winkel  entlang der Geraden g in das Schaubild eingetragen. Anhand dieses Bildes kannst du erkennen, dass die Winkelsumme der beiden Winkel  und , welche zusammen den Winkel  ergeben, 180° betragen muss.

 

Es gilt also:


Grafisch dargestellt sieht das so aus:



Die Winkel  und  sind demnach Nebenwinkel. Sie liegen an der Geradenkreuzung nebeneinander.


Dasselbe Prinzip gilt für die beiden Winkel  und , die oberhalb der Geraden g liegen:


Auch bei diesen Winkel gilt:


Zur Überprüfung: 


Die Winkelsumme der beiden Winkel beträgt 180°.

Am Anfang dieses Artikels hast du gelernt, dass sich an einem Schnittpunkt zweier Geraden insgesamt vier Nebenwinkelpaare ergeben. Bisher hast du in diesem Artikel zwei der vier Nebenwinkelpaare kennengelernt. Aber wo sind die übrigen beiden Winkelpaare?


Bisher wurden nur die Winkel in Kombination betrachtet, die entlang der Geraden g eine Winkelsumme von 180° erreichen. Um alle Nebenwinkelpaare zu finden, müssen natürlich auch die Winkelpaare berücksichtigt werden, die entlang der Geraden h eine Winkelsumme von 180° haben. 


Daher gilt: auch die Winkel  und  sind ein Nebenwinkel voneinander, ebenso wie die beiden Winkel  und  Nebenwinkel voneinander sind.

Es gilt also:

  und



In dieser Abbildung siehst du alle vier Winkel , ,  und  eingezeichnet. Ein Nebenwinkelpaar ergibt sich jeweils aus einem pink markiertem Winkel und einem türkis markiertem Winkel.


Die Nebenwinkelpaare bei zwei sich schneidenden Geraden sind:

  1. Winkel  und Winkel
  2. Winkel  und Winkel
  3. Winkel  und Winkel
  4. Winkel  und Winkel

Wofür werden Nebenwinkel genutzt?

In den vorherigen Abschnitten hast du eine Menge an theoretischen Grundlagen zum Nebenwinkel gelernt. Wenn du dich nun fragst, wofür du das gewonnene Wissen über diese Winkel in der Praxis nutzen kannst, bist du hier genau richtig. 


Nicht immer sind in einer Skizze alle Größen der Winkel genau angegeben. Häufig wird nur die Größe von einem einzelnen Winkel eingetragen. Wenn du aber - zum Beispiel für darauf aufbauende Berechnungen -  wissen möchtest, wie groß die einzelnen Winkel genau sind, hast du zwei Möglichkeiten: 


  1. Du misst mit dem Geodreiecks die Größen der Winkel einzeln nach. 
  2. Du berechnest die Größen der Winkel mithilfe deines Wissens zu den verschiedenen Winkelpaaren. 


Die erste Variante ist nicht nur extrem zeitaufwendig, sondern je nach Skizze auch ziemlich ungenau. Deshalb ist es in der Regel sinnvoller auf dein Wissen über Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel zurückzugreifen. 


Du sollst die Größe von einem Winkel  bestimmen. Der Winkel  ist ein Nebenwinkel vom Winkel . Die Größe vom Winkel  ist dir bekannt. Um die Größe vom Winkel β zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor:

Diese Formel erhältst du, indem du die Ausgangsformel  nach  auflöst.

Nebenwinkel erkennen und berechnen - Beispiele

Abschließend kannst du in diesem Abschnitt alles, was du in diesem Artikel über Nebenwinkel gelernt hast, an einigen Beispielen üben.

Nebenwinkel erkennen und berechnen - Beispiel 1

 und  sind Nebenwinkel. Du weißt, dass der Winkel  72° beträgt. Wie groß ist der Winkel ?


Da  und  Nebenwinkel sind, beträgt die Winkelsumme der beiden Winkel 180°.

Um die Größe vom Winkel  zu berechnen, nutzt du folgende Formel:

Im nächsten Schritt setzt du  in die Formel ein.

Die Größe vom Winkel  beträgt also 108°.

Nebenwinkel erkennen und berechnen - Beispiel 2

Dir liegt diese Skizze von drei sich schneidenden Geraden vor: 




Beantworte mithilfe der Informationen aus der Skizze folgende Fragen zum Thema Nebenwinkel:

  1. Welche Winkel sind Nebenwinkel vom Winkel ?
  2. Welche Winkel sind Nebenwinkel vom Winkel ?
  3. Welche Winkel sind Nebenwinkel vom Winkel ?


Lösung:

  1. Nebenwinkel von  sind die Winkel  und .
  2. Nebenwinkel von  sind die Winkel  und .
  3. Nebenwinkel von  sind die Winkel  und .

Nebenwinkel erkennen und berechnen - Beispiel 3

Zwei Geraden schneiden sich und bilden dieses Geradenkreuz. Dir ist bekannt, dass der Winkel  52,2° beträgt.

Berechne mithilfe dieser Information und der vorliegenden Skizze die Größen der Winkel ,  und .

Lösung:

Die Winkel  und sind Nebenwinkel vom Winkel . Für sie gilt:

Da , gilt für die Winkel  und :


Du kennst nun die Größe des Winkels  bzw. des Winkels . Da diese Nebenwinkel vom Winkel  sind, kannst du den Winkel  jetzt folgenderweise bestimmen:


Dass der Winkel  genauso groß ist wie der Winkel , ist kein Zufall. Die beiden Winkel sind Scheitelwinkel und haben deshalb die gleiche Größe.


Super gemacht! Du hast jetzt alles Wichtige zum Thema Nebenwinkel gelernt. Wenn du zum absoluten Experten im Themenbereich "Winkel zwischen Geraden" werden willst, solltest du dich als nächstes mit dem Scheitelwinkel, dem Stufenwinkel und dem Wechselwinkel vertraut machen.



Nebenwinkel - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Nebenwinkel entstehen, wenn sich zwei Geraden schneiden. Sind zwei Winkel Nebenwinkel voneinander, werden sie auch als Nebenwinkelpaar bezeichnet. 
  • An einem Schnittpunkt von zwei Geraden entstehen insgesamt vier Nebenwinkelpaare. 
  • Die Winkelsumme eines Nebenwinkelpaars beträgt immer 180°.
  • Wenn α und β Nebenwinkel sind, gilt: 180° - α = β

Häufig gestellte Fragen zum Thema Nebenwinkel

Nebenwinkel ergeben in der Summe immer 180°. Ist die Größe einer der beiden Winkel bekannt, muss der andere Winkel nicht gemessen werden, sondern kann ganz einfach berechnet werden. Es gilt: β = 180° - α

Wenn ein Winkel der Nebenwinkel eines anderen Winkels ist, bedeutet das, dass die Winkelsumme der beiden Winkel 180° beträgt. 

Es gilt: α + β = 180°

Nebenwinkel ergeben in der Summe immer 180°. Ist die Größe einer der beiden Winkel bekannt, kann die Größe seines Nebenwinkels ganz einfach berechnet werden. Es gilt: β = 180° - α

Schneiden sich zwei Geraden, so ergibt sich eine Geradenkreuzung. Winkel, die an dieser Kreuzung nebeneinander liegen, nennt man Nebenwinkel. 

Nebenwinkel ergeben in der Summe immer 180°.

Finales Nebenwinkel Quiz

Frage

Gib die Formel an, mit der du die Größe des Winkels β berechnen kannst, wenn er ein Nebenwinkel von α ist. Die Größe des Winkels α ist dir bekannt. 

Antwort anzeigen

Antwort



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Frage

Zeichne die beiden Nebenwinkel von β in die Skizze ein. 

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie Nebenwinkel entstehen. 


Antwort anzeigen

Antwort

Nebenwinkel entstehen dadurch, dass sich zwei Geraden schneiden. Es entsteht eine Geradenkreuzung mit vier Winkel. Winkel, die an dieser Geradenkreuzung nebeneinander liegen, sind Nebenwinkel. 

Frage anzeigen

Frage


Gib an, wie viele Nebenwinkelpaare entstehen, wenn sich zwei Geraden schneiden.
Antwort anzeigen

Antwort

Es ergeben sich insgesamt 4 Nebenwinkelpaare.

Frage anzeigen

Frage

Benenne die vier Nebenwinkelpaare, die sich am Schnittpunkt zweier Geraden ergeben.

Antwort anzeigen

Antwort



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Frage

α und β sind Nebenwinkel. Es ist bekannt, dass α 33° beträgt. Bestimme die Größe von β.

Antwort anzeigen

Antwort


Die Größe des Winkels β beträgt 147°.


Frage anzeigen

Frage

α und β sind Nebenwinkel. Es ist bekannt, dass α 88° beträgt. Berechne die Größe von β.

Antwort anzeigen

Antwort


Die Größe des Winkels β beträgt 92°. 

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, warum es sich bei den beiden Winkeln nicht um Nebenwinkel handelt. 

Antwort anzeigen

Antwort

Nebenwinkel entstehen, wenn sich zwei Geraden kreuzen. Sie liegen an der Geradenkreuzung nebeneinander. Die beiden Winkel in dieser Skizze liegen jedoch gegenüber voneinander. Deshalb sind sie keine Nebenwinkel. 

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie du mithilfe deines Wissen zu Nebenwinkeln den Winkel γ berechnen kannst, wenn du die Größe des Winkels α kennst. 


Antwort anzeigen

Antwort

Obwohl die beiden Winkel keine Nebenwinkel voneinander sind, ist es möglich, die Größe des Winkels γ zu bestimmen. Dazu berechnet man zunächst die Größe eines Nebenwinkels von α. Ein Nebenwinkel von α ist zum Beispiel β. Wenn du die Größe von β kennst, kannst du den Winkel γ bestimmen, da dieser ebenfalls ein Nebenwinkel von β ist.


Frage anzeigen

Frage

Nenne die beiden Vorteile, die du hast, wenn du Winkelgrößen mithilfe deines Wissens zu Winkelpaaren berechnest, anstatt sie mit dem Geodreieck auszumessen. 

Antwort anzeigen

Antwort

  1. geringerer Zeitaufwand
  2. genauere Ergebnisse
Frage anzeigen

Frage

Benenne die vier Arten von Winkelpaaren, die an Schnittpunkten von Geraden entstehen. 

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Nebenwinkel
  2. Scheitelwinkel
  3. Stufenwinkel
  4. Wechselwinkel
Frage anzeigen

Frage

Wie nennt man einen 180°-Winkel auch?

Antwort anzeigen

Antwort

gestreckter Winkel

Frage anzeigen

Frage

Dir liegt diese Skizze vor: 

Bestimme die Größe des Winkels β, wenn gilt: α = 52°

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Antwort

Man kann erkennen, dass α und β Nebenwinkel sind. Daher gilt:

Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob sich bei den drei Winkeln α, β und γ eine Winkelsumme von 180° ergibt. 


Antwort anzeigen

Antwort

Ja, die drei Winkel haben zusammen eine Winkelsumme von 180°. Das liegt daran, dass sich auf einer Seite einer Geraden immer ein gestreckter Winkel (180°-Winkel) befindet. Der gestreckte Winkel wird, wenn sich drei Geraden an einem Punkt schneiden, in drei Winkel unterteilt. In diesem Beispiel handelt es sich hierbei und die Winkel α, β und γ. 

Frage anzeigen

Frage

α und β sind Nebenwinkel.

Beweise, dass es sich beim Winkel β ebenso ein rechter Winkel ist, wenn es sich bei α um einen rechten Winkel handelt.


Antwort anzeigen

Antwort

Wenn α ein rechter Winkel ist, handelt es sich um einen 90°-Winkel. Es gilt also:


Wenn es sich bei α um einen rechten Winkel handelt, ist auch β ein rechter Winkel, sofern α und β Nebenwinkel sind. 

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