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Quadrat Diagonale

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Quadrat Diagonale

In den folgenden Abschnitten lernst du, wie du die Diagonale eines Rechtecks bzw. eines Vierecks berechnen kannst. Die Diagonale bezeichnet die Verbindungsstrecke zwischen zwei gegenüberliegenden Eckpunkten. Jedes Viereck hat vier Seiten, wobei diese meist mit den Bezeichnungen: a=[AB], b=[BC], c=[CD] und d=[DA] bezeichnet werden. Das Thema kann dem Fach Mathematik zugeordnet werden.

Die Diagonale eines Rechtecks

Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier gleich großen Winkeln, das heißt jeder Winkel beträgt genau 45°. In der Geometrie bezeichnet man als Diagonale die Verbindungsstrecke, die zwei Eckpunkte so kurz wie möglich miteinander verbindet.

Die Diagonalen in einem Rechteck sind gleich lang, sie halbieren einander und schneiden sich im Mittelpunkt M. Da sie gleich lang sind und sich in der Mitte schneiden, teilen sie das Rechteck in zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke.

Wir bezeichnen die Diagonale mit d.

Um die Diagonale eines Rechtecks zu berechnen, greifen wir auf den Satz des Pythagoras zurück. Zur Erinnerung: Der Satz des Pythagoras besagt:

Wir schauen uns eins der beiden Dreiecke an und wenden diese Formel darauf an.

Wenn wir den Satz des Pythagoras auf unser Dreieck anwenden, erhalten wir also:

Die Diagonale in einem Rechteck berechnen wir also mit der Formel:

Beispielaufgaben

1. Berechne die Länge der Diagonale d eines Rechteckes, wenn die Länge a = 4cm und die Breite b = 3cm beträgt.

Wir setzen die Werte in unsere Formel ein und berechnen dann die Diagonale.

Die Diagonale d beträgt in dieser Aufgabe 5 cm.

2. Berechne die Länge der Diagonale d eines Rechteckes, wenn die Länge a = 8cm und die Breite b = 7cm beträgt.

Wir setzen die Werte in unsere Formel ein und berechnen dann die Diagonale.

Die Diagonale d beträgt in dieser Aufgabe 10,63 cm.

Die Diagonale eines Quadrats

Bei einem Quadrat sind - im Gegensatz zu einem Rechteck, wo nur jeweils zwei Seiten gleich lang sind- alle vier Seiten gleich lang und ein Quadrat hat - wie ein Rechteck auch - vier rechte Winkel, also vier 45° Winkel.

Die Diagonalen im Quadrat werden mit d bezeichnet. Diese sind gleich lang und unterteilen das Quadrat in zwei rechtwinklige Dreiecke. d stellt die Hypotenuse der Dreiecke dar.

Um die Diagonale eines Quadrats zu berechnen, greifen wir auf den Satz des Pythagoras zurück.

Wir schauen uns eins der beiden Dreiecke an und wenden diese Formel darauf an.

Wenn wir den Satz des Pythagoras auf unser Dreieck anwenden und vereinfachen, erhalten wir also:

Die Diagonale in einem Quadrat berechnen wir also mit der Formel:

Beispielaufgaben

1. Berechne die Länge der Diagonale d eines Quadrats mit der Seitenlänge a=3cm. Wir setzen a=3cm in unsere Formel ein und berechnen dann die Diagonale.

Die Diagonale d beträgt in dieser Aufgabe ca. 4,24cm.

2. Berechne die Länge der Diagonale d eines Quadrats mit der Seitenlänge a=6km. Wir setzen a=6km in unsere Formel ein und berechnen dann die Diagonale.

Die Diagonale d beträgt in dieser Aufgabe ca. 8,49km.

Die Diagonale in einem Viereck

Ein Viereck hat vier verschieden lange Seiten und vier verschieden große Winkel. Auch hier gibt es zwei Diagonalen, welche aber meist mit „e“ und „f“ bezeichnet werden. Hier gibt es leider keine derartige Formel zur Bestimmung der Diagonale, da die Maße nicht einheitlich sind.

Die Seitenlänge mithilfe der Diagonale berechnen

Wir können die oben genannten Formeln natürlich auch „andersherum“ anwenden. Bei einigen Aufgaben ist dann die Diagonale gegeben und wir müssen die Seitenlänge bestimmen.

Beispielaufgabe

1. Berechne die Seitenlänge a eines Quadrats mit der Diagonale d=5m. Wir setzen d=5m in unsere Grundformel ein, jedoch setzen wir diesen Wert jetzt für das d in die linke Seite der Gleichung ein und berechnen dann die Seitenlänge.

Die Seitenlänge a für das gegebene Quadrat beträgt also a=3,54m.

Diagonale berechnen - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die Diagonale bezeichnet die Verbindungsstrecke zwischen zwei gegenüberliegenden Eckpunkten.
  • Die Diagonalen d in einem Rechteck sind gleich lang, sie halbieren einander und schneiden sich im Mittelpunkt M.
  • Außerdem teilen sie das Rechteck in zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke.
  • Die Diagonale in einem Rechteck berechnen wir also mit der Formel:
  • Die Diagonalen im Quadrat werden mit d bezeichnet. Diese sind gleich lang und unterteilen das Quadrat in zwei rechtwinklige Dreiecke. d stellt die Hypotenuse der Dreiecke dar.
  • Die Diagonale in einem Quadrat berechnen wir also mit der Formel:
  • Mithilfe der oben genannten Formeln lässt sich die Seitenlänge des Quadrats bzw. Rechtecks berechnen. Dazu muss aber dann die Diagonale gegeben sein.

Unser Tipp für Euch

Löse die Aufgabe schrittweise. Wenn du die Diagonale eines Rechtecks/Quadrats berechnen musst, dann schreibe dir zuerst die Formel auf. Setze anschließend die Werte für a und b ein und berechne dann das Ergebnis.

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