Stell Dir vor, Du möchtest umziehen. Dabei möchtest Du Deinen Fernseher durch ein Fenster tragen. Das Fenster ist quadratisch und hat eine Seitenlänge von \begin{align} \color{#1478c8}a&=\color{#1478c8}70 \text{ cm.}\end{align} Dein Fernseher ist \(\text{95 cm}\) hoch und passt somit, ohne ihn zu kippen, definitiv nicht durch das Fenster. Wie sieht es jedoch aus, wenn Du ihn schräg durch das Fenster trägst?
Abbildung 1: Diagonale eines Quadrats berechnen am Beispiel eines Fensters
Ob der Fernseher durch das Fenster passt, verrät Dir die Länge der Diagonalen des Fensters. Wie Du diese ermittelst und was es allgemein mit der Diagonalen eines Quadrats auf sich hat, erfährst Du hier!
Quadrat – Grundlagenwissen
Das Quadrat ist eine geometrische Figur aus der Familie der Vierecke.
Das Quadrat ist durch folgende Merkmale definiert:
- Alle Seiten sind gleich lang.
- Jeder Innenwinkel ist 90 Grad groß. Das Quadrat ist somit gleichwinklig.
Die Beschriftung eines Quadrats ist immer gleich:
- Die Beschriftung der Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben. Da alle vier Seiten gleich lang sind, wird jede Seite mit a beschriftet.
- Die Beschriftung der Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn: A, B, C, D
Abbildung 2: Definition Quadrat
Diagonale Quadrat – Allgemeines
Eine Diagonale stellt in der Geometrie eine Strecke dar, die zwei gegenüberliegende Eckpunkte von einer Fläche miteinander verbindet, ohne dabei eine Seite der Figur zu sein.
Ein Quadrat hat zwei Diagonalen d, welche sich einander im Mittelpunkt M der Figur in einem rechten Winkel schneiden und das Quadrat jeweils in zwei gleich große, rechtwinklige Dreiecke teilen.
Die Diagonalen werden mit d beschriftet und oft als gestrichelte Linien dargestellt.
Abbildung 3: Diagonalen eines Quadrats
Diagonale Quadrat zeichnen
Möchtest Du die Diagonalen d selbst in ein Quadrat einzeichnen, verbindest Du dabei die gegenüberliegenden Eckpunkte A und C sowie B und D miteinander. Die Winkel zwischen den jeweiligen Seiten des Quadrats und der Diagonalen d müssen dabei immer 45 Grad entsprechen.
Abbildung 4: Diagonale eines Quadrats zeichnen
Diagonale Quadrat berechnen – Formel
Die Diagonale stellt die längste Strecke innerhalb eines Quadrats dar.
Die Länge der Diagonalen d eines Quadrats mit Seitenlänge a kannst Du mit folgender Formel berechnen:
\[d=\sqrt{2} \cdot a\]
Damit hast Du jetzt alle Informationen, um das Umzugsproblem vom Beginn der Erklärung zu lösen.
Wie war das noch mal genau? Du möchtest umziehen und dabei einen Fernseher durch ein quadratisches Fenster tragen. Das Fenster hat eine Seitenlänge von jeweils \begin{align} \color{#1478c8}a&=\color{#1478c8}70 \text{ cm.}\end{align} Dein Fernseher ist \(\text{95 cm}\) hoch und passt somit, ohne ihn zu kippen, definitiv nicht durch das Fenster. Passt der Fernseher jedoch vielleicht schräg durch das Fenster?
Abbildung 5: Beispielaufgabe zur Berechnung der Diagonalen eines Quadrats
Gesucht ist also die längste Strecke innerhalb des Fensters – die Diagonale eines Quadrats. Ist diese länger als die Höhe des Fernsehers, passt der Fernseher durch das Fenster.
Für die Berechnung der Diagonalen setzt Du jetzt für a in die Formel die Länge der Seite des Quadrats ein. Hier also \(\text{70 cm}\). Diese Rechnung kannst Du dann lösen.
\begin{align} d &= \sqrt{2} \cdot \color{#1478c8}a\\\\d&= \sqrt{2} \cdot \color{#1478c8}70 \text{ cm} \\ d&\approx 99 \text{ cm} \\ \\ \color{#fa3273}99 \text{ cm} &> \color{#00dcb4}95 \text{ cm} \end{align}
Die Diagonale d des Fensters ist knapp \(\text{99 cm}\) lang. Demnach passt der Fernseher mit einer Höhe von \(\text{95 cm}\) knapp durch das Fenster.
Möchtest Du also die Länge der Diagonalen d eines Quadrats berechnen, benötigst Du nur Angaben zu den Seitenlängen. Wie sieht es aber andersherum aus? Es gibt auch Aufgaben, bei denen die Diagonale d gegeben ist und nach den Seitenlängen gefragt wird.
Seitenlänge Quadrat mit Diagonale berechnen
Um die Länge einer Seite eines Quadrats mit gegebener Diagonale zu berechnen, stellst Du die oben genannte Formel für die Länge der Diagonalen d nach der Seitenlänge a um.
\begin{align}d&=\sqrt{2}\cdot a &&|: \sqrt{2}\\ \frac{d}{\sqrt{2}}&=a \end{align}
Die Länge der Seiten a eines Quadrats mit der Diagonalen d kannst Du mit folgender Formel berechnen:
\[a = \frac{d}{\sqrt{2}}\]
Du kannst dabei selbst entscheiden, ob Du für die Berechnung der Seitenlängen direkt die Formel nutzt, oder die Formel für die Länge der Diagonalen bei Bedarf umstellst.
Aufgabe 1
Stell Dir vor, Du möchtest eine neue Tasche für Deinen Laptop kaufen. Auf der Internetseite ist nur die Flächendiagonale der Tasche mit \begin{align}d= 60 \text{ cm} \end{align} angegeben. Die längste Seite Deines Laptops beträgt \(\text{37 cm}\). Würde der Laptop in die Tasche passen? Die Tasche kann als quadratisch angesehen werden.
Lösung
Gesucht ist also die Seitenlänge der quadratischen Tasche. Für die Berechnung setzt Du in die Formel für die Länge der Diagonale \(d = 60 \, cm\) ein und löst nach der Seite a auf.
\begin{align} {\color{#fa3273}d} &= \sqrt{2} \cdot a \\ \\ {\color{#fa3273}60\text{ }cm} &= \sqrt{2} \cdot a && |: \sqrt{2} \\42,43 \text{ } cm & \approx a \\ \\42,43 \, cm &> 37\, cm\end{align}
Die Tasche ist also mit einer Seitenlänge von über \(\text{42 cm}\) groß genug für den Laptop. Vielleicht ist sogar noch etwas Platz für das Ladekabel.
Mit dem Umstellen der Formel für die Länge der Diagonalen zu der Seitenlänge a kannst Du jetzt, wenn Du nur die Länge der Diagonalen kennst, auch den Umfang U oder Flächeninhalt A eines Quadrats berechnen.
Flächeninhalt Quadrat mit Diagonale berechnen
Die Formel für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Quadrats ist von der Seitenlänge a abhängig.
Der Flächeninhalt A eines Quadrats mit Seitenlänge a kann mit folgender Formel berechnet werden:
\begin{align}A&=a \cdot a \\ &=a^2\end{align}
Hast Du nur die Diagonale d gegeben und Du möchtest daraus den Flächeninhalt des Quadrats ermitteln, musst Du zunächst die Seitenlänge a wie im vorigen Beispiel ermitteln. Die Rechnung besteht also aus zwei Schritten.
- Schritt 1: Formel für die Länge der Diagonalen d nach der Seitenlänge a umstellen \[\rightarrow a= \frac{d}{\sqrt{2}}\]
- Schritt 2: Flächeninhalt A mit der ermittelten Seitenlänge a berechnen \[\rightarrow A= a\cdot a\]
Diese beiden Schritte lassen sich auch in eine Formel für den Flächeninhalt zusammenfassen.
Der Flächeninhalt A eines Quadrats mit der Länge der Diagonalen d kann mit folgender Formel berechnet werden: \begin{align}A&=\frac{d}{\sqrt{2}} \cdot \frac{d}{\sqrt{2}}\\[0.1cm] &=\left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2\end{align}
Du kannst Dir also entweder die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats in Abhängigkeit von der Diagonalen merken oder die zwei oben genannten Schritte anwenden.
Aufgabe 2
Stell Dir vor, Du befindest Dich zurzeit in einem Einrichtungsladen, um neue Vorhänge für Dein quadratisches Fenster zu kaufen. Leider hast Du die Maße des Fensters vergessen. Du erinnerst Dich lediglich an die ungefähre Länge der Diagonalen mit \begin{align}{\color{#fa3273}d} \approx {\color{#fa3273}99 \text{ cm}} ,\end{align} die Du beim Umzug für den Fernseher schon einmal berechnet hast.
Abbildung 6: Quadratisches Fenster mit der Diagonalen d
Wie viel Fläche an Stoff für die Vorhänge benötigst Du mindestens, damit das Fenster komplett abgedeckt wird?
Lösung
Gesucht ist die Fläche A des Fensters.
Schritt 1: Seitenlänge a berechnen
Stelle die Formel für die Diagonale d nach der Seitenlänge a um.
\begin{align} {\color{#fa3273}d} &= \sqrt{2} \cdot a \\ \\ {\color{#fa3273}99\text{ }cm} &= \sqrt{2} \cdot a && |: \sqrt{2} \\60 \text{ } cm & \approx a \end{align}
Schritt 2: Flächeninhalt A berechnen
Setze die in Schritt 1 ermittelte Seitenlänge \[a = 60 \, cm\]in die Formel für den Flächeninhalt ein.
\begin{align} A &= {\color{#1478c8}a}\cdot {\color{#1478c8}a}\\ \\ A &={\color{#1478c8}60\, cm} \cdot {\color{#1478c8}60 \, cm}\\A & =8100 \,cm^2\end{align}
Der Flächeninhalt des Fensters beträgt also in etwa \(\text{8100 } cm^2\) Damit benötigst Du auch mindestens diese Fläche an Stoff für die Vorhänge, um das Fenster komplett zu bedecken.
Auf ähnliche Weise kannst Du auch vorgehen, wenn Du den Umfang \(\bf{U=4\cdot a}\) eines Quadrats bei gegebener Diagonalen d berechnen möchtest.
Wie Du siehst, kannst Du die Formel für die Berechnung der Länge der Diagonalen eines Quadrats vielseitig einsetzen. Aber warum gilt diese Formel überhaupt?
Diagonale Quadrat – Formel Beweis
Die Formel für die Länge der Diagonalen lässt sich mit dem Satz des Pythagoras herleiten.
Zur Erinnerung: Der Satz des Pythagoras beschreibt einen Zusammenhang zwischen den drei Seiten a, b und c eines rechtwinkligen Dreiecks. Es gilt: \(\bf{a^2+b^2=c^2}\), wobei die Seite c die Hypotenuse darstellt.
Die beiden Diagonalen des Quadrats teilen das Viereck jeweils in zwei rechtwinklige Dreiecke.
Abbildung 7: Berechnung der Länge der Diagonalen d über den Satz des Pythagoras
Betrachte für die Herleitung der Formel das untere Dreieck \(\Delta ABC\). Die Diagonale d befindet sich gegenüber dem rechten Winkel und stellt damit die Hypotenuse innerhalb des Dreiecks dar. Die übrigen Seiten des Dreiecks haben eine Länge von a.
Mit diesen Informationen kannst Du den Satz des Pythagoras auf das Dreieck anwenden.
\begin{align}{\color{#fa3273}d}^2={\color{#1478c8}a}^2+{\color{#1478c8}a}^2 \end{align}
Jetzt löst Du die Gleichung nach der Diagonalen d auf und vereinfachst sie so weit, wie es geht.
\begin{align}{\color{#fa3273}d}^2&={\color{#1478c8}a}^2+{\color{#1478c8}a}^2 &&|\sqrt{\text{ }}\\ \color{#fa3273}d&=\sqrt{{\color{#1478c8}a}^2+{\color{#1478c8}a}^2}\\\color{#fa3273}d&=\sqrt{2\cdot {\color{#1478c8}a}^2} \\\color{#fa3273}d&=\sqrt{2}\cdot \color{#1478c8}a \end{align}
Damit hast Du die Formel für die Länge der Diagonalen eines Quadrats erfolgreich mit dem Satz des Pythagoras hergeleitet.
Diagonale Quadrat – Aufgaben
Jetzt ist es an der Zeit, Dein Wissen mit einigen Aufgaben rund um das Thema Diagonale eines Quadrats auf die Probe zu stellen bzw. zu vertiefen!
Aufgabe 3
Ein Quadrat hat die Seitenlängen von jeweils \[a = 40 \, cm.\]Berechne die Länge der Diagonalen d des Quadrats.
Lösung
Zur Berechnung setzt Du die Seitenlänge des Quadrats in die Formel für Länge der Diagonalen d ein.
\begin{align} d &= \sqrt{2} \cdot \color{#1478c8}a\\\\d&= \sqrt{2} \cdot \color{#1478c8}40 \text{ cm} \\ d&\approx \text{56,57 cm} \end{align}
Die Länge der Diagonalen des Quadrats beträgt also ungefähr \(\text{56,57 cm}\).
Aufgabe 4
Der Flächeninhalt eines Quadrats beträgt \[A = 2500 \, cm^2.\]Welche Länge hat entsprechend die Diagonale d des Quadrats?
Lösung
Setze in die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats in Abhängigkeit der Diagonalen d den Flächeninhalt \(A=1600 \, cm^2\) ein und löse nach der Diagonalen d auf.
\begin{align}\color{#1478c8} A&=\left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2 \\\\ {\color{#1478c8}2500 \, cm^2} &=\left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2&&|\sqrt{\text{ }} \\[0.1cm]50 \, cm&=\frac{d}{\sqrt{2}}&&|\cdot \sqrt{2}\\[0.1cm]50 \, cm\cdot \sqrt{2} &=d\\[0.1cm]\text{70,71 cm} &\approx d\end{align}
Die Diagonale d hat damit eine Länge von etwa \(\text{70,71 cm}\).
Diagonale Quadrat – Das Wichtigste auf einen Blick
- Eine Diagonale \(d\) stellt in der Geometrie eine Strecke dar, die zwei gegenüberliegende Eckpunkte von einer Fläche miteinander verbindet, ohne dabei eine Seite der Figur zu sein
- Ein Quadrat hat zwei Diagonalen d, welche sich einander im Mittelpunkt M der Figur in einem rechten Winkel schneiden und das Quadrat jeweils in zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke teilen.
- Die Länge der Diagonalen d eines Quadrats mit Seitenlänge a kannst Du mit folgender Formel berechnen:
\[d=\sqrt{2} \cdot a\]
Um die Länge einer Seite eines Quadrats mit gegebener Diagonale zu berechnen, stellst Du die oben genannte Formel für die Länge der Diagonalen d nach der Seitenlänge a um.
\begin{align}d&=\sqrt{2}\cdot a &&|: \sqrt{2}\\ \frac{d}{\sqrt{2}}&=a \end{align}
Der Flächeninhalt A eines Quadrats kann ebenfalls mit der Diagonalen d berechnet werden. Die Formel lautet: \[A=\left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2\]
Die Formel für die Länge der Diagonalen lässt sich mit dem Satz des Pythagoras herleiten.
Nachweise
- Erbrecht et al. (2012). Das große Tafelwerk interaktiv Formelsammlung für die Sekundarstufen I und II. Cornelsen Verlag, Berlin
- Ernst (1977). Geometrie 1. Ehrenwirth Verlag, München
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