StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
Americas
Europe
In der Geometrie gibt es unterschiedliche Körper – wie beispielsweise Würfel, Quader oder Zylinder. Das Prisma hat keine eindeutige Form, weist jedoch bestimmte Eigenschaften auf, die es von den anderen Körpern unterscheidet.
Entdecke über 50 Millionen kostenlose Lernmaterialien in unserer App.
Lerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken
Jetzt kostenlos anmeldenIn der Geometrie gibt es unterschiedliche Körper – wie beispielsweise Würfel, Quader oder Zylinder. Das Prisma hat keine eindeutige Form, weist jedoch bestimmte Eigenschaften auf, die es von den anderen Körpern unterscheidet.
In diesem Kapitel sollst du zunächst lernen, was ein Prisma ausmacht, bevor du lernst, wie du Volumen und Oberflächeninhalt berechnen kannst.
Du kannst dir zunächst einmal verschiedene Beispiele für Prismen ansehen.
Prismen ist der Plural von Prisma.
Abbildung 1: Schrägbilder drei verschiedener Prismen
Alle Körper, die du auf dem Bild siehst, sind Prismen. Was haben diese Prismen also gemeinsam?
Bei jedem dieser Körper kannst du dir vorstellen, dass die Fläche, auf der der Körper steht, entlang einer geraden Linie verschoben wird. Dasselbe Vieleck, auf dem das Prisma steht, begrenzt es also auch oben.
Abbildung 2: Grundbegriffe des Prismas
Die Fläche, auf der das Prisma steht, wird Grundfläche genannt. Die Fläche, die das Prisma nach oben hin begrenzt, wird Deckfläche genannt. Alle Seitenflächen zusammen werden als Mantel bezeichnet.
Vorsicht: Manchmal werden Prismen auch so abgebildet, dass sie nicht auf ihrer Grundfläche stehen, sondern auf einer ihrer Seitenflächen.
Die Seiten der Grundfläche und der Deckfläche werden Grundkanten genannt. Die Strecken, die jeweils zwei zusammen gehörige Eckpunkte von Grund- und Deckfläche verbinden, werden Mantellinien genannt. Alle Mantellinien sind gleich lang und parallel zueinander.
Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der sich aus einer Grundfläche, einer Deckfläche und einem Mantel zusammensetzt.
Wir betrachten ein Prisma, das ein Vieleck mit n Ecken als Grundfläche hat. Für n kannst du dabei 3, 4, 5, ... einsetzen. Ein solches Prisma wird n-seitiges Prisma genannt.
Ein n-seitiges Prisma hat insgesamt Ecken, denn es besitzt
Ein n-seitiges Prisma besitzt
Insgesamt hat es also Kanten.
Die Anzahl der Kanten der Grundfläche entspricht der Anzahl der Seitenflächen. Ein n-seitiges Prisma hat also
Ein n-seitiges Prisma hat immer Flächen.
Im Folgenden lernst du verschiedene spezielle Prismen kennen.
Es wird zwischen geraden und schiefen Prismen unterschieden. Im Beispiel siehst du ein gerades Prisma (blau) und ein schiefes Prisma (orange).
Abbildung 3: Schrägbilder eines geraden und eines schiefen Prismas
Bei einem geraden Prisma wird die Grundfläche sozusagen nur nach oben verschoben.
Bei einem geraden Prisma verlaufen die Mantellinien senkrecht zu den Grundkanten.
Die Seitenflächen sind dann Rechtecke.
Bei einem schiefen Prisma wird die Grundfläche schräg verschoben.
Bei einem ungeraden Prisma verlaufen die Mantellinien nicht senkrecht zu den Grundkanten.
Die Seitenflächen sind dann Parallelogramme
Eine weitere spezielle Form von Prismen sind die regulären Prismen.
Ein reguläres Prisma ist ein gerades Prisma, das ein regelmäßiges Vieleck als Grundfläche hat.
Ein regelmäßiges Vieleck ist ein Vieleck, bei dem alle Seitenlängen gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind.
Im Folgenden findest du drei Beispiele für reguläre Prismen:
Abbildung 4: Schrägbilder eines dreiseitigen, vierseitigen und fünfseitigen regulären Prismas
Auch ein Würfel ist ein reguläres, vierseitiges Prisma, das als Grundfläche ein Quadrat hat und dessen Höhe der Länge des Quadrats entspricht.
Diese allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas gilt für gerade, schiefe, regelmäßige und nicht regelmäßige Prismen.
Das Volumen eines Prismas wird berechnet, indem die Grundfläche G mit der Höhe h multipliziert wird:
.
Die Grundfläche G kann bei einem Prisma sehr unterschiedliche Formen annehmen, wie zum Beispiel Dreieck, Trapez, Quadrat oder Rechteck. Deswegen musst du immer darauf achten, dass du die richtige Grundflächenformel einsetzt.
Mit der Höhe h eines Prismas wird der Abstand der beiden Ebenen bezeichnet, in denen die Grund- und die Deckfläche liegen.
Abbildung 5: Höhe eines geraden und eines schiefen Prismas
Bei einem geraden Prisma entspricht die Höhe der Länge einer Mantellinie. Bei einem schiefen Prisma hingegen entspricht die Höhe des Prismas dem Abstand der Deckfläche zur Ebene der Grundfläche.
Dies kannst du auch in Abbildung 5 sehen.
Schau dir beispielhaft die Volumenberechnung eines dreiseitigen Prismas an:
Gegeben ist ein dreiseitiges gerades Prisma. Die Grundseite des Dreiecks ist lang. Die Höhe des Dreiecks beträgt und die Höhe des Prismas beträgt .
Abbildung 6: Beispielaufgabe zur Volumenberechnung
Berechne das Volumen des beschriebenen Prismas.
In diesem Beispiel ist die Grundfläche des Prismas ein Dreieck. Die Grundfläche wird deshalb auch mit der Flächeninhaltsformel für das Dreieck berechnet:
Die Höhe kannst du den Angaben direkt entnehmen und dann das Volumen des Prismas berechnen:
Das Volumen des Prismas ist also .
Wenn du mehr über die Berechnung des Volumens von Prismen erfahren möchtest, dann kannst du im Artikel "Volumen Prisma" weiter lesen.
Wie du den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen kannst, siehst du besonders gut, wenn du dir das Netz des Prismas anschaust.
Betrachte dieses fünfseitige Prisma:
Abbildung 7: Oberflächeninhalt eines fünfseitigen regulären Prismas
Die Seitenflächen werden nach außen geklappt und das Netz des Prismas entsteht:
Abbildung 8: Netz eines regulären fünfseitigen Prismas
Der Oberflächeninhalt dieses Prismas setzt sich also aus der Grund- und Deckfläche und den fünf Seitenflächen des Mantels zusammen.
Für alle Prismen gilt also, dass sich der Oberflächeninhalt aus der Grundfläche, der Deckfläche und der Mantelfläche zusammensetzt.
Die Oberfläche eines Prismas besteht aus dem Flächeninhalt der Deckfläche, der Grundfläche und der Mantelfläche:
.
Weil Grund- und Deckfläche gleich groß sind, kann die Formel vereinfacht werden zu:
.
Je nachdem welche Form die Grundfläche (Dreieck, Trapez, …) besitzt, musst du die richtige Formel für den Flächeninhalt des jeweiligen Vielecks finden und einsetzen.
Bei einem geraden Prisma kannst du die Mantelfläche wieder mit einer eigenen Formel berechnen. Die Anzahl der Kanten der Grundfläche entspricht der Anzahl der Seitenflächen.
Abbildung 9: Dreiseitiges gerades Prisma
Das gerade Prisma kann so auseinander geklappt werden, dass die drei Seitenflächen des Mantels zusammen ein großes Rechteck bilden.
Abbildung 10: Netz eines dreiseitigen geraden Prismas
Dieses Rechteck, das aus den drei Seitenflächen gebildet wird, entspricht dem Mantel. Um den Flächeninhalt des Mantels zu berechnen, müssen jetzt die beiden Seitenlängen des Rechtecks multipliziert werden.
Die Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines geraden Prismas lautet:
.
Am folgenden Beispiel lernst du, wie du den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen kannst.
Gegeben ist ein dreiseitiges gerades Prisma. Die Längen der Seiten des Dreiecks sind , und . Die Höhe des Dreiecks beträgt .
Das Prisma ist hoch.
Abbildung 11: Beispielaufgabe zur Oberflächenberechnung
Berechne den Oberflächeninhalt des Prismas.
Die Grund- und Deckenfläche des Prismas sind Dreiecke. Du musst also die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks anwenden. In diesem Beispiel wird als Grundlinie die Seite c und die dazugehörige Höhe verwendet.
Als Nächstes berechnest du die Mantelfläche. Der Umfang der Grundfläche wird durch Addition der drei Seitenlängen berechnet.
Du erhältst den Oberflächeninhalt des Prismas, indem du die berechneten Werte entsprechend der Formel addierst:
Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt .
Wenn du mehr über die Berechnung des Oberflächeninhalts von Prismen erfahren möchtest, dann kannst du im Artikel "Oberflächeninhalt Prisma" nachlesen.
Prismen sind geometrische Körper, die aus einer Grundfläche, einer Deckfläche und einem Mantel bestehen. Die Grundfläche und die Deckfläche bestehen aus Vielecken, die kongruent und parallel zueinander sind. Der Mantel besteht aus Parallelogrammen.
Die Grundfläche und die Deckfläche sind zueinander parallele und kongruente Vielecke. Die Seitenflächen sind Parallelogramme. Alle Seitenflächen zusammen ergeben den Mantel. Ein n-seitiges Prisma hat 2n Ecken, 3n Kanten und n + 2 Flächen.
Prismen begegnen uns im Alltag oft in Form von Bauteilen, Verpackungen (zum Beispiel Toblerone) und anderen Dingen. Prismen werden aber auch verwendet, um Licht in einer bestimmten Art und Weise zu brechen (Dispersion) oder zurückzuwerfen (Reflexion).
Der wichtigste Bestandteil eines Prismas sind Grundfläche, Deckfläche und Mantel.
Karteikarten in Prisma13
Lerne jetztWelche zwei Flächen sind bei einem Prisma kongruent?
Bei einem Prisma sind Grund- und Deckfläche gleich in Größe und Form; Grund- und Deckfläche sind also kongruent
Woraus kann die Grundfläche bei einem Prisma bestehen?
Die Grundfläche G kann aus einem beliebigen Vieleck bestehen (Quadrat, gleichseitiges Dreieck, regelmäßiges Sechseck).
Auch unregelmäßige Vielecke sind möglich.
Was ist ein gerades Prisma?
Bei einem geraden Prisma stehen die Seitenkanten sk senkrecht auf der Grundfläche und verlaufen zur Körperhöhe hk parallel.
Die Höhe der Seitenfläche hs sowie sk und hk sind dann gleich lang
Was ist ein schiefes Prisma?
Bei schiefen Prismen sind die Seitenkanten nicht senkrecht zur Grundfläche. Solche Körper werden nicht weiter betrachtet.
Was sind die Seitenflächen von Prismas?
Die Seitenflächen des Prismas sind Rechtecke
Was bilden alle Seitenflächen eines Prismas zusammengenommen?
Alle Seitenflächen eines Prismas zusammengenommen bilden die Mantelfläche M
Du hast bereits ein Konto? Anmelden
Die erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.
Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.
Speichere Erklärungen in deinem persönlichen Bereich und greife jederzeit und überall auf sie zu!
Mit E-Mail registrieren Mit Apple registrierenDurch deine Registrierung stimmst du den AGBs und der Datenschutzerklärung von StudySmarter zu.
Du hast schon einen Account? Anmelden