Gerade

In Abbildung 3 kannst Du das Beispiel für die Linie sehen, die den Weg von Treffpunkt A zum Kino an Punkt B repräsentiert.

Abbildung 3: Weg Kino als Linie von Punkt A zu Punkt B

Jede Position auf Deiner Linie, bzw. auf Deinem Weg zum Kino, kann durch einen Punkt repräsentiert werden. Da dieser keine Ausdehnung hat, sind auf der Linie unendlich viele Punkte.

Es gibt viele verschiedene Arten von Linien, die unterschiedliche Namen haben. Die Linie aus dem Beispiel hat einen Startpunkt A, der Treffpunkt mit Deinem Freund und einen Endpunkt B, die Position des Kinos. Hierbei handelt es sich beispielsweise um eine Strecke.

Strecke

Ein Beispiel für eine Strecke hast Du gerade quasi schon kennengelernt. Die Strecke ist eine besondere Art einer Linie mit bestimmten Eigenschaften.

In Abbildung 4 kannst Du das Beispiel für die Strecke [AB] zwischen den Punkten A und B sehen.

Abbildung 4: Strecke [AB] zwischen den Punkten A und B

Wie die Strecke, ist auch die Gerade linear. Was die Gerade genau ist, wie Du sie zeichnest, darstellst und wofür sie gebraucht wird, lernst Du nun in diesem Artikel kennen.

Gerade – Definition und Darstellung

Die Gerade ist, wie erwähnt, eine bestimmte Form einer Linie. Sie gehört zu den wichtigsten geometrischen Grundelementen und wird in der Mathematik in den verschiedensten Bereichen gebraucht. In diesem Artikel lernst Du die Gerade in der Geometrie kennen.

Denkst Du dabei an die Drehachse der Erde aus der Einleitung, so kannst Du feststellen, dass die Drehachse ja nirgendwo richtig anfängt oder aufhört, weswegen es sich dabei um eine unendlich lange Linie, also eine Gerade, handelt.

Beispiele für Geraden siehst Du in Abbildung 5.

Abbildung 5: Beispiele von Geraden g und f

Jetzt gibt es aber noch eine Sonderform der Gerade, die Halbgerade, welche auch Strahl genannt wird. Sie ist in der Mathematik und der Geometrie ebenfalls relevant.

Ein Beispiel für eine Halbgerade ist unter anderem der Strahl einer Taschenlampe. Der Strahl beginnt an der Glühbirne und reicht bei unendlicher Lichtkraft theoretisch unendlich weit.

Abbildung 6: Lichtstrahl als Beispiel für eine Halberade

Jetzt hast Du drei Arten von Linien kennengelernt. Wie genau sich diese unterscheiden und welche Eigenschaften sie besitzen, findest Du im nächsten Abschnitt noch einmal kurz zusammengefasst.

Gerade, Strecke, Strahl

Die Eigenschaften und Unterschiede der Gerade, der Strecke und des Strahls sind in der folgenden Tabelle dargestellt.

Geraden werden in der Mathematik für vielerlei Anwendungen gebraucht. Vor allem bei der Funktionsdarstellung in der Analysis und in der Geometrie sind sie von großer Bedeutung.

In der Geometrie ist die Gerade, wie schon erwähnt, eine der wichtigsten Grundelemente. Sie kann einzeln oder mit anderen geometrischen Elementen kombiniert betrachtet werden. Dieser Artikel behandelt, wie bereits erwähnt, vor allem Geraden in der Geometrie.

Lineare Funktion – Gleichung und Graph

Auch in der Analysis werden Geraden angewendet. Die lineare Funktion kann beispielsweise durch Geraden abgebildet werden, denn der Graph dieser ist eine Gerade.

Da die Gerade endlos lang ist, kannst Du immer nur einen kleinen Teil sehen und zeichnen. Das ist aber nicht schlimm, denn Du weißt durch die zwei Punkte genau, wo eine Gerade in Deinem Ausschnitt im Koordinatensystem liegt und in welche Richtungen sie ins Unendliche weiter reicht.

Gerade zeichnen

Um eine Gerade zu zeichnen, brauchst Du ein Lineal oder ein Geodreieck. Zeichne zwei Punkte A und B auf ein Blatt, z.B. in Dein Koordinatensystem und verbinde diese durch eine gerade Linie. Verlängere Deine gerade Linie anschließend auf beiden Seiten gerade. Damit hast Du Deine Gerade gezeichnet.

Abbildung 12: Gerade zeichnen

Besondere Geraden – Geraden durch den Kreis

Geraden und Kreise gehören zu den Grundobjekten in der Geometrie und können zusammen verwendet werden, zum Beispiel wenn eine Gerade g durch zwei bestimmte Punkte A und B oder den Mittelpunkt M eines Kreises gesucht ist. In der Mathematik ist deshalb auch die Lagebeziehung dieser beiden geometrischen Objekte zueinander relevant. Je nachdem, wie eine Gerade g zu einem Kreis liegt, hat diese Gerade g einen bestimmten Namen. Hierbei handelt es sich um besondere Arten von Geraden.

Windschiefe Geraden

Im dreidimensionalen Raum, also wenn drei Koordinatenachsen x, y und z gegeben sind, gibt es noch eine weitere Möglichkeit der Lage von zwei Geraden g und f zueinander: g und f liegen windschief zueinander. Die Berechnung der Lage von Geraden im dreidimensionalen Raum ist Teil der analytischen Geometrie.

Lagebeziehung Punkt – Gerade

Nun kann es beispielsweise auch interessant sein, welche Beziehung ein Punkt zu einer Geraden haben kann. Dabei gibt es zwei Arten von Beziehungen: Ein Punkt liegt auf einer Geraden und ein Punkt liegt nicht auf einer Gerade.

Punkt auf der Geraden

Die erste Möglichkeit ist, dass ein Punkt C direkt auf einer Geraden g liegt. Du findest ihn also auf Deiner Geraden wieder.

Abbildung 21: Punkt C auf Gerade g

Punkt nicht auf der Geraden

Die zweite Möglichkeit ist, dass ein Punkt C nicht auf einer Geraden g liegt.

Abbildung 22: Punkt C nicht auf einer Geraden g

Abstand Punkt Gerade

Den Abstand a zwischen einem Punkt C und einer Geraden g kannst Du ermitteln, wenn der Punkt C nicht auf der Geraden liegt. Deswegen ist es wichtig, dass Du die Lagebeziehung zwischen dem Punkt C und Deiner Geraden g kennst.

Ermitteln kannst Du den Abstand a, indem Du das Lot zwischen Deinem Punkt C und Deiner Geraden g fällst und einzeichnest.

Im Falle der Abstandsermittlung zwischen Deinem Punkt C und Deiner Geraden g ist das Lot die Strecke $\overline{CL}$, die senkrecht zu Deiner Geraden g steht und an Deinem Punkt C startet. Der Abstand a ist dann die Länge $\overline{CL}$ dieses Lots. Die Länge $\overline{CL}$ kannst Du mit Deinem Geodreieck abmessen.

Abbildung 23: Abstand Punkt C und Gerade g