Winkel zwischen Gerade und Ebene

Stell Dir vor, Du sitzt am Schreibtisch (Ebene E:x) in Deinem Zimmer (Raum) und siehst Deine Lampe (Gerade g:x) vor Dir stehen. Du fragst Dich nun, in welchem Winkel β diese Lampe zu Deinem Schreibtisch steht. Diesen Winkel kannst Du berechnen und wie das funktioniert, wird Dir in diesem Artikel gezeigt.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Winkel zwischen Gerade und Ebene Anwendungsbeispiel StudySmarterAbbildung 1: Anwendungsbeispiel

    Aber wie wird eine Ebene E:x und eine Gerade g:x im Raum denn dargestellt?

    Gerade und Ebene – Grundlagenwissen

    Beschrieben wird eine Ebene durch eine Ebenengleichung. Das kann die Parameterform, die Normalenform oder die Koordinatenform sein.

    In diesem Artikel werden Ebenen in Parameterform und Normalenform behandelt. Mehr zu den verschiedenen Ebenengleichungen findest Du im Artikel Darstellung von Geraden und Ebenen.

    Die Ebene E:x in Parameterform wird durch einen Punkt P und zwei Vektoren aund bbestimmt, die kein Vielfaches voneinander sind. Sie wird auch als Punkt-Richtungs-Form bezeichnet.

    Ebenengleichung E:x in Parameterform:

    E:x=p+r·a+s·b

    p: Ortsvektor/Stützvektor eines Punktes P der Ebene

    a: Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene E:x

    b: Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene E:x

    r, s : reelle Parameter

    Eine andere Möglichkeit, eine Ebene anzugeben, ist die Normalenform.

    Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor n, der senkrecht auf der Ebene E:x steht und einem Ortsvektor/Stützvektor p.

    Ebenengleichung Ebene E:x in Normalenform:

    nx-p=0

    n: Normalenvektor der Ebene E:x.

    p: Ortsvektor/Stützvektor zu einem beliebigen Punkt P in der Ebene

    x: Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt X der EbeneE:x

    Beide Gleichungsformen lassen sich anhand von Berechnungen in die jeweils andere Form überführen. So kannst Du beispielsweise eine Ebene in Parameterform in eine Ebene in Normalenform umwandeln. Bildest Du aus den Richtungsvektoren a und b einer Ebene in Parameterform das Kreuzprodukt, so erhältst Du den Normalenvektor ndieser Ebene.

    n=a×b

    Möchtest Du mehr über die Ebenen und ihre Gleichungen erfahren, so kannst Du im Artikel Ebenengleichung umformen nachlesen.

    Auch eine Gerade kann im Raum durch verschiedene Komponenten dargestellt werden. In diesem Artikel wird lediglich die Parameterform behandelt.

    Geradengleichung der Gerade g:x in Parameterform:

    g:x=a+r·b

    a: Stützvektor der Gerade g:x

    b: Richtungsvektor der Geradeg:x

    Mit diesen Grundlagen kannst Du nun direkt in das Thema Winkel zwischen Gerade und Ebene starten.

    Schnittwinkel Gerade Ebene – Erklärung

    Eine Gerade g:x und eine Ebene E:x können in drei unterschiedlichen Möglichkeiten zueinander liegen.

    1. Geradeg:x und EbeneE:x schneiden sich.
    2. Geradeg:x und Ebene E:xsind parallel zueinander.
    3. Gerade g:x liegt in der Ebene E:x.

    Ist die Voraussetzung erfüllt, dass die Gerade g:x nicht in der Ebene E:x liegt und beide Objekte auch nicht parallel zueinander sind, so kreuzen bzw. schneiden sich Gerade und Ebene in einem Schnittpunkt P. Durch das Schneiden der beiden Objekte, schließen die Gerade und die Ebene einen spitzen Winkel β ein, den sogenannten Schnittwinkel.

    Der Schnittwinkel β zwischen einer Gerade g:x und einer Ebene E:xentspricht dem spitzen eingeschlossenen Winkel der sich schneidenden Gerade und Ebene.

    Winkel zwischen Gerade und Ebene – Beispiel

    In der folgenden Abbildung 2 siehst Du eine Gerade g:x und eine Ebene E:x. Sie schneiden sich in einem Punkt P und schließen einen spitzen Winkel β von β=48,85° ein.

    Winkel zwischen Gerade und Ebene Schnittwinkel Gerade und Ebene StudySmarterAbbildung 2: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

    Sowohl der Schnittwinkel β als auch der Schnittpunkt P können berechnet werden.

    Interessiert an der Berechnung zum Schnittpunkt? Dann lies gerne im Artikel Schnittpunkt Gerade Ebene nach.

    Was benötigst Du für das Berechnen des Schnittwinkels β?

    Winkel zwischen Ebene und Gerade berechnen – Formel

    Wie bereits im Kapitel Grundlagenwissen erwähnt wurde, kann eine Ebene beispielsweise in Normalenform oder Parameterform vorliegen. In jedem Fall lässt sich ein Normalenvektor bilden, der senkrecht auf der Ebene steht. Bei der Berechnung des Schnittwinkels β zwischen Gerade und Ebene wird genau dieser Normalenvektor der Ebene genutzt.

    Berechnung des spitzen Schnittwinkels β einer Gerade g:x und einer Ebene E:x im Raum:

    sin(β)=ana·n

    oder:

    β=90°-α mit cos(α)=ana·n

    a : Richtungsvektor der Gerade g:x

    n ; Normalenvektor der Ebene E:x

    Wie bereits erwähnt, schneiden sich die Gerade g:x und die Ebene E:x, wenn sie nicht parallel zueinander sind und die Gerade auch nicht in der Ebene liegt. Dies ist genau dann der Fall, wenn gilt: an0.

    Am besten lässt sich die Berechnung gleich an einem Beispiel zeigen.

    Aufgabe 1

    Berechne den Schnittwinkel β zwischen der Gerade g:x und der Ebene E:x. Die Gerade besitzt einen Richtungsvektor a und die Ebene einen Normalenvektor n.

    a=5-4-2 n=311

    Lösung

    Für die Berechnung wird die Formel mit Sinus genutzt und die Vektoren eingesetzt:

    sinβ=ana·nsinβ=5-4-23115-4-2·311

    Alternativ kannst Du auch die Formel mit Kosinus benutzen und anschließend den Winkel über β=90°-α ermitteln.

    Im Zähler kann das Skalarprodukt an und im Nenner die Vektorlängen a und n berechnet werden.

    5-4-2311=5·3+(-4)·1+(-2)·1=9=9

    a=52+(-4)2+(-2)2=25+16+4=45n=32+12+12=9+1+1=11a·n=45·11=495

    Nach Einsetzen in die Formel und Auflösen nach dem Winkel β ergibt sich:

    sinβ=9495 β=sin-19495=23,86°

    Der spitze Schnittwinkel β zwischen Gerade und Ebene beträgt somit β=23,86°.

    Winkel zwischen Gerade und Ebene – Herleitung der Formel

    Aber warum kannst Du den Normalenvektor überhaupt für die Berechnung verwenden und weshalb musst Du mit Kosinus noch den Winkel α abziehen, bevor Du den gesuchten Winkel β erhältst? Sieh Dir dazu gerne die folgende Vertiefung an.

    Über den Normalenvektor n der Ebene und den Richtungsvektor a der Gerade kann der Winkel α zwischen diesen Vektoren berechnet werden. Die Berechnung erfolgt über:

    cos(α)=ana·n

    In diesem Fall ist dieser Winkel α aber nicht der gesuchte Schnittwinkel, sondern lediglich der Winkel zwischen dem Normalenvektor n und dem Richtungsvektor a. Demnach muss für den Winkel β noch von 90° der Winkel α abgezogen werden.

    β=90°-α

    Winkel zwischen Gerade und Ebene Herleitung Schnittwinkel Gerade und Ebene StudySmarterAbbildung 3: Herleitung Schnittwinkel Gerade und Ebene

    Um diesen zweiten Schritt zu umgehen und direkt eine Formel zur Berechnung zu erhalten, kann in der ursprünglichen Formel mit Kosinus der Ausdruck für den Winkel α ersetzt werden.

    β=90°-α α=90°-β

    cos(α)=cos(90°-β)=ana·n

    Über die Additionstheoreme von trigonometrischen Funktionen kann die Gleichung nun vereinfacht werden.

    cos(90°- β)=cos90° · cosβ + sin90° · sin(β) cos(90°-β)=0·cos(β)+1·sinβcos(90°- β)=sin(β)

    Wird dieser Ausdruck wieder in die Formel eingesetzt, so ergibt sich:

    sin(β)=ana·n

    Hast Du in einer Aufgabe den Normalenvektor der Ebene E:x nicht gegeben, so kann es sein, dass Du diesen erst aus der Ebenengleichung bestimmen musst. Wie das geht, erfährst Du in den nächsten Beispielen.

    Winkel zwischen Ebene und Gerade berechnen – Beispiel in Parameterform

    Aufgabe 2

    Berechne den Schnittwinkel β zwischen der Ebene E:x und der Gerade g:x.

    E:x=123+r·3-32+s·1-13

    g:x=246+r·823

    Lösung

    Zuerst berechnest Du den Normalenvektor n der Ebene E:x. Dafür nimmst Du beide Richtungsvektoren ins Kreuzprodukt a×b.

    n=a×b=3-32×1-13=(-3)·3-2·(-1)2·1-3·33·(-1)-(-3)·1=(-9)-(-2)2-9(-3)-(-3)=-7-70

    Der Normalenvektor ist n.

    n=-7-70

    Als Nächstes werden die Vektoren a und n in die Formel eingesetzt.

    sin(β)=ana·n

    sin(β)= 823-7-70 823· -7-70

    Jetzt wird das Skalarprodukt an berechnet.

    an= 823-7-70 =8·(-7)+2·(-7)+3·0=-56-14+0=-70=70

    Gleich danach werden die Vektorlängen a und n berechnet und miteinander multipliziert.

    a=82+22+32=64+4+9=77n=-72+-72+02=49+49=98

    a·n=77·98=7 546

    Die Werte müssen jetzt in der Formel gesetzt und nach dem Winkel β aufgelöst werden.

    sinβ=707 546 β=sin-1 707 546=53,69°

    Der Winkel β zwischen der Gerade g:x und der Ebene E:x ist β = 53,69° groß. Die folgende Abbildung 4 zeigt Dir die Gerade, die Ebene und den Schnittwinkel β.

    Winkel zwischen Gerade und Ebene Winkel zwischen Gerade und Ebene StudySmarterAbbildung 4: Winkel zwischen Gerade und Ebene

    Liegt die Ebene in der Aufgabenstellung in der Normalenform vor, so kannst Du Dir den Schritt zur Berechnung des Normalenvektors sparen und ihn direkt auslesen.

    Winkel zwischen Ebene und Gerade berechnen – Beispiel in Normalenform

    Ein Winkel β kann auch zwischen einer Gerade g:x und einer Ebene E:x in Normalenform berechnet werden.

    Aufgabe 3

    Berechne den Winkel β zwischen Deinem Schreibtisch E:x und der darauf stehenden Lampe g:x.

    E: 146x-231=0

    g:x=265+r·-124

    Lösung

    Zum Berechnen des Winkels zwischen dem Schreibtisch E:x und der Lampe g:x wird eine Formel verwendet, in die der Normalenvektor n der Ebene und der Richtungsvektor a der Gerade eingesetzt werden. Der Normalenvektor kann direkt aus der Normalenform ausgelesen werden.

    a=-124 ; n=146

    sin(β)=ana·n

    sin(β)=-124146-124·146

    Dann wird das Skalarprodukt an berechnet.

    an=-124146=(-1)·1+2·4+4·6=(-1)+8+24=31=31

    Gleich darauf werden die Vektorlängen a und n berechnet und miteinander multipliziert.

    a=(-1)2+22+42=1+4+16=21

    n=12+42+62=1+16+36=53

    a·n=21·53=1 113

    Diese Werte müssen nun wieder in die Formel zur Winkelberechnung eingesetzt werden.

    sinβ=311 113 β=sin-1 311 113=68,31°

    Der Winkel β zwischen Deinem Schreibtisch E:x und Deiner Lampe g:x ist β=68,31° groß.

    Lust gleich direkt noch ein paar Übungsaufgaben zur Winkelberechnung zu machen? Dann sieh Dir gerne den nächsten Abschnitt an.

    Winkel zwischen Gerade und Ebene – Aufgaben zum Üben

    Falls Du keine Formelsammlung hast, dann schreib Dir gerne die Formeln zur Winkelberechnung auf ein Blatt und löse die Aufgaben damit. Lösungen zu den einzelnen Aufgaben findest Du direkt im Anschluss an die Angabe.

    Aufgabe 4

    Berechne den Schnittwinkel β zwischen der Ebene E:x und Gerade g:x.

    E:x=232+r·425+s·712

    g:x=464+r·132

    Lösung

    Zuerst wird der Normalenvektor n der Ebene E:x berechnet, indem die Richtungsvektoren a und b im Kreuzprodukt verrechnet werden.


    n=a×b=425×712=2·2-5·15·7-4·24·1-2·7=4-535-84-14=-127-10

    Der Normalenvektor der Ebene E:x ist n.

    n=-127-10

    Als Nächstes werden die Vektoren a und n in die Formel eingesetzt.

    sin(β)=ana·n

    sin(β)= 132-127-10 132· -127-10

    Jetzt wird das Skalarprodukt an berechnet.

    an=132-127-10=1·(-1)+3·27+2·(-10)=-1+81-10=60=60

    Gleich danach werden die Vektorlängen a und n berechnet und miteinander multipliziert.

    a=12+32+22=1+9+4=14

    n=-12+272+-102=1+729+100=830

    a·n=14·830=11 620

    Die Werte müssen jetzt in der Formel verrechnet werden.

    sinβ=6011 620 β=sin-1 6011620=33,82°

    Der Winkel β zwischen der Gerade g:x und der Ebene E:x ist β = 33,82°groß.

    Aufgabe 5

    Berechne den Winkel β zwischen der Gerade g:x und der Ebene E:x.

    g:x=2-24+r·3-41

    E : -161x-3-41=0

    Lösung

    Zuerst werden der Normalenvektor n der Ebene E:x und der Richtungsvektor a der Gerade g:x in die Formel zur Winkelberechnung eingesetzt.

    a=3-41 ; n=-161

    sin(β)=ana·n

    sin(β)=3-41-1613-41·-161

    Dann berechnest Du das Skalarprodukt an.

    an =3-41-161 =3·(-1)+(-4)·6+1·1=(-3)+(-24)+1=-26=26

    Gleich darauf werden die Vektorlängen a und n berechnet und miteinander multipliziert.

    a=32+(-4)2+12=9+16+1=26

    n=(-1)2+62+12=1+36+1=38

    a·n=26·38=988

    Diese Werte müssen noch in die Ausgangsformel eingesetzt werden.

    sinβ=26988 β=sin-1 26988=55,81°

    Der Winkel ist β=55,81° groß.

    Nachfolgend findest Du noch eine kurze Zusammenfassung zum Thema Winkel zwischen Gerade und Ebene. In den zugehörigen Karteikarten kannst Du Dein Wissen noch einmal vertiefen.

    Winkel zwischen Gerade und Ebene – Das Wichtigste

    • Liegen eine Geradeg:x und eine Ebene E:x nicht parallel zueinander und liegt die Gerade nicht in der Ebene, so schneiden sich Gerade und Ebene in einem Schnittpunkt P. Es gilt: na0
    • Der spitze Schnittwinkel β zwischen Gerade und Ebene wird berechnet durch:

      • sin(β)=ana·n oder β=90°-α und cosα=ana·n


    Nachweise

    1. Papula (2018). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Springer Vieweg Verlag.
    Winkel zwischen Gerade und Ebene Winkel zwischen Gerade und Ebene
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkel zwischen Gerade und Ebene

    Welchen Winkel schließen Gerade und Ebene ein? 

    Gerade und Ebene schließen einen spitzen Schnittwinkel β ein. Berechnet werden kann dieser über den Richtungsvektor der Gerade und den Normalenvektor der Ebene.

    Wie wird der Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene berechnet?

    Ein Winkel zwischen Gerade und Ebene wird anhand einer Formel berechnet. Der sin(β) entspricht dem Quotienten aus dem Betrag des Skalarprodukts von Richtungsvektor und Normalenvektor und den Vektorlängen der beiden Vektoren. Alternativ kann über β = 90° - α ebenfalls der Schnittwinkel berechnet werden.

    Warum wird der Sinus verwendet, wenn sich Gerade und Ebene schneiden? 

    Bei der Winkelberechnung zwischen Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor der Ebene mit Kosius wird lediglich der eingeschlossene Winkel α der Vektoren berechnet. Um den Schnittwinkel β zu erhalten, wird die Formel über Additionstheoreme in den Sinus umgewandelt.

    In welchem Punkt und unter welchem Winkel schneidet die Gerade die Ebene?

    Liegen Gerade und Ebene nicht parallel zueinander und liegt die Gerade auch nicht in der Ebene, so schneiden sich die Gerade und die Ebene in einem Schnittpunkt P. Der spitze Schnittwinkel β wird über den Sinus mithilfe des Richtungsvektors der Geraden und des Normalenvektors der Ebene berechnet.

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