Stell Dir vor, Du kommst mit drei Produkten vom Supermarkt und hast Deinen Kassenzettel verloren. Du weißt noch, dass Du 2 Äpfel, 2 Bananen und 3 Schokoriegel gekauft und dabei 7,50 Euro ausgegeben hast. Du weißt auch noch, wie viel Du die letzten zwei Male für die Produkte ausgegeben hast. Aber wie teuer waren denn jetzt die einzelnen Produkte? Um das zu berechnen, kann Dir der Gauß-Algorithmus helfen.
Allgemeine Infos zum Gauß-Algorithmus
Der Gauß-Algorithmus, oder auch Gaußsches Eliminationsverfahren genannt, ist ein Verfahren, um lineare Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten strukturiert zu lösen. Diese Methode basiert auf dem Additionsverfahren.
Zur Erinnerung:
Bei dem Additionsverfahren versuchst Du zwei Gleichungen so miteinander zu addieren bzw. subtrahieren, dass sich die Variablen auflösen. Da dieser Artikel auf dem Additionsverfahren beruht, ist es hilfreich, den entsprechenden Artikel durchzulesen.
Das Gauß-Verfahren kannst Du meist dann benutzen, wenn Du ein Gleichungssystem mit mehr als zwei Unbekannten lösen musst. Der Vorteil ist nämlich, dass dieses Verfahren durch seine strukturierte Form übersichtlicher sein kann als andere Verfahren und Du durch den vorgeschriebenen Ablauf immer zum Ziel kommst.
Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS)
Um das Gauß-Verfahren zu verstehen, ist es wichtig, die Grundlagen von linearen Gleichungssystemen zu kennen.
Solltest Du da noch Wissenslücken haben, schau Dir am besten unseren Artikel dazu an.
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus Unbekannten und mindestens ebenso vielen Gleichungen. Das Ziel ist immer, die Gleichungen so umzuformen, dass Du Lösungen für Deine Unbekannten erhältst.
Wie sieht so ein lineares Gleichungssystem jetzt für das Beispiel mit dem Einkauf aus?
Du hast 2 Äpfel, 2 Bananen und 3 Schokoriegel für 7,5 Euro gekauft. Mit den Informationen aus den vorherigen Einkäufen kannst Du jetzt ein lineares Gleichungssystem erstellen:
Gleiche Unbekannte, also x1 usw., werden dabei untereinander geschrieben.
Bisher hast Du vielleicht lineare Gleichungssysteme mit Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren gelöst. Das Gauß-Verfahren unterscheidet sich darin, dass es immer einem bestimmten Ablauf folgt. Wie sieht der jetzt aus?
Gaußsches Eliminationsverfahren
Das Verfahren hat im Großen und Ganzen drei Schritte.
- Die Zeilenstufenform finden
- Lösung für x3 ablesen
- Berechnung der übrigen Unbekannten
Die Zeilenstufenform finden
Das Ziel dieses Verfahrens ist es, die Zeilenstufenform zu finden. Das heißt, Du formst Dein LGS so um, dass unter der Diagonalen nur noch Nullen stehen. Schau Dir dazu am besten das Beispiel an.
Für das Beispiel mit dem Einkauf sieht die Zeilenstufenform so aus:
Diese Form zeigt schon das Ergebnis von Variable x3. Das liegt daran, dass x1 und x2 in der dritten Zeile gleich null sind und somit nur noch x3 = 0,5 in der Zeile steht. Dieses Ergebnis kannst Du dann benutzen, um x2 und schließlich auch x3 zu berechnen.
Um an diese Form zu gelangen, formst Du Dein LGS um.
Dazu darfst Du nur folgende Operationen vornehmen:
Im ersten Schritt bringst Du die erste Stelle der zweiten Zeile des LGS auf Null. Dazu schaust Du Dir jeweils die beiden anderen Zahlen in der Spalte an. Hier bietet es sich an, die dritte Zeile von der zweiten zu subtrahieren.
Die Rechenschritte schreibst Du direkt neben die Zeile, in der Du gerade eine Null erzeugen möchtest. Die Zeilen werden dabei als römische Zahlen geschrieben.
Du subtrahierst dabei spaltenweise und erhältst dann eine neue zweite Zeile.
Behalte Dir bei Deinen Rechnungen immer vor Augen, dass Dein Ziel die Zeilenstufenform ist.
Jetzt bringst Du die ersten beiden Stellen der dritten Zeile auf Null. Das geht nur mit der ersten Zeile, da die zweite Zeile an der Stelle schon Null ist. Eine einfache Subtraktion würde an der Stelle nicht ausreichen, da 1 - 2 = -1 ergibt. Also multiplizierst Du die dritte Zeile mit Zwei und ziehst dann die erste Zeile davon ab.
Du subtrahierst wieder spaltenweise und erhältst eine neue dritte Zeile. Das LGS sieht jetzt so aus.
Dieser Schritt kann auch mehrere Umformschritte erfordern. Fang dann einfach mit der ersten Stelle der Zeile an und forme die zweite Stelle mithilfe der zweiten Zeile um.
Um die Lösung für x3 abzulesen, muss bei der dritten Stelle der dritten Zeile eine 1 stehen. Diese erhältst Du, indem Du die ganze Zeile durch 5 teilst. Daraus ergibt sich folgendes LGS:
Die Lösung für x3 ist somit 0,5.
Denk immer daran, dass Du Zeilen miteinander tauschen kannst. Manchmal kann das Rechnungen erleichtern und Du kommst schneller zur Zeilenstufenform!
Berechnen der übrigen Lösungen
Da Du die Lösung für x3 jetzt hast, kannst Du die restlichen Lösungen auf herkömmliche Art und Weise berechnen.
Du beginnst mit der zweiten Zeile. Schreibe sie Dir als lineare Gleichung auf.
Hier eignet sich das Einsetzungsverfahren. Du setzt also die 0,5 für x3 in die zweite Zeile des LGS ein und löst nach x2 auf.
Jetzt kannst Du mit den Ergebnissen von x3 und x2 die erste Zeile des linearen Gleichungssystems lösen. Dazu notierst Du sie wieder als lineare Gleichung, setzt anschließend beide Ergebnisse für x3 und x2 ein und löst nach x1 auf.
Jetzt hast Du Dein LGS komplett gelöst. Ein Apfel kostet also 2 Euro, eine Banane 1 Euro und ein Schokoriegel 50 Cent.
Gauß-Algorithmus in Matrixform – Matrixschreibweise
Es kann gut sein, dass Dein Lehrer den Gauß-Algorithmus in Matrixform anwendet. Keine Sorge, das Prinzip bleibt dasselbe!
Eine Matrix ist nichts anderes als eine Tabelle mit Zeilen und Spalten. Deine Gleichungen sind also die Zeilen und Deine Unbekannten die Spalten. Deshalb spricht man auch von einer Koeffizientenmatrix.
Das bedeutet, Du schreibst Deine Unbekannten auf die linke Seite und Dein Ergebnis auf die rechte Seite. Gleiche Unbekannte schreibst Du dabei untereinander und lässt die Bezeichnungen der Variablen, also x1 usw. weg.
Wie sieht das jetzt für das Beispiel mit dem Einkauf aus?
Die erste Spalte beschreibt x1, die zweite x2 und die dritte x3.
Die Vorgehensweise ist ab jetzt die gleiche. Du lässt im Prinzip nur die Bezeichnungen der Unbekannten weg. Die finale Matrix in Zeilenstufenform sieht dann so aus:
Gauß-Jordan Verfahren
Es kann sein, dass Du auch schon einmal was vom Gauß-Jordan-Verfahren gehört hast. Dabei handelt es sich um eine Erweiterung des Eliminationsverfahren. In den meisten Fällen ist das Eliminationsverfahren für das Lösen von LGS allerdings die einfachere und schnellere Variante.
Gauß-Jordan-Verfahren
Ziel dieses Verfahrens ist nicht die Stufenform, sondern die Einheitsmatrix auf der linken Seite.
Die Einheitsmatrix (auch Identitätsmatrix) ist eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonale nur aus Einsen besteht. Alle anderen Elemente sind null.
Beim Gauß-Jordan Verfahren wird also die ursprüngliche Matrix weiter umgeformt, bis eine Einheitsmatrix dabei herauskommt. Damit kannst Du dann direkt jedes Ergebnis in der Matrix ablesen.
Für das Beispiel vom Anfang sieht die Einheitsmatrix wie folgt aus:
Wie Du sehen kannst, kannst Du die Lösungen, die Du gerade durch Einsetzungsverfahren berechnet hast, einfach in der Matrix ablesen.
Du kommst also auf dasselbe Ergebnis wie mit dem Eliminierungsverfahren. Wenn Dir Dein Lehrer kein bestimmtes Verfahren vorschreibt, kannst Du Dir einfach das aussuchen, was Dir besser liegt.
Doch wie kommt man bis dahin? Nachdem Du die Zeilenstufenform erreicht hast, machst Du einfach weiter mit dem Umformen. Schau Dir das mal exemplarisch für einen weiteren Schritt an.
Wichtig ist immer strukturiert vorzugehen. Betrachte die Zahlen genau und versuche der Reihe nach, Zeile für Zeile, die Nullen zu erzeugen.
Du musst die dritte Stelle der zweiten Zeile auf Null bringen. Mit welcher anderen Zeile kannst Du subtrahieren oder addieren, damit das aufgeht?
Die dritte Zeile bietet sich gut an. Du verdoppelst die dritte Zeile, addierst sie zur zweiten und erhältst eine neue zweite Zeile.
Jetzt hast Du Dein Ergebnis für x2.
Das Gleiche machst Du dann für die erste Zeile, bis Du die Einheitsmatrix erhältst.
Hier hast Du noch mal einen kleinen Überblick für das Umformen zur Zeilenstufenform – also in welcher Reihenfolge Du welche Stellen der Zeilen verändern solltest. Auch kannst Du darin sehen, welche Zeilen Du am besten für das Umformen nutzt, um keine bereits errechneten Nullen wieder zu zerstören.
| Zeilen, die Du verändern willst | Zeilen, die Du dafür nutzen kannst |
| zweite Zeile – erste Stelle | erste oder zweite Zeile |
| dritte Zeile – erste Stelle | erste oder zweite Zeile |
| dritte Zeile – zweite Stelle | zweite Zeile |
Gauß-Algorithmus – Aufgaben
Anhand dieser Übungsaufgaben kannst Du Dein Wissen direkt testen.
Aufgabe 1
Löse folgendes LGS mit dem Gauß-Algorithmus.
Lösung
Finden der Zeilenstufenform:
Lösung für x3 ablesen:
Berechnen der übrigen Lösungen:
Einsetzen von x3 = -1 in die zweite Zeile:
Einsetzen von x2 = -4 und x3 = -1 in die erste Zeile
Die Lösungen für das LGS sind somit:
Aufgabe 2
Schreibe folgendes LGS in eine Matrix um.
Lösung
Aufgabe 3
Finde die Zeilenstufenform der Matrix aus Aufgabe 2.
Lösung
Aufgabe 4
Finde die Zeilenstufenform der folgenden Matrix.
Lösung
Gauß-Algorithmus - Das Wichtigste
- Mit dem Gauß-Algorithmus kannst Du lineare Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten strukturiert lösen.(eventuell LGS in Matrixform schreiben).
- Die Matrix zur Zeilenstufenform umformen.
- Dabei zuerst die erste Stelle der zweiten Zeile auf Null bringen.
- Dann die erste und zweite Stelle der dritten Zeile auf Null bringen.
- Die dritte Stelle der dritten Zeile nach 1 umformen.
- Lösung für x3 ablesen.
- x3 benutzen, um nach x2 und x1 aufzulösen.
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