Kugelgleichung

Kugelgleichung – aufstellen Mittelpunkt: Radius

Eine Kugel wird in der analytischen Geometrie als eine Menge aller Punkte des Raumes beschrieben, die von einem gegebenen Mittelpunkt M denselben Abstand (Radius) \(r\) haben.

Abb. 1: Kugel im dreidimensionalem Raum

Allgemein gilt folgende Definition:

Aus dieser Grundkenntnis leiten sich dann die folgenden Kugelgleichungen ab.

Kugelgleichung – Formel

Die Kugelgleichung wird also mithilfe des Mittelpunktes und des Radius aufgestellt, aber was sind die einzelnen Formen, die in der Einleitung erwähnt worden sind und wie stellst Du sie selbst auf? In diesem Abschnitt wird die vektorielle Gleichung und die Parameterform erklärt und wie Du von der einen in die andere übergehst.

Kugelgleichung Vektorform

Die Vektoren-Gleichung, auch vektorielle Gleichung der Kugelgleichung ist am simpelsten, wenn der Mittelpunkt auf dem Koordinatenursprung sitzt. In dem Fall ist jeder Punkt \({\color{li}X}\) so weit vom Mittelpunkt entfernt, wie der Betrag seines Ortsvektors \({\color{li}\vec{x}}\). Es gilt also:

\[\left| {\color{li}\vec{x}} \right| ={\color{gr}r} \quad \text{oder auch} \quad {\left| {\color{li}\vec{x}} \right|}^2 ={{\color{gr}r}}^2\]

Was, aber, wenn der Mittelpunkt der Kugel nicht auf dem Koordinatenursprung liegt? In diesem Fall muss der Radius erst bestimmt werden. Dafür bildest Du die Differenz zwischen dem Ortsvektor von \({\color{r}M}\) und dem Ortsvektor von \({\color{li}X}\):

\[\left|{\color{gr}\overline{MX}}\right|=| {\color{li}\vec{x}}-{\color{r}\vec{m}}|={\color{gr}r} \quad \text{oder auch} \quad {\left|{\color{gr}\overline{MX}}\right|}^2={| {\color{li}\vec{x}}-{\color{r}\vec{m}}|}^2={{\color{gr}r}}^2\]

Dadurch, dass Du hier den Mittelpunkt in die Rechnung gebracht hast, kannst Du darauf auch wieder zurückgreifen, falls er Dir nicht gegeben sein sollte.

Rechnerisch sieht das, dann später wie folgt aus:

Kugelgleichung Koordinatenform

Die Koordinatenform kannst Du direkt aus der vektoriellen Kugelgleichung ableiten, dafür schreibst Du Dir zuerst die vektorielle Gleichung in Vektorschreibweise auf. Seien also \({\color{li}\vec{x}}={ \color{li} \begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}}\) und \({\color{r}\vec{m}}={ \color{r} \begin{pmatrix} c\\ d \\ e \end{pmatrix}}\) gegeben, dann gilt:

\begin{align}{|{\color{li} \vec{x}}-{\color{r} \vec{m}}|}^2&={{\color{gr}r}}^2\\[0.2cm]\Rightarrow {\left| {\color{li}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}}-{\color{r} \begin{pmatrix} c \\ d \\ e \end{pmatrix}} \right|}^2&={{\color{gr}r}}^2\\[0.2cm]\left({\sqrt{(x-c)^2+(y-d)^2+(z-e)^2}}\right)^2&={{\color{gr}r}}^2\\[0.2 cm] {(x-c)}^2+(y-d)^2 +(z-e)^2&={{\color{gr}r}}^2\\\end{align}

Beim Ausrechnen des Terms hat sich hier die Wurzel durch das Quadrieren weggekürzt und übrig bleibt der innere Teil als Koordinatenform für die Kugelgleichung.

Kannst Du Dir darunter noch nichts vorstellen? Dann schau Dir doch das folgende Beispiel an:

Kugelgleichung – Parameterform

Die Parameterform hat wiederum einen ganz anderen Ansatz. In dieser Form wird ein Punkt auf der Kugel mithilfe des Radius und zwei Winkel angegeben. Das Zentrum der Kugel liegt dabei wieder entweder im Koordinatenursprung oder in dem Mittelpunkt \(M\). Eine zur x-y-Ebene senkrechte Gerade, Polachse genannt, geht durch dieses Zentrum und gibt so die Polrichtung an. Zu dieser Polachse liegt wiederum eine senkrechte Ebene, die gleichzeitig auch durch den Mittelpunkt verläuft, diese Ebene wird Äquatorebene genannt.

Abb. 2: Winkel der Parameterform

Charakterisiert wird ein beliebiger Punkt P durch folgende Werte:

• Der Abstand vom Mittelpunkt \(M\) zum Punkt \(P\) auf der Kugel entspricht dem Radius \(r\)
• Der Polarwinkel \(\theta\) wird zwischen der Strecke \(\overline{MP}\) und der oberen Hälfte der Polachse aufgespannt. Dabei kann dieser Winkel nur Werte zwischen \(0\) und \(\pi\) (\( 0^{\circ}\) bis \(180^{\circ}\)) annehmen und legt eine Kreislinie auf der Kugeloberfläche fest.
• Der Azimutwinkel \(\phi\) wird zwischen der Polrichtung und der Projektion der Strecke \(\overline{MP}\) auf der Äquatorebene aufgespannt. Dieser Winkel wird jedoch zwischen \(0\) und \(2 \pi\) oder \(-\pi\) und \(\pi\) gemessen.

Zusammen ergeben diese Punkte dann die Kugelkoordinaten \(P\,(r,\theta,\phi)\)

Willst Du diese doch in kartesischen Koordinaten erhalten, dann kannst Du folgende Rechnungen durchführen:

\begin{align} x & = r\cdot \sin{\theta} \cdot \cos{\phi} \\ y & = r \cdot \sin{\theta} \cdot \sin{\phi} \\ z & = r \cdot \cos{\theta} \end{align}

Zur Verdeutlichung kannst Du Dir folgendes Beispiel ansehen:

Kugelgleichung – Aufgaben

In diesem Abschnitt findest Du zur Übung ein paar Aufgaben zu den obigen Themen: