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Rechnen mit Winkeln

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Rechnen mit Winkeln

Du drehst das Lenkrad am Auto, dann drehst Du weiter ein. Wie steht das Lenkrad jetzt?

Ein Freund steht neben Dir und schaut in eine andere Richtung. Du siehst etwas auf der anderen Seite. Wie weit muss er sich drehen, um es auch zu sehen?

Winkel lassen sich wie Längen und alle anderen Zahlen addieren und subtrahieren.

Rechnen mit Winkeln Grundlagen

Als Erstes eine kurze Wiederholung, was ein Winkel ist und woraus er sich zusammensetzt:

Ein Winkel ist ein Bereich einer Ebene, der von zwei Strahlen aufgespannt wird, die in dieser Ebene liegen.

Die beiden Strahlen werden auch als "Schenkel" bezeichnet und der Ausgangspunkt als Scheitel.

Dafür gibt es einige bekannte Exemplare, die im Bau und bei Konstruktionen besonders oft auftreten.

Der vermutlich am häufigsten auftauchende Winkel ist der sogenannte rechte Winkel von . Die Hälfte davon sind und das doppelte ist mit genau der "Winkel" den die beiden Strahlen aufspannen, wenn sie vom gleichen Punkt in komplett unterschiedliche Richtungen (antiparallel) zeigen.

Rechnen mit Winkeln Rechter Winkel StudysmarterAbbildung 1: Rechter Winkel

Rechnen mit Winkeln gestreckter Winkel Studysmarter
Abbildung 2: Gestreckter Winkel
Rechnen mit Winkeln Spitzer Winkel Studysmarter
Abbildung 3: Spitzer Winkel

Rechnen mit Winkeln Stumpfer Winkel StudysmarterAbbildung 4: Stumpfer Winkel

In der Schule ist am häufigsten zu sehen, dass der Winkel in Grad angegeben wird.

Ein Grad ( 1° ) ist einer vollen Umdrehung.

Damit sind eine volle Umdrehung um die eigene Achse. Wenn Du Dich so weit drehst, schaust Du also genau wieder dorthin, wo Du gestartet bist.

Schriftliches Rechnen mit Winkeln

Der schnellste Weg, zwei gegebene Winkel zu addieren, deren Werte schon gegeben sind, ist das einfache Addieren ohne etwas zu zeichnen.

Winkel addieren

Das Addieren funktioniert hier wie jede anderen Einheit auch. Es ist allerdings beim Überschreiten eines ganzen Winkels von zu beachten, dass Du jeweils die wieder abziehst, um unterhalb einer gesamten Umdrehung zu bleiben.

Winkel werden genauso addiert wie jede andere Einheit auch.

Das Addieren von Zahlen funktioniert bei gegebenen Winkeln genauso, als wäre gar keine Einheit vorhanden:

Genauso wie das Addieren von Zahlen:

Funktioniert das Addieren von Winkeln, wenn sie gegeben sind:

Da bei mehr als einer vollen Umdrehung über der Winkel wieder dort eintritt, wo beginnen, wäre eine Positionsangabe mathematisch unsinnig. Daher fängst Du hier an, von null zu zählen.

Bei einer Drehung um landest Du auf dem gleichen Winkel, als hättest Du Dich nur um gedreht. Nur, dass Du eine ganze Umdrehung mehr hinter Dir hast.

Rechnen mit Winkeln Winkel über 360° StudysmarterAbbildung 5: 370° und 10°

Wenn Du nach der Addition mehrerer Winkel über einen Wert von mehr als einem vollen Winkel, herausgefunden hast, musst Du wahrscheinlich diesen wieder so anpassen, dass er unter liegt.

Wenn Du zum Beispiel eine dreiviertel Umdrehung machst (also ) und dich dann in die gleiche Richtung noch einmal umdrehst, um nach hinten zu schauen (also einmal um ). Wohin siehst Du dann?

Wenn Du die beiden Winkel einfach addierst

,

kommst Du auf einen Wert, der größer als ist.

Du hast Dich also mindestens einmal an Deiner Ausgangsblickrichtung vorbei gedreht.

Du hast jetzt also die, die größer sind als . Um also auf einen Wert unter zu kommen, ziehst Du genau diese zusätzliche Umdrehung von ab.

Also ist die Summe letztendlich wieder ein rechter Winkel. Das heißt Deine beiden Drehungen um und entspricht einer Drehung lediglich genau zu Deiner Seite.

Winkel subtrahieren

Auch hier kann es passieren, dass – je nach Anwendungsbereich – Winkel unter 0° keine sinnvolle Formulierung darstellen. Zunächst lernst Du aber, in welchem Bereich Du ganz normal rechnen kannst.

Subtrahieren ist ebenso wie das Addieren schon vom Rechnen mit anderen Einheiten bekannt.

Unter 0° passiert etwas Ähnliches wie über . Auf den Winkel werden addiert, um wieder innerhalb des Bereichs zwischen und zu landen.

Damit ergibt sich, mit der Addition von zu jeweils beiden Ergebnissen:

Geometrisch Rechnen mit Winkeln

Hier gibt es jetzt zwei Möglichkeiten. Du kannst nachmessen, oder wie oben von Hand addieren, und dann mit dem Geodreieck zeichnen.

Rechnen mit Winkeln, mit gegebenen Werten und Geodreieck

Beim Addieren wanderst Du "weiter in die Richtung", die der Winkel schon eingeschlagen hat.

Winkel addieren

Als Erstes lernst Du hier, wie Du mit Winkeln umgehst, deren Werte Du im Vorfeld kennst.

Am einfachsten ist es, den ersten Winkel zu malen und dann das Blatt so weit zu drehen, dass die neu konstruierte Seite waagerecht vor Dir liegt. Danach konstruierst Du den Winkel einfach darauf, als wäre der Ausgangswinkel gar nicht da.

Nimm an, Du hast zwei Winkel und gegeben und möchtest sie mit dem Geodreieck addieren. Also Du möchtest herausfinden, wie weit Du Dich insgesamt drehst, wenn Du beide Drehungen nacheinander durchführst.

Als Erstes zeichnest Du α, als wäre es der einzige gegebene Winkel.

Rechnen mit Winkeln Einen Winkel mit Geodreieck konstruieren StudysmarterAbbildung 6: α mit Geodreieck konstruieren.

Sinnvoll ist es, hier direkt das Blatt so zu drehen, dass der obere Schenkel von α waagerecht vor Dir ist.

Du legst dann Dein Geodreieck so, dass die Mitte (wo der Scheitel des kommenden Winkels sein soll) genau auf dem Scheitel von α, beziehungsweise auf dem oberen Schenkel liegt.

Von da trägst Du den Winkel genauso ab, als wäre der untere Winkel gar nicht da.

Rechnen mit Winkeln Winkel addieren mit Geodreieck StudysmarterAbbildung 7: β mit Geodreieck auf α konstruieren

Wenn Du jetzt Dein Geodreieck wegnimmst, siehst Du drei Schenkel, wobei der Oberste und der Unterste die Schenkel des Summenwinkels darstellen.

Rechnen mit Winkeln addierte Winkel StudysmarterAbbildung 8: Summe von α und β übereinander konstruiert.

Jetzt hast Du beide Winkel mit dem Geodreieck aufeinander addiert!

Winkel subtrahieren

Winkel voneinander subtrahieren funktioniert genauso, nur dass der abgezogene Winkel in genau die andere Richtung gezeichnet wird.

Sind Werte gegeben, kannst Du den ersten Winkel normal konstruieren und den zweiten in die entgegengesetzte Richtung ausrichten.

Gegeben sind die Winkel und .

Berechne und zeichne die drei Winkel.

Optisch sieht das dann so aus:

Rechnen mit Winkeln Subtraktion StudysmarterAbbildung 9: Winkel voneinander subtrahieren.


Rechnen mit Winkeln ohne Zahlenwerte, mit Zirkel und Lineal

Für die Addition von zwei gezeichneten Winkeln ohne konkrete gegebene Werte benötigst Du einen Zirkel und ein Lineal.

Kurz sehen die Schritte dafür folgendermaßen aus:

  1. Konstruiere einen Kreis gleichen Durchmessers auf die zu übertragenden Winkel und die Geraden auf die Winkel konstruiert werden.
  2. Miss die beiden Schnittpunkte von Kreis und den Geraden mit dem Zirkel ab.
  3. Überträge die abgemessenen Schnittpunkte auf den Kreis und zieh den Strahl für den Winkel hindurch.

Besser ist das aber anhand eines Beispiels zu erklären.

Möchtest Du zwei Winkel, ohne sie vorher konkret zu messen, in einer Konstruktion addieren, dann brauchst Du dafür einen Zirkel und ein Lineal.

Rechnen mit Winkeln unbekannte Winkel StudysmarterAbbildung 10: zwei unbekannte Winkel

Als Erstes konstruierst Du die Gerade bzw. den Strahl mit einem Anfangspunkt, auf den der aufsummierte Winkel konstruiert werden soll.

Schritt 1 - Kreis konstruieren

Dann konstruierst Du bei allen drei Winkeln als Startpunkt einen Kreis mit exakt dem gleichen Radius mit dem Zirkel.

Anschließend nimmst Du beim ersten Winkel den Abstand der Schnittpunkte zwischen den Schenkeln und der Kreislinie und überträgst diese auf die noch leere Gerade genau auf den Kreis.

Nochmal genauer:

Stelle einen konstanten Radius r bei Deinem Zirkel ein.

Rechnen mit Winkeln Hilfskreis StudysmarterAbbildung 11: HIlfskreis

Ziehe diesen Radius r über den Scheitelpunkt der beiden Winkel.

Rechnen mit Winkeln Hilfskreis auf beiden Ausgangswinkeln StudysmarterAbbildung 12: Hilfskreis über beide Winkel

Miss den Abstand zwischen den beiden Schenkeln, indem Du bei einem Schnittpunkt einstichst und den Zirkel bis zum anderen Schnittpunkt einstellst.

Rechnen mit Winkeln Ersten Winkel ausmessen StudysmarterAbbildung 13: Abmessen des ersten Winkels am Hilfskreis

Denn ersten Winkel kannst Du jetzt auf einen leeren Kreis übertragen, indem Du am Schnittpunkt zwischen Gerade und Kreis einstichst und den eben gemessenen Abstand auf die Kreislinie überträgst.

Rechnen mit Winkeln ersten Winkel konstruieren StudysmarterAbbildung 14: Übertragen des ersten Winkels

Durch diesen Schnittpunkt ziehst Du dann eine Gerade, um den ersten Winkel zu kopieren.

Rechnen mit Winkeln Erster Winkel konstruiert StudysmarterAbbildung 15: Konstruktion des ersten Winkels

Dann misst Du den zweiten Winkel wie oben.

Rechnen mit Winkeln Zweiter Winkel konstruiert StudysmarterAbbildung 16: Abmessen des zweiten Winkels

Diesen Winkel konstruierst Du dann an den ersten Winkel links dran. Dafür stichst Du an dem Punkt ein, den Du gerade markiert hast (also das Ende des Winkels α) und markierst erneut den Schnittpunkt zwischen der Kreislinie und dem neuen Abstand von β.

Achte darauf, die Winkel alle in dieselbe Richtung zu konstruieren, denn andernfalls würdest Du sie voneinander abziehen.

Rechnen mit Winkeln zweien Winkel auf ersten Addieren StudysmarterAbbildung 17: Konstruktion des Summandenwinkels

Nach Entfernen der Hilfslinien bleibt nur noch der neue Winkel γ übrig.

Rechnen mit Winkeln Summenwinkel StudysmarterAbbildung 18: Summenwinkel mit Hilfskreis

Jetzt hast Du Deinen fertigen Winkel, der aus der Summe der anderen beiden besteht, konstruiert.

Winkel direkt mittels Zirkel und ohne Lineal subtrahieren

Das Subtrahieren eines unbekannten Winkels von einem anderen funktioniert genauso, wie Du Dir die Kombination der letzten beiden Kapitel vorstellst.

Rechnen mit Winkeln unbekannte Winkel StudysmarterAbbildung 19: zwei unbekannte Winkel

Möchtest Du also den zweiten Winkel abziehen anstatt addieren, wird beim letzten Schritt (bei der Addition Abbildung 17) der Winkel nicht gegen den Uhrzeigersinn, sondern mit dem Uhrzeigersinn konstruiert. Der resultierende Winkel γ ist also kleiner als α, denn von α wurde β abgezogen.

Rechnen mit Winkeln Differenzwinkel StudysmarterAbbildung 20: Subtraktion von Winkeln

Rechnen mit Winkeln - Aufgaben

Jetzt kannst Du das alles einmal in den Beispielen ausprobieren. Zunächst ein paar Aufgaben ohne Zeichnen.

Aufgabe 1

Addiere bzw. subtrahiere folgende Winkel:

Lösung

Genau wie bei Addieren und Subtrahieren von Zahlen kannst Du hier mit Winkeln rechnen. Nur, dass Du hier das Gradzeichen jeweils mitnimmst.

In Aufgabe c stößt Du auf einen Winkel, der größer ist als , also mehr als eine ganze Umdrehung umfasst. Also ziehst Du ab.

Dieser Wert ist immer noch zu groß, also kannst Du noch mal eine Umdrehung runternehmen.

Jetzt bist Du unter 360° angekommen und weißt: Du hast oben zwei vollständige Umdrehungen und zusätzlich 55° berechnet. Am Ende steht der Summenwinkel aber nur 55° von dem Startpunkt weg.

In Aufgabe d bist Du mit Deiner Drehung gegen den mathematischen Drehsinn unter gekommen

Und muss jetzt herausfinden, wie viel das zwischen und ist. Dafür addierst Du 360°:

Du hast also zu Beginn links am Startpunkt vorbeigeschaut. Durch eine Drehung um nach rechts schaust Du um recht am Startpunkt vorbei. Das entspricht einer Drehung von nach links.

Hier hast Du einmal eine Textaufgabe mit Winkel.

Aufgabe 2

Christine hat in der Ausgangsposition auf ihrem Lenkrad ganz oben eine weiße Markierung. Sie parkt rückwärts ein. Währenddessen dreht sie das Lenkrad nach links, also einmal auf den Kopf, sodass die Markierung genau nach unten zeigt. Während das Auto dann zurückrollt, dreht sie es um die Hälfte wieder zurück. Wohin zeigt die weiße Markierung des Lenkrads zum Schluss?

Lösung

Bei der ersten Drehung muss sie – um von ganz oben auf ganz unten zu kommen – das Lenkrad um 180° im Uhrzeigersinn, also in mathematischen Drehsinn drehen. Der erste erreichte Winkel ist also

Dann dreht sie das Lenkrad zurück. Es ist als gegen den mathematischen Drehsinn unterwegs. Die Hälfte von 180 ist 90. Also ist der zweite Winkel:

Zusammen ergeben die Winkel

Das Lenkrad zeigt also im mathematischen Drehsinn und steht damit genau links.

Für die nächste Aufgabe brauchst Du Dein Geodreieck und kannst etwas konstruieren.

Aufgabe 3

Konstruiere den Winkel und ziehe den Winkel von α in Deiner Konstruktion ab.

Lösung

Als Erstes zeichnest Du eine Gerade. Das wird der untere Schenkel von α.

Rechnen mit Winkeln Gerade StudysmarterAbbildung 21: Gerade auf der der Winkel konstruiert wird

Jetzt misst Du mit dem Geodreieck die 120° ab und markierst Dir den Punkt.

Rechnen mit Winkeln Konstruktion mit Geodreieck StudysmarterAbbildung 22: Abgemessener Punkt, durch den der zweite Strahl den Winkel bilden wird

Als Nächstes verbindest Du den Punkt mit dem Scheitel und hast Deinen Winkel α konstruiert.

Rechnen mit Winkeln Winkel konstruieren StudysmarterAbbildung 23: Konstruierter Winkel

Da Du den Winkel abziehen (und nicht addieren) willst, legst Du das Geodreieck jetzt an die rechte Seite der neuen Gerade, also des zuletzt konstruierten Schenkels und misst von da gegen den mathematischen Drehsinn ab.

Rechnen mit Winkeln abzuziehenden Winkel konstruieren StudysmarterAbbildung 24: Geodreieck an zweiten Schenkel angelegt und negativen Winkel abgemessen

Jetzt solltest Du eine Zeichnung von α haben, bei der ein Punkt genau in der Mitte der beiden Schenkel ist.

Rechnen mit Winkeln abzuziehenden Winkel konstruiert StudysmarterAbbildung 25: Punkt durch den der Strahl des Differenzwinkels verlaufen wird

Durch Verbinden dieses Punktes mit dem Schenkel erhältst Du neben dem abgezogenen Winkel Deinen finalen Differenzwinkel

Rechnen mit Winkeln Ergebnis StudysmarterAbbildung 26: Differenzwinkel und abgezogener Winkel

Rechnen mit Winkeln - Das Wichtigste

  • Winkel lassen sich wie alle Einheiten normal addieren und subtrahieren
  • Du kannst mit dem Zirkel und dem Lineal genauso wie mit dem Geodreieck Winkel voneinander abziehen, indem Du sie aneinander konstruierst.
  • Wenn bei der Addition Winkel über 360° entstehen, wird ab da wieder von 0° angefangen zu zählen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Rechnen mit Winkeln

Ja. Winkel lassen sich wie alle Zahlen addieren und subtrahieren. 

Winkel kannst Du genauso wie jede andere Zahl addieren. Dabei kannst Du Winkel auch aneinander konstruieren, um auf einen Summenwinkel zu kommen.

Winkel kannst Du genauso wie jede andere Zahl addieren. Dabei kannst Du Winkel auch aneinander konstruieren, um auf einen Differenzwinkel zu kommen.

Ja. Winkel lassen sich wie alle Zahlen addieren und subtrahieren.

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