Flächeninhalt Parallelogramm

Kennst Du Beispiele aus Deinem Alltag, die die Form eines Parallelogramms haben? Kleiner Tipp – Wahrscheinlich schaust Du Dir gerade sogar diesen Artikel auf einem Parallelogramm an.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

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    Tatsächlich – Die Bildschirme eines Laptops, Smartphones oder Tablets haben die geometrischen Eigenschaften eines Parallelogramms.

    Parallelogramm – Die Grundlagen

    Rechtecke, wie der Bildschirm Deines Handys, sind auch gleichzeitig Parallelogramme. Aber welche Eigenschaften muss eine geometrische Figur überhaupt haben, damit es sich um ein Parallelogramm handelt?

    Das Parallelogramm ist eine geometrische Figur aus der Familie der Vierecke. Es hat somit vier Seiten, wobei die gegenüberliegenden Seiten immer parallel und gleich lang sind.

    Flächeninhalt Parallelogramm Parallelogramm StudySmarterAbbildung 1: Parallelogramm

    Es gibt auch noch andere Vierecke, die ebenfalls unter die Definition des Parallelogramms fallen und somit Spezialfälle des Parallelogramms abbilden.

    Das RechteckDie RauteDas Quadrat
    ..ist ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln...ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten...ist ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln und vier gleich langen Seiten

    Flächeninhalt Parallelogramm Rechteck StudySmarterAbbildung 2: Rechteck

    Flächeninhalt Parallelogramm Raute StudySmarterAbbildung 3: Raute

    Flächeninhalt Parallelogramm Quadrat StudySmarterAbbildung 4: Quadrat

    Flächeninhalt Parallelogramm – Einführung

    In diesem Abschnitt erfährst Du, was überhaupt mit dem Flächeninhalt im Allgemeinen gemeint ist und wie Du intuitiv die Fläche von einem Parallelogramm berechnen kannst.

    Eine Fläche im Allgemeinen ist eine zweidimensionale Ebene im Raum. Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe einer Fläche.

    Wie sieht denn jetzt so eine Fläche von einem Parallelogramm aus?

    Aufgabe 1

    Sieh Dir das folgende Parallelogramm an. Wie viele ganze und halbe Kästchen befinden sich innerhalb der Figur?

    Flächeninhalt Parallelogramm Parallelogramm StudySmarterAbbildung 5: Parallelogramm aus Aufgabe 1

    Lösung

    Zählst Du nun alle ganzen und halben Kästchen, die innerhalb der Figur zu sehen sind, erhältst Du die Fläche des Parallelogramms.

    Dabei gelten die Kästchen als Einheit für die Fläche.

    Hast Du richtig gezählt, kommst Du auf 36 ganze und 8 halbe Kästchen. Somit befinden sich 40 Kästchen in der Figur. Das heißt, die Fläche des Parallelogramms ist 40 Kästchen groß.

    Flächeninhalt Parallelogramm – Formel

    Da es etwas umständlich und darüber hinaus auch nicht immer möglich ist, die Fläche einer Figur mit Abzählen von Kästchen zu bestimmen, gibt es Formeln, mit denen Du den Flächeninhalt berechnen kannst.

    Die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms lautet:

    A =a·ha

    Dabei ist a eine Grundseite und ha die Höhe des Parallelogramms. Die Höhe ha ist dabei senkrecht zu der Seite a.

    Der Flächeninhalt wird in der Mathematik stets mit dem Buchstaben A abgekürzt.

    Flächeninhalt Parallelogramm Parallelogramm StudySmarterAbbildung 6: Parallelogramm mit Höhe ha

    Versuch mal die Formel an dem Beispiel mit den Kästchen anzuwenden.

    Aufgabe 2

    Berechne die Fläche des Parallelogramms, bei dem die Grundseite a eine Länge von 10 Kästchen und die Höhe ha eine Länge von 4 Kästchen hat.

    Flächeninhalt Parallelogramm Parallelogramm StudySmarterAbbildung 7: Parallelogramm aus Aufgabe 2

    Lösung

    Diesmal musst Du die Kästchen nicht einzeln abzählen, sondern wendest die definierte Formel an.

    A =a·ha

    Jetzt setzt Du für die Buchstaben a und ha die Längen ein, die Dir in der Aufgabe gegeben wurden.

    In diesem Beispiel haben die Größen a und ha folgende Längen.

    a=10 Kästchenlängenha=4 Kästchenlängen

    Eingesetzt in die Formel ergibt das dann folgende Gleichung:

    A=10 Kästchenlänegn·4 KästchenlängenA=40 Kästchen

    Wie Du siehst, kommst Du auf dasselbe Ergebnis, wie mit dem Abzählen der Kästchen.

    Normalerweise wird in der Mathematik nicht in "Kästchen" gerechnet, sondern mit Längeneinheiten wie z. B. Zentimeter (cm).

    Du kannst nun also davon ausgehen, dass ein Kästchen eine Länge von 0,5 cm hat.

    Demnach ergeben sich folgende Längen für die Größen a und ha.

    a=10·0,5 cma=5 cmha=4·0,5 cmha=2 cm

    Eingesetzt in die Formel, ergibt das dann folgende Gleichung:

    A=5 cm · 2 cmA=10 cm2

    Bei einer Kästchenlänge von 0,5 cm hat das Parallelogramm also eine Fläche von 10 cm².

    Bei der Rechnung werden neben den Zahlen auch die beiden Längeneinheiten cm miteinander multipliziert. Aus dem Grund wird die Einheit für die Fläche in Quadratzentimetern (cm2) angegeben.

    Hast Du anstatt der Länge a, die Länge der Seite b gegeben, gibt es eine ähnliche Formel, in der Du ebenfalls die Grundseite mit der entsprechenden Höhe multiplizierst.

    Der Flächeninhalt A eines Parallelogramms mit gegebener Seite b und der Höhe hb wird mit folgender Formel berechnet.

    A = b·hb

    Die Höhe hb muss dabei senkrecht zur Seite b des Parallelogramms stehen.

    Abbildung 8: Parallelogramm mit Höhe hb

    Schau Dir das mal an einem Beispiel an.

    Aufgabe 3

    Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms, bei dem folgende Längen gegeben sind.

    b=5 cmhb=9 cm

    Flächeninhalt Parallelogramm Parallelogramm StudySmarterAbbildung 9: Parallelogramm mit Höhe hb (nicht maßstabsgetreu)

    Lösung

    Diesmal benutzt Du also die folgende Formel für die Berechnung des Flächeninhalts A.

    A = b·hb

    Als nächsten Schritt setzt Du für b und hb die gegebenen Größen ein. In dem Beispiel haben die Größen b und hb folgende Längen:

    b=5 cmhb=9 cm

    Diese Längen setzt Du jetzt in die Formel ein und rechnest die Gleichung anschließend aus.

    A=5 cm · 9 cmA=45 cm2

    Die Fläche des Parallelogramms beträgt somit 45 cm2.

    Längeneinheiten Umrechnungshilfe

    Neben der Längeneinheit Zentimeter können auch Längen des Parallelogramms in anderen Einheiten angegeben sein. Beim Rechnen mit den Längen ist dabei besonders wichtig, dass sich die Einheiten von Höhe ha bzw. hb und Grundseite a bzw. b nicht unterscheiden. Sollten diese nicht gleich sein, musst Du vor dem Rechnen die beiden Einheiten angleichen, indem Du eine Einheit auf die andere umrechnest.

    Die folgende Abbildung kann Dir beim Umrechnen von Längeneinheiten helfen.

    Flächeninhalt Parallelogramm Umrechnungshilfe bei Längeneinheiten StudySmarterAbbildung 10: Umrechnungshilfe bei Längeneinheiten

    Flächeninhalt Parallelogramm im Koordinatensystem

    In den vorigen Beispielen hast Du den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet, bei dem die Längen der Seiten a bzw. b und der Höhe ha bzw. hb gegeben waren. In diesem Abschnitt lernst Du, wie Du den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnest, welches durch die Punkte A, B, C und D im Koordinatensystem definiert ist.

    Flächeninhalt Parallelogramm Parallelogramm im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 11: Parallelogrammgerade im Koordinatensystem

    Liegt das Parallelogramm gerade im Koordinatensystem, sodass mindestens eine Seite a oder b des Parallelogramms parallel zu einer Koordinatenachse liegt (in Abbildung 11 liegt die Seite b parallel zur y-Achse), kannst Du den Flächeninhalt mit einer der folgenden Formeln berechnen:

    A=a·haA=b·hb

    Schau Dir das direkt im folgenden Beispiel an.

    Aufgabe 4

    Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms, welches durch folgende Punkte im Koordinatensystem definiert ist:

    A(4|-1),B(4|4),C(1|3),D(1|-2)

    Flächeninhalt Parallelogramm Parallelogramm im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 12: Parallelogramm von Aufgabe 4

    Lösung

    Wenn in der Aufgabenstellung nur Punkte gegeben sind und keine Zeichnung des Parallelogramms vorliegt, solltest Du Dir in jedem Fall die Zeit nehmen, als ersten Schritt das Parallelogramm in ein Koordinatensystem zu zeichnen!

    Zunächst musst Du entscheiden, welche der beiden Formeln Dir bei der Berechnung des Flächeninhalts bei diesem Parallelogramm hilft.

    A=a·haA=b·hb

    Schau Dir dafür das Parallelogramm genau an. Von welcher Grundseite kannst Du die Länge direkt bestimmen? Die Seite a liegt schräg im Koordinatensystem, wodurch die Bestimmung dieser Länge ohne weitere Rechenschritte nicht möglich ist. Die Seite b dagegen liegt parallel zur y-Achse. Daher kannst Du die Länge der Seite b aus dem Koordinatensystem ablesen.

    Die Wahl fällt demnach auf folgende Formel:

    A=b·hb

    Im nächsten Schritt geht es um das Bestimmen der Größen b und hb.

    Zeichne dafür zunächst die Höhe hb in das Parallelogramm ein. Beachte, dass die Höhe hb senkrecht zur Grundseite b ist!

    Flächeninhalt Parallelogramm Parallelogramm im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 13: Parallelogramm von Aufgabe 4 mit eingezeichneter Höhe hb

    Die Länge von b bestimmst Du, indem Du die y-Werte der Punkte A(4|-1) und B(4|4) voneinander abziehst.

    b=4-(-1)b=5

    Solltest Du bei dieser Rechnung die y-Werte der beiden Punkte A und B vertauschen, ist das Ergebnis negativ.

    b=-1-4b=-5

    In so einem Fall kannst Du das Minuszeichen einfach ignorieren, da nur der Betrag vom Ergebnis entscheidend ist.

    Du kannst auch die y-Werte der Punkte D und C zur Berechnung nutzen.

    Für die Höhe hb ziehst Du die x-Werte der Punkte D(1|-2) und A(4|-1) voneinander ab.

    hb=4-1hb=3

    Auch hier kannst Du alternativ mit x-Werte der Punkte B und C rechnen.

    Jetzt setzt Du die Werte in die Formel ein und rechnest die Gleichung aus.

    A=b·hbA=5·3A=15 [FE]

    FE steht für Flächeneinheiten. Immer, wenn keine Längen oder Flächeneinheiten explizit angegeben sind, wird diese Abkürzung der Vollständigkeit halber hinter das Ergebnis geschrieben.

    Damit hat das Parallelogramm eine Fläche von 15 Flächeneinheiten.

    Es gibt jedoch auch den Fall, dass das Parallelogramm, dessen Fläche Du berechnen möchtest, komplett schräg im Koordinatensystem, oder sogar schräg im Raum liegt.

    Flächeninhalt Parallelogramm Parallelogramm im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 14: Parallelogramm schräg im Koordinatensystem

    In so einem Fall ist es nicht möglich, die Längen der Seiten a oder b ohne großen Aufwand zu bestimmen. Deshalb gibt es noch eine andere Möglichkeit, die Fläche eines Parallelogramms im Koordinatensystem zu berechnen.

    Flächeninhalt Parallelogramm – Berechnen mit dem Betrag des Vektorprodukts

    Bei dieser Variante wird das Parallelogramm von zwei Vektoren im Koordinatensystem aufgespannt.

    Wenn zwei Vektoren a = a1a2a3 und b=b1b2b3 ein Parallelogramm aufspannen, entspricht die Fläche A des Parallelogramms dem Betrag des Kreuzproduktes der beiden Vektoren.

    A =|a × b|

    Flächeninhalt Parallelogramm Betrag des Vektorprodukt StudySmarterAbbildung 15: Flächeninhalt eines Parallelogramms mit dem Betrag des Vektorprodukts

    Wenn Du Dir nicht mehr ganz sicher bist, was genau ein Kreuzprodukt ist, kannst Du Dir den entsprechenden Artikel dazu ansehen.

    Zur Erinnerung:

    Das Vektorprodukt, oder auch Kreuzprodukt genannt, von zwei Vektoren a = a1a2a3und b = b1b2b3 ist ein neuer Vektor c, der senkrecht zu den beiden anderen Vektoren a und b steht.

    Das Kreuzprodukt wird wie folgt berechnet:

    c= a2·b3 a3·b2 a3·b1 a1·b3a1·b2 - a2·b1

    Um den Betrag, also die Länge eines Vektors c=c1c2c3 zu bestimmen, kannst Du folgende Formel verwenden:

    c=c12+c22+c32

    Schau Dir das mal in einem Beispiel an.

    Aufgabe 5

    Gesucht ist der Flächeninhalt eines Parallelogramms, welches durch folgende Vektoren aufgespannt wird.

    a=24-2 b=26-1

    Lösung

    Du beginnst damit, das Kreuzprodukt der beiden Vektoren nach der Formel zu berechnen.

    c= a2·b3 a3·b2 a3·b1 a1·b3a1·b2 - a2·b1

    Das Ergebnis des Kreuzproduktes ist wieder ein Vektor, hier c.

    c = 4·(-1) (-2)·6 (-2)·2 2·(-1)2·6 - 4·2c =8-24

    Als Nächstes berechnest Du den Betrag des Vektors c.

    c=82+(-2)2+42|c|=9,165

    Damit hast Du den Flächeninhalt des Parallelogramms erfolgreich bestimmt. Das Parallelogramm hat somit folgende Fläche:

    A = 9,165 [FE]

    Damit hat das Parallelogramm eine Fläche von 9,165 Flächeneinheiten.

    Flächeninhalt Parallelogramm – Herleitung der Formel

    Die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms basiert auf dem Flächeninhalt des Rechtecks.

    Zur Erinnerung:

    Die Fläche eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b wird mit folgender Formel berechnet.

    A = a·b

    Flächeninhalt Parallelogramm Rechteck StudySmarterAbbildung 16: Rechteck

    Betrachte nun ein Parallelogramm mit eingezeichneter Höhe ha.

    Flächeninhalt Parallelogramm Herleitung der Formel StudySmarterAbbildung 17: Parallelogramm Herleitung der Formel Teil 1

    Wie Du sehen kannst, bildet die Höhe ha ein Dreieck innerhalb des Parallelogramms. Dieses Dreieck kannst Du jetzt abschneiden und an der rechten Seite des Parallelogramms wieder anfügen.

    Flächeninhalt Parallelogramm Herleitung der Formel StudySmarterAbbildung 18: Parallelogramm Herleitung der Formel Teil 2

    Damit hat das Parallelogramm jetzt die Form eines Rechtecks. Um davon die Fläche zu bestimmen, multiplizierst Du die Länge (a) mit der Breite (ha).

    Die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks lautet somit wie folgt.

    A =a·ha

    Das ist die Formel zur Berechnung der Fläche des Parallelogramms.

    Flächeninhalt Parallelogramm – Übungen

    Zum Abschluss kannst Du Dein neu erlerntes Wissen zum Flächeninhalt eines Parallelogramms mit einigen Übungsaufgaben auf die Probe stellen bzw. es weiter vertiefen.

    Aufgabe 6

    Berechne die Fläche des Parallelogramms, bei dem folgende Längen gegeben sind:

    a=15 cmha=7 cm

    Flächeninhalt Parallelogramm Parallelogramm StudySmarterAbbildung 19: Parallelogramm mit Höhe ha (nicht maßstabsgetreu)

    Lösung

    Da die Grundseite a und die dazu senkrechte Höhe ha gegeben ist, nutzt Du folgende Formel.

    A =a·ha

    Als nächsten Schritt setzt Du die gegebenen Größen in die Formel ein und rechnest die Gleichung aus.

    a=15 cmha=7 cmA=15 cm·7 cmA=105 cm2

    Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt 105 cm2.

    In der folgenden Aufgabe hast Du nun die beiden anderen Seiten gegeben.

    Aufgabe 7

    Berechne die Fläche des Parallelogramms, bei dem folgende Längen gegeben sind:

    b=5 dmhb=12 cm

    Flächeninhalt Parallelogramm Parallelogramm StudySmarterAbbildung 20: das Parallelogramm mit Höhe hb (nicht maßstabsgetreu)

    Lösung

    Da die Grundseite b und die dazu senkrechte Höhe hb gegeben ist, nutzt Du folgende Formel.

    A = b·hb

    Als nächsten Schritt setzt Du die gegebenen Größen in die Formel ein.

    b=5 dmhb=12 cm A=5 dm·12 cm

    Die Einheiten der Längen von b und hb stimmen nicht überein! Du musst also erst einmal die Längen auf eine gemeinsame Einheit bringen. Hier bietet sich Zentimeter an.

    b=50 dm=10·5 cm=50 cmb=50 cm

    Jetzt kannst Du die umgerechnete Länge b in der Gleichung ersetzen und den Flächeninhalt ausrechnen.

    A=50 cm·12 cm A=600 cm2

    Das Parallelogramm hat somit eine Fläche von 600 cm2.

    In der folgenden Aufgabe errechnest Du die Fläche mithilfe des Koordinatensystems.

    Aufgabe 8

    Berechne die Fläche des Parallelogramms, welche durch die folgenden Punkte im Koordinatensystem definiert ist.

    A(4|1),B(6|6),C(3|6),D(1|1)

    Lösung

    Da bei dieser Aufgabe keine Abbildung des Parallelogramms vorliegt, solltest Du Dir zunächst eine Zeichnung anhand der gegebenen Punkte anlegen.

    Flächeninhalt Parallelogramm Parallelogramm im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 21: Parallelogramm von Aufgabe 8

    Da Du die Länge der Seite a direkt aus dem Koordinatensystem ablesen kannst, benutzt Du für die Berechnung des Flächeninhalts folgende Formel:

    A =a·ha

    Bestimmung der Länge a

    Du ziehst die x-Werte der Punkte A(4|1) und D(1|1) voneinander ab.

    a=4-1a=3

    Bestimmung der Länge ha

    Ergänze bei Deiner Zeichnung die Höhe ha. Achte darauf, dass sie senkrecht zur Seite a liegt.

    Flächeninhalt Parallelogramm Parallelogramm im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 22: Parallelogramm von Aufgabe 8 mit eingezeichneter Höhe ha

    Hier ziehst Du also die y-Werte der Punkte C(3|6) und A(4|1) voneinander ab.

    hb=6-1hb=5

    Einsetzen der Werte in die Formel & Lösen der Gleichung

    A =a·haA=3·5A=15 [FE]

    Die Fläche des Parallelogramms ist 15 Flächeneinheiten groß.

    Flächeninhalt Parallelogramm – Das Wichtigste

    • Ein Parallelogramm hat vier Seiten, wobei jeweils die zwei gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind.
    • Der Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet sich durch das Produkt der Grundseite a bzw. b und der jeweils dazu senkrechten Höhe ha bzw. hb. Daraus lassen sich folgende zwei Formeln ableiten:
      • A =a·ha
      • A = b·hb
    • Die Herleitung der Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms basiert auf dem Flächeninhalt eines Rechtecks, da jedes Parallelogramm in ein Rechteck überführt werden kann.
    • Achte beim Berechnen darauf, dass die Längeneinheiten der beiden Größen gleich sind bzw. wandle sie ggf. vorher um.
    • Ein Parallelogramm kann auch durch die Punkte A, B, C und D im Koordinatensystem definiert sein. Die Fläche berechnet sich dann entweder aus dem Produkt der Grundseite a bzw. b und der Höhe ha bzw. hb, oder durch den Betrag des Vektorprodukts.
    • Spannen zwei Vektoren a und bein Parallelogramm im Koordinatensystem auf, entspricht die Fläche A des Parallelogramms dem Betrag des Kreuzproduktes von den beiden Vektoren. Die Formel lautet: A =|a × b|.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Flächeninhalt Parallelogramm

    Wie berechne ich den Umfang und den Flächeninhalt eines Parallelogramms? 

    Für den Umfang U werden alle vier Seiten miteinander addiert. Da ein Parallelogramm jeweils zwei gleich lange Seiten hat, kannst Du die Formel U=2⋅(a+b) benutzen. Für den Flächeninhalt A multiplizierst Du die Grundseite a bzw. b mit der jeweils dazu senkrechten Höhe ha bzw. hb. Die Formeln lauten dann: A = a⋅ha bzw. A = b⋅hb .

    Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt? 

    Die Formel für den Flächeninhalt A eines Parallelogramms mit den Grundseiten a und b und der dazu jeweils senkrechten Höhe ha bzw. hb lautet wie folgt: A = a⋅ha bzw. A = b⋅hb .

    Was ist die Formel von einem Parallelogramm? 

    Die Formel für den Umfang U eines Parallelogramms mit den Grundseiten a und b lautet: U=2⋅(a+b) .

    Die Formel für den Flächeninhalt A eines Parallelogramms mit den Grundseiten a und b und der dazu jeweils senkrechten Höhe ha bzw. hb lautet wie folgt: A = a⋅ha bzw. A = b⋅hb .

    Hat ein Parallelogramm vier gleich lange Seiten? 

    Ein Parallelogramm hat vier Seiten, von denen jeweils nur die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind. Ein Parallelogramm hat somit immer jeweils zwei gleichlange Seiten. Nichtsdestotrotz kann ein Parallelogramm vier gleich lange Seiten haben. Dieses nennt sich dann Raute.

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