Normalenform

Q: Wie lässt sich die Normalenform erkennen?

Die Normalenform ist eine Ebenengleichung bestehend aus einem Normalenvektor und einem Ortsvektor/Stützvektor zu einem Punkt in der Ebene.

Q: Wie wird die Normalenform einer Ebene aufgestellt?

Die Ebenengleichung in Normalenform benötigt den Normalenvektor senkrecht zur Ebene sowie einen Stützvektor zu einem beliebigen Punkt in der Ebene. Alternativ kann über drei Punkte in der Ebene zunächst der Normalenvektor bestimmt und dann in die Gleichung eingesetzt werden.

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Eine Ebene in Normalenform? Was genau ist das? Im dreidimensionalen Koordinatensystem wird eine Ebene als flaches Objekt abgebildet. Mathematisch kann eine Ebene durch unterschiedliche Formen wiedergegeben werden, wie etwa durch die Normalenform.

Alternative Formen sind die Koordinatenform oder die Parameterform, welche Du Dir ebenfalls in den Artikeln ansehen kannst.

Eine Gerade lässt sich im Zweidimensionalen übrigens auch in einer Normalenform angeben. Dazu später mehr. Zunächst zur Ebene in Normalenform.

Normalenform Definition – Ebene

Die Normalenform einer Ebene besteht aus dem Normalenvektor $\vec{n}$ , der senkrecht zur Ebene $E : \vec{x}$ steht und einem Stützvektor $\vec{p}$ zu einem festen Punkt P in der Ebene.

Ebenengleichung einer Ebene $E : \vec{x}$ in Normalenform:

$\vec{n} \circ [\begin{matrix} \vec{x} - \vec{p} \end{matrix}] = 0$

$\vec{n}$ = Normalenvektor der Ebene $E : \vec{x}$

$\vec{x}$ = Ortsvektor zu einem beliebigen (Variablen) Punkt der Ebene $E : \vec{x}$

$\vec{p}$ = Ortsvektor/Stützvektor zu einem festen Punkt P der Ebene $E : \vec{x}$

Zeit für ein Beispiel!

Eine Ebene $E : \vec{x}$ besitzt folgende Ebenengleichung in Normalenform.

$E : \vec{x} : (\begin{matrix} 3 \\ - 7 \\ 2 \end{matrix}) \circ [\vec{x} - \begin{matrix} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}] = 0$

In Abbildung 1 siehst Du die entsprechende Ebene $E : \vec{x}$ eingezeichnet mit dem Normalenvektor $\vec{n}$ und dem Punkt C.

Normalenform Ebene und Normalenvektor StudySmarter Abbildung 1: Ebene E

Neben der Normalenform gibt es auch noch die Hessesche Normalenform. Wenn Du mehr über die Hessesche Normalenform erfahren möchtest, kannst Du Dir die Erklärung dazu ansehen.

Was benötigst Du zum Aufstellen so einer Ebenengleichung in Normalenform?

Normalenform Ebene aufstellen

Die Definition der Normalenform zeigt Dir bereits, welche Komponenten Du brauchst, um die Ebene in Normalenform aufstellen:

einen Normalenvektor $\vec{n}$
einen festen Punkt P in der Ebene

Je nach Aufgabenstellung kann es sein, dass Du diese Komponenten bereits gegeben hast oder aber auch erst ermitteln musst.

Normalenform bestimmen – mit Normalenvektor und Punkt

Sieh Dir dazu gleich das folgende Beispiel an.

Aufgabe 1

Stelle die Ebenengleichung in Normalenform mithilfe des Normalenvektors $\vec{n}$ und des Punkts P auf. (Der Punkt P liegt in der Ebene)

$\vec{n} = (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix}); P (4 | - 1 | - 2)$

Lösung

Zunächst musst Du den Ortsvektor $\vec{p}$ zum Punkt P bestimmen.

Im Artikel Ortsvektor kannst Du noch einmal alles rund um das Thema nachlesen.

$\vec{p} = \vec{O P} = (\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix})$

Jetzt kannst Du den Normalenvektor $\vec{n}$ und den Stützvektor $\vec{p}$ in die Normalenform einsetzen und erhältst die Ebene $E : \vec{x}$ .

$\begin{array}{rcl} E : \vec{x} : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{p}] & = & 0 \\ E : \vec{x} : (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix}) \circ [\begin{matrix} (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) & - & (\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) \end{matrix}] & = & 0 \end{array}$

Nicht immer hast Du bereits den Normalenvektor $\vec{n}$ in der Aufgabe gegeben. So auch bei drei Punkten.

Normalenform bestimmen – mit drei Punkten

Auch hier kannst Du erst in die Ebenengleichung einsetzen, wenn Du einen Stützvektor $\vec{p}$ hast und einen Normalenvektor $\vec{n}$ . Wie kannst Du diese bei drei Punkten P, A und B ermitteln?

Einen Punkt (z. B. P) aus den drei Punkten P, A und B auswählen und den Ortsvektor $\vec{p}$ ermitteln.
Die Verbindungsvektoren $\vec{P A}$ und $\vec{P B}$ bilden.
Die Vektoren $\vec{P A}$ und $\vec{P B}$ ins Kreuzprodukt nehmen, um den Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $E : \vec{x}$ zu bestimmen.

Zur Erinnerung: Verbindungsvektor $\vec{P A}$ zwischen den Punkten P und A: $\vec{P A} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) - (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix})$

Aufgabe 2

Stelle eine Ebene $E : \vec{x}$ mithilfe der Punkte $P (1 | - 1 | 2); A (3 | 2 | 1); B (4 | 1 | 5)$ auf.

Lösung

Zunächst kannst Du einen Punkt aus den drei Punkten auswählen, der als fester Punkt festgelegt wird. Hier wird der Punkt P dafür gewählt. Möglich wären natürlich auch der Punkt A oder der Punkt B.

Zu diesem Punkt wird wieder der Ortsvektor $\vec{p}$ bestimmt.

$\vec{p} = \vec{O P} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})$

Damit hast Du bereits eine Komponente für die Normalenform ermittelt. Jetzt fehlt noch der Normalenvektor $\vec{n}$ . Dazu berechnest Du die beiden Verbindungsvektoren $\vec{P A}$ und $\vec{P B}$ .

Der Verbindungsvektor wird über „Spitze – Fuß“ ermittelt. Im Artikel Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem kannst Du das gerne nachlesen.

$\begin{array}{rcl} \vec{P A} & = & (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & - & 1 \\ 2 & + & 1 \\ 1 & - & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}) \\ \vec{P B} & = & (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 & - & 1 \\ 1 & + & 1 \\ 5 & - & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) \end{array}$

Diese Vektoren musst Du jetzt im Kreuzprodukt verrechnen, um den Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $E : \vec{x}$ zu erhalten.

$\vec{n} = \vec{P A} \times \vec{P B} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \cdot 3 & - & (- 1) \cdot 2 \\ (- 1) \cdot 3 & - & 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 2 & - & 3 \cdot 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 9 & - & (- 2) \\ - 3 & - & 6 \\ 4 & - & 9 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 11 \\ - 9 \\ - 5 \end{matrix})$

Der Normalenvektor $\vec{n}$ und der Ortsvektor $\vec{o}$ werden jetzt in die Normalenform eingesetzt und Du erhältst die Ebene $E : \vec{x}$ .

$\begin{array}{rcl} E : \vec{x} : \vec{n} \circ [\begin{matrix} \vec{x} - \vec{o} \end{matrix}] & = & 0 \\ E : \vec{x} : (\begin{matrix} 11 \\ - 9 \\ - 5 \end{matrix}) \circ [\begin{matrix} (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) \end{matrix}] & = & 0 \end{array}$

In der Abbildung 2 siehst Du alle Komponenten noch einmal veranschaulicht.

Normalenform aufstellen StudySmarter Abbildung 2: Normalenform aufstellen

Normalenform in Koordinatenform

Du kannst die Normalenform einer Ebene übrigens auch in andere Ebenengleichungen umwandeln, wie beispielsweise die Koordinatenform.

Eine Ebene $E : \vec{x}$ , die in Normalenform vorliegt kann in die Koordinatenform umgewandelt werden.

Ebene $E : \vec{x}$ in Normalenform:

$(\begin{matrix} 9 \\ 12 \\ - 21 \end{matrix}) \circ [\begin{matrix} (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) \end{matrix}] = 0$

Ebene $E : \vec{x}$ in Koordinatenform:

$\begin{array}{rcl} 9 x_{1} + 12 x_{2} - 21 x_{3} & = & - 9 \end{array}$

Wie Du diese Umformung durchführst, kannst Du im Artikel „Ebenengleichung umformen“ nachlesen.

Mit der Ebenengleichung in Normalenform lässt sich auch überprüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt.

Punktprobe Normalenform – Ebene

Hast Du eine Ebene $E : \vec{x}$ in Normalenform vorliegen und sollst überprüfen, ob ein beliebiger Punkt in der Ebene liegt, so kannst Du die sogenannte Punktprobe durchführen. Wie funktioniert das?

Für den Variablen Vektor $\vec{x}$ der Ebenengleichung $E : \vec{x}$ den Ortsvektor zum Punkt (z. B. C) einsetzen.
Vektoren subtrahieren und anschließend das Skalarprodukt bilden.
Ergibt sich eine wahre Aussage, so liegt der Punkt (z. B. C) in der Ebene $E : \vec{x}$ .

Aufgabe 3

Überprüfe, ob der Punkt $C (2 | 8 | 3)$ in der Ebene $E : \vec{x}$ liegt.

$E : \vec{x} : (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) \circ [\begin{matrix} \vec{x} - (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}) \end{matrix}] = 0$

Lösung

Zuerst setzt Du den Ortsvektor zu Punkt C für $\vec{x}$ in die Ebenengleichung in Normalenform ein.

$(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) \circ [\begin{matrix} (\begin{matrix} 2 \\ 8 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}) \end{matrix}] = 0$

Dann subtrahierst Du nun die beiden Vektoren in der eckigen Klammer. Das Ergebnis wird anschließend mit dem ersten Vektor multipliziert.

Im Artikel Skalarprodukt kannst Du die Multiplikation der beiden Vektoren noch einmal nachlesen.

$\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) \circ [\begin{matrix} (\begin{matrix} 2 \\ 8 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}) \end{matrix}] & = & 0 \\ (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} - 1 \\ 6 \\ - 2 \end{matrix}) & = & 0 \\ 1 \cdot (- 1) + 2 \cdot 6 + 3 \cdot (- 2) & = & 0 \\ - 1 + 12 - 6 & = & 0 \\ 5 & \neq & 0 \end{array}$

Du erhältst keine wahre Aussage, denn 5 ist nicht gleich 0. Der Punkt C liegt somit nicht in der Ebene $E : \vec{x}$ .

Normalenform – Gerade

Wie bereits zu Beginn erwähnt, kannst Du auch eine Gerade in Normalenform angeben. Allerdings nur im Zweidimensionalen. Interessiert an der Darstellung? Dann sieh Dir gerne die folgende Vertiefung an.

Die Normalenform einer Gerade hat dieselbe Form wie die Normalenform einer Ebene. Allerdings kannst Du die Normalenform einer Geraden nur im zweidimensionalen Koordinatensystem bilden.

Geradengleichung einer Geraden $g : \vec{x}$ in Normalenform im zweidimensionalen Koordinatensystem:

$\vec{n} \circ [\begin{matrix} \vec{x} - \vec{p} \end{matrix}] = 0$

$\vec{n}$ = Normalenvektor der Gerade $g : \vec{x}$

$\vec{p}$ = Ortsvektor/Stützvektor zu einem festen Punkt P der Gerade $g : \vec{x}$

Hier siehst Du ein kleines Beispiel.

Eine Gerade $g : \vec{x}$ besitzt beispielsweise folgende Geradengleichung in Normalenform.

$g : \vec{x} : (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix}) \circ [\vec{x} - \begin{matrix} (\begin{matrix} - 4 \\ 7 \end{matrix}) \end{matrix}] = 0$

Sowohl der Normalenvektor $\vec{n}$ als auch der Stützvektor $\vec{p}$ sind zweidimensionale Vektoren.

Hast Du Lust, direkt noch ein paar Übungsaufgaben zur Normalenform zu lösen? Dann los!

Normalenform – Übungsaufgaben

Aufgabe 4

Stelle eine Ebene $E : \vec{x}$ mithilfe der Punkte $P (2 | - 1 | 3); A (4 | 2 | 1); B (2 | 3 | 6)$ auf und überprüfe, ob der Punkt $C (- 1 | 2 | 3)$ in der Ebene $E : \vec{x}$ liegt.

Lösung

Der Punkt wird als fester Punkt gewählt, wobei der Ortsvektor zum Punkt P lautet:

$\vec{p} = \vec{O P} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})$

Danach berechnest Du die beiden Verbindungsvektoren $\vec{P A}$ und $\vec{P B}$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{P A} & = & (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 & - & 2 \\ 2 & + & 1 \\ 1 & - & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix}) \\ \vec{P B} & = & (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & - & 2 \\ 3 & + & 1 \\ 6 & - & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) \end{array}$

Nun berechnest Du den Normalenvektor $\vec{n}$ , in dem Du Vektor $\vec{P A}$ und $\vec{P B}$ im Kreuzprodukt verrechnest.

$\vec{n} = \vec{P A} \times \vec{P B} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \cdot 3 & - & (- 2) \cdot 4 \\ - 2 \cdot 0 & - & 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4 & - & 3 \cdot 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 9 - (- 8) \\ 0 - 6 \\ 8 - 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 17 \\ - 6 \\ 8 \end{matrix})$

Der Normalenvektor $\vec{n}$ und der Ortsvektor $\vec{p}$ werden jetzt in die Normalenform eingesetzt und Du erhältst die Ebenengleichung $E : \vec{x}$ .

$\begin{array}{rcl} E : \vec{x} : \vec{n} \circ [\begin{matrix} \vec{x} - \vec{p} \end{matrix}] & = & 0 \\ E : \vec{x} : (\begin{matrix} 17 \\ - 6 \\ 8 \end{matrix}) \circ [\begin{matrix} (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}) \end{matrix}] & = & 0 \end{array}$

Nun überprüfst Du, ob der Punkt $C (- 1 | 2 | 3)$ in der Ebene $E : \vec{x}$ liegt. Dazu wird der Ortsvektor zu Punkt C anstelle des Vektors $\vec{x}$ in die Ebenengleichung in Normalenform eingesetzt.

$\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} 17 \\ - 6 \\ 8 \end{matrix}) \end{array} \begin{array}{rcl} \circ \end{array} \begin{array}{rcl} [\begin{matrix} (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}) \end{matrix}] \end{array} \begin{array}{rcl} = \end{array} \begin{array}{rcl} 0 \end{array}$

Dann löst Du die Gleichung auf.

$\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} 17 \\ - 6 \\ 8 \end{matrix}) \circ [\begin{matrix} (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}) \end{matrix}] & = & 0 \\ (\begin{matrix} 17 \\ - 6 \\ 8 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) & = & 0 \\ 17 \cdot (\begin{matrix} - 3 \end{matrix}) + (- 6) \cdot 3 + 8 \cdot 0 & = & 0 \\ (- 51) - 18 & = & 0 \\ - 69 & = & 0 \end{array}$

Die beiden Ergebnisse sind nicht gleich, was bedeutet, dass der Punkt C nicht in der Ebene liegt.

Normalenform – Das Wichtigste

Eine Ebene $E : \vec{x}$ im Raum ist ein flaches Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.
Die Normalenform einer Ebene E:x→ besteht aus dem Normalenvektorn→ und dem Ortsvektor/Stützvektor p→.
- $E : \vec{x} : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{p}] = 0$
Aus drei Punkten kann ebenfalls die Normalenform bestimmt werden, indem der Normalenvektor $\vec{n}$ aus dem Kreuzprodukt gebildet wird.
Mit der Punktprobe kann überprüft werden, ob ein Punkt in der Ebene liegt.
Eine Gerade $g : \vec{x}$ lässt sich im zweidimensionalen Koordinatensystem auch in der Normalenform angeben.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Normalenform

Die Normalenform ist eine Ebenengleichung bestehend aus einem Normalenvektor und einem Ortsvektor/Stützvektor zu einem Punkt in der Ebene.

Die Ebenengleichung in Normalenform benötigt den Normalenvektor senkrecht zur Ebene sowie einen Stützvektor zu einem beliebigen Punkt in der Ebene. Alternativ kann über drei Punkte in der Ebene zunächst der Normalenvektor bestimmt und dann in die Gleichung eingesetzt werden.

Eine Ebene kann mathematisch durch eine Ebenengleichung beschrieben werden. Eine mögliche Form davon ist die Normalenform.

Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor sowie einem Ortsvektor/Stützvektor zu einem festen Punkt in der Ebene.

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Eine Ebene im Raum ist ein flaches Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird. Sie kann beispielsweise in der Parameterform oder auch der Normalenform und Koordinatenform wiedergegeben werden.

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