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Normalenform

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Normalenform

Neben der Parameterform und der Koordinatenform einer Ebene im dreidimensionalen Raum gibt es auch noch die sogenannte Normalenform. Mehr dazu erfährst Du in diesem Artikel!

Ebene im Raum - Grundlagenwissen

Was genau ist eine Ebene?

Eine Ebene im Raum ist ein flaches Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird. Meistens wird sie in einer Parameterform abgebildet. Die Ebene kann aber auch in einer Normalenform und Koordinatenform wiedergegeben werden.

Eine Art die Ebenengleichung aufzustellen ist die Normalenform

Eine Ebene in Normalenform:

Diese Abbildung zeigt die Ebene aus zwei verschiedenen Perspektiven:

Parameterform Ebene E:x im Raum aus zwei Perspektiven StudySmarterAbbildung 1: Ebene im Raum aus zwei Perspektiven

Ebenengleichung – Normalenform

Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor , einem Vektor, der den Aufbau eines Vektors darstellt und dem Ortsvektor/Stützvektor .

Im Folgenden siehst Du die Normalenform.

Normalenform Normalenform StudySmarter

=Normalenvektor der Ebene .

=Variable x der Ebene .

= Ortsvektor/Stützvektor, auf dem die Ebene sich stützt. Der Vektor entsteht aus dem Punkt O, da der Vektor aus dem Ursprung zum Punkt O verläuft.

Der Normalenvektor ist ein Vektor der Senkrecht auf einer Ebene steht.

Ebenengleichung – Koordinatenform

Die Koordinatenform einer Ebenengleichung ist ohne Vektoren.

Hier siehst Du die Koordinatenform einer Ebenengleichung .

Parameterform Koordinatenform StudySmarter

a, b, c sind Zahlen, die zusammengefasst den Normalenvektor ergeben.
sind die Zahlen des Vektors .

d ist Vektor multipliziert mit Vektor .

Die Koordinatenform ist die ausmultiplizierte Form der Normalenform.

Ebenengleichung – Parameterform

Die Ebene in Parameterform wird durch einen Punkt O und zwei Vektoren und bestimmt, die kein Vielfaches voneinander sind.

Die Ebenengleichung in Parameterform sieht so aus:

Normalenform Parameterform Ebenengleichung StudySmarter

= Ortsvektor/Stützvektor, auf dem die Ebene sich stützt. Der Vektor entsteht aus dem Punkt O, da der Vektor aus dem Ursprung zum Punkt O verläuft.

=Spannvektor/Stützvektor der Ebene , der die Ebene in eine Richtung aufspannt.

=Spannvektor/Stützvektor der Ebene , der die Ebene in eine Richtung aufspannt.

Der nächste Abschnitt zeigt Dir, wie eine Ebene in Parameterform dargestellt wird.

Normalenvektor der Ebene in Parameterform

Eine Ebene hat immer einen Normalenvektor .

Der Normalenvektor ist ein Vektor, welcher orthogonal (senkrecht) auf einer Gerade , Ebene , beziehungsweise generell auf einem Objekt steht.

Zum Berechnen des Normalenvektor der Ebene in Parameterform, werden beide Spannvektoren und im Kreuzprodukt verrechnet.

Formel zur Berechnung eines Kreuzprodukts zweier Vektoren und :

Normalenform Kreuzprodukt StudySmarter

Beim Kreuzprodukt werden Spannvektor und in die Formel eingesetzt und im wahrsten Sinne des Wortes gekreuzt verrechnet.

Parameterform in Normalenform umformen

In diesem Abschnitt geht es um das Umwandeln einer Ebenengleichung aus der Parameterform in eine Normalenform. Die Umformung der Ebene läuft nach folgendem Schema ab:

Um eine Parameterform in eine Normalenform umzuwandeln, musst Du die beiden Spannvektoren und ins Kreuzprodukt nehmen, um die Grundlage – den Normalvektor – zu schaffen. Dieser wird dann im Skalarprodukt mit dem Vektor multipliziert, welcher vom Stützvektor der Parameterform subtrahiert wird.

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist eine Art und Weise, zwei Vektoren miteinander zu verrechnen.

Ein Skalarprodukt sieht folgendermaßen aus:


Demnach werden zwei Vektoren und miteinander multipliziert und dann miteinander addiert, sodass eine Zahl (Skalar) rauskommt.

Aufgabe 1

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren und .

Lösung

Zuerst multiplizierst Du die einzelnen Zahlen der Vektoren und miteinander und addierst diese anschließend.

Das Skalarprodukt beider Vektoren und liegt bei .

Nun siehst Du in der Praxis, wie eine Ebene in Parameterform in eine Ebene in Normalenform umgewandelt wird.

Aufgabe 2

Forme die Ebene in Parameterform in eine Normalenform um.

Lösung

Zuerst berechnest Du den Normalenvektor , indem Du die beiden Spannvektoren und in einem Kreuzprodukt verrechnest.

Durch das Einsetzen der Vektoren und in die Formel des Kreuzprodukts erhältst Du den Normalenvektor.

Jetzt kannst Du die Vektoren in die Normalenform einsetzen.

Der erste Vektor ist der Normalenvektor und die beiden anderen Vektoren sind der Vektor und der Stützvektor . Diese wurden in die Rohfassung der Normalenform eingesetzt und das wurde gleich 0 gesetzt.

Hier siehst Du eine Abbildung zur Veranschaulichung:

Parameterform Ebene E im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 2: Ebene E im Koordinatensystem

Normalenform in Koordinatenform umformen

Die Ebenengleichung in Normalenform in eine Ebene in Koordinatenform umzuformen, funktioniert folgendermaßen.

  1. Zuerst wird die Normalenform ausmultipliziert, weil die Normalenform in einem Skalarprodukt steht.
  2. Anschließend werden die Skalare abgezogen. Sie stehen nun auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens.

Der Vorgang sieht ausgeschrieben folgendermaßen aus:

Dabei sind a, b und c die Werte, die zusammengefasst den Normalenvektor ergeben.

Aufgabe 3

Forme die Ebene in Normalenform in eine Koordinatenform um.

Lösung

Zuerst multiplizierst Du die Normalenform aus.

Das Ausmultiplizieren der Ebene E in Normalenform als ein Skalarprodukt ergibt den Term . Bei diesem Term muss der Skalar (reelle Zahl) subtrahiert werden, um die vollständige Koordinatenform zu erhalten. Das sieht folgendermaßen aus:

Durch diesem Vorgang erhältst Du die Ebene in Koordinatenform.

In dieser Koordinatenform kannst Du den Normalenvektor wiedererkennen. Denn durch das Ausmultiplizieren stehen die Zahlen aus dem Normalenvektor in der richtigen Reihenfolge, wie bei dem Vektor .

Normalenform aufstellen

Eine Normalenform einer Ebene kann auch aufgestellt werden. Aber wie funktioniert das?

  1. Du hast drei Punkte O, A und B gegeben, die Du jetzt in eine Ebenengleichung umwandeln musst.
  2. Für eine Ebenengleichung benötigst Du einmal den Ortsvektor , den Vektor und den Vektor .
  3. Die Vektoren und berechnest Du, in dem Du den Vektor von Vektor und Vektor abziehst.
  4. Die Vektoren und müssen noch im Kreuzprodukt verrechnet werden, weil der Normalenvektor der Ebene benötigt wird.
  5. Alle Vektoren werden nun in die Normalenform der Ebenengleichung zusammengefügt.

Aufgabe 4

Erstelle eine Ebene mithilfe der Punkte .

Lösung

Zuerst berechnest Du die beiden Vektoren und , in dem Du den Vektor einmal vom Vektor und einmal vom Vektor subtrahierst.

Somit erhältst Du die Vektoren und .

Diese Vektoren musst Du jetzt im Kreuzprodukt verrechnen, um den Normalenvektor der Ebene zu erhalten.

Somit hast Du den Normalenvektor berechnet:

Der Normalenvektor und der Ortsvektor werden jetzt in die Normalenform eingesetzt.

Die Ebene in Normalenform sieht folgendermaßen aus:

Normalenform  Ebene in Normalenform aufstellenStudySmarterAbbildung 3: Ebene in Normalenform aufstellen

Ebenengleichung in Normalenform– Übungen

In den folgenden Übungsaufgaben kannst Du Dein Wissen überprüfen.

Aufgabe 5

Wandle die Ebene in Parameterform in eine Ebene in Normalenform um.

Lösung

Zuerst berechnest Du den Normalenvektor , indem Du die beiden Spannvektoren ins Kreuzprodukt nimmst.

Danach setzt Du die Vektoren in die Rohform der Ebene in Normalenform ein.

Dadurch erhältst Du die Ebene in Normalenform.

Aufgabe 6

Forme die Ebene in Normalenform in eine Ebene in Koordinatenform um.

Lösung

Für diese Umwandlung muss die Normalenform ausmultipliziert werden.

Danach muss die alleinstehende Zahl addiert werden.

Die Koordinatenform der Ebene ist .

Aufgabe 7

Erstelle eine Ebene mithilfe der Punkte .

Lösung

Zuerst berechnest Du die beiden Vektoren und , in dem Du den Vektor vom einmal vom Vektor und einmal vom Vektor subtrahierst.

Somit erhältst Du die Vektoren und .

Nun berechnest Du den Normalenvektor , in dem Du Vektor und im Kreuzprodukt verrechnest.

Somit hast Du den Normalenvektor berechnet:

Der Normalenvektor und der Ortsvektor werden jetzt in die Normalenform eingesetzt.

Die Ebene in Normalenform sieht folgendermaßen aus:

Parameterform - Das Wichtigste

  • Eine Ebene im Raum ist ein flaches Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.
  • Meistens wird die Ebene in einer Parameterform wiedergegeben. Sie kann aber auch in einer Normalenform, und Koordinatenform veranschaulicht werden.
  • Die Ebene in Parameterform wird durch einen Punkt P (Stützvektor/Ortsvektor ) und zwei Vektoren bestimmt, die kein Vielfaches voneinander sind (Spannvektoren und ).

  • Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor , einem x-Vektor, der den Aufbau eines normalen Vektors darstellt und dem Ortsvektor/Stützvektor . Im Folgenden siehst Du die Rohform der Normalenform, die auch aus einer Parameterform erstellt wird.

  • Die Koordinatenform ist die ausmultiplizierte Form der Normalenform. Sie sieht folgendermaßen aus:

  • Auf diese Art formt man auch eine Koordinatenform einer Ebene E aus einer Normalenform.
  • Einen Normalenvektor formuliert man, in dem man beide Spannvektoren der Parameterform ins Kreuzprodukt nimmt. Hier siehst Du das Kreuzprodukt:

  • Eine Parameterform einer Ebene kann man auch aus einer Koordinatenform erstellen, in dem man willkürliche Punkte P auf der Ebene wählt.
  • Die Punkte P findest Du heraus, in dem Du den Skalar hinter dem Gleichheitszeichen durch die Zahlen des Normalvektors teilst.
  • Eine Normalenform einer Ebene kann auch aufgestellt werden. Aber wie funktioniert das? Du hast drei Punkte O, A und B gegeben, die Du jetzt in eine Ebenengleichung umwandeln musst.Für eine Ebenengleichung benötigst Du einmal den Ortsvektor , den Vektor und den Vektor . Die Vektoren und berechnest Du, in dem Du den Vektor von Vektor und Vektor abziehst. Die Vektoren und müssen noch im Kreuzprodukt verrechnet werden, weil der Normalenvektor der Ebene benötigt wird. Alle Vektoren werden nun in die Normalenform der Ebenengleichung zusammengefügt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Normalenform

Die Normalenform ist eine Art die Ebenengleichung einer Ebene aufzustellen. 

Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor n, einem Vektor, der den Aufbau eines Vektors darstellt und dem Ortsvektor/Stützvektor o.

Eine Normalenform erkennst Du anhand ihres Aufbaus. Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor n , einem Vektor, der den Aufbau eines Vektors darstellt und dem Ortsvektor/Stützvektor o.

Finales Normalenform Quiz

Frage

Was genau ist eine Ebene im Raum?


Antwort anzeigen

Antwort

Eine Ebene im Raum ist ein flaches Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird. Meistens wird sie in einer Parameterform abgebildet. Die Ebene kann aber auch in einer Normalenform und Koordinatenform wiedergegeben werden.

Frage anzeigen

Frage

Forme die Ebene  in Normalenform in eine Ebene in Koordinatenform um.



Antwort anzeigen

Antwort

Für diese Umwandlung von Normalenform in Koordinatenform muss die Normalenform ausmultipliziert werden.




Danach muss die alleinstehende Zahl addiert werden.




Die Koordinatenform der Ebene  ist . Auch hier sieht man den Normalvektor  vor den x-Werten.


Frage anzeigen

Frage

Wandle die Ebene in Parameterform in eine Ebene in Normalenform um.


Antwort anzeigen

Antwort

Zuerst berechnest Du den Normalenvektor , indem Du die beiden Spannvektoren und ins Kreuzprodukt nimmst.





Danach setzt Du die Vektoren in die Rohform der Ebene in Normalenform ein.




Dadurch erhältst Du die Ebene  in Normalenform.


Frage anzeigen

Frage

Wie wird eine Ebene   in Normalenform in eine Ebene  in Koordinatenform umgeformt?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ebenengleichung  in Normalenform in eine Ebene in Koordinatenform umzuformen, funktioniert folgendermaßen. Zuerst wird die Normalenform ausmultipliziert, weil die Normalenform in einem Skalarprodukt steht. Anschließend werden die Skalare abgezogen. Sie stehen nun auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens. 


Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Formel des Skalarprodukts?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Formel des Skalarprodukts lautet:



Frage anzeigen

Frage

Wie wird eine Ebene in Parameterform in eine Normalenform umgewandelt?

Antwort anzeigen

Antwort

Um eine Parameterform in eine Normalenform umzuwandeln, musst Du die beiden Spannvektoren und   ins Kreuzprodukt nehmen, um die Grundlage – den Normalvektor  – zu schaffen. Dieser wird dann im Skalarprodukt mit dem Vektor  multipliziert, welcher vom Stützvektor  der Parameterform subtrahiert wird.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Normalenvektor  einer Ebene  in Parameterform berechnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Zum Berechnen eines Normalenvektor  einer Ebene in Parameterform müssen beide Spannvektoren  und  im Kreuzprodukt verrechnet werden.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel des Kreuzprodukts.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Formel des Kreuzprodukts sieht folgendermaßen aus:



Frage anzeigen

Frage

Was ist der Normalenvektor ?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Normalenvektor  ist ein Vektor, welcher orthogonal (senkrecht) auf einer Gerade , Ebene , beziehungsweise generell auf einem Objekt steht.

Frage anzeigen

Frage

Wie ist eine Ebenengleichung  in Koordinatenform aufgebaut?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Ebenengleichung  in Koordinatenform ist folgendermaßen aufgebaut:



  • a, b, c sind Zahlen, die zusammengefasst den Normalenvektor  ergeben.
  • sind die Zahlen des Vektors .
  • d ist Vektor  multipliziert mit Vektor .
Frage anzeigen

Frage

Wie ist eine Ebenengleichung in Normalenform aufgebaut?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Ebenengleichung  in Normalenform ist folgendermaßen aufgebaut:



=Normalenvektor der Ebene .

=Variable x der Ebene .

= Ortsvektor/Stützvektor, auf dem die Ebene  sich stützt. Der Vektor entsteht aus dem Punkt O, da der Vektor  aus dem Ursprung zum Punkt O verläuft.

Frage anzeigen
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