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Normalenform

Normalenform

Eine Ebene in Normalenform? Was genau ist das? Im dreidimensionalen Koordinatensystem wird eine Ebene als flaches Objekt abgebildet. Mathematisch kann eine Ebene durch unterschiedliche Formen wiedergegeben werden, wie etwa durch die Normalenform.

Alternative Formen sind die Koordinatenform oder die Parameterform, welche Du Dir ebenfalls in den Artikeln ansehen kannst.

Eine Gerade lässt sich im Zweidimensionalen übrigens auch in einer Normalenform angeben. Dazu später mehr. Zunächst zur Ebene in Normalenform.

Normalenform Definition – Ebene

Die Normalenform einer Ebene besteht aus dem Normalenvektor , der senkrecht zur Ebene steht und einem Stützvektor zu einem festen Punkt P in der Ebene.

Ebenengleichung einer Ebene in Normalenform:

Normalenform Normalenform StudySmarter

= Normalenvektor der Ebene

= Ortsvektor zu einem beliebigen (variablen) Punkt der Ebene

= Ortsvektor/Stützvektor zu einem festen Punkt P der Ebene

Zeit für ein Beispiel!

Eine Ebene besitzt folgende Ebenengleichung in Normalenform.

In Abbildung 1 siehst Du die entsprechende Ebene eingezeichnet mit dem Normalenvektor und dem Punkt C.

Normalenform Ebene und Normalenvektor StudySmarterAbbildung 1: Ebene E

Neben der Normalenform gibt es auch noch die Hessesche Normalenform. Wenn Du mehr über die Hessesche Normalenform erfahren möchtest, kannst Du Dir die Erklärung dazu ansehen.

Was benötigst Du zum Aufstellen so einer Ebenengleichung in Normalenform?

Normalenform Ebene aufstellen

Die Definition der Normalenform zeigt Dir bereits, welche Komponenten Du brauchst, um die Ebene in Normalenform aufstellen:

  • einen Normalenvektor
  • einen festen Punkt P in der Ebene

Je nach Aufgabenstellung kann es sein, dass Du diese Komponenten bereits gegeben hast oder aber auch erst ermitteln musst.

Normalenform bestimmen – mit Normalenvektor und Punkt

Sieh Dir dazu gleich das folgende Beispiel an.

Aufgabe 1

Stelle die Ebenengleichung in Normalenform mithilfe des Normalenvektors und des Punkts P auf. (Der Punkt P liegt in der Ebene)

Lösung

Zunächst musst Du den Ortsvektor zum Punkt P bestimmen.

Im Artikel Ortsvektor kannst Du noch einmal alles rund um das Thema nachlesen.

Jetzt kannst Du den Normalenvektor und den Stützvektor in die Normalenform einsetzen und erhältst die Ebene .

Nicht immer hast Du bereits den Normalenvektor in der Aufgabe gegeben. So auch bei drei Punkten.

Normalenform bestimmen – mit drei Punkten

Auch hier kannst Du erst in die Ebenengleichung einsetzen, wenn Du einen Stützvektor hast und einen Normalenvektor . Wie kannst Du diese bei drei Punkten P, A und B ermitteln?

  1. Einen Punkt (z. B. P) aus den drei Punkten P, A und B auswählen und den Ortsvektor ermitteln.
  2. Die Verbindungsvektorenundbilden.
  3. Die Vektoren und ins Kreuzprodukt nehmen, um den Normalenvektor der Ebene zu bestimmen.

Zur Erinnerung: Verbindungsvektor zwischen den Punkten P und A:

Aufgabe 2

Stelle eine Ebene mithilfe der Punkte auf.

Lösung

Zunächst kannst Du einen Punkt aus den drei Punkten auswählen, der als fester Punkt festgelegt wird. Hier wird der Punkt P dafür gewählt. Möglich wären natürlich auch der Punkt A oder der Punkt B.

Zu diesem Punkt wird wieder der Ortsvektor bestimmt.

Damit hast Du bereits eine Komponente für die Normalenform ermittelt. Jetzt fehlt noch der Normalenvektor . Dazu berechnest Du die beiden Verbindungsvektoren und .

Der Verbindungsvektor wird über „Spitze – Fuß“ ermittelt. Im Artikel Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem kannst Du das gerne nachlesen.

Diese Vektoren musst Du jetzt im Kreuzprodukt verrechnen, um den Normalenvektor der Ebene zu erhalten.

Der Normalenvektor und der Ortsvektor werden jetzt in die Normalenform eingesetzt und Du erhältst die Ebene .

In der Abbildung 2 siehst Du alle Komponenten noch einmal veranschaulicht.

Normalenform aufstellen StudySmarterAbbildung 2: Normalenform aufstellen

Normalenform in Koordinatenform

Du kannst die Normalenform einer Ebene übrigens auch in andere Ebenengleichungen umwandeln, wie beispielsweise die Koordinatenform.

Eine Ebene , die in Normalenform vorliegt kann in die Koordinatenform umgewandelt werden.

Ebene in Normalenform:

Ebene in Koordinatenform:

Wie Du diese Umformung durchführst, kannst Du im Artikel „Ebenengleichung umformen“ nachlesen.

Mit der Ebenengleichung in Normalenform lässt sich auch überprüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt.

Punktprobe Normalenform – Ebene

Hast Du eine Ebene in Normalenform vorliegen und sollst überprüfen, ob ein beliebiger Punkt in der Ebene liegt, so kannst Du die sogenannte Punktprobe durchführen. Wie funktioniert das?

  1. Für den variablen Vektor der Ebenengleichung den Ortsvektor zum Punkt (z. B. C) einsetzen.
  2. Vektoren subtrahieren und anschließend das Skalarprodukt bilden.
  3. Ergibt sich eine wahre Aussage, so liegt der Punkt (z. B. C) in der Ebene .

Aufgabe 3

Überprüfe, ob der Punkt in der Ebene liegt.

Lösung

Zuerst setzt Du den Ortsvektor zu Punkt C für in die Ebenengleichung in Normalenform ein.

Dann subtrahierst Du nun die beiden Vektoren in der eckigen Klammer. Das Ergebnis wird anschließend mit dem ersten Vektor multipliziert.

Im Artikel Skalarprodukt kannst Du die Multiplikation der beiden Vektoren noch einmal nachlesen.

Du erhältst keine wahre Aussage, denn 5 ist nicht gleich 0. Der Punkt C liegt somit nicht in der Ebene .

Normalenform – Gerade

Wie bereits zu Beginn erwähnt, kannst Du auch eine Gerade in Normalenform angeben. Allerdings nur im Zweidimensionalen. Interessiert an der Darstellung? Dann sieh Dir gerne die folgende Vertiefung an.

Die Normalenform einer Gerade hat dieselbe Form wie die Normalenform einer Ebene. Allerdings kannst Du die Normalenform einer Geraden nur im zweidimensionalen Koordinatensystem bilden.

Geradengleichung einer Geraden in Normalenform im zweidimensionalen Koordinatensystem:


Normalenform Normalenform Gerade StudySmarter

= Normalenvektor der Gerade

= Ortsvektor/Stützvektor zu einem festen Punkt P der Gerade

Hier siehst Du ein kleines Beispiel.

Eine Gerade besitzt beispielsweise folgende Geradengleichung in Normalenform.

Sowohl der Normalenvektor als auch der Stützvektor sind zweidimensionale Vektoren.

Hast Du Lust, direkt noch ein paar Übungsaufgaben zur Normalenform zu lösen? Dann los!

Normalenform – Übungsaufgaben

Aufgabe 4

Stelle eine Ebene mithilfe der Punkte auf und überprüfe, ob der Punkt in der Ebene liegt.

Lösung

Der Punkt wird als fester Punkt gewählt, wobei der Ortsvektor zum Punkt P lautet:

Danach berechnest Du die beiden Verbindungsvektoren und .

Nun berechnest Du den Normalenvektor , in dem Du Vektor und im Kreuzprodukt verrechnest.

Der Normalenvektor und der Ortsvektor werden jetzt in die Normalenform eingesetzt und Du erhältst die Ebenengleichung .

Nun überprüfst Du, ob der Punkt in der Ebene liegt. Dazu wird der Ortsvektor zu Punkt C anstelle des Vektors in die Ebenengleichung in Normalenform eingesetzt.

Dann löst Du die Gleichung auf.

Die beiden Ergebnisse sind nicht gleich, was bedeutet, dass der Punkt C nicht in der Ebene liegt.

Normalenform – Das Wichtigste

  • Eine Ebene im Raum ist ein flaches Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.
  • Die Normalenform einer Ebene besteht aus dem Normalenvektor und dem Ortsvektor/Stützvektor .
  • Aus drei Punkten kann ebenfalls die Normalenform bestimmt werden, indem der Normalenvektor aus dem Kreuzprodukt gebildet wird.
  • Mit der Punktprobe kann überprüft werden, ob ein Punkt in der Ebene liegt.
  • Eine Gerade lässt sich im zweidimensionalen Koordinatensystem auch in der Normalenform angeben.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Normalenform

Die Normalenform ist eine Ebenengleichung bestehend aus einem Normalenvektor und einem Ortsvektor/Stützvektor zu einem Punkt in der Ebene. 

Die Ebenengleichung in Normalenform benötigt den Normalenvektor senkrecht zur Ebene sowie einen Stützvektor zu einem beliebigen Punkt in der Ebene. Alternativ kann über drei Punkte in der Ebene zunächst der Normalenvektor bestimmt und dann in die Gleichung eingesetzt werden.

Eine Ebene kann mathematisch durch eine Ebenengleichung beschrieben werden. Eine mögliche Form davon ist die Normalenform. 

Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor sowie einem Ortsvektor/Stützvektor zu einem festen Punkt in der Ebene.

Finales Normalenform Quiz

Frage

Erläutere, was eine Ebene im Raum ist.


Antwort anzeigen

Antwort

Eine Ebene im Raum ist ein flaches Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird. Sie kann beispielsweise in der Parameterform oder auch der Normalenform und Koordinatenform wiedergegeben werden.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welches Objekt durch folgende Gleichung beschrieben werden kann.


 

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Gerade

Frage anzeigen

Frage

Erläutere den Vorgang, wie eine Ebene   in Normalenform in eine Ebene  in Koordinatenform umgeformt wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ebenengleichung  in Normalenform in eine Ebene in Koordinatenform umzuformen, funktioniert folgendermaßen. Zuerst wird die Normalenform ausmultipliziert, weil die Normalenform in einem Skalarprodukt steht. Anschließend werden die Skalare abgezogen. Sie stehen nun auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens. 


Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welche Ebene richtig in der Normalenform angegeben ist. 

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Benenne den Aufbau einer Ebenengleichung  in Normalenform.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Ebenengleichung  in Normalenform ist folgendermaßen aufgebaut:




= Normalenvektor der Ebene 

= Ortsvektor/Stützvektor zu einem festen Punkt P in der Ebene

Frage anzeigen

Frage

Erläutere den Vorgang zum Aufstellen einer Normalenform mit drei Punkten.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Du hast drei Punkte P, A und B gegeben, die Du jetzt in eine Ebenengleichung umwandeln musst.
  2. Für eine Ebenengleichung  benötigst Du einmal den Ortsvektor zu einem festen Punkt P in der Ebene und die Vektoren  und .
  3. Die Vektoren  und  müssen noch im Kreuzprodukt verrechnet werden, weil der Normalenvektor  der Ebene  benötigt wird.
  4. Alle Vektoren werden nun in die Normalenform der Ebenengleichung zusammengefügt.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere den Vorgang zur Berechnung, ob ein Punkt P in einer Ebene  liegt.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Zuerst setzt Du den Ortsvektor zu dem Punkt P als Vektor für  in die Ebenengleichung in Normalenform ein.
  2. Dann multiplizierst Du die Gleichung aus.
  3. Zuletzt musst Du schauen, ob die Ergebnisse auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens übereinstimmen und wenn sie übereinstimmen, dann liegt der Punkt in der Ebene und wenn sie ungleich sind, dann liegt der Punkt P nicht in der Ebene.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welches Ergebnis die Berechnung liefert, wenn ein Punkt P in einer Ebene  liegt.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob ein Punkt P in der Ebene  liegt, wenn das Ergebnis nach dem Einsetzenist.

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welche Ebene in Koordinatenform vorliegt. 

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wähle aus, wie ein Vektor  aus zwei Vektoren  und  berechnet wird.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Ermittle den Vektor  der beiden Vektoren  und .

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

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