Im Alltag begegnen Dir immer mal wieder Gegenstände, welche die Form einer Raute haben. Darunter fallen zum Beispiel Vereinslogos, einige Straßenschilder, oder das Karozeichen bei Spielkarten. Bei der berühmten Handhaltung von Angela Merkel, der "Merkel-Raute", handelt es sich, wie der Name schon vermuten lässt, tatsächlich auch um eine Raute. Was genau eine Raute ist und wie Du bestimmte Größen einer Raute berechnen kannst, erfährst Du hier!
Abb. 1 - Merkel-Raute.
Raute – Definition & Eigenschaften
Eine Raute ist eine spannende geometrische Figur aus der Familie der Vierecke. Damit Du eine Raute richtig verstehst, sind hier ihre wichtigsten Eigenschaften:
Alle 4 Seiten sind gleich lang, also \(a=b=c=d\). Die gegenüberliegenden Seiten sind dabei jeweils parallel zueinander, also \(\overline{AB} \parallel \overline{CD}\) und \(\overline{BC} \parallel \overline{DA}\).
Die jeweils gegenüberliegenden Innenwinkel sind gleich groß. Das bedeutet \(\alpha = \gamma\) und \(\beta = \delta\).
Die Raute hat zwei Diagonalen, \(e\) und \(f\), welche einander im Mittelpunkt \(M\) der Figur senkrecht halbieren. Somit gilt: \(e \perp f\).
Um eine Raute geometrisch korrekt darzustellen, solltest Du Dich an ein bestimmtes Grundprinzip bei der Beschriftung halten. Denk daran, dass die Seiten mit gleichen Buchstaben und die Winkel mit gleichen griechischen Buchstaben beschriftet werden.
Raute – Beschriftung
Um die Raute richtig zu beschriften, solltest Du folgendes Schema beachten:
- Seitenbeschriftung: Verwende Kleinbuchstaben, und da alle vier Seiten gleich lang sind, beschrifte jede Seite mit "a".
- Eckpunkte: Beschrifte die Eckpunkte im Gegenuhrzeigersinn mit Großbuchstaben – A, B, C, D.
- Diagonalen: Zeichne gestrichelte Linien für die Diagonalen und beschrifte sie mit "e" und "f".
- Winkel: Verwende griechische Buchstaben zur Beschriftung der Winkel. Die gegenüberliegenden Winkel sind jeweils gleich groß, daher beschrifte die Winkel mit \(\alpha\) und \(\beta\).
Abb. 2 - Beschriftung einer Raute.
Raute – Seitenlängen, Winkel, Symmetrie
Im Folgenden werden einige Eigenschaften der Raute noch etwas genauer beleuchtet.
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Alle Seiten der Raute sind gleich lang. Zudem sind die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander. | |
Die Winkelinnensumme der Raute beträgt \(360^\circ\). Die gegenüberliegenden Winkel sind jeweils gleich groß, benachbarte Winkel ergeben zusammen \(180^\circ\). \[\rightarrow\alpha+\beta=180^\circ\] | |
Die Raute als geometrische Figur ist sowohl punktsymmetrisch als auch achsensymmetrisch. Jede Raute hat zwei Symmetrieachsen, welche hier in türkis dargestellt werden. Dabei handelt es sich um die Diagonalen e und f, die sich im Mittelpunkt M der Figur schneiden. Neben der Achsensymmetrie ist jedes Quadrat auch punktsymmetrisch zum Mittelpunkt M. | |
Raute zeichnen
Du kannst eine Raute auf verschiedene Weisen zeichnen. Die Art und Weise des Zeichnens sind immer davon abhängig, welche Längen Du von der zu zeichnenden Raute kennst. Im nachfolgenden Beispiel findest Du eine Schritt-für-Schritt-Anleitung für das Zeichnen einer Raute, wenn Du nur die Seitenlängen a vorgegeben hast.
Zeichne eine Raute mit den Seitenlängen von \(a=5 \,cm\).
| Schritte | Visualisierung |
| Schritt 1: Zeichne eine waagrechte Hilfslinie und markiere Punkt A irgendwo auf dieser Linie. | 
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| Schritt 2: Miss mit Deinem Geodreieck von Punkt A aus einen Abstand mit der Seitenlänge von \(a=5 \,cm\) und markiere dort Punkt B. Verbinde diese Punkte miteinander. | 
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| Schritt 3: Leg jetzt das Geodreieck an Punkt B an und markiere den Punkt auf der Hilfslinie, der wiederum \(5 \,cm\) von Punkt B entfernt ist, als Punkt C. Verbinde diese Punkte auch miteinander. | 
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| Schritt 4: Zeichne eine weitere Hilfslinie, die durch Punkt B geht und senkrecht zur ersten Hilfslinie steht. | 
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| Schritt 5: Leg das Geodreieck an Punkt C an und markiere den Punkt auf der neuen Hilfslinie, der wiederum \(5\,cm\) von Punkt C entfernt ist, als Punkt D. Verbinde diese Punkte miteinander. | 
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| Schritt 6: Zuletzt musst Du nur noch die Punkte D und A miteinander verbinden. Wenn Du korrekt gezeichnet hast, ist diese Strecke erneut \(5 \,cm\) lang. | 
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Damit hast Du nun erfolgreich eine Raute mit \(a=5\,cm\) konstruiert. Die Hilfslinien stellen in gekürzter Form die Diagonalen dar.
Abb. 3 - gezeichnete Raute.
Wenn, wie bei dieser Aufgabe, keine zusätzlichen Angaben zu den Winkeln gemacht werden, kann die Form der Raute bei gleicher Seitenlänge variieren.
Raute – Berechnungen und Formeln
Umfang berechnen
Bei einer Raute haben alle vier Seiten die gleiche Länge, sodass Du nur eine Seitenlänge benötigst, um den gesamten Umfang zu berechnen.
Die Formel für den Umfang U einer Raute mit Seitenlänge a lautet:
\[U=4\cdot a\]
Möchtest Du nun den Umfang einer Raute berechnen, benötigst Du also nur die Länge einer einzigen Seite.
Stell Dir vor, Dein Garten hat die Form einer Raute und Du möchtest ihn umzäunen. Die Seitenlänge von Deinem Garten beträgt jeweils \(6\,m\). Wie viel Meter Zaun benötigst Du, um den Garten komplett einzuzäunen?
Gesucht ist der Umfang des Gartens – also der Umfang einer Raute.
Zur Berechnung setzt Du jetzt für a in die Formel die Länge der Seite ein, also \(a=6\,m\).
\begin{align}U&=4\cdot \color{#1478c8}a\\\\U&=4\cdot \color{#1478c8}6 \,m \\U&=24 \, m\end{align}
Die Raute hat damit einen Umfang von \(24\,m\). Genauso lang muss somit der Zaun sein, damit dieser den Garten voll umschließt.
Wenn Du mehr über das Thema lernen möchtest, schau in der Erklärung "Umfang Raute" vorbei!
Flächeninhalt berechnen
Formel mit Diagonalen
Anders als beim Umfang benötigst Du für die Berechnung des Flächeninhaltes nicht unbedingt eine Seitenlänge.
Der Flächeninhalt A einer Raute mit den Längen der Diagonalen e und f kann mit folgender Formel berechnet werden:
\[A=\frac{1}{2}\cdot e \cdot f\]
Den Umfang Deines Gartens kennst Du nun bereits, wie sieht es mit der Fläche aus?
Flächeninhalt mit Diagonalen berechnen:
Du möchtest Deinen Garten, der die Form einer Raute hat, mit Rollrasen auslegen. Die Länge der Diagonalen beträgt: \begin{align}\color{#1478c8}e&=\color{#1478c8}\text{9,75}\,m\\\color{#00dcb4}f&=\color{#00dcb4}7\,m.\end{align}Wie viel Quadratmeter Rollrasen benötigst Du, um den Garten komplett auszulegen?
Gesucht ist also die Fläche des Gartens – hier hat der Garten die Fläche einer Raute. Zur Berechnung setzt Du jetzt für die Diagonalen e und f die jeweiligen Längen in die Formel für den Flächeninhalt A ein.
\begin{align}A&=\frac{1}{2}\cdot\color{#1478c8} e \cdot \color{#00dcb4}f\\\\A&=\frac{1}{2}\cdot\color{#1478c8} \text{9,75}\,m \cdot \color{#00dcb4}7\,m\\[0.1cm]A&=\text{34,125} \, m^2\end{align}
Damit benötigst Du \(\text{34,125} \,m^2\) Rasen, um Deinen Garten komplett zu bedecken.
Formel mit Grundseite und Höhe
Da die gegenüberliegenden Seiten bei jeder Raute jeweils parallel zueinander sind, ist jede Raute auch immer gleichzeitig ein Parallelogramm.
Dies bedeutet folglich, dass die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms ebenso für den Flächeninhalt einer Raute gilt.
Der Flächeninhalt einer Raute mit der Seitenlänge a und Höhe ha kann mit folgender Formel berechnet werden:
\[A=a\cdot h_a\]
Die Höhe ha steht dabei immer senkrecht zu den Seitenlängen a.
Abb. 4 - Raute mit eingezeichneter Höhe.
Wie ändert sich Deine vorige Rechnung für den Flächeninhalt des Gartens also, wenn Du anstatt der Diagonalen die Höhe und Seitenlänge der Raute kennst?
Die Seitenlänge Deines Gartens mit \(a=6\,m\) kennst Du bereits. Da die Höhe \(h_a\) einer Raute senkrecht zu den jeweiligen Seiten der Raute stehen muss, nutzt Du für eine möglichst genaue Messung einen Laser. Du misst \(\text{5,6875 m}\).
Gesucht wird also der Flächeninhalt einer Raute mit den Seitenlängen von jeweils \(a=6 \, m\) und einer Höhe von \(h_a=\text{5,6875}\,m\).
Zur Berechnung setzt Du also für die Seitenlänge a und die Höhe ha die jeweiligen Längen in die Formel für den Flächeninhalt ein.
\begin{align}A&={\color{#1478c8}a}\cdot\color{#fa3273} h_a\\\\A&= {\color{#1478c8}6\,m} \cdot\color{#fa3273} \text{5,6875 m}\\A&=\text{34,125}\, cm^2\end{align}
Der Flächeninhalt des Gartens beträgt \(\text{34,125}\,m^2\). Du kommst also mit beiden Formeln zum selben Ergebnis.
Diagonalen berechnen
Die beiden Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander und teilen die Raute in vier gleich große, rechtwinklige Teildreiecke.
Abb. 5 - Aufteilung der Raute in vier gleiche, rechtwinklige Dreiecke durch die Diagonalen.
Daraus lassen nun verschiedene Formeln zur Berechnung der einzelnen Längen der Diagonalen ableiten.
Formel mit Winkel
Wenn Dir die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) sowie die Seitenlängen a von einer Raute bekannt sind, kannst Du damit die Länge der Diagonalen e und f berechnen.
Die Länge der Diagonalen e und f einer Raute mit Seitenlänge a und Winkel \(\alpha\) lässt sich mit folgenden Formeln berechnen:
\begin{align}e&=2\cdot a\cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\\[0.2cm]f&=2\cdot a\cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right),\end{align}
wobei für den Winkel \(\alpha\) Folgendes gilt: \[\alpha = 180^\circ-\beta\]
Achte bei den Formeln genau darauf, wo die einzelnen Diagonalen und Winkel in der Raute liegen. Die Diagonale e muss hier den Winkel \(\alpha\) schneiden, damit die oben genannten Formeln in der Form gelten.
Abb. 6 - Lage der Diagonalen in Bezug zu den Winkeln.
Gegeben ist eine Raute mit Seitenlängen \(a=5\,cm\) und dem Winkel \(\alpha=60^\circ\). Berechne die Länge der Diagonalen f der Raute.
Abb. 7 - Raute Aufgabe 2.
Setze zur Berechnung die Seitenlänge \(a=5\,cm\) und den Winkel \(\alpha=60^\circ\) in die Formel ein.
\begin{align}f&=2\cdot {\color{#1478c8}a}\cdot \sin\left(\frac{\color{#00dcb4}\alpha}{2}\right)\\\\f&=2\cdot {\color{#1478c8}5\,cm}\cdot \sin\left(\frac{\color{#00dcb4}60^\circ}{2}\right)\\[0.1cm]f&=5 \,cm\end{align}
Damit hat die Diagonale die gleiche Länge wie die Seiten.
Formel mit der anderen Diagonalen
Wenn Du schon die Länge einer Diagonalen kennst, kannst Du damit auch die Länge der anderen Diagonalen berechnen.
Die Länge der Diagoanlen e und f einer Raute mit Seitenlänge a und der jeweils anderen Diagoanlen lässt sich mit folgenden beiden Formeln berechnen:
\begin{align}e&=2\cdot \sqrt{a-\frac{f}{2}}\\[0.2cm]f&=2\cdot \sqrt{a-\frac{e}{2}}\end{align}
Versuche nun die Länge der anderen Diagonalen aus Aufgabe 2 zu berechnen.
Gesucht ist die Länge der Diagonalen e einer Raute mit den Seitenlängen von jeweils \(a=5\,cm\). Du kennst bereits die Länge der anderen Diagonalen \(f=5\,cm\).
Zur Berechnung setzt Du nun die Länge der Seiten a und der Diagonalen f in die Formel ein.
\begin{align}e&=2\cdot \sqrt{{\color{#1478c8}a}-\frac{{\color{#fa3273}f}}{2}}\\\\e&=2\cdot \sqrt{{\color{#1478c8}5\,cm}-\frac{{\color{#fa3273} 5\,cm}}{2}}\\[0.1cm]e&\approx \text{7,07 cm}\end{align}
Die Diagonale e ist also in etwa \(7\,cm\) lang.
Raute - Das Wichtigste
- Die Raute ist eine geometrische Figur aus der Familie der Vierecke und ist durch folgende Eigenschaften definiert:
- Alle 4 Seiten sind gleich lang, wobei die gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel zueinander sind.
- Die jeweils gegenüberliegenden Innenwinkel sind gleich groß.
- Die Raute hat zwei Diagonalen e und f, welche einander im Mittelpunkt M der Figur senkrecht halbieren.
- Die Raute ist achsensymmetrisch zu den Diagonalen und punktsymmetrisch zum Mittelpunkt M.
Der Umfang U einer Raute mit Seitenlänge a kann mit folgender Formel berechnet werden:
\[U=4\cdot a\]
Den Flächeninhalt A kannst Du ebenfalls auf zwei Arten berechnen:
Der Flächeninhalt A einer Raute mit den Längen der Diagonalen e und f kann mit folgender Formel berechnet werden:
\[A=\frac{1}{2}\cdot e \cdot f\]
Der Flächeninhalt einer Raute mit der Seitenlänge a und Höhe ha kann mit folgender Formel berechnet werden:
\[A=a\cdot h_a\]
Die Länge der Diagonalen e und f kannst Du auf zwei unterschiedliche Arten berechnen:
Die Länge der Diagonalen e und f einer Raute mit Seitenlänge a und Winkel \(\alpha\) lässt sich mit folgenden Formeln berechnen: \begin{align}e&=2\cdot a\cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\\[0.2cm]f&=2\cdot a\cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right),\end{align}
Ist schon die Länge einer Diagonalen bekannt, kannst Du zusammen mit der Seitenlänge a die jeweils andere Diagonale berechnen:
\begin{align}e&=2\cdot \sqrt{a-\frac{f}{2}}\\[0.2cm]f&=2\cdot \sqrt{a-\frac{e}{2}}\end{align}
Nachweise
- Erbrecht et al. (2012). Das große Tafelwerk interaktiv Formelsammlung für die Sekundarstufen I und II. Cornelsen Verlag, Berlin
- Ernst (1977). Geometrie 1. Ehrenwirth Verlag, München
- Abbildung 1: Merkel-Raute (https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Angela_Merkel_hands.jpg) von Armin Linnartz unter der Lizenz CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).
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