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Was ist eine Raute?
Eine Raute, auch Rhombus genannt, ist ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten. Damit sind gegenüberliegende Seiten parallel und alle vier Seiten haben dieselbe Länge a. Die Raute gehört zur Familie der Vierecke und ist zugleich ein Sonderfall des Drachenvierecks.
Der Name Rhombus stammt aus dem Griechischen und beschreibt eine schräg stehende, gleichseitige Figur, oft anschaulich als „schief gedrücktes Quadrat" bezeichnet. Anders als beim Quadrat müssen die Winkel einer Raute jedoch nicht rechtwinklig sein: Zwei gegenüberliegende Winkel sind spitz, die beiden anderen stumpf, solange die Figur kein Quadrat ist.
Für alle Berechnungen sind zwei Größen zentral: die Seitenlänge a, die bei jeder Raute für alle vier Seiten gilt, und die beiden Diagonalen e und f, die gegenüberliegende Ecken verbinden. Über 40 Millionen Lernende nutzen StudySmarter, um solche Grundbegriffe der Geometrie sicher für Klassenarbeit und Klausur zu beherrschen.
Raute lernen?
Welche Eigenschaften hat eine Raute?
Eine Raute hat mehrere typische Eigenschaften: Alle vier Seiten sind gleich lang, gegenüberliegende Winkel sind gleich groß und benachbarte Winkel ergänzen sich zu 180°. Die beiden Diagonalen stehen senkrecht aufeinander, halbieren sich gegenseitig und halbieren außerdem die Innenwinkel der Raute.
Weil die Raute ein besonderes Parallelogramm ist, übernimmt sie dessen Eigenschaften und ergänzt sie um die gleich langen Seiten. Besonders wichtig sind die Diagonalen: Sie treffen sich im Mittelpunkt der Figur, bilden dort vier rechte Winkel und teilen die Raute in vier deckungsgleiche rechtwinklige Dreiecke. Aus dieser Zerlegung folgen fast alle Formeln der Raute.
| Eigenschaft | Beschreibung |
|---|---|
| Seiten | alle vier gleich lang: a = b = c = d |
| Gegenüberliegende Seiten | parallel (die Raute ist ein Parallelogramm) |
| Gegenüberliegende Winkel | gleich groß |
| Benachbarte Winkel | ergänzen sich zu 180° |
| Diagonalen | stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich |
| Diagonalen und Winkel | jede Diagonale halbiert die beiden Innenwinkel |
| Symmetrie | zwei Symmetrieachsen, nämlich die beiden Diagonalen |
Weil alle vier Seiten gleich lang sind, ist jede Diagonale die Symmetrieachse der Figur. Eine Spiegelung an dieser Achse vertauscht die beiden Endpunkte der anderen Diagonale, deshalb muss sie senkrecht getroffen und dabei halbiert werden. Genau das unterscheidet die Raute vom allgemeinen Parallelogramm.
Wie berechnet man den Flächeninhalt einer Raute?
Den Flächeninhalt einer Raute berechnest du am einfachsten über die Diagonalen: A = e · f / 2. Du multiplizierst die beiden Diagonalen e und f und halbierst das Ergebnis. Für e = 6 cm und f = 8 cm ergibt sich A = 6 · 8 / 2 = 24 cm².
Die Formel lässt sich anschaulich herleiten: Zeichnet man um die Raute das kleinste passende Rechteck, so sind dessen Seiten genau die beiden Diagonalen e und f. Die Ecken der Raute liegen in den Seitenmitten dieses Rechtecks. Die vier überstehenden Eckdreiecke sind zusammen genauso groß wie die Raute selbst, deshalb ist die Raute halb so groß wie das Rechteck: A = e · f / 2.
Gegeben ist eine Raute mit den Diagonalen e = 6 cm und f = 8 cm. Zuerst die Diagonalen multiplizieren: e · f = 6 · 8 = 48. Dann halbieren: A = 48 / 2 = 24. Der Flächeninhalt beträgt also 24 cm². Dieselbe Raute besteht aus vier Dreiecken, siehe Flächeninhalt eines Dreiecks.
Raute-Rechner für Fläche, Umfang und Höhe
Mit dem Raute-Rechner gibst du die beiden Diagonalen e und f sowie die Seitenlänge a ein und erhältst sofort den Flächeninhalt A, den Umfang U und die Höhe h. So überprüfst du deine eigenen Rechenwege in Sekunden und siehst direkt, wie die Formeln der Raute zusammenhängen.
A = e · f / 2, U = 4 · a und h = A / a. Gib die Diagonalen e und f für die Fläche und die Seitenlänge a für den Umfang ein. Die Diagonalen e = 6 und f = 8 gehören zur Seite a = 5, denn a = √((e/2)² + (f/2)²).
Die zweite Flächenformel A = a · h
Neben den Diagonalen gibt es eine zweite Flächenformel für die Raute: A = a · h. Weil eine Raute ein besonderes Parallelogramm ist, gilt hier dieselbe Regel Seite mal Höhe. Die Höhe h ist der senkrechte Abstand zweier paralleler Seiten, nicht die Länge einer Diagonale.
Welche Formel du nutzt, hängt davon ab, was gegeben ist. Kennst du beide Diagonalen, nimm A = e · f / 2. Kennst du eine Seite und die zugehörige Höhe, ist A = a · h schneller. Beide Wege führen bei derselben Raute natürlich zum selben Ergebnis, das ist eine gute Kontrolle in Klassenarbeiten.
Eine Raute hat die Seitenlänge a = 6 cm und die Höhe h = 5 cm. Dann ist der Flächeninhalt A = a · h = 6 · 5 = 30 cm². Die Höhe misst du dabei senkrecht von einer Seite zur gegenüberliegenden, parallelen Seite, genau wie beim Rechteck oder Parallelogramm.
Kombinierst du beide Formeln, kannst du eine fehlende Größe bestimmen: Aus A = e · f / 2 und A = a · h folgt zum Beispiel die Höhe als h = e · f / (2 · a). Für e = 6 cm, f = 8 cm und a = 5 cm ergibt das h = 48 / 10 = 4,8 cm, denselben Wert wie der Rechner oben.
Wie berechnet man den Umfang einer Raute?
Der Umfang einer Raute ist besonders leicht zu berechnen, weil alle vier Seiten gleich lang sind: U = 4 · a. Du misst also nur eine Seite a und multiplizierst mit vier. Für eine Seitenlänge a = 5 cm beträgt der Umfang U = 4 · 5 = 20 cm.
Anders als beim Flächeninhalt spielen die Diagonalen für den Umfang keine direkte Rolle. Sind nur die Diagonalen bekannt, berechnest du zuerst die Seite über den Satz des Pythagoras und setzt sie dann in U = 4 · a ein. Für e = 6 cm und f = 8 cm ist a = √(3² + 4²) = 5 cm und damit U = 20 cm.
Eine Raute hat die Seitenlänge a = 7 cm. Der Umfang ist U = 4 · a = 4 · 7 = 28 cm. Umgekehrt kannst du aus einem gegebenen Umfang die Seite bestimmen: Bei U = 28 cm ist a = U / 4 = 28 / 4 = 7 cm.
Wie berechnet man die Diagonalen und Winkel einer Raute?
Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich. Dadurch zerlegen sie die Figur in vier kongruente rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten e/2 und f/2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt für die Seite a = √((e/2)² + (f/2)²), womit du fehlende Größen berechnest.
Diese Zerlegung ist der Schlüssel zu vielen Aufgaben. Kennst du die beiden Diagonalen, findest du die Seite: Für e = 6 cm und f = 8 cm sind die halben Diagonalen 3 cm und 4 cm, also a = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm. Umgekehrt lässt sich eine fehlende Diagonale bestimmen: e = 2 · √(a² − (f/2)²). Für a = 5 cm und f = 8 cm ergibt das e = 2 · √(25 − 16) = 2 · 3 = 6 cm.
Auch die Innenwinkel folgen aus den Diagonalen. Da jede Diagonale die Winkel halbiert, gilt für den von der Diagonale f halbierten Winkel α die Beziehung tan(α/2) = (e/2) / (f/2) = e / f. Für e = 6 und f = 8 ist tan(α/2) = 0,75, also α ≈ 73,7°. Der benachbarte Winkel ergänzt sich zu 180°, ist also β ≈ 106,3°.
Raute, Quadrat, Parallelogramm oder Drachen?
Eine Raute unterscheidet sich von verwandten Vierecken durch ihre Seiten und Winkel: Ein Quadrat ist eine Raute mit vier rechten Winkeln, ein allgemeines Parallelogramm hat dagegen ungleiche Seiten. Vom Drachenviereck erbt die Raute die senkrechten Diagonalen, besitzt aber zusätzlich vier gleich lange Seiten.
Die Vierecke sind ineinander verschachtelt: Jedes Quadrat ist eine Raute, jede Raute ist ein Parallelogramm und ein Drachenviereck, und jedes dieser Vierecke ist wiederum ein Trapez. Umgekehrt gilt das nicht, denn eine Raute wird erst dann zum Quadrat, wenn ihre Winkel rechte Winkel sind. Die folgende Tabelle stellt die wichtigsten Vierecke gegenüber.
| Viereck | Seiten | Winkel | Diagonalen | Flächenformel |
|---|---|---|---|---|
| Raute | alle vier gleich | paarweise gleich | senkrecht, halbieren Winkel | A = e · f / 2 |
| Quadrat | alle vier gleich | vier rechte Winkel | senkrecht und gleich lang | A = a² |
| Parallelogramm | paarweise gleich | paarweise gleich | halbieren sich | A = a · h |
| Drachenviereck | zwei Paar Nachbarseiten | ein Paar gleich | senkrecht | A = e · f / 2 |
Welche Rechenfehler passieren bei der Raute am häufigsten?
Die häufigsten Fehler bei der Raute sind: die Diagonalenformel nicht zu halbieren, die Höhe h mit einer Diagonale zu verwechseln und anzunehmen, eine Raute habe immer rechte Winkel. Wer die Formeln A = e · f / 2 und A = a · h sauber trennt, vermeidet die meisten Punktabzüge.
Diese drei Stolperfallen tauchen in Klassenarbeiten immer wieder auf. Wenn du sie kennst, rechnest du die Raute sicher durch.
In A = e · f / 2 wird durch 2 geteilt. Wer nur e · f rechnet, erhält die doppelte Fläche, nämlich die des umschließenden Rechtecks. Merke: Die Raute ist immer halb so groß wie das Rechteck aus ihren Diagonalen.
Die Höhe h in A = a · h ist der senkrechte Abstand zweier paralleler Seiten. Sie ist nicht dasselbe wie eine Diagonale e oder f. Wer eine Diagonale als Höhe einsetzt, bekommt ein falsches Ergebnis. Für die Diagonalen gilt A = e · f / 2, für Seite und Höhe A = a · h.
Eine Raute hat im Allgemeinen keine rechten Innenwinkel. Nur die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. Erst wenn alle vier Innenwinkel 90° betragen, ist die Raute ein Quadrat. Verwechsle daher die senkrechten Diagonalen nicht mit rechten Ecken.
Übungsaufgaben zur Raute
Fünf Übungsaufgaben zur Raute decken Flächeninhalt, Umfang, die zweite Flächenformel und das Rechnen mit den Diagonalen ab. Rechne jede Aufgabe zuerst selbst, klappe dann die Lösung auf und vergleiche deinen Rechenweg Schritt für Schritt mit der Musterlösung.
A = e · f / 2 = 6 · 8 / 2 = 48 / 2 = 24 cm².
U = 4 · a = 4 · 5 = 20 cm.
A = a · h = 6 · 5 = 30 cm².
a = √((e/2)² + (f/2)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm.
e = 2 · √(a² − (f/2)²) = 2 · √(25 − 16) = 2 · √9 = 2 · 3 = 6 cm.
Karteikarten zur Raute
Sechs Karteikarten fassen die wichtigsten Punkte zur Raute zusammen, von der Definition über beide Flächenformeln bis zu Umfang und Diagonalen. Klicke auf eine Karte, um die Antwort zu sehen, und navigiere mit den Pfeilen durch das gesamte Set.
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Raute, das Wichtigste
Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten. Ihr Flächeninhalt ist A = e · f / 2 oder A = a · h, der Umfang U = 4 · a. Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander, halbieren sich und halbieren außerdem die Innenwinkel der Figur.
- Definition: Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten (a = b = c = d).
- Fläche über Diagonalen: A = e · f / 2.
- Fläche über Seite und Höhe: A = a · h.
- Umfang: U = 4 · a.
- Seite aus Diagonalen: a = √((e/2)² + (f/2)²).
- Diagonalen stehen senkrecht und halbieren die Winkel.
Häufige Fragen zur Raute
Eine Raute, auch Rhombus genannt, ist ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten. Gegenüberliegende Seiten sind parallel, alle vier Seiten haben dieselbe Länge a. Die Raute gehört zur Familie der Vierecke.
Der Flächeninhalt einer Raute ist A = e · f / 2. Man multipliziert die beiden Diagonalen e und f und halbiert das Ergebnis. Für e = 6 cm und f = 8 cm ergibt sich A = 6 · 8 / 2 = 24 cm². Alternativ gilt A = a · h.
Da alle vier Seiten gleich lang sind, ist der Umfang U = 4 · a. Für eine Seitenlänge a = 5 cm ergibt sich U = 4 · 5 = 20 cm.
Die Diagonalen zerlegen die Raute in vier rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten e/2 und f/2. Nach Pythagoras gilt a = √((e/2)² + (f/2)²). Kennst du a und eine Diagonale, folgt die andere aus e = 2 · √(a² − (f/2)²).
Ein Quadrat ist eine Raute mit vier rechten Winkeln. Jedes Quadrat ist also eine Raute, aber eine Raute hat nur dann rechte Winkel, wenn sie zugleich ein Quadrat ist.
Ein Parallelogramm hat zwei Paar parallele Seiten, aber im Allgemeinen unterschiedlich lange Seiten. Eine Raute ist ein Parallelogramm, bei dem zusätzlich alle vier Seiten gleich lang sind.
Im Allgemeinen nicht. Nur die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. Rechte Innenwinkel hat eine Raute erst dann, wenn sie ein Quadrat ist.
Quellen
Die fachlichen Inhalte orientieren sich an etablierter Fachliteratur und universitären Lehrmaterialien:
- Raute (Definition, Eigenschaften, Diagonalen, Flächen- und Umfangsformeln). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Mathematrix: Theorie nach Thema, Geometrie der Ebene (Formeln u = 4a und A = e·f/2, Parallelogramm). Wikibooks. de.wikibooks.org
- Universität Bayreuth, Lehrstuhl Mathematik und ihre Didaktik (SMART-Projekt): Geometrische Grundlagen (Vierecke, Diagonalen, PDF). btmdx1.mat.uni-bayreuth.de (PDF)