Im Alltag begegnen Dir immer mal wieder Gegenstände, welche die Form einer Raute haben. Darunter fallen zum Beispiel Vereinslogos, einige Straßenschilder, oder das Karozeichen bei Spielkarten. Bei der berühmten Handhaltung von Angela Merkel, der "Merkel-Raute", handelt es sich, entgegen der Bezeichnung, tatsächlich gar nicht um eine Raute. Warum das so ist und wie Du bestimmte Größen einer Raute berechnen kannst, erfährst Du hier!
Abbildung 1: Merkel-Raute
Raute – Definition & Eigenschaften
Nimm mal eine Karospielkarte in die Hand und schau Dir das Karozeichen ganz genau an. Welche Eigenschaften fallen Dir dabei auf, die sich von der "Merkel-Raute" unterscheiden?
Die Raute ist eine geometrische Figur aus der Familie der Vierecke und ist durch folgende Eigenschaften definiert:
- Alle 4 Seiten sind gleich lang, wobei die gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel zueinander sind.
- Die jeweils gegenüberliegenden Innenwinkel sind gleich groß.
- Die Raute hat zwei Diagonalen, welche einander im Mittelpunkt M der Figur senkrecht halbieren.
Die "Merkel-Raute" ist also keine richtige Raute, da nicht alle Seiten gleich lang sind.
Um eine Raute geometrisch korrekt darzustellen, musst Du Dich an ein bestimmtes Grundprinzip bei der Beschriftung halten.
Raute – Beschriftung
Die Raute wird immer nach demselben Schema beschriftet.
- Die Beschriftung der Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben. Da alle vier Seiten gleich lang sind, wird jede Seite mit a beschriftet.
- Die Beschriftung der Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn: A, B, C, D
- Die Diagonalen werden als gestrichelte Linien dargestellt und mit e und f beschriftet.
- Die Beschriftung der Winkel erfolgt mit griechischen Buchstaben. Da die gegenüberliegenden Winkel jeweils gleich groß sind, werden die Winkel jeweils mit \(\alpha\) und \(\beta\) beschriftet.
Abbildung 3: Beschriftung einer Raute
Raute – Eigenschaften
Im Folgenden werden einige Eigenschaften der Raute noch etwas genauer beleuchtet.
Raute Seitenlängen
Alle Seiten der Raute sind gleich lang. Zudem sind die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander.
Abbildung 4: Parallele Seiten einer Raute
Damit erfüllt jede Raute auch die Eigenschaft eines Parallelogramms.
Raute Winkel
Die Winkelinnensumme der Raute beträgt \(360^\circ\). Die gegenüberliegenden Winkel sind jeweils gleich groß, benachbarte Winkel ergeben zusammen \(180^\circ\). \[\rightarrow\alpha+\beta=180^\circ\]
Abbildung 5: Winkel in einer Raute
Raute Diagonale
Eine Diagonale stellt in der Geometrie eine Strecke dar, die zwei Eckpunkte von einer Fläche miteinander verbindet, ohne dabei eine Seite der Figur zu sein.
Eine Raute hat zwei Diagonalen e und f, welche sich im Mittelpunkt M der Figur in einem rechten Winkel schneiden und dabei einander halbieren. Zudem stellen die Diagonalen die Winkelhalbierenden der Innenwinkeln dar.
Abbildung 6: Diagonalen einer Raute
Die Diagonalen spielen auch bei der Symmetrie der Raute eine wichtige Rolle.
Raute Symmetrie
Die Raute als geometrische Figur ist sowohl punktsymmetrisch als auch achsensymmetrisch.
Zur Erinnerung: Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn Du sie an einer Symmetrieachse, also einer Linie innerhalb der Figur, spiegeln kannst.
Jede Raute hat zwei Symmetrieachsen, welche hier in türkis dargestellt werden. Dabei handelt es sich um die Diagonalen e und f, die sich im Mittelpunkt M der Figur schneiden.
Abbildung 7: Symmetrieachsen einer Raute
Neben der Achsensymmetrie ist jedes Quadrat auch punktsymmetrisch zum Mittelpunkt M.
Zur Erinnerung: Eine Figur ist symmetrisch zu einem Punkt, wenn sie um den Punkt um 180° gedreht werden kann, und immer noch der Figur in der Ausgangsposition gleicht.
Drehst Du also eine Raute um den Mittelpunkt M um 180 Grad, ist die gedrehte Raute deckungsgleich mit der Raute in der Ausgangsposition.
Abbildung 8: Punktsymmetrie einer Raute
Damit kennst Du nun die wichtigsten Eigenschaften der Raute. In der Vertiefung geht es darum, eine Raute selbst zu zeichnen.
Raute zeichnen
Du kannst eine Raute auf verschiedene Weisen zeichnen. Die Art und Weise des Zeichnens sind immer davon abhängig, welche Längen Du von der zu zeichnenden Raute kennst. Im nachfolgenden Beispiel findest Du eine Schritt-für-Schritt-Anleitung für das Zeichnen einer Raute, wenn Du nur die Seitenlängen a vorgegeben hast.
Aufgabe 1
Zeichne eine Raute mit den Seitenlängen von \(a=5 \,cm\).
Lösung
| Schritte | Visualisierung |
| Schritt 1: Zeichne eine waagrechte Hilfslinie und markiere Punkt A irgendwo auf dieser Linie. |  Abbildung 9: Schritt 1
|
| Schritt 2: Miss mit Deinem Geodreieck von Punkt A aus einen Abstand mit der Seitenlänge von \(a=5 \,cm\) und markiere dort Punkt B. Verbinde diese Punkte miteinander. |  Abbildung 10: Schritt 2
|
| Schritt 3: Leg jetzt das Geodreieck an Punkt B an und markiere den Punkt auf der Hilfslinie, der wiederum \(5 \,cm\) von Punkt B entfernt ist, als Punkt C. Verbinde diese Punkte auch miteinander. |  Abbildung 11: Schritt 3
|
| Schritt 4: Zeichne eine weitere Hilfslinie, die durch Punkt B geht und senkrecht zur ersten Hilfslinie steht. |  Abbildung 12: Schritt 4
|
| Schritt 5: Leg das Geodreieck an Punkt C an und markiere den Punkt auf der neuen Hilfslinie, der wiederum \(5\,cm\) von Punkt C entfernt ist, als Punkt D. Verbinde diese Punkte miteinander. |  Abbildung 13: Schritt 5
|
| Schritt 6: Zuletzt musst Du nur noch die Punkte D und A miteinander verbinden. Wenn Du korrekt gezeichnet hast, ist diese Strecke erneut \(5 \,cm\) lang. |  Abbildung 14: Schritt 6
|
Damit hast Du nun erfolgreich eine Raute mit \(a=5\,cm\) konstruiert. Die Hilfslinien stellen in gekürzter Form die Diagonalen dar.
Abbildung 15: gezeichnete Raute
Wenn, wie bei dieser Aufgabe, keine zusätzlichen Angaben zu den Winkeln gemacht werden, kann die Form der Raute bei gleicher Seitenlänge variieren.
Die nächsten Abschnitte befassen sich mit dem Berechnen vom Umfang, Flächeninhalt und der Länge der Diagonalen.
Raute Umfang berechnen – Formel
Der Umfang U einer geometrischen Figur setzt sich aus ihren Seitenlängen zusammen. Da bei einer Raute alle Seiten a die gleiche Länge haben, musst Du nicht jede Seite einzeln addieren, sondern kannst einen kürzeren Rechenweg nutzen.
Der Umfang U einer Raute mit Seitenlänge a kann mit folgender Formel berechnet werden:
\[U=4\cdot a\]
Möchtest Du nun den Umfang einer Raute berechnen, benötigst Du also nur die Länge einer einzigen Seite.
Stell Dir vor, Dein Garten hat die Form einer Raute und Du möchtest ihn umzäunen. Die Seitenlänge von Deinem Garten beträgt jeweils \(6\,m\). Wie viel Meter Zaun benötigst Du, um den Garten komplett einzuzäunen?
Gesucht ist der Umfang des Gartens – also der Umfang einer Raute.
Zur Berechnung setzt Du jetzt für a in die Formel die Länge der Seite ein, also \(a=6\,m\).
\begin{align}U&=4\cdot \color{#1478c8}a\\\\U&=4\cdot \color{#1478c8}6 \,m \\U&=24 \, m\end{align}
Die Raute hat damit einen Umfang von \(24\,m\). Genauso lang muss somit der Zaun sein, damit dieser den Garten voll umschließt.
Wenn Du mehr über das Thema lernen möchtest, schau in der Erklärung "Umfang Raute" vorbei!
Raute Flächeninhalt berechnen – Formel
Für die Berechnung des Flächeninhaltes einer Raute gibt es im Allgemeinen zwei verschiedene Formeln. Welche Du benutzt, hängt davon ab, welche Längen von der Raute bekannt sind.
Flächeninhalt Raute – Formel mit Diagonalen
Anders als beim Umfang benötigst Du für die Berechnung des Flächeninhaltes nicht unbedingt eine Seitenlänge.
Der Flächeninhalt A einer Raute mit den Längen der Diagonalen e und f kann mit folgender Formel berechnet werden:
\[A=\frac{1}{2}\cdot e \cdot f\]
Den Umfang Deines Gartens kennst Du nun bereits, wie sieht es mit der Fläche aus?
Du möchtest Deinen nun eingezäunten Garten mit frischem Rollrasen auslegen. Dazu hast Du den Abstand der jeweils gegnüberliegenden Eckpunkte Deines Gartens ausgemessen. Dieser Abstand misst die Länge der Diagonalen der Raute. \begin{align}\color{#1478c8}e&=\color{#1478c8}\text{9,75}\,m\\\color{#00dcb4}f&=\color{#00dcb4}7\,m.\end{align}Wie viel Quadratmeter Rollrasen benötigst Du, um den Garten komplett auszulegen?
Gesucht ist damit die Fläche des Gartens – also die Fläche einer Raute. Zur Berechnung setzt Du jetzt für die Diagonalen e und f die jeweiligen Längen in die Formel für den Flächeninhalt A ein.
\begin{align}A&=\frac{1}{2}\cdot\color{#1478c8} e \cdot \color{#00dcb4}f\\\\A&=\frac{1}{2}\cdot\color{#1478c8} \text{9,75}\,m \cdot \color{#00dcb4}7\,m\\[0.1cm]A&=\text{34,125} \, m^2\end{align}
Damit benötigst Du \(\text{34,125} \,m^2\) Rasen, um Deinen Garten komplett zu bedecken.
Wie Du siehst, multiplizierst Du neben den eigentlichen Längen auch die Längeneinheiten, also hier Zentimeter, miteinander. Deshalb entsprechen die Flächeneinheiten dann den Längeneinheiten zum Quadrat.
Flächeninhalt Raute – Formel mit Grundseite und Höhe
Da die gegenüberliegenden Seiten bei jeder Raute jeweils parallel zueinander sind, ist jede Raute auch immer gleichzeitig ein Parallelogramm.
Dies bedeutet folglich, dass die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms ebenso für den Flächeninhalt einer Raute gilt.
Der Flächeninhalt einer Raute mit der Seitenlänge a und Höhe ha kann mit folgender Formel berechnet werden:
\[A=a\cdot h_a\]
Die Höhe ha steht dabei immer senkrecht zu den Seitenlängen a.
Abbildung 16: Raute mit eingezeichneter Höhe
Wie ändert sich Deine vorige Rechnung für den Flächeninhalt des Gartens also, wenn Du anstatt der Diagonalen die Höhe und Seitenlänge der Raute kennst?
Die Seitenlänge Deines Gartens mit \(a=6\,m\) kennst Du bereits. Da die Höhe \(h_a\) einer Raute senkrecht zu den jeweiligen Seiten der Raute stehen muss, nutzt Du für eine möglichst genaue Messung einen Laser. Du misst \(\text{5,6875 m}\).
Gesucht wird also der Flächeninhalt einer Raute mit den Seitenlängen von jeweils \(a=6 \, m\) und einer Höhe von \(h_a=\text{5,6875}\,m\).
Zur Berechnung setzt Du also für die Seitenlänge a und die Höhe ha die jeweiligen Längen in die Formel für den Flächeninhalt ein.
\begin{align}A&={\color{#1478c8}a}\cdot\color{#fa3273} h_a\\\\A&= {\color{#1478c8}6\,m} \cdot\color{#fa3273} \text{5,6875 m}\\A&=\text{34,125}\, cm^2\end{align}
Der Flächeninhalt des Gartens beträgt \(\text{34,125}\,m^2\). Du kommst also mit beiden Formeln zum selben Ergebnis.
Raute Diagonalen berechnen – Formel
Die beiden Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander und teilen die Raute in vier gleich große, rechtwinklige Teildreiecke.
Abbildung 17: Aufteilung der Raute in vier gleiche, rechtwinklige Dreiecke durch die Diagonalen
Daraus lassen nun verschiedene Formeln zur Berechnung der einzelnen Längen der Diagonalen ableiten.
Diagonale Raute berechnen – Formel mit Winkel
Wenn Dir die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) sowie die Seitenlängen a von einer Raute bekannt sind, kannst Du damit die Länge der Diagonalen e und f berechnen.
Die Länge der Diagonalen e und f einer Raute mit Seitenlänge a und Winkel \(\alpha\) lässt sich mit folgenden Formeln berechnen:
\begin{align}e&=2\cdot a\cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\\[0.2cm]f&=2\cdot a\cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right),\end{align}
wobei für den Winkel \(\alpha\) Folgendes gilt: \[\alpha = 180^\circ-\beta\]
Achte bei den Formeln genau darauf, wo die einzelnen Diagonalen und Winkel in der Raute liegen. Die Diagonale e muss hier den Winkel \(\alpha\) schneiden, damit die oben genannten Formeln in der Form gelten.
Abbildung 18: Lage der Diagonalen in Bezug zu den Winkeln
Gegeben ist eine Raute mit Seitenlängen \(a=5\,cm\) und dem Winkel \(\alpha=60^\circ\). Berechne die Länge der Diagonalen f der Raute.
Abbildung 19: Raute Aufgabe 2
Setze zur Berechnung die Seitenlänge \(a=5\,cm\) und den Winkel \(\alpha=60^\circ\) in die Formel ein.
\begin{align}f&=2\cdot {\color{#1478c8}a}\cdot \sin\left(\frac{\color{#00dcb4}\alpha}{2}\right)\\\\f&=2\cdot {\color{#1478c8}5\,cm}\cdot \sin\left(\frac{\color{#00dcb4}60^\circ}{2}\right)\\[0.1cm]f&=5 \,cm\end{align}
Damit hat die Diagonale die gleiche Länge wie die Seiten.
Diagonale Raute – Formel mit der anderen Diagonalen
Wenn Du schon die Länge einer Diagonalen kennst, kannst Du damit auch die Länge der anderen Diagonalen berechnen.
Die Länge der Diagoanlen e und f einer Raute mit Seitenlänge a und der jeweils anderen Diagoanlen lässt sich mit folgenden beiden Formeln berechnen:
\begin{align}e&=2\cdot \sqrt{a-\frac{f}{2}}\\[0.2cm]f&=2\cdot \sqrt{a-\frac{e}{2}}\end{align}
Versuche nun die Länge der anderen Diagonalen aus Aufgabe 2 zu berechnen.
Gesucht ist die Länge der Diagonalen e einer Raute mit den Seitenlängen von jeweils \(a=5\,cm\). Du kennst bereits die Länge der anderen Diagonalen \(f=5\,cm\).
Zur Berechnung setzt Du nun die Länge der Seiten a und der Diagonalen f in die Formel ein.
\begin{align}e&=2\cdot \sqrt{{\color{#1478c8}a}-\frac{{\color{#fa3273}f}}{2}}\\\\e&=2\cdot \sqrt{{\color{#1478c8}5\,cm}-\frac{{\color{#fa3273} 5\,cm}}{2}}\\[0.1cm]e&\approx \text{7,07 cm}\end{align}
Die Diagonale e ist also in etwa \(7\,cm\) lang.
Mehr dazu findest Du in der Erklärung "Diagonale Raute".
Raute - Das Wichtigste
- Die Raute ist eine geometrische Figur aus der Familie der Vierecke und ist durch folgende Eigenschaften definiert:
- Alle 4 Seiten sind gleich lang, wobei die gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel zueinander sind.
- Die jeweils gegenüberliegenden Innenwinkel sind gleich groß.
- Die Raute hat zwei Diagonalen e und f, welche einander im Mittelpunkt M der Figur senkrecht halbieren.
- Die Raute ist achsensymmetrisch zu den Diagonalen und punktsymmetrisch zum Mittelpunkt M.
Der Umfang U einer Raute mit Seitenlänge a kann mit folgender Formel berechnet werden:
\[U=4\cdot a\]
Den Flächeninhalt A kannst Du ebenfalls auf zwei Arten berechnen:
Der Flächeninhalt A einer Raute mit den Längen der Diagonalen e und f kann mit folgender Formel berechnet werden:
\[A=\frac{1}{2}\cdot e \cdot f\]
Der Flächeninhalt einer Raute mit der Seitenlänge a und Höhe ha kann mit folgender Formel berechnet werden:
\[A=a\cdot h_a\]
Die Länge der Diagonalen e und f kannst Du auf zwei unterschiedliche Arten berechnen:
Die Länge der Diagonalen e und f einer Raute mit Seitenlänge a und Winkel \(\alpha\) lässt sich mit folgenden Formeln berechnen: \begin{align}e&=2\cdot a\cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\\[0.2cm]f&=2\cdot a\cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right),\end{align}
Ist schon die Länge einer Diagonalen bekannt, kannst Du zusammen mit der Seitenlänge a die jeweils andere Diagonale berechnen:
\begin{align}e&=2\cdot \sqrt{a-\frac{f}{2}}\\[0.2cm]f&=2\cdot \sqrt{a-\frac{e}{2}}\end{align}
Nachweise
- Erbrecht et al. (2012). Das große Tafelwerk interaktiv Formelsammlung für die Sekundarstufen I und II. Cornelsen Verlag, Berlin
- Ernst (1977). Geometrie 1. Ehrenwirth Verlag, München
- Abbildung 1: Merkel-Raute (https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Angela_Merkel_hands.jpg) von Armin Linnartz unter der Lizenz CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).
Schüler*innen Geprüfte Erklärungen zu allen Themen in der Schule
Studierende Alles was du brauchst für ein erfolgreiches Studium
Auszubildende Lernmaterialien für bessere Noten in der Berufsschule
Magazine Die besten Lifehacks, Tipps und Infos
