Stell Dir vor, Du stehst an einem Punkt O (dem Ursprung) eines Koordinatensystems und läufst auf direktem Wege zu Punkt A. Wenn Du diese Strecke von Punkt O zu A mit Vektoren beschreiben willst, dann beschreibst Du den sogenannten Ortsvektor und dessen Betrag.
Abbildung 1: Punkt im Koordinatensystem
Jeder Punkt in einer Ebene oder in einem Raum hat einen eigenen Ortsvektor. Mithilfe dieses speziellen Vektors kannst Du die Lage jedes beliebigen Punkts beschreiben.
Ortsvektor Grundlagenwissen – Vektoren
Ortsvektoren sind, wie es der Name schon verrät, Vektoren. Was genau zeichnet einen Vektor aus?
Ein Vektor wird in einem Koordinatensystem mit einem gerichteten Pfeil dargestellt. Dabei gibt die Pfeilspitze die Richtung an und die Länge des Pfeils entspricht einer Maßzahl, dem sogenannten Betrag .
Abbildung 2: Vektor in der Ebene
Der Vektor kann eindeutig über seine Vektorkoordinaten dargestellt werden. Je nachdem, ob sich ein Vektor in der Ebene oder im Raum befindet, sind dafür zwei oder drei Komponenten nötig.
Darstellung eines Vektors durch seine Vektorkoordinaten und in der Ebene:
Darstellung eines Vektors durch seine Vektorkoordinaten , und im Raum:
Ein Vektor besitzt sowohl einen Anfangspunkt als auch einen Endpunkt (Pfeilspitze). Sind diese beide Punkte angegeben, so kann der Vektor anhand dieser berechnet werden.
Im Kapitel Vektoren kannst Du alles rund um das Thema Vektoren noch einmal nachlesen.
Hast Du etwa einen Anfangspunkt A mit den Koordinaten und einen Endpunkt B mit den Koordinaten in einem Koordinatensystem vorliegen und möchtest den Vektor von A zu B berechnen, dann ist dies über die Koordinaten möglich. Dafür subtrahierst Du den Fuß des Vektors (Punkt A) von der Spitze des Vektors (Punkt B).
Der Verbindungsvektor zwischen dem Anfangspunkt und dem Endpunkt in der Ebene berechnet sich durch: "Spitze – Fuß"
.
Auch ein Vektor, aber ein spezieller, ist der Ortsvektor.
Ortsvektor eines Punktes – Definition
Der Ortsvektor beschreibt ebenfalls einen Verbindungsvektor zweier Punkte im Koordinatensystem. Die Besonderheit am Ortsvektor besteht darin, dass der Anfangspunkt, also der Punkt, an dem der Vektor beginnt, immer im Koordinatenursprung liegt. In einem zweidimensionalen Koordinatensystem ist das der Punkt O. Der Ortsvektor ist also der Vektor zwischen Punkt O und einem anderen beliebigen Punkt P.
Ein Ortsvektor ist ein ortsgebundener Verbindungsvektor zwischen einem Bezugspunkt (Koordinatenursprung) O und einem beliebigen Punkt P im Koordinatensystem.
Am besten lässt sich dies an einem Beispiel zeigen.
Ortsvektor einzeichnen
Sowohl in der Ebene als auch im dreidimensionalen Raum gibt es Ortsvektoren. In der Ebene können sie wie folgt dargestellt werden.
Gegeben sind 3 verschiedene Punkte in der Ebene:
Werden diese Punkte in ein zweidimensionales Koordinatensystem eingezeichnet und die drei Punkte jeweils direkt mit dem Koordinatenursprung verbunden, so ergeben sich die drei Ortsvektoren , und .
Abbildung 3: Ortsvektoren in der Ebene
Der Anfangspunkt der hier abgebildeten Ortsvektoren ist in jedem der drei Fälle der Koordinatenursprung O. Der Anfangspunkt des Ortsvektors ist somit ortsgebunden. Dann wird dieser Nullpunkt mit dem jeweiligen Punkt A, B oder C verbunden. Somit stellen die Punkte A, B und C die Endpunkte der Vektoren dar.
Je nach Schulbuch unterscheiden sich teilweise die Schreibweisen für Ortsvektoren.
Schreibweise Ortsvektor
Ein Ortsvektor kann als Verbindungsvektor zwischen dem Ursprung O und einem Punkt A beschrieben werden. So sind beide Komponenten mit einem Pfeil über den beiden Buchstaben gekennzeichnet. Demnach gilt für andere beliebige Punkte beispielsweise:
- (Ortsvektor zu Punkt A)
- (Ortsvektor zu Punkt B)
- (Ortsvektor zu Punkt R)
Es gibt jedoch auch noch andere Schreibweisen. Für diese Beispiele kannst Du den Ortsvektor von Punkt A auch mit Kleinbuchstaben kennzeichnen.
- (Ortsvektor zu Punkt A)
- (Ortsvektor zu Punkt B)
- (Ortsvektor zu Punkt R)
Beachte, dass ein Vektor nicht immer der Ortsvektor zu einem Punkt A ist. Auch ein beliebiger Vektor kann als Vektor bezeichnet werden.
Besonders in der Physik oder anderen technischen Anwendungen der Mathematik werden Vektoren auch mit Großbuchstaben beschrieben. So findest Du in manchen Büchern auch folgende Bezeichnung für Ortsvektoren:
- (Ortsvektor zu Punkt A)
- (Ortsvektor zu Punkt B)
- (Ortsvektor zu Punkt R)
Halte Dich am besten an die Schreibweise Deines Schulbuchs oder frage bei Deinem Mathematiklehrer oder Deiner Mathematiklehrerin noch einmal nach.
Ein Ortsvektor zu einem Punkt A wird manchmal auch als oder bezeichnet.
Wie der Ortsvektor bezeichnet und in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden kann, hast Du bereits gesehen. Doch wie lässt sich der Ortsvektor mit Zahlenwerten bestimmen?
Ortsvektor bestimmen – Beschreibung und Formel
Bisher wurde der Ortsvektor lediglich eingezeichnet, aber noch nicht vollständig durch die Vektorkoordinaten eines Vektors beschrieben. Sowohl in der Ebene, als auch im Raum können Ortsvektoren mit Zahlenwerten versehen werden, wenn die Koordinaten des Punkts gegeben sind.
Ortsvektor in der Ebene bestimmen mit Formel
Zur Herleitung einer Formel für die Berechnung des Ortsvektors bietet sich zunächst ein kleines Beispiel an.
Stelle Dir vor, Du hast einen Punkt in einem Koordinatensystem gegeben und sollst nun den Ortsvektor zu diesem Punkt bestimmen. Der Ortsvektor kann in das Koordinatensystem wie in der unten stehenden Abbildung eingezeichnet werden.
Abbildung 4: Ortsvektor zu Punkt A
Um die Vektorkomponenten des Ortsvektor zu ermitteln, benötigst Du die Koordinaten der Punkte A und O. Wie Du im Kapitel zum Grundlagenwissen der Vektoren gesehen hast, kann ein Vektor über seinen Anfangs- und Endpunkt berechnet werden.
Der Punkt bildet dabei den Anfangspunkt und der Punkt den Endpunkt. Über "Spitze minus Fuß" kannst Du so den Vektor berechnen.
Was fällt dabei auf?
Die Vektorkomponenten des Ortsvektors entsprechen den Koordinaten des Endpunkts A. Die Subtraktion des Ursprungs O verändert diese Zahlenwerte also nicht.
Wie am Beispiel zu sehen war, kannst Du den Ortsvektor über die Differenz aus Anfangs- und Endpunkt bestimmen. Dabei ist der Koordinatenursprung O der Anfangspunkt und ein beliebiger Punkt der Endpunkt. Da sich durch die Subtraktion die Zahlenwerte nicht ändern, kann der Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt auch ohne Berechnung direkt bestimmt werden. Allgemein gilt demnach:
Der Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene entspricht den Koordinaten des Punkts P.
Ortsvektor im Raum bestimmen mit Formel
Ortsvektoren gibt es nicht nur in der Ebene; auch im dreidimensionalen Raum kannst Du sie bestimmen. Sieh Dir dazu gerne die folgende Vertiefung an.
Im dreidimensionalen Koordinatensystem werden die Ortsvektoren zu beliebigen Punkten ebenfalls durch die Koordinaten von Anfangspunkt O und dem Endpunkt bestimmt. Lediglich ist im Raum zu beachten, dass Punkte drei Koordinaten besitzen und der Ortsvektor damit auch drei Vektorkomponenten besitzt.
Allgemein gilt:
Der Ortsvektor zu einem Punkt im Raum entspricht den Koordinaten des Punkts P.
Ist Dir der Begriff Richtungsvektor im Unterricht auch schon einmal begegnet? Worin liegt der Unterschied zum Ortsvektor?
Unterschied zwischen Ortsvektor und Richtungsvektor
Startet ein Vektor im Punkt O, also im Ursprung des Koordinatensystems, so heißt dieser Vektor Ortsvektor. Es gibt auch andere Vektoren, die beliebig im Koordinatensystem verteilt sein können und demnach nicht ortsgebunden sind.
Ein Vektor, der beispielsweise zur Beschreibung von Geraden und Ebenen notwendig ist, ist der Richtungsvektor. Dieser gibt an, wie eine Gerade im Koordinatensystem ausgerichtet ist. Er gibt jedoch keinen Aufschluss darüber, wo sich z. B. die Gerade befindet.
Sieh Dir dazu das folgende Beispiel an.
Aufgabe 1
Gegeben ist ein Punkt , der auf einer Gerade g liegen soll. Zwei weitere Punkte und sind ebenfalls gegeben. Der Verbindungsvektor stellt dabei den Richtungsvektor der Geraden g dar. Wie lässt sich die Gerade g zeichnen?
Lösung
Wie bereits beschrieben, kann zu jedem beliebigen Punkt der Ortsvektor bestimmt werden. In diesem Fall beispielsweise . Aus der Angabe ist bekannt, dass die Gerade g durch diesen Punkt A verlaufen soll. Weiterhin sollen die Punkte B und C dazu dienen, den Richtungsvektor der Geraden zu bestimmen. Es gilt demnach:
Abbildung 5: Punkte und Verbindungsvektor
Durch den Punkt A ist bereits festgelegt worden, dass die Gerade g durch diesen Punkt verlaufen muss. Es ist dadurch jedoch noch nicht klar, in welche Richtung die Gerade zeigt. Dazu ist der Richtungsvektor notwendig. Aus der Aufgabe lässt sich entnehmen, dass der Richtungsvektor anhand der Punkte B und C bestimmt werden kann, z. B. über "Spitze – Fuß".
Dieser Richtungsvektor muss jetzt nur noch an den Punkt A gesetzt werden und schon lässt sich die Gerade g vollständig zeichnen.
Abbildung 6: Richtungsvektor und Gerade
Möchtest Du noch mehr über den Richtungsvektor erfahren? Dann lies gerne im Artikel "Richtungsvektor" oder "Darstellung von Geraden und Ebenen" nach.
Der Stützvektor und der Ortsvektor
Wie der Name schon verrät, "stützt" dieser Vektor ein Objekt (z. B. eine Gerade oder Ebene). Ortsvektoren zu einem Punkt auf diesem Objekt werden Stützvektoren genannt.
Stützvektoren in der Ebene
Wird etwa eine Gerade f in ein Koordinatensystem eingezeichnet, so wird ein sogenannter Stützpunkt bzw. Aufpunkt benötigt und ein Richtungsvektor. Die Ortsvektoren zu diesen Stützpunkten werden als Stützvektoren bezeichnet.
Gegeben ist eine Gerade f. Für die Position im Koordinatensystem wird ein Aufpunkt benötigt. Das kann beispielsweise Punkt A, B oder C sein. Die jeweiligen Ortsvektoren entsprechen der Stützvektoren der Geraden f.
Abbildung 7: Stützvektoren einer Geraden
Alle eingezeichneten Vektoren () sind Stützvektoren der Gerade f. Sie stützen die Gerade f. Es wird jedoch nur ein einziger Stützpunkt benötigt.
Da Stützvektoren Ortsvektoren sind, werden sie wie Ortsvektoren bestimmt.
Stützvektoren im Raum
Stützvektoren gibt es sowohl im zweidimensionalen Koordinatensystem als auch im Raum:
Stützvektoren im Raum stützen unter anderem eine Ebene. Auch dabei ist der Stützvektor der Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt auf dem Objekt. In der folgenden Abbildung sind verschiedene Stützvektoren eingezeichnet.
Abbildung 8: Stützvektoren im Raum
Der Vektor bildet beispielsweise bei dieser Ebene E den Stützvektor zum Stützpunkt A. Gleichzeitig ist dieser Stützvektor auch der Ortsvektor zu Punkt A. Den Stützvektor der Ebene benötigst Du wie bei der Geraden auch, um die Ebene in Parameterform aufzustellen.
Wie das funktioniert, erfährst Du im Artikel "Parameterform".
Ortsvektor – Aufgaben zum Üben
Jetzt bist Du dran! Falls Du nicht weiterkommen solltest, kannst Du Dir gerne noch einmal die Erklärung zu der Berechnung des Ortsvektors anschauen.
Aufgabe 2
Der folgende Ortsvektor ist gegeben: . Untersuche, welcher der drei eingezeichneten Vektoren diesen korrekt abbildet.
Abbildung 9: Ortsvektoren Aufgabe
Lösung
Der Vektor gehört zum blauen Vektor, da dieser seinen Endpunkt bei den Koordinaten hat.
Aufgabe 3
Prüfe, bei welchen der folgenden Graphen es sich um Ortsvektoren handelt und bestimme die Koordinaten des Ortsvektors.
Graph 1
Abbildung 10: Vektor
Graph 2
Abbildung 11: Vektor
Lösung
Graph 1 bildet keinen Ortsvektor ab. Ein Ortsvektor hat seinen Anfangspunkt im Koordinatenursprung.
Graph 2 stellt einen Ortsvektor zu Punkt D dar. Um den Ortsvektor zu ermitteln, werden erst die Koordinaten des Punkts D abgelesen. Das sind hier. Die Berechnung sieht dann folgendermaßen aus:
Weitere Übungsaufgaben findest Du in den Karteikarten zu diesem Thema.
Ortsvektor – Das Wichtigste
- Jeder Punkt in der Ebene oder im Raum besitzt einen eigenen bestimmten Ortsvektor.
- Der Ortsvektor hat seinen Anfangspunkt immer im Ursprung des Koordinatensystems und ist daher ortsgebunden.
- Der Ortsvektor kann als Verbindungsvektor zwischen dem Ursprung und einem beliebigen Punkt gesehen werden.
- Den Ortsvektor zu einem Punkt berechnet sich aus der Differenz des Punkts P (Spitze/Endpunkt) und des Koordinatenursprungs O (Fuß/Anfangspunkt):
- Um eine Gerade vollständig zeichnen zu können, wird ein Stützvektor und ein Richtungsvektor benötigt.
- Stützvektoren sind Ortsvektoren zu Punkten auf einem Objekt, die das Objekt "stützen".
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