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Parallele durch Punkt konstruieren

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Parallele durch Punkt konstruieren

Parallele durch Punkt konstruieren Ausgangspunkt StudySmarterAbbildung 1: Gegebener Punkt und Gerade g

Eine Parallele und ein Punkt sind Dir gegeben. Wie Du nun eine zweite Gerade konstruierst, sodass diese sowohl parallel zu der Gerade als auch durch den Punkt verläuft, lernst Du hier.

Parallele Geraden – Definition

Bevor Du parallele Geraden konstruierst, sollte Dir klar sein, welche Eigenschaften sie besitzen.

Parallele Geraden begegnen dir häufig in der Geometrie, können aber auch in der Analysis von Relevanz sein.

Zwei Geraden g und h sind parallel zueinander, wenn sie so zueinander liegen, dass sie sich nie schneiden oder identisch sind.

Mathematisch notiert wird dies mit

Parallele durch Punkt konstruieren Parallele StudySmarter

In diesem Beispiel kannst Du parallele und nicht parallele Geraden erkennen und unterscheiden.

In der Abbildung sind die Geraden g und h, sowie i und j parallel zueinander.

und

Da die anderen Geraden jeweils Schnittpunkte miteinander haben, sind diese nicht parallel zueinander.

Parallele durch Punkt konstruieren Parallelen StudySmarterAbbildung 2: Parallele Geraden

Solche Geraden können durch vorgegebene Punkte verlaufen.

Parallele Gerade durch gegebenen Punkt konstruieren - Erklärung & Beispiel

Bei dieser Konstruktion hast Du folgende Ausgangssituation:

Du hast eine Gerade g und einen Punkt P gegeben und sollst jetzt, mithilfe dieses Punktes P, eine weitere Gerade konstruieren, die durch P und parallel zu g verläuft.

Parallele durch Punkt konstruieren Ausgangspunkt StudySmarterAbbildung 3: Gerade g und Punkt P als Ausgangspunkt

Du kannst sowohl mit Zirkel und Lineal als auch mit dem Geodreieck eine Parallele durch einen gegebenen Punkt zeichnen.

Parallele durch Punkt konstruieren – mit dem Zirkel

Für die Konstruktion mit dem Zirkel benötigst Du einen Zirkel sowie ein Lineal.

Im Folgenden werden Mittelsenkrechten verwendet, um die Parallele zu konstruieren. Solltest Du Dir bei der Konstruktion von Mittelsenkrechten noch unsicher sein, kannst Du dies in der Erklärung "Mittelsenkrechte konstruieren" nachlesen.

Schritt
Visualisierung
1. SchrittZeichne einen Kreis um den Punkt P. Wähle den Radius so, dass dieser Kreis die Gerade g in zwei Punkten schneidet und benenne diese mit A und B.

Parallele durch Punkt konstruieren Schnittpunkte StudySmarterAbbildung 4: Kreis mit Schnittpunkten auf der Geraden g

2. SchrittKonstruiere die Mittelsenkrechte mg zur Strecke zwischen den Punkten A und B, indem du zwei Kreise um die beiden Punkte zeichnest. Wähle den Radius so, dass die beiden Kreise sich schneiden und lege die Mittelsenkrechte mg durch diese Schnittpunkte.

Parallele durch Punkt konstruieren Mittelsenkrechte StudySmarterAbbildung 5: Mittelsenkrechte

3. SchrittMarkiere die Schnittpunkte D und C der Mittelsenkrechten mg mit dem zuerst gezeichneten Kreis.Parallele durch Punkt konstruieren Schnittpunkte StudySmarter
Abbildung 6: Schnittpunkte der Mittelsenkrechten mit dem Kreis um P
4. SchrittZeichne um die beiden Punkte C und D erneut zwei Kreise, welche sich schneiden, um die Mittelsenkrechte zur Strecke und somit die gesuchte Parallele h zu zeichnen.Parallele durch Punkt konstruieren konstruierte Parallele StudySmarter
Abbildung 7: Parallele h zur Geraden g

Ein ausführliches Beispiel soll Dir beim Verstehen der einzelnen Schritte helfen.

1. Schritt

Indem Du einen Kreis um den Punkt Q zeichnest, welcher die Gerade g schneidet, erhältst Du zwei Schnittpunkte A und B.

Parallele durch Punkt konstruieren Schnittpunkte StudySmarterAbbildung 8: Kreis um den Punkt Q mit Schnittpunkten

2. Schritt

Um diese zwei Punkte zeichnest Du dann zwei Kreise, um die Mittelsenkrechte mg zur Strecke zu konstruieren.

Parallele durch Punkt konstruieren Mittelsenkrechte StudySmarterAbbildung 9: Mittelsenkrechte

3. Schritt

Der erste Kreis schneidet diese Gerade in zwei Punkten, welche verwendet werden, um die Mittelsenkrechte zur Strecke zu konstruieren.

Parallele durch Punkt konstruieren Schnittpunkte StudySmarterAbbildung 10: Schnittpunkte C und D der Mittelsenkrechten mit dem Kreis

4. Schritt

Mit der Konstruktion der Mittelsenkrechten zur Strecke konstruierst Du auch gleichzeitig die gesuchte Parallele h.

Parallele durch Punkt konstruieren Parallele StudySmarterAbbildung 11: Parallele h zur Geraden g

Parallele durch Punkt zeichnen – ohne Zirkel

Hast Du keinen Zirkel zur Hand ist es auch möglich, mit dem Geodreieck eine Parallele zur Geraden g durch den Punkt P zu zeichnen.

Vielleicht ist es Dir schon aufgefallen: hier wird nicht mehr der Begriff "konstruieren" gewählt.

Bei einer Konstruktion dürfen nur Zirkel und Lineal verwendet werden, um eine Figur möglichst exakt abzubilden.

Zirkel und Lineal werden auch als euklidische Werkzeuge bezeichnet.

Sobald Du also das Geodreieck verwendest und etwa Winkel oder Ähnliches abträgst, konstruierst Du in diesem Sinne nicht mehr, sondern zeichnest.

Mit dem Geodreieck kannst Du Dich an diese Schritte halten, um eine Parallele durch einen gegebenen Punkt zu zeichnen.

SchrittVisualisierung
1. SchrittMiss den Abstand zwischen dem Punkt P und der Geraden g, indem Du diese mit einer senkrechten Strecke p verbindest und die Länge dieser Strecke p misst.

Die Linie, welche von der 0 bis zur Spitze des Geodreiecks verläuft, hilft Dir zu erkennen, ob die Strecke senkrecht ist.

Parallele durch Punkt konstruieren senkrechte Strecke durch Punkt StudySmarter
Abbildung 12: Senkrechte Strecke p auf der Geraden g mit Endpunkt P
2. SchrittZeichne eine zweite Strecke q an einer anderen Stelle der Geraden und markiere am Ende dieser Strecke den Punkt Q. Die Strecke q sollte dabei sowohl parallel zur Strecke p sein, als auch dieselbe Länge wie diese besitzen.

Wie Du in der Abbildung erkennen kannst, können dir hier die Hilfslinien Deines Geodreiecks helfen zu erkennen, ob die beiden Strecken parallel zueinander sind.

Parallele durch Punkt konstruieren Parallele zur Strecke StudySmarterAbbildung 13: Parallele Strecke q zur Strecke p

3. SchrittZeichne eine Gerade h durch dir Punkte P und Q. Somit hast Du eine Parallele zu g durch den Punkt P gezeichnet.Parallele
Abbildung 14: Parallele h zu g

Übungsaufgaben – Parallele durch gegebenen Punkt konstruieren

Nachdem Du jetzt gelernt hast, wie sich eine Parallele durch einen gegebenen Punkt konstruieren lässt, kannst Du Dein neues Wissen an einer Übungsaufgabe testen. Nimm Dir dazu einen Zirkel, Stift und Papier zur Hand.

Aufgabe 1

Konstruiere eine Parallele durch den Punkt X zu der Geraden g.

Parallele durch Punkt konstruieren Ausgangspunkt StudySmarter Abbildung 15: Punkt X und Gerade g

Verwende dafür nur Zirkel und Lineal.

Lösung

Indem Du einen Kreis um den Punkt X zeichnest, welcher die Gerade g schneidet, erhältst Du zwei Schnittpunkte A und B (siehe Abbildung 20).

Um diese zwei Punkte zeichnest Du dann zwei Kreise, um die Mittelsenkrechte mg zur Strecke zu konstruieren (Abbildung 21).

Der erste Kreis schneidet diese Gerade in zwei Punkten, welche verwendet werden, um die Mittelsenkrechte zur Strecke zu konstruieren.

Parallele durch Punkt konstruieren Kreis um Punkt X StudySmarterAbbildung 16: Kreis um X mit Schnittpunkten auf gParallele durch Punkt konstruieren Mittelsenkrechte StudySmarterAbbildung 17: Mittelsenkrechte

Parallele durch Punkt konstruieren Schnittpunkte StudySmarterAbbildung 18: Schnittpunkte der Mittelsenkrechten mit Kreis um X

Mit der Konstruktion der Mittelsenkrechten zur Strecke wird auch gleichzeitig die gesuchte Parallele h konstruiert.

Parallele durch Punkt konstruieren Parallele StudySmarterAbbildung 19: Parallele h zu g

Aufgabe 2

Überlege, welche geometrische Figur Du mit einer gegebenen Geraden und einem Punkt bilden kannst.

Nutze Dein Wissen, dass mit diesen Voraussetzungen eine parallele Gerade konstruiert werden kann.

Parallele durch Punkt konstruieren Gerade g und Punkt P StudySmarterAbbildung 20: Punkt P und Gerade g

Lösung

Indem Du eine Parallele zu der Geraden g und durch den Punkt P konstruierst, kannst Du sowohl ein Parallelogramm, ein Rechteck als auch ein Quadrat zeichnen. Wähle dazu einen weiteren Punkt auf der konstruierten Gerade und entsprechend zwei weitere auf der Geraden g und verbinde diese.

Je nach Winkel und Seitenlänge erhältst Du so ein Parallelogramm, ein Rechteck oder ein Quadrat.

Parallele durch Punkt konstruieren Parallelogramm StudySmarterAbbildung 21: Parallelogramm

Parallele durch Punkt konstruieren Rechteck StudySmarterAbbildung 22: Rechteck

Parallele durch gegebenen Punkt konstruieren - Das Wichtigste

  • Du kannst sowohl mit dem Zirkel, als auch mit dem Geodreieck eine Parallele durch einen gegebenen Punkt konstruieren.
  • Zwei Parallelen g und h sind parallel zueinander, wenn sie so zueinander liegen, dass sie sich nie schneiden oder identisch sind.
  • Für zwei parallele Geraden schreibt man:
  • Mithilfe von Parallelen lassen sich weitere geometrische Figuren konstruieren.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Parallele durch Punkt konstruieren

Eine parallele Gerade lässt sich auf unterschiedliche Arten zeichnen. Eine Möglichkeit ist es zwei Punkte mit dem selben Abstand zu einer Gerade zu zeichnen und diese Punkte anschließend miteinander zu verbinden.

  1. Zeichne einen Kreis um den Punkt P. Wähle den Radius so, dass dieser Kreis die Gerade g in zwei Punkten schneidet und benenne diese mit A und B.
  2. Konstruiere die Mittelsenkrechte mg zur Strecke AB.
  3. Markiere die Schnittpunkte D und C der Mittelsenkrechten mg mit dem zuerst gezeichneten Kreis.
  4. Zeichne um die beiden Punkte C und D erneut zwei Kreise, welche sich schneiden, um die Mittelsenkrechte zur Strecke CD und somit die gesuchte Parallele h zu zeichnen.

Zwei Geraden g und h sind parallel zueinander, wenn sie so zueinander liegen, dass sie sich nie schneiden oder identisch sind.

Berechne die Steigung deiner Gerade und zeichne anschließend eine zweite Gerade mit der selben Steigung.

Finales Parallele durch Punkt konstruieren Quiz

Frage

Wann sind zwei Geraden parallel zueinander?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Geraden g und h sind parallel zueinander, wenn sie so zueinander liegen, dass sie sich nie schneiden oder identisch sind.

Frage anzeigen

Frage

Kann eine parallele Gerade durch einen gegebenen Punkt auch mit dem Geodreieck konstruiert werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, allerdings wird dann nicht mehr von "konstruieren" gesprochen, sondern von "zeichnen".

Frage anzeigen

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