Satz des Pythagoras Umkehrung: Erklärung & Beweis

Inhaltsangabe

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Kennst Du schon den Satz des Pythagoras? Wir haben für diesen Satz einen eigenen Artikel, den Du Dir durchlesen kannst, um dein Wissen aufzufrischen. Die Hauptaussage wird allerdings auch in diesem Artikel kurz wiederholt.

Wiederholung: Satz des Pythagoras und Formel

Der Satz des Pythagoras findet seine Anwendung in rechtwinkligen Dreiecken.

In jedem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse c und Katheten a und b gilt

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Anschaulich bedeutet die Formel, dass die beiden Quadrate über den Katheten a und b addiert genauso groß sind wie das Quadrat über der Hypotenuse c des Dreiecks. Diese geometrische Interpretation nennt man den Flächensatz.

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Abbildung 1: Satz des Pythagoras als Flächensatz

In dieser Form gilt die Formel nur, wenn a und b die Katheten des Dreiecks sind und c die Hypotenuse ist.

Wenn Dir die Begriffe im rechtwinkligen Dreieck nicht mehr ganz klar sind, dann kannst Du Dir gern unsere Artikel darüber ansehen.

Durch die Formel ist die Lage des rechten Winkels eindeutig: Die Seite, die in der Formel allein steht, liegt dem rechten Winkel gegenüber. Beispielsweise liegt, wenn im Dreieck die obige Formel gilt, der rechte Winkel der Seite c gegenüber und damit im Punkt C des Dreiecks.

In diesem Artikel soll es aber um die Umkehrung des Satzes des Pythagoras gehen. Man spricht in der Mathematik dabei von einem Kehrsatz.

Satz des Pythagoras: Kehrsatz – Definition

Jeder mathematische Satz besteht aus Voraussetzungen bzw. Bedingungen und daraus resultierenden Aussagen bzw. Folgerungen. Sind die gegebenen Voraussetzungen erfüllt, dann gilt der Satz und damit die Folgerungen. Mathematische Sätze sind oft im Wenn-Dann-Format: Wenn XY gilt, dann Z.

Beim Kehrsatz werden die beiden Aspekte vertauscht. Das heißt, die Folgerungen werden zu Voraussetzungen und andersherum. Du startest also bei den Folgerungen und zeigst, dass dann auch die Voraussetzungen erfüllt sind (Wenn-Dann-Format: Wenn Z, dann XY).

Weil das vielleicht etwas verwirrend klingt, hier ein einfaches Beispiel:

Voraussetzung	Folgerung
Ein Viereck ist ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten.	Das Viereck ist ein Quadrat.

Der mathematisch richtige "Satz": Wenn ein Rechteck vier gleich lange Seiten hat, dann ist es ein Quadrat.

Nun werden Voraussetzung und Folgerung getauscht.

Voraussetzung	Folgerung
Ein Viereck ist ein Quadrat.	Das Viereck ist ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten.

Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann ist es ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten.

Bei diesem Beispiel handelt es sich nicht um einen offiziellen mathematischen Satz (daher die Anführungszeichen), aber das Prinzip ist dasselbe.

Wichtig ist noch zu wissen, dass nicht jeder mathematische Satz problemlos umkehrbar ist. Du wirst bei den Sätzen meistens dazu lernen, ob sie umkehrbar sind oder nicht.

Den Satz "Jeder Dackel ist ein Hund" lässt sich nicht so leicht umkehren, denn nicht "jeder Hund ist ein Dackel".

Satz des Pythagoras Umkehrung

In diesem Abschnitt wirst Du lernen, wie die Umkehrung genau lautet, warum sie praktisch ist und wofür Du sie verwenden kannst.

Umkehrung des Satz des Pythagoras – Definition

Zur Umkehrung des ursprünglichen Satzes werden Voraussetzungen und Folgerungen getauscht. Der Kehrsatz lautet somit:

Gilt in einem Dreieck mit den Seitenlängen a, b, und c die Beziehung

dann ist das Dreieck rechtwinklig mit Hypotenuse c (das heißt, der rechte Winkel liegt der Seite c gegenüber).

Man geht also nun nicht von einem rechtwinkligen, sondern einem allgemeinen Dreieck aus. Erst der Satz liefert die Rechtwinkligkeit des Dreiecks. Der Beweis dieses Satzes folgt am Ende des Artikels.

Umkehrung des Satz des Pythagoras – Bedeutung und Beispiele

Mithilfe des Satz des Pythagoras durftest Du bisher nur folgern, dass in einem gegebenen rechtwinkligen Dreieck die bekannte Formel (und damit der Zusammenhang zwischen den jeweiligen Seitenquadraten) gilt.

Die Umkehrung liefert nun eine nützliche Eigenschaft, um ein gegebenes Dreieck auf Rechtwinkligkeit zu überprüfen.

Dafür müssen nur die Seitenlängen des gegebenen Dreiecks in die Formel eingesetzt werden. Gilt die Formel nicht, so ist das Dreieck auch nicht rechtwinklig.

Denke dabei immer daran, dass die längste Seite im Dreieck die einzige Seite ist, die als Hypotenuse in Frage kommt. Dies liegt an den Grundeigenschaften des Dreiecks, auf die hier aber nicht näher eingegangen werden soll.

Hierfür zwei kurze Beispiele:

Aufgabe 1a)

Überprüfe rechnerisch mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras, ob das Dreieck mit den Seitenlängen a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm rechtwinklig ist.

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Abbildung 2: Dreieck zu Aufgabe 1a)

Lösung

Zunächst gilt für die beiden Seiten a und b:

$a^{2} + b^{2} = {(3 c m)}^{2} + {(4 c m)}^{2} = 9 c m^{2} + 16 c m^{2} = 25 c m^{2}$

Für die Seite c gilt:

$c ² = (5 c m) ² = 25 c m ²$

Der Vergleich der beiden Rechnungen ergibt

$a^{2} + b^{2} = 25 c m^{2} = c^{2}$

Das Dreieck ABC ist daher rechtwinklig, mit Hypotenuse c und rechtem Winkel bei C.

Aufgabe 1b)

Gegeben ist nun das Dreieck mit den Seitenlängen a = 5 cm, b = 3 cm und c = 4 cm. Überprüfe auch dieses Dreieck auf Rechtwinkligkeit.

Lösung

Es handelt sich hier um das gleiche Dreieck wie in Aufgabe 1a), nur mit vertauschten Seitenbezeichnungen. Daher vermuten wir, dass auch dieses Dreieck rechtwinklig sein muss.

Wegen

$a^{2} + b^{2} = {(5 c m)}^{2} + {(3 c m)}^{2} = 25 c m^{2} + 9 c m^{2} = 34 c m^{2}$

und

$c^{2} = {(4 c m)}^{2} = 16 c m^{2}$

gilt hier

$a^{2} + b^{2} \neq c^{2}$

Wegen

$b^{2} + c^{2} = {(3 c m)}^{2} + {(4 c m)}^{2} = 9 c m^{2} + 16 c m^{2} = 25 c m^{2}$

und

$a^{2} = {(5 c m)}^{2} = 25 c m^{2}$

gilt hier dafür

Denke bei solchen Aufgaben immer daran, dass bei der Pythagoras-Formel je nach Name der Hypotenuse eine andere Variable allein auf einer Seite steht.

Außerdem kannst Du hier erkennen, dass nur a als längste Seite die Hypotenuse sein kann. So sparst Du Dir die erste Rechnung.

Das Dreieck ABC ist damit rechtwinklig, mit Hypotenuse a und rechtem Winkel bei A.

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Abbildung 3: Dreieck zu Aufgabe 1b)

Aufgabe 2

Verwende die Umkehrung des Satz des Pythagoras, um zu entscheiden, ob das Dreieck mit den Seitenlängen a = 2 cm, b = 4 cm und c = 3 cm rechtwinklig ist.

Lösung

Als Hypotenuse kommt nur die längste Seite b in Frage. Die Formel lautet also für den Fall der Rechtwinkligkeit:

$a^{2} + c^{2} = b^{2}$

Wir rechnen:

$a^{2} + c^{2} = {(2 c m)}^{2} + {(3 c m)}^{2} = 4 c m^{2} + 9 c m^{2} = 13 c m^{2}$

und

$b^{2} = {(4 c m)}^{2} = 16 c m^{2}$

Daraus folgt

$a^{2} + c^{2} \neq b^{2}$

Das Dreieck ABC ist somit nicht rechtwinklig. Dies erkennst Du auch, wenn Du das Dreieck zeichnest.

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Abbildung 4: Dreieck zu Aufgabe 2

Außerdem lassen sich mithilfe der Umkehrung relativ einfach rechtwinklige Dreiecke konstruieren. Du musst einfach passende Zahlenpaare wählen, für die die Gleichung gilt. Die Formel garantiert, dass die gewählten Dreiecke einen rechten Winkel haben. Das bekannteste Beispiel, das auch in diesem Artikel schon verwendet wurde, sind die Zahlen 3,4 und 5.

Drei Zahlen, die die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks angeben, werden auch pythagoreische Tripel genannt. Als pythagoreische Tripel werden allgemein alle Zahlentripel (a,b,c) natürlicher Zahlen bezeichnet, die als drei Seitenlängen eines Dreiecks ein rechtwinkliges Dreieck ergeben. Neben (3,4,5) sind weitere Beispiele (5,12,13) und (6,8,10).

Für sie gilt dann immer $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Dabei sind a und b die kürzeren Seiten, c die längste Seite. Es gilt also

${(k ü r z e s t e S t r e c k e)}^{2} + {(m i t t l e r e S t r e c k e)}^{2} = {(l ä n g s t e S t r e c k e)}^{2}$ .

Schon im alten Ägypten wurden auf diese Weise rechte Winkel konstruiert. Die Ägypter nutzen dazu das bekannte Zwölf-Knoten-Seil. Nach Überschwemmungen des Nils wurden so Felder neu vermessen. Wenn an den entsprechenden Ecken das Seil gespannt wird, ergibt sich immer ein rechter Winkel. Das Prinzip beruht auf dem Kehrsatz des Pythagoras.

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Abbildung 5: Das Zwölf-Knoten-Seil

Umkehrung des Satz des Pythagoras – Beweis

Um den Kehrsatz zu beweisen, muss aus der Voraussetzung die geltende Aussage gefolgert werden.

Beweisen müssen wir also:

Gilt in einem Dreieck die Beziehung $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , dann ist das Dreieck rechtwinklig, mit Hypotenuse c.

Wichtig für das Verständnis dieses Beweises ist der sss-Kongruenzsatz für Dreiecke.

Falls Du den nicht mehr so gut parat hast, kannst Du gern unseren Artikel "Ähnlichkeit Dreiecke" lesen.

Beweis zum Kehrsatz des Satz des Pythagoras
Beweisschritt	Beschreibung	Visualisierung (Abbildungen 6 und 7: Konstruktionsschritte des Beweises)
1. Ausgangssituation	Starten wir also mit einem beliebigen Dreieck, in dem $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ gilt.Wichtig: Ansonsten haben wir keine Info über das Dreieck. Beispielsweise könnte es so aussehen wie das Dreieck rechts.
2. Konstruktion einesHilfsdreiecks DEF	Der Trick ist nun, dass wir uns ein zweites Dreieck DEF suchen. Dieses zweite Dreieck hat die Eigenschaft, dass es mit dem Dreieck ABC in zwei Seitenlängen (d = a und e = b) übereinstimmt und zusätzlich rechtwinklig bei F ist.

Wir wollen nun zeigen, dass die beiden Dreiecke ABC und DEF kongruent sind. Dann können wir folgern, dass auch y ein rechter Winkel ist. Damit ist wie gewünscht ABC rechtwinklig bei C und unser Satz ist bewiesen.

Beweisschritt	Beschreibung	Visualisierung (Abbildungen 8 bis 11: Konstruktionsschritte des Beweises)
3. Anwendung des Satz des Pythagoras im Dreieck DEF	Wir verwenden den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck DEF (über das Dreieck ABC wissen wir ja nichts).Im Dreieck DEF gilt daher: $e^{2} + d^{2} = f^{2}$
4. Folgerung für diefehlende Seite f	Über die beiden gleichen Seiten von ABC und DEF können wir folgern: $f^{2} = e^{2} + d^{2} = b^{2} + a^{2} = c^{2}$ Der letzte Schritt gilt dabei, weil ja nach Voraussetzung $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ im Dreieck ABC gilt. Weil Strecken immer positiv sind, folgt daraus f = c.
5. Kongruenz der DreieckeABC und DEF	Es gilt a = d, b = e und c = f. Damit sind die beiden Dreiecke ABC und DEF kongruent nach dem sss-Satz über Kongruenz von Dreiecken und stimmen in ihren entsprechenden Winkeln überein. Daraus folgt wie gewünscht y = 90°.
6. Abschluss des Beweises	Das Dreieck ABC ist damit ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel bei C und Hypotenuse c.

Kehrsatz des Satz des Pythagoras – Das Wichtigste

Der Satz des Pythagoras ist umkehrbar.
Es gilt: Wenn die Formel gilt, dann ist das Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c rechtwinklig, mit Hypotenuse c.
So kannst Du leicht mit einer kleinen Rechnung überprüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.
Es gibt einige bekannte sogenannte pythagoreische Zahlentripel (z.B. 3,4 und 5).

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Welches der folgenden Dreiecke ist rechtwinklig?

a) a = 6cm,
b = 10cm,
c = 8cm

Wodurch unterscheiden sich im Allgemeinen Satz und Kehrsatz voneinander?

Sie unterscheiden sich darin, dass Voraussetzungen und Folgerungen vertauscht sind.

Lautet der Satz "Wenn XY, dann Z", dann ist der Kehrsatz von der Form "Wenn Z, dann XY".

Nenne ein eigenes Beispiel für einen gültigen Satz, für den auch der Kehrsatz gilt.

Dafür gibt es verschiedene Beispiele.
Einer davon ist ja im Artikel erwähnt (Eigenschaften von speziellen Vierecken).
Ein Beispiel aus dem Alltag wäre "Wenn man am 29. Februar Geburtstag hat, dann wird man nur alle vier Jahre ein Jahr älter". Ebenso gilt "Wenn man nur alle vier Jahre ein Jahr älter wird, dann hat man am 29. Februar Geburtstag".

Nenne ein eigenes Beispiel für einen gültigen Satz, für den der Kehrsatz nicht gilt.

Auch hierfür gibt es verschiedene Beispiele.

Ein Beispiel aus der Mathematik: "Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann hat es vier rechte Winkel." Der Kehrsatz "Wenn ein Viereck vier rechte Winkel hat, dann ist es ein Quadrat" gilt allerdings nicht, da auch ein Rechteck vier rechte Winkel hat, im allgemeinen aber kein Quadrat ist.

Ein Alltagsbeispiel: "Wenn Fußball-WM ist, dann wird in vielen Stadien Fußball gespielt". Der Kehrsatz "Wenn in vielen Stadien Fußball gespielt wird, dann ist Fußball-WM" muss nicht unbedingt wahr sein (z.B. kann auch eine EM stattfinden oder ein Bundesliga-Spieltag).

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Satz des Pythagoras Umkehrung

Wie stelle ich den Satz des Pythagoras um?

Du stellst den Satz des Pythagoras um, indem du Voraussetzung und Folgerung tauschst. So entsteht die Umkehrung des Satz des Pythagoras, auch Kehrsatz des Pythagoras genannt. Es gilt dann: Wenn in einem Dreieck die berühmte Formel von Pythagoras gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig.

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