Satz des Pythagoras Umkehrung

Der Satz des Pythagoras mit seiner Umkehrung gehört zu den zentralen Sätzen der Geometrie beziehungsweise Mathematik. Die Umkehrung ist praktisch, um bei gegebenen Dreiecken schnell berechnen zu können, ob die Dreiecke rechtwinklig sind oder nicht. Außerdem hilft sie Dir bei der Erstellung von rechtwinkligen Dreiecken.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Satz des Pythagoras Umkehrung / Geometrie Abbildung / Beispiele / Übung / StudySmarter

    Kennst Du schon den Satz des Pythagoras? Wir haben für diesen Satz einen eigenen Artikel, den Du Dir durchlesen kannst, um dein Wissen aufzufrischen. Die Hauptaussage wird allerdings auch in diesem Artikel kurz wiederholt.

    Wiederholung: Satz des Pythagoras und Formel

    Der Satz des Pythagoras findet seine Anwendung in rechtwinkligen Dreiecken.

    In jedem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse c und Katheten a und b gilt

    a2+b2=c2

    Anschaulich bedeutet die Formel, dass die beiden Quadrate über den Katheten a und b addiert genauso groß sind wie das Quadrat über der Hypotenuse c des Dreiecks. Diese geometrische Interpretation nennt man den Flächensatz.

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    Abbildung 1: Satz des Pythagoras als Flächensatz

    In dieser Form gilt die Formel nur, wenn a und b die Katheten des Dreiecks sind und c die Hypotenuse ist.

    Wenn Dir die Begriffe im rechtwinkligen Dreieck nicht mehr ganz klar sind, dann kannst Du Dir gern unsere Artikel darüber ansehen.

    Durch die Formel ist die Lage des rechten Winkels eindeutig: Die Seite, die in der Formel allein steht, liegt dem rechten Winkel gegenüber. Beispielsweise liegt, wenn im Dreieck die obige Formel gilt, der rechte Winkel der Seite c gegenüber und damit im Punkt C des Dreiecks.

    In diesem Artikel soll es aber um die Umkehrung des Satzes des Pythagoras gehen. Man spricht in der Mathematik dabei von einem Kehrsatz.

    Satz des Pythagoras: Kehrsatz – Definition

    Jeder mathematische Satz besteht aus Voraussetzungen bzw. Bedingungen und daraus resultierenden Aussagen bzw. Folgerungen. Sind die gegebenen Voraussetzungen erfüllt, dann gilt der Satz und damit die Folgerungen. Mathematische Sätze sind oft im Wenn-Dann-Format: Wenn XY gilt, dann Z.

    Beim Kehrsatz werden die beiden Aspekte vertauscht. Das heißt, die Folgerungen werden zu Voraussetzungen und andersherum. Du startest also bei den Folgerungen und zeigst, dass dann auch die Voraussetzungen erfüllt sind (Wenn-Dann-Format: Wenn Z, dann XY).

    Weil das vielleicht etwas verwirrend klingt, hier ein einfaches Beispiel:

    VoraussetzungFolgerung
    Ein Viereck ist ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten.Das Viereck ist ein Quadrat.

    Der mathematisch richtige "Satz": Wenn ein Rechteck vier gleich lange Seiten hat, dann ist es ein Quadrat.

    Nun werden Voraussetzung und Folgerung getauscht.

    VoraussetzungFolgerung
    Ein Viereck ist ein Quadrat.Das Viereck ist ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten.
    Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann ist es ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten.

    Bei diesem Beispiel handelt es sich nicht um einen offiziellen mathematischen Satz (daher die Anführungszeichen), aber das Prinzip ist dasselbe.

    Wichtig ist noch zu wissen, dass nicht jeder mathematische Satz problemlos umkehrbar ist. Du wirst bei den Sätzen meistens dazu lernen, ob sie umkehrbar sind oder nicht.

    Den Satz "Jeder Dackel ist ein Hund" lässt sich nicht so leicht umkehren, denn nicht "jeder Hund ist ein Dackel".

    Satz des Pythagoras Umkehrung

    In diesem Abschnitt wirst Du lernen, wie die Umkehrung genau lautet, warum sie praktisch ist und wofür Du sie verwenden kannst.

    Umkehrung des Satz des Pythagoras – Definition

    Zur Umkehrung des ursprünglichen Satzes werden Voraussetzungen und Folgerungen getauscht. Der Kehrsatz lautet somit:

    Gilt in einem Dreieck mit den Seitenlängen a, b, und c die Beziehung

    ,

    dann ist das Dreieck rechtwinklig mit Hypotenuse c (das heißt, der rechte Winkel liegt der Seite c gegenüber).

    Man geht also nun nicht von einem rechtwinkligen, sondern einem allgemeinen Dreieck aus. Erst der Satz liefert die Rechtwinkligkeit des Dreiecks. Der Beweis dieses Satzes folgt am Ende des Artikels.

    Umkehrung des Satz des Pythagoras – Bedeutung und Beispiele

    Mithilfe des Satz des Pythagoras durftest Du bisher nur folgern, dass in einem gegebenen rechtwinkligen Dreieck die bekannte Formel (und damit der Zusammenhang zwischen den jeweiligen Seitenquadraten) gilt.

    Die Umkehrung liefert nun eine nützliche Eigenschaft, um ein gegebenes Dreieck auf Rechtwinkligkeit zu überprüfen.

    Dafür müssen nur die Seitenlängen des gegebenen Dreiecks in die Formel eingesetzt werden. Gilt die Formel nicht, so ist das Dreieck auch nicht rechtwinklig.

    Denke dabei immer daran, dass die längste Seite im Dreieck die einzige Seite ist, die als Hypotenuse in Frage kommt. Dies liegt an den Grundeigenschaften des Dreiecks, auf die hier aber nicht näher eingegangen werden soll.

    Hierfür zwei kurze Beispiele:

    Aufgabe 1a)

    Überprüfe rechnerisch mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras, ob das Dreieck mit den Seitenlängen a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm rechtwinklig ist.

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    Abbildung 2: Dreieck zu Aufgabe 1a)

    Lösung

    Zunächst gilt für die beiden Seiten a und b:

    a2+b2=(3 cm)2+(4 cm)2=9 cm2+16 cm2=25 cm2

    Für die Seite c gilt:

    c²=(5 cm)²=25 cm²

    Der Vergleich der beiden Rechnungen ergibt

    a2+b2 = 25 cm2=c2

    Das Dreieck ABC ist daher rechtwinklig, mit Hypotenuse c und rechtem Winkel bei C.

    Aufgabe 1b)

    Gegeben ist nun das Dreieck mit den Seitenlängen a = 5 cm, b = 3 cm und c = 4 cm. Überprüfe auch dieses Dreieck auf Rechtwinkligkeit.

    Lösung

    Es handelt sich hier um das gleiche Dreieck wie in Aufgabe 1a), nur mit vertauschten Seitenbezeichnungen. Daher vermuten wir, dass auch dieses Dreieck rechtwinklig sein muss.

    Wegen

    a2+b2=(5 cm)2+(3 cm)2=25 cm2+9 cm2=34 cm2

    und

    c2 = (4 cm)2=16 cm2

    gilt hier

    a2+b2c2

    Wegen

    b2+c2=(3 cm)2+(4 cm)2=9 cm2+16 cm2=25 cm2

    und

    a2=(5 cm)2=25 cm2

    gilt hier dafür

    Denke bei solchen Aufgaben immer daran, dass bei der Pythagoras-Formel je nach Name der Hypotenuse eine andere Variable allein auf einer Seite steht.

    Außerdem kannst Du hier erkennen, dass nur a als längste Seite die Hypotenuse sein kann. So sparst Du Dir die erste Rechnung.

    Das Dreieck ABC ist damit rechtwinklig, mit Hypotenuse a und rechtem Winkel bei A.

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    Abbildung 3: Dreieck zu Aufgabe 1b)

    Aufgabe 2

    Verwende die Umkehrung des Satz des Pythagoras, um zu entscheiden, ob das Dreieck mit den Seitenlängen a = 2 cm, b = 4 cm und c = 3 cm rechtwinklig ist.

    Lösung

    Als Hypotenuse kommt nur die längste Seite b in Frage. Die Formel lautet also für den Fall der Rechtwinkligkeit:

    a2+c2=b2

    Wir rechnen:

    a2+c2=(2 cm)2+(3 cm)2=4 cm2+9 cm2=13 cm2

    und

    b2=(4 cm)2=16 cm2

    Daraus folgt

    a2+c2b2

    Das Dreieck ABC ist somit nicht rechtwinklig. Dies erkennst Du auch, wenn Du das Dreieck zeichnest.

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    Abbildung 4: Dreieck zu Aufgabe 2

    Außerdem lassen sich mithilfe der Umkehrung relativ einfach rechtwinklige Dreiecke konstruieren. Du musst einfach passende Zahlenpaare wählen, für die die Gleichung gilt. Die Formel garantiert, dass die gewählten Dreiecke einen rechten Winkel haben. Das bekannteste Beispiel, das auch in diesem Artikel schon verwendet wurde, sind die Zahlen 3,4 und 5.

    Drei Zahlen, die die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks angeben, werden auch pythagoreische Tripel genannt. Als pythagoreische Tripel werden allgemein alle Zahlentripel (a,b,c) natürlicher Zahlen bezeichnet, die als drei Seitenlängen eines Dreiecks ein rechtwinkliges Dreieck ergeben. Neben (3,4,5) sind weitere Beispiele (5,12,13) und (6,8,10).

    Für sie gilt dann immer a2+b2=c2. Dabei sind a und b die kürzeren Seiten, c die längste Seite. Es gilt also

    (kürzeste Strecke)2+(mittlere Strecke)2=(längste Strecke)2.

    Schon im alten Ägypten wurden auf diese Weise rechte Winkel konstruiert. Die Ägypter nutzen dazu das bekannte Zwölf-Knoten-Seil. Nach Überschwemmungen des Nils wurden so Felder neu vermessen. Wenn an den entsprechenden Ecken das Seil gespannt wird, ergibt sich immer ein rechter Winkel. Das Prinzip beruht auf dem Kehrsatz des Pythagoras.

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    Abbildung 5: Das Zwölf-Knoten-Seil

    Umkehrung des Satz des Pythagoras – Beweis

    Um den Kehrsatz zu beweisen, muss aus der Voraussetzung die geltende Aussage gefolgert werden.

    Beweisen müssen wir also:

    Gilt in einem Dreieck die Beziehung a2+b2=c2, dann ist das Dreieck rechtwinklig, mit Hypotenuse c.

    Wichtig für das Verständnis dieses Beweises ist der sss-Kongruenzsatz für Dreiecke.

    Falls Du den nicht mehr so gut parat hast, kannst Du gern unseren Artikel "Ähnlichkeit Dreiecke" lesen.

    Beweis zum Kehrsatz des Satz des Pythagoras
    Beweisschritt BeschreibungVisualisierung (Abbildungen 6 und 7: Konstruktionsschritte des Beweises)
    1. AusgangssituationStarten wir also mit einem beliebigen Dreieck, in dem a2+b2=c2 gilt.Wichtig: Ansonsten haben wir keine Info über das Dreieck. Beispielsweise könnte es so aussehen wie das Dreieck rechts.

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    2. Konstruktion einesHilfsdreiecks DEFDer Trick ist nun, dass wir uns ein zweites Dreieck DEF suchen. Dieses zweite Dreieck hat die Eigenschaft, dass es mit dem Dreieck ABC in zwei Seitenlängen (d = a und e = b) übereinstimmt und zusätzlich rechtwinklig bei F ist.

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    Wir wollen nun zeigen, dass die beiden Dreiecke ABC und DEF kongruent sind. Dann können wir folgern, dass auch y ein rechter Winkel ist. Damit ist wie gewünscht ABC rechtwinklig bei C und unser Satz ist bewiesen.

    BeweisschrittBeschreibungVisualisierung (Abbildungen 8 bis 11: Konstruktionsschritte des Beweises)
    3. Anwendung des Satz des Pythagoras im Dreieck DEFWir verwenden den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck DEF (über das Dreieck ABC wissen wir ja nichts).Im Dreieck DEF gilt daher: e2+d2=f2

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    4. Folgerung für diefehlende Seite fÜber die beiden gleichen Seiten von ABC und DEF können wir folgern:f2=e2+d2=b2+a2=c2Der letzte Schritt gilt dabei, weil ja nach Voraussetzung a2+b2=c2im Dreieck ABC gilt. Weil Strecken immer positiv sind, folgt daraus f = c.

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    5. Kongruenz der DreieckeABC und DEFEs gilt a = d, b = e und c = f. Damit sind die beiden Dreiecke ABC und DEF kongruent nach dem sss-Satz über Kongruenz von Dreiecken und stimmen in ihren entsprechenden Winkeln überein. Daraus folgt wie gewünscht y = 90°.

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    6. Abschluss des BeweisesDas Dreieck ABC ist damit ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel bei C und Hypotenuse c.

    Satz des Pythagoras Umkehrung, Beweis, StudySmarter

    Kehrsatz des Satz des Pythagoras – Das Wichtigste

    • Der Satz des Pythagoras ist umkehrbar.
    • Es gilt: Wenn die Formel gilt, dann ist das Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c rechtwinklig, mit Hypotenuse c.
    • So kannst Du leicht mit einer kleinen Rechnung überprüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.
    • Es gibt einige bekannte sogenannte pythagoreische Zahlentripel (z.B. 3,4 und 5).
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Satz des Pythagoras Umkehrung

    Wie stelle ich den Satz des Pythagoras um?

    Du stellst den Satz des Pythagoras um, indem du Voraussetzung und Folgerung tauschst. So entsteht die Umkehrung des Satz des Pythagoras, auch Kehrsatz des Pythagoras genannt. Es gilt dann: Wenn in einem Dreieck die berühmte Formel von Pythagoras gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig.

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