Winkel spielen in der Geometrie eine große Rolle. Oft wirst Du Winkel messen sollen und das möglichst genau. Damit Du nicht immer alle Winkel messen musst, gibt es ein paar Zusammenhänge zwischen den einzelnen Winkeln, der Nebenwinkel und der Scheitelwinkel zum Beispiel. Aber auch der Wechselwinkel, um welchen es hier gehen soll, kann helfen, Winkel nur einmal messen zu müssen.
Wechselwinkel – Paare & Grundlagenwissen
Es gibt vier für Dich wichtige Winkelsätze. Diese bauen teilweise aufeinander auf und werden auch in anderen Bereichen der Geometrie häufig gebraucht.
Wenn Du mehr über die anderen Winkelsätze erfahren willst, schau einmal in den jeweiligen Artikeln nach.
Besonders wichtig sind die Sätze des Nebenwinkels und Scheitelwinkels. Auf diesen beiden Sätzen bauen der Wechselwinkel und Stufenwinkel auf.
Nebenwinkelsatz
Zwei Winkel sind Nebenwinkel voneinander, wenn sie an einer Geradenkreuzung nebeneinander liegen.
Schneiden sich zwei Geraden, so heißen benachbarte Winkelpaare Nebenwinkel. Nebenwinkel ergeben zusammen immer 180°.
Es gilt:
Ein 180° Winkel wird auch gestreckter Winkel genannt.
Die beiden Geraden schneiden sich und es entstehen vier Winkelfelder. Die beiden Winkel und sowie und bilden zusammen Winkelpaare, welche 180° ergeben. Auch und sowie und bilden Winkelpaare, welche zusammen 180° ergeben.
Abbildung 1: Nebenwinkel
Scheitelwinkelsatz
Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn sie an einer Geradenkreuzung gegenüber voneinander liegen.
Schneiden sich zwei Geraden, so heißen gegenüberliegender Winkelpaare Scheitelwinkel. Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Es gilt:
Die beiden Geraden schneiden sich und es entstehen vier Winkelfelder. Die beiden Winkel und sind gleich groß. Auch und sind gleich groß.
Abbildung 2: Scheitelwinkel
Stufenwinkelsatz
Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.
Wenn zwei Geraden parallel sind und eine dritte Gerade die beiden Parallelen schneidet. So sind die Winkel auf einer Seite gleich groß. Dieses Winkelpaar heißt Stufenwinkel.
Es gilt:
Abbildung 3: Stufenwinkel
Du kannst Dir das auch so vorstellen, als würden die Geraden mit den Winkeln den Buchstaben F bilden. Die Stufenwinkel sind dann jeweils an den Schnittpunkten der Striche. Aufgrund dessen werden Stufenwinkel manchmal auch als "F-Winkel" bezeichnet.
Abbildung 4: F-Winkel
Wechselwinkelsatz – Definition & Beispiel
In den Winkelsätzen vom Scheitelwinkel und Nebenwinkel schneiden sich zwei Geraden. Dagegen werden beim Stufenwinkel zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten. Auch beim Wechselwinkel geht es um parallele Geraden, die von einer Dritten geschnitten werden.
Wenn zwei Geraden parallel sind und eine dritte Gerade f die beiden Parallelen schneidet, so sind die Winkel, welche sich gegenüberliegen, aber nicht auf der gleichen Parallelen liegen, gleich groß. Dieses Winkelpaar heißt Wechselwinkel.
Es gilt:
Anschaulich kannst Du Dir das auch vorstellen, als würden die Geraden zusammen ein Z bilden. Die Wechselwinkel liegen dann genau in den Nischen des Z. Deshalb werden sie auch manchmal "Z-Winkel" genannt.
Abbildung 5: Z-Winkel
Die Voraussetzung in dieser Definition ist es, dass die Geraden parallel sind. Hier kannst Du auch die Umkehrung des Satzes anwenden.
Wenn Wechselwinkel gleich groß sind, sind die Geraden parallel.
Abbildung 6: Wechselwinkel
Nur bei Parallelen darfst Du den Wechselwinkelsatz anwenden.
Aufgabe 1
Berechne den Winkel , wenn beträgt.
Abbildung 7: Wechselwinkel
Lösung
Es handelt sich bei den Winkeln und um Wechselwinkel. Zusätzlich sind g und h parallel, weshalb Du den Wechselwinkelsatz anwenden darfst. Es gilt .
Der Winkel beträgt 100°.
Wechselwinkelpaare erkennen
Ob Du den Wechselwinkelsatz anwenden darfst, ist neben der Parallelendbedingung auch von weiteren Bedingungen abhängig.
Folgende Bedingungen müssen erfüllt sein, damit es sich um einen Wechselwinkel handelt:
- Sie liegen auf unterschiedlichen Seiten der Schnittgeraden f.
- Sie liegen auf unterschiedlichen Seiten der Parallelen g und h.
Für gleiche Farben gilt in dieser Abbildung, der Wechselwinkelsatz darf angewendet werden. Die jeweiligen Winkel bilden immer ein Wechselwinkelpaar.
Abbildung 8: alle Wechselwinkel
Aufgabe 2
Darf der Wechselwinkelsatz angewendet werden?
Die Schwierigkeit liegt hierbei nicht im Rechnen. Das Erkennen, ob der Satz angewendet werden darf oder nicht, ist die Schwierigkeit.
Abbildung 9: nicht parallele Geraden
Lösung
In diesem Beispiel darfst Du den Satz nicht benutzen, da es sich bei den Geraden g und h um sich schneidende Geraden handelt. Sie sind nicht parallel. Wenn Du die Geraden g und h verlängerst, siehst Du einen Schnittpunkt entstehen.
Du kannst auch durch Messen ermitteln, ob die Geraden parallel sind. Dafür nimmst Du ein Lineal oder Geodreieck zur Hand und misst auf der rechten und linken Seite den Abstand der Geraden g und h. Dieser stimmt nicht überein. Nur wenn der Abstand auf beiden Seiten übereinstimmt, sind die Geraden parallel.
Anwendung Wechselwinkel – Parallelogramm
Wechselwinkel findest Du auch in vielen geometrischen Figuren. Über die Winkelsätze lassen sich dort bestimmte Eigenschaften der Winkel beweisen, so auch beim Parallelogramm.
Ein Parallelogramm ist eine geometrische Figur, bei der die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind. Außerdem sind die diagonalen Winkel gleich groß, also und .
Abbildung 10: Parallelogramm
Nachweisen lässt sich die Größe der Winkel über den Wechselwinkelsatz und Stufenwinkelsatz. Dafür verlängerst Du die Seiten des Parallelogramms. Neben entsteht ein weiter Winkel . Dieser Winkel ist laut dem Wechselwinkelsatz gleich groß mit . Wendest Du nun den Stufenwinkelsatz auf an, erhältst Du .
Abbildung 11: Parallelogramm mit Wechselwinkel
Somit ist bewiesen, dass die diagonalen Winkel und gleich groß sind. Analog könntest Du den Beweis auch für und durchführen.
Zusammenhang zwischen Stufen- und Wechselwinkel
Der Wechselwinkelsatz und der Stufenwinkelsatz haben die Gemeinsamkeit, dass sie beide an parallelen Geraden liegen. Durch diesen Zusammenhang kannst Du den Wechselwinkelsatz mithilfe des Stufenwinkelsatzes herleiten.
Dafür nimmst Du als Grundlage den Stufenwinkel. Für diesen gilt , wenn g und h parallel sind.
Abbildung 12: Wechselwinkelsatz Herleitung
Der Wechselwinkel von ist der Scheitelwinkel von . Dementsprechend wendest Du den Scheitelwinkelsatz auf an und erhältst . Dieser ist genauso groß wie und demzufolge auch wie . Für die Schlussfolgerung bedeutet dies, dass der Wechselwinkel an parallelen Geraden gleich groß sein muss mit dem Ausgangswinkel .
Abbildung 13: Wechselwinkelsatz Herleitung
Wechselwinkel berechnen – Aufgaben zum Üben
In den folgenden Aufgaben kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.
Aufgabe 3
Berechne mithilfe der Winkelsätze.
Abbildung 14: Anwendung Winkelsätze
Lösung
Als Erstes berechnest Du über den Scheitelwinkelsatz. Du stellst die Gleichung zum Scheitelwinkelsatz auf und stellst diese an um.
Du erhältst für einen Winkel von 120°.
Danach benutzt Du den Stufenwinkelsatz, um zu erhalten. Du setzest und gleich.
Der Winkel beträgt 60°.
Zum Schluss ermittelst Du . Hierfür kannst Du den Scheitelwinkelsatz oder Wechselwinkelsatz nutzen. Der Scheitelwinkel von ist . Du kannst diese beiden gleichsetzen und erhältst . Du kannst auch mit dem Wechselwinkel von gleichsetzen. Der Wechselwinkel von ist .
Der Winkel beträgt 60°.
Aufgabe 4
Berechne den Winkel .
Abbildung 15: Anwendung Winkelsätze
Lösung
Ermittle als Erstes den Winkel , den Nebenwinkel von . Dafür kannst Du den Satz des Wechselwinkels nutzen. Du setzt die Winkel gleich.
Dann kannst Du über den Nebenwinkel berechnen. Dafür stellst Du die Nebenwinkelgleichung auf und stellst diese um nach .
Der Winkel beträgt 57°.
Wechselwinkel – Das Wichtigste
- Wenn zwei Geraden parallel sind und eine dritte Gerade die beiden Parallelen schneidet. So sind die Winkel, welche sich gegenüberliegen, aber nicht auf der gleichen Parallelen liegen, gleich groß. Dieses Winkelpaar heißt Wechselwinkel. Es gilt: .
- Die Umkehrung des Satzes gilt: Wenn Wechselwinkel gleich groß sind, sind die Geraden parallel.
- Der Wechselwinkelsatz lässt sich über den Stufenwinkelsatz und Scheitelwinkelsatz herleiten.
Nachweise
- Ernst (1977). Geometrie 1. Ehrenwirth Verlag, München.
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