Wie Du den Flächeninhalt eines Dreiecks ausrechnen kannst und welche Methoden Dir dafür zur Verfügung stehen, erfährst Du in diesem Artikel.
Der Flächeninhalt eines Dreiecks
Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe der Fläche einer geometrischen Figur. Er wird auch mit dem großen Buchstaben A ausgedrückt.
Der Flächeninhalt A eines Dreiecks wird berechnet als
\begin{align}A&= \frac{1}{2}\cdot \text{ Grundseite }\cdot \text{ Höhe}\\&=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h\end{align}
Die Höhe eines Dreiecks h steht immer senkrecht zur Grundseite. Jedes Dreieck hat drei Grundseiten und drei Höhen. Der Flächeninhalt lässt sich mit all diesen drei Paaren berechnen, denn es gilt:
\[A_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot h_a=\frac{1}{2}\cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c \]
Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck
Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem 90-Gradwinkel. Du kannst Dir das rechtwinklige Dreieck als die Hälfte eines Rechtecks vorstellen. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet sich also als \[A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\]
Flächeninhalt gleichseitiges Dreieck
Gleichseitige Dreiecke haben die Besonderheit, dass bei ihnen alle drei Seiten die gleiche Länge a aufweisen.
Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks kann berechnet werden durch die Formel:
\[A=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \sqrt{3}\]
Flächeninhalt gleichschenkliges Dreieck
Gleichschenklige Dreiecke sind Dreiecke, mit zwei gleichlangen Seiten.
Der Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks kann berechnet werden mit der Formel
\[A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot \sqrt{a^2 - (\frac{c}{2})^2}\]
Flächeninhalt von gleichschenkligen Dreiecken -Herleitung
Um die Formel für den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks herzuleiten, verwenden wir den Satz des Pythagoras. Wir teilen das gleichschenklige Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke, indem wir die Höhe h zeichnen, die die Basis c in zwei gleiche Teile teilt.
In jedem der rechtwinkligen Dreiecke ist die Höhe h der Kathete, die Basis g/2 ist die andere Kathete, und a ist die Hypotenuse. Der Satz des Pythagoras lautet:
\[a^2 = h^2 + (\frac{c}{2})^2\]
Wir lösen diese Gleichung nach der Höhe h auf:
\begin{align}h^2 &= a^2 - (\frac{c}{2})^2\\ &= \sqrt{a^2 - (\frac{c}{2})^2}\end{align}
Jetzt verwenden wir die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks:
\[A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h\]
In unserem Fall ist die Basis c und die Höhe h ist die zuvor berechnete Höhe. Daher lautet die Formel für den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks:
\[A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot \sqrt{a^2 - (\frac{c}{2})^2}\]
Dabei ist A der Flächeninhalt, c die Länge der Basis und a die Länge der Katheten des gleichschenkligen Dreiecks.
Dreieck Flächeninhalt – Das Wichtigste auf einen Blick
- Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks:\[A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h\]
- Für besondere Dreiecke gibt es abgekürzte Formeln:
- rechtwinklige Dreiecke\[A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\]
- gleichseitige Dreiecke\[A=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \sqrt{3}\]
- gleichschenklige Dreiecke\[A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot \sqrt{a^2 - (\frac{c}{2})^2}\]
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