Flächeninhalt eines Dreiecks
Das Thema Flächeninhalt eines Dreieck wirkt auf den ersten Blick leicht, ist aber im Detail manchmal tückisch!
Der Flächeninhalt eines Dreiecks gehört zum Teilgebiet Geometrie in der Mathematik, kann aber auch als Bereich der Vektorrechnung und damit der linearen Algebra angesehen werden.
In diesem Artikel erfährst du, wie du ohne Umstände und zügig den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen kannst und welche Methoden dir dafür zur Verfügung stehen.
Je nachdem, welche Informationen dir über ein Dreieck vorliegen, kannst du verschiedene Methoden nutzen, um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen. Wir stellen dir hier die drei gängigsten Methoden vor und erklären sie anhand von Beispielen.
Eigenschaften des Flächeninhalts eines Dreiecks
Bevor wir uns mit diesen Methoden auseinandersetzen, sollten wir ein paar grundlegende Begriffe klären. Die unterschiedlichen Elemente eines Dreiecks haben in der Mathematik bestimmte Namen, mit deren Hilfe sich ein Dreieck lückenlos beschreiben lässt. Dazu gibt es Eigenschaften, die alle Dreiecke gleich haben und somit für die Berechnung des Flächeninhalts sehr wichtig sind.
Ein Dreieck hat, wie der Name schon sagt, drei Ecken = Eckpunkte
Diese drei Eckpunkt sind durch sogenannte „Seiten“ miteinander verbunden
Durch die zwei Seiten, die jeden Eckpunkt berühren wird ein „Innenwinkel“ aufgespannt
Die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer 180°
Arten zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks
Die unterschiedlichen Arten, den Flächeninhalt eines Dreiecks zu bestimmen, ergeben sich durch die verschiedenen Angaben, die über das fragliche Dreieck bereits bekannt sind. Abhängig von diesen Angaben lassen sich bestimmte Rechenmethoden anwenden. Die Berechnung erfolgt durch:
Grundlinie g und Höhe h,
Zwei Seiten und eingeschlossenen Innenwinkel oder
Zwei Vektoren oder drei Punkte im Koordinatensystem
Allgemeiner Flächeninhalt eines Dreiecks
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts (A) eines Dreiecks bei gegebener Grundlinie und Höhe lautet:
Dabei ist es egal, welche Seite du als Grundlinie verwendest, solange die Höhe h senkrecht auf dieser Seite steht und in den gegenüberliegenden Innenwinkel ragt.
Wie man auf diese Formel kommt, lässt sich leicht verstehen. Denn indem wir die Höhe mit der Grundlinie multiplizieren, berechnen wir den Flächeninhalt eines Rechtecks.
Man kann dieses Viereck quasi um das Dreieck herumzeichnen, indem man an den Eckpunkten, die durch die Grundlinie verbunden werden, jeweils senkrecht die Höhe ansetzt. Nun lässt sich erkennen, dass die beiden kleineren Dreiecke im großen Dreieck jeweils durch das Viereck gespiegelt werden. Man sagt auch, das Rechteck ließe sich umklappen.
Daraus können wir den Schluss ziehen, dass das Viereck doppelt so groß ist, wie das ursprüngliche Dreieck. Für unsere Berechnung bedeutet das, dass wir den Flächeninhalt des Rechtecks lediglich durch 2 teilen müssen.
Flächeninhalt bei gleichseitigen Dreiecken
Gleichseitige Dreiecke haben die Besonderheit, dass bei ihnen alle drei Seiten dieselbe Länge a aufweisen. In diesem Fall benötigst du nicht einmal die Höhe des Dreiecks, um den Flächeninhalt zu berechnen. Du musst lediglich die Seitenlänge a in folgende Formel einsetzen:
Flächeninhalt von rechtwinkligen Dreiecken
Ein rechtwinkliges Dreieck erkennst du daran, dass es genau einen Innenwinkel mit 90° hat. In diesem Fall verhalten sich die beiden Seiten a und b, die den rechten Winkel aufspannen, wie Grundlinie und Höhe. Du kannst also folgende Formel verwenden:
A= a*b*0,5
Flächeninhalt eines Dreiecks mit zwei eingeschlossenen Innenwinkeln
Wenn du statt einer Grundlinie und dazugehöriger Höhe nur zwei Seitenlängen a und b gegeben hast, dir aber der Winkel zwischen diesen beiden Seiten bekannt ist, kannst du den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der folgenden Formel ausrechnen:
Solange sich der Winkel zwischen den beiden Seiten befindet, deren Längen dir bekannt sind, kannst du jede Kombination zweier Seiten mit Winkel dazwischen in diese Formel einsetzen!
Tipp:
Achte bei der Eingabe in den Taschenrechner darauf, ob der Innenwinkel in Grad oder Bogenmaß angegeben ist und stelle den Taschenrechner entsprechend ein. So vermeidest du unnötige Fehler!
Flächeninhalt eines Dreiecks bei zwei Vektoren oder drei Punkten im Koordinatensystem
Wenn du den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen sollst, dass durch zwei Vektoren im Koordinatensystem aufgespannt wird, kannst du das durch die Hilfe der Determinante tun.
Der Flächeninhalt zwischen Vektoren ist nämlich über die Determinante bestimmt. Grafisch ist das spätestens im vierdimensionalen nicht mehr darstellbar. Wenn es aber nur zwei Variablen x und y gibt, weil ein Dreieck eine zweidimensionale geometrische Form ist, stellt die grafische Darstellung kein Problem dar.
Drei Punkte im Koordinatensystem
Wenn dir drei Punkte A, B und C im Koordinatensystem vorliegen, musst du im ersten Schritt zwei Vektoren bestimmen, die das Dreieck aufspannen. Theoretisch kannst du dir dafür einfach zwei der drei Seiten aussuchen. Angenommen, es sollen die beiden Seiten berechnet werden, die sich in Punkt A treffen, musst du nun die Vektoren AB und AC berechnen.
Das geht einfach, indem du die Differenz zwischen den Ortsvektoren der involvierten Punkte berechnest:
AB= OB-OA=B-A= 
Dasselbe machst du auch für AC:
AC= OC-OA=C-A= 
Zwei Vektoren im Koordinatensystem
Wenn du entweder von Anfang an zwei Vektoren gegeben hattest, die ein Dreieck aufspannen, oder diese beiden Vektoren selbstständig berechnet hast, musst du im zweiten Schritt die Determinante des Parallelogramms berechnen, dass durch die beiden Vektoren AB und AC aufgespannt wird.
Merkst du was hier passiert? Wir spannen das Dreieck wieder zu einem doppelt so großen Viereck auf, berechnen dessen Flächeninhalt und teilen diesen dann durch zwei!
Aber nochmal Schritt für Schritt. Zunächst musst du deine beiden Spannvektoren in eine Matrix umschreiben:
Wenn du nun von dieser Matrix die Determinante |AB AC| berechnest, erhältst du den Flächeninhalt des Parallelogramms. Generell lautet die Formel für Determinanten von 2x2 Matrizen:
M=(a b c d)
|M|=a·d-b·c
Wenn du dafür deine Vektoren einsetzt, erhältst du:
Im letzten Schritt musst du nur noch die berechnete Determinante durch Zwei teilen, um den Flächeninhalt A des ursprünglich gesuchten Dreiecks zu erhalten.
Fertig! Du hast erfolgreich den Flächeninhalt eines Dreiecks im zweidimensionalen Koordinatensystem berechnet!
Fürs zusätzliche Verständnis rechnen wir das Ganze nochmal an einem Beispiel vor.
Rechenbeispiel zur Flächeninhaltsberechnung eines Dreiecks:
Da wir in diesem Beispiel nach dem Flächeninhalt suchen und es keine negativen Flächeninhalte gibt, musst du von dieser Zahl noch den Betrag nehmen:
|-5|=5
Als letztes teilst du die Fläche des Parallelogramms durch Zwei und erhältst den Flächeninhalt des Dreiecks:
A=0,5·5=2,5
Übrigens:
Wenn du wüsstest, dass das Dreieck rechtwinklig ist, könntest du die Formel von oben anwenden! Probieren wir das doch direkt mal aus:
Überprüfe, ob ein rechter Winkel bei einem der drei Innenwinkel vorliegt. Nutze hierzu das Skalarprodukt der den Winkel aufspannenden Seiten.
Wenn gilt: AB · AC=0, dann liegt ein 90°-Winkel vor. Das überprüfst du nun bei allen drei Innenwinkeln:
Winkel in Punkt C:
Der Winkel in Punkt C ist damit kein rechter Winkel.
Winkel in Punkt B:
Der Winkel in Punkt B ist ebenfalls kein rechter Winkel.
Winkel in Punkt A:
Super! Bei Punkt A liegt ein 90°-Winkel vor!
Jetzt kannst du die Formel: A= a*b*0,5 anwenden. Dazu musst du nur noch die Seitenlängen der Vektoren berechnen, die den rechten Winkel einschließen und diese dann in die Formel einsetzen!
Die Länge eines Vektors berechnet sich über den Satz des Pythagoras und damit über die Wurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst:
Dasselbe machst du für die Seite AB:
Durch einsetzen in die oben genannte Formel erhältst du:
Mit diesem Rechenweg sind wir wie erwartet zu demselben Ergebnis gekommen. Wenn dir also bekannt ist, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, musst du lediglich die Länge der Spannvektoren berechnen, diese miteinander multiplizieren und dann durch Zwei teilen. Fertig!
Das Wichtigste zum Flächeninhalt eines Dreiecks auf einen Blick!
Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich immer dann berechnen, wenn entweder Grundlinie und Höhe, zwei Seiten und ein Innenwinkel oder drei Punkte im Koordinatensystem bekannt sind.
In dieser Liste kannst du schnell die unterschiedlichen Rechenwege und die dazugehörigen Formeln ablesen. Nutze sie zur Bearbeitung von Hausaufgaben oder im Unterricht, um nie den Überblick zu verlieren!
Insider Tipp:
Du versuchst seit Stunden, den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, von dem du nur die Innenwinkel gegeben hast? Leg deinen Zettel lieber zur Seite, denn das ist ohne weitere Informationen nicht möglich. Stell dir einfach mal vor, du würdest gedanklich ein Dreieck vergrößern. Was passiert? Die Innenwinkel verändern sich nicht. Das bedeutet im Umkehrschluss, dass der Flächeninhalt beliebig groß sein kann und nicht allein von den Innenwinkeln abhängt!
