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Wie du den Flächeninhalt eines Dreiecks ausrechnen kannst und welche Methoden dir dafür zur Verfügung stehen, erfährst du in diesem Artikel.
Bevor wir uns mit dem Flächeninhalt eines Dreiecks auseinandersetzen, wiederholen wir erst einmal noch alle wichtigen Eigenschaften eines Dreiecks.
Ein Dreieck ist eine geometrische Figur, welche aus drei durch Strecken verbundenen Punkten A, B und C besteht, die nicht auf einer Geraden liegen.
Die Punkte A, B und C sind die Ecken des Dreiecks. Sie werden entgegen dem Uhrzeigersinn benannt.
Die Verbindungsstrecken sind die Seiten, welche mit Kleinbuchstaben (a, b, c) benannt werden. Die Seiten liegen immer gegenüber den gleichnamigen Ecken.
Dann gibt es noch die Innenwinkel. Sie werden mit griechischen Kleinbuchstaben (α, β, γ) bezeichnet und liegen in der gleichnamigen Ecke.
Ein klassisches Dreieck sieht dann ungefähr so aus:
Falls du mehr über Dreiecke erfahren willst oder dein Wissen auffrischen willst, kannst du dir unseren Artikel zum Thema Dreieck durchlesen.
Es gibt verschiedene Dreiecksarten:
Dreiecke werden, je nach Verteilung der Winkel, in unterschiedliche Arten eingeteilt.Es gibt:
Außerdem werden Dreiecke noch, je nach Beziehung der Seiten beziehungsweise Winkel, in Gruppen eingeteilt:
Es gibt natürlich auch Mischformen dieser Dreiecke, wie beispielsweise gleichschenklige-rechtwinklige Dreiecke.
Falls du mehr zum Thema Dreiecksarten erfahren willst, lies dir doch unseren Artikel zu diesem Thema durch.
Bevor wir uns anschauen, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet, müssen wir erst einmal klären, was der Flächeninhalt überhaupt ist.
Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe der Fläche einer geometrischen Figur. Er wird auch mit dem großen Buchstaben A ausgedrückt.
Diese Fläche wird im Dreieck von den drei Seiten a, b und c abgegrenzt.
Der Flächeninhalt eines Dreiecks kann auf verschiedene Art und Weisen berechnet werden. Je nachdem, was du über das gegebene Dreieck weißt, musst du dann die entsprechende Methode anwenden. Die zwei möglichen Angaben sind:
Grundlinie g und Höhe h oder
zwei Seiten und ihr eingeschlossener Innenwinkel.
Ist nur ein Teil dieser Werte gegeben, kannst du den Flächeninhalt des Dreiecks nicht berechnen.
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks bei gegebener Grundlinie und Höhe lautet:
\[A_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h\]
Dabei ist es egal, welche Seite du als Grundlinie verwendest, solange die Höhe h senkrecht auf dieser Seite steht und in den gegenüberliegenden Innenwinkel ragt. Dadurch kann die Formel auch so aufgeschrieben werden:
\[A_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot h_a=\frac{1}{2}\cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c \]
Herleitung der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks
Stell dir vor, du hast ein beliebiges Dreieck vor dir. Zur Übersicht lassen wir in diesem Fall die Beschriftungen von Eckpunkten und Seiten weg:
Als Erstes zeichnest du dir die Höhe h zur Grundlinie g in das Dreieck ein. Dadurch entstehen zwei rechtwinkliges Teildreiecke:
Diese Teildreiecke kannst du an der Seite, gegenüber dem rechten Winkel, spiegeln:
So erhältst du ein Rechteck.
Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnest du mit der Formel:
\[A_{\square} = a \cdot b\]
Hier sind a und b die Seiten des Rechtecks.
Jetzt entspricht die eine Seite des Rechtecks exakt der Höhe h und die andere Seite der Grundlinie g unseres Dreiecks. Außerdem haben wir durch die Spiegelung gesehen, dass das Dreieck genau zweimal in das Rechteck passt. So ergibt sich die Formel für den Flächeninhalt:
Schauen wir uns doch ein Beispiel mit dieser Formel an:
Gegeben ist ein Dreieck mit der Seite und der Höhe
. Du sollst den Flächeninhalt dieses Dreiecks berechnen:
Als Erstes schaust du darauf, welche Werte gegeben sind und entscheidest dich damit für eine Formel. Diese schreibst du dann auf.
In unserem Fall sind eine Seite und deren Höhe gegeben, was bedeutet, dass wir die allgemeine Formel für den Flächeninhalt benötigen und aufschreiben:
Im nächsten Schritt kannst du die gegebenen Werte in die Formel einsetzen:
Als Letztes musst du dann nur noch das Ergebnis ausrechnen:
Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von 6 cm².
Der Flächeninhalt wird in angegeben, da es eine Fläche ist. Außerdem wird cm mit cm multipliziert. Hier ist das genauso, wie bei Variablen mit Exponenten. Wenn die Variablen multipliziert werden, werden die Exponenten addiert:
Das Gleiche gilt auch für Einheiten:
Ein rechtwinkliges Dreieck erkennst du daran, dass einer der Innenwinkel 90° beträgt. In diesem Fall verhalten sich die beiden Seiten a und b, die den rechten Winkel aufspannen, wie Grundlinie und Höhe.
Du kannst also folgende Formel verwenden:
Das Ersetzen von g und h zu a und b funktioniert, da in einem rechtwinkligen Dreieck die Seite b senkrecht auf der Seite a steht, so wie die Höhe h senkrecht auf der Grundseite g steht. Schauen wir uns das doch einmal in einer Abbildung an:
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten und
. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks:
Die Formel für den allgemeinen Flächeninhalt eines Dreiecks kannst du nicht verwenden, da du keine Höhe und keine Grundseite gegeben hast. Aber dadurch, dass es ein rechtwinkliges Dreieck ist, stehen die Seiten a und b senkrecht aufeinander, genauso wie eine Grundseite und ihre Höhe. Du kannst also h und g mit a und b ersetzen. So kommst du wieder auf die Formel für rechtwinklige Dreiecke:
Als Nächstes kannst du die bekannten Werte einsetzen:
Zum Schluss musst du noch das Ergebnis ausrechnen:
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 7,5 cm².
Es gibt noch zwei weitere Sonderfälle von Dreiecken, die man auch auf spezielle Art und Weisen berechnen kann.
Die erste Art von Sonderfall ist das gleichseitige Dreieck:
Flächeninhalt bei gleichseitigen Dreiecken
Gleichseitige Dreiecke haben die Besonderheit, dass bei ihnen alle drei Seiten die gleiche Länge a aufweisen. Nun hast du zwei Möglichkeiten, deren Flächeninhalt zu berechnen:
Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks kann berechnet werden durch die Formel:
Zur Veranschaulichung siehst du in der folgenden Abbildung ein gleichseitiges Dreieck:
Schauen wir uns das doch mal an einem Beispiel an:
Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite . Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks:
Auch hier musst du dir als Erstes überlegen, welche Formel du verwenden musst, abhängig von den bekannten Werten.
In diesem Fall kannst du zum Beispiel nicht die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks verwenden, da du nur eine Seite und keine Höhe gegeben hast. Da es ein gleichseitiges Dreieck ist, sind alle Seiten gleich lang und du kannst die Formel für den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks verwenden:
Jetzt kannst du auch wieder die Werte einsetzen:
Als Letztes musst du das Ergebnis wieder ausrechnen:
Der Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks beträgt ungefähr .
Die zweite Art von Sonderfall ist das gleichschenklige Dreieck. Auch dafür gibt es eine eigene Formel:
Flächeninhalt von gleichschenkligen Dreiecken
Auch das gleichschenklige Dreieck, bei welchem zwei Seiten die gleiche Länge haben, ist ein Sonderfall bei der Berechnung des Flächeninhalts.
Für die Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck gilt:
Der Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks kann berechnet werden durch die Formel:
Diese Formel für die Höhe gilt ausschließlich für gleichschenklige Dreiecke!
Wenn man diese Formel jetzt in unsere allgemeine Flächeninhaltsformel eines Dreiecks einsetzt, sieht das so aus:
Schauen wir uns auch hierzu ein Beispiel an:
Gegeben ist ein gleichschenklige Dreieck mit den Seiten und
. Du sollst den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen:
Als Erstes musst du wieder überlegen, welche Formel in diesem Fall passt.
In diesem Fall hast du wieder keine Grundseite und keine Höhe gegeben, wodurch die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks wegfällt. Jedoch ist das Dreieck gleichschenklig, wodurch die Formel für den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks verwenden werden kann:
Jetzt kannst du die Werte einsetzen:
Zum Schluss muss noch das Ergebnis berechnet werden:
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt ungefähr 0,97 cm².
Wenn du schon die Sinusfunktion kennst, dann hast du noch eine andere Möglichkeit, den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen.
Falls du statt einer Grundlinie und dazugehöriger Höhe nur zwei Seitenlängen a und b gegeben hast, dir aber der Winkel zwischen diesen beiden Seiten bekannt ist, kannst du den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der folgenden Formel ausrechnen:
Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich berechnen durch die Formel
In der Abbildung siehst du eine Möglichkeit eines gegebenen Dreiecks. Die orange markierten Seiten und Winkel sind dabei die gegebenen Werte:
Solange sich der Winkel zwischen den beiden Seiten befindet, deren Längen dir bekannt sind, kannst du jede Kombination zweier Seiten mit Winkel dazwischen in diese Formel einsetzen!
Tipp: Achte bei der Eingabe in den Taschenrechner darauf, ob der Innenwinkel in Grad oder Bogenmaß angegeben ist und stelle den Taschenrechner entsprechend ein. So vermeidest du unnötige Fehler!
Schauen wir uns das doch an einem Beispiel an:
Gegeben ist ein Dreieck mit den Seiten ,
und deren Innenwinkel
. Du sollst den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen:
Wie bei den anderen Aufgaben auch, musst du dir als Erstes anhand der bekannten Werte überlegen, welche Formel du verwenden kannst.
Hier kannst du nicht die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks verwenden, da du zwar zwei Seiten, aber keine Höhe gegeben hast. Da es auch kein spezielles Dreieck ist, fallen diese Möglichkeiten sowieso weg. Die Formel für zwei Seiten und deren eingeschlossenen Winkel kannst du benutzen, da wir dafür alle benötigten Werte gegeben haben:
Als Nächstes kannst du die bekannten Werte einsetzen:
Zum Schluss musst du den Wert nur noch ausrechnen:
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt ungefähr 2,82 cm².
Du versuchst, den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, von dem du nur die Innenwinkel gegeben hast? Ohne weitere Informationen ist dies nicht möglich. Stell dir vor, du würdest gedanklich ein Dreieck vergrößern. Was passiert? Die Innenwinkel verändern sich nicht. Das bedeutet im Umkehrschluss, dass der Flächeninhalt beliebig groß sein kann und nicht allein von den Innenwinkeln abhängt!
Jetzt folgt noch eine Übungsaufgabe, in der du dein Wissen testen kannst:
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wenn gegeben sind.
Sinnvoll ist es, wenn du dir die Koordinaten in ein Koordinatensystem zeichnest und sie zu einem Dreieck verbindest:
Jetzt siehst du, dass die Seite c parallel zur x-Achse liegt. Das könnte man doch gut als Grundseite verwenden. Deshalb zeichnen wir als Nächstes die passende Höhe h ein:
Doch wie können wir den Flächeninhalt berechnen, wenn wir überhaupt keine Seite oder Höhe oder ähnliches gegeben haben? Dadurch, dass die Seite c parallel zur x-Achse liegt, können wir dessen Länge durch die Differenz der x-Werte der Punkte A und B berechnen:
Ähnlich kommen wir auf die Höhe. Die Strecke h liegt parallel zur y-Achse, was bedeutet, dass wir die Länge von h berechnen können, indem wir die Differenz der y-Werte von C und A oder B (das ist in diesem Fall egal, da A und B die gleichen y-Werte haben) berechnen:
An diesem Punkt kannst du so weiter rechnen, wie in dem Beispiel oben.
Du hast jetzt die Werte von c und der Höhe auf c, wodurch du den Flächeninhalt mit der allgemeinen Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen kannst:
In diese Formel setzt du jetzt die bekannten Werte von c und h ein:
Als Letztes kannst du jetzt das Ergebnis ausrechnen:
Der Flächeninhalt des Dreiecks ΔABC beträgt 7,5 cm².
Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, kannst du je nachdem, welche Werte du gegeben hast, die allgemeine Formel für den Flächeninhalt (A = 1/2 * g * h) oder die Formel für zwei gegeben Seiten und deren Innenwinkel (A = (a * b * sin(alpha)) / 2) verwenden.
Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks kann mit der Formel:
A = 1/4 * a^2 * Wurzel von 3
berechnet werden.
Den Flächeninhalt von einem rechtwinkligen Dreieck kannst du mit der Formel:
A = 1/2 * a * b
berechnen, da hier h der Höhe und g der Grundseite entspricht.
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