Was ist der Flächeninhalt eines Dreiecks?
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist der von den drei Seiten eingeschlossene Bereich. Man berechnet ihn mit der Grundformel A = ½ · g · h, also der Hälfte des Produkts aus einer Grundseite g und der zu ihr gehörenden Höhe h. Das Ergebnis ist immer eine Flächeneinheit wie cm² oder m².
Warum die Hälfte? Legt man zwei gleiche Dreiecke aneinander, entsteht ein Parallelogramm mit der Fläche g · h. Ein einzelnes Dreieck ist genau die Hälfte davon, deshalb steht der Faktor ½ vor dem Produkt. Diese Idee steckt hinter allen anderen Formeln, die du weiter unten kennenlernst.
Der große Vorteil der Grundformel: Sie gilt für jedes Dreieck, egal ob spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig. Du brauchst nur eine Seite als Grundseite und die passende Höhe. Über 40 Millionen Lernende nutzen StudySmarter, um solche Grundlagen der Geometrie sicher für Klassenarbeit und Abitur zu üben.
Dreiecksfläche lernen?
Grundseite und Höhe richtig bestimmen
Jede der drei Seiten eines Dreiecks kann als Grundseite dienen. Die zugehörige Höhe ist immer die senkrechte Strecke von dieser Grundseite bis zum gegenüberliegenden Eckpunkt. Wichtig ist nur, dass Grundseite und Höhe zusammenpassen: zu jeder Grundseite gehört genau eine Höhe, die im rechten Winkel auf ihr steht.
Beim Ablesen aus einer Skizze ist die Höhe die kürzeste Verbindung von der Ecke zur Grundseite, gemessen im rechten Winkel. Verwechsle sie nicht mit einer schräg verlaufenden Seite. Bei einem gleichschenkligen Dreieck zum Beispiel ist die Höhe zur Basis kürzer als die beiden gleich langen Schenkel.
Ist eine Höhe nicht gegeben, aber die Grundseite und ein weiterer Wert bekannt, hilft oft der Satz des Pythagoras, um die Höhe zuerst auszurechnen. Danach setzt du in die Grundformel ein.
Bei einem stumpfwinkligen Dreieck trifft die Höhe die Grundseite nicht direkt, sondern deren gedachte Verlängerung. Die Fläche berechnet sich trotzdem mit A = ½ · g · h. Man verlängert die Grundseite gedanklich, um den Fußpunkt der Höhe zu finden.
Flächeninhalt-Rechner für das Dreieck
Mit dem Flächeninhalt-Rechner bestimmst du die Dreiecksfläche sofort. Im ersten Modus gibst du Grundseite g und Höhe h ein und erhältst A = ½ · g · h. Im zweiten Modus gibst du die drei Seiten a, b und c ein, dann rechnet der Rechner mit dem Satz des Heron. Beide Modi zeigen dir den kompletten Rechenweg.
Fläche im rechtwinkligen Dreieck berechnen
Im rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten a und b zugleich Grundseite und Höhe, denn sie stehen senkrecht aufeinander. Deshalb vereinfacht sich die Formel zu A = ½ · a · b. Du musst keine gesonderte Höhe suchen, sondern setzt einfach die beiden kurzen Seiten ein.
Ein Beispiel: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 3 cm und b = 4 cm. Dann ist die Fläche A = ½ · 3 · 4 = 6 cm². Die längste Seite, die Hypotenuse c, spielt für die Fläche keine Rolle, sie wird nur beim Satz des Pythagoras gebraucht.
Satz des Heron: Fläche aus drei Seiten
Der Satz des Heron berechnet die Fläche allein aus den drei Seitenlängen a, b und c, ganz ohne Höhe. Zuerst bildet man den halben Umfang s = (a + b + c) / 2. Dann gilt A = √(s · (s − a) · (s − b) · (s − c)). Das ist ideal, wenn nur die Seiten bekannt sind.
Die Größe s heißt halber Umfang oder Semiperimeter, weil sie der halbe Umfang des Dreiecks ist. Der Satz ist nach Heron von Alexandria benannt, der ihn im 1. Jahrhundert in seinem Werk Metrika beschrieb.
Gegeben ist ein Dreieck mit a = 4, b = 13, c = 15. Zuerst der halbe Umfang: s = (4 + 13 + 15) / 2 = 16. Dann A = √(16 · (16 − 4) · (16 − 13) · (16 − 15)) = √(16 · 12 · 3 · 1) = √576 = 24. Die Fläche beträgt also 24 Flächeneinheiten.
Fläche mit dem Sinus berechnen
Sind zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel bekannt, berechnet man die Fläche mit der Sinusformel A = ½ · a · b · sin(γ). Dabei ist γ der Winkel zwischen den Seiten a und b. Diese Formel ersetzt die Höhe durch den Sinus des Winkels und ist praktisch in der Trigonometrie.
Der Grund: Die Höhe auf die Seite a lässt sich als h = b · sin(γ) schreiben. Setzt man das in A = ½ · a · h ein, entsteht sofort A = ½ · a · b · sin(γ). Ein Beispiel: Mit a = 5 cm, b = 8 cm und γ = 30° ergibt sich A = ½ · 5 · 8 · sin(30°) = ½ · 40 · 0,5 = 10 cm².
Welche Formel passt zu welchen Angaben?
Welche Formel für die Dreiecksfläche du nimmst, hängt allein davon ab, was gegeben ist. Bei Grundseite und Höhe nutzt du A = ½ · g · h, bei drei Seiten den Satz des Heron und bei zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel die Sinusformel. Die Tabelle fasst zusammen, welche Angabe zu welcher Formel führt.
So findest du in der Klassenarbeit schnell den richtigen Weg: erst schauen, was gegeben ist, dann die passende Formel wählen.
| Gegeben | Formel | Wann sinnvoll |
|---|---|---|
| Grundseite g und Höhe h | A = ½ · g · h | Standardfall, immer möglich |
| zwei Katheten (rechtwinklig) | A = ½ · a · b | rechtwinkliges Dreieck |
| drei Seiten a, b, c | Satz des Heron | keine Höhe bekannt |
| zwei Seiten und Winkel | A = ½ · a · b · sin(γ) | Trigonometrie |
| gleichseitig, Seite a | A = a² · √3 / 4 | alle Seiten gleich lang |
Welche Fehler passieren beim Flächeninhalt am häufigsten?
Die häufigsten Fehler beim Flächeninhalt eines Dreiecks sind das vergessene Halbieren, das Verwechseln von Höhe und Schenkel und falsche Einheiten. Wer daran denkt, dass die Höhe senkrecht steht, den Faktor ½ nicht vergisst und die Fläche in Quadrateinheiten angibt, vermeidet fast alle typischen Punktabzüge.
Diese drei Stolperfallen tauchen in Arbeiten immer wieder auf. Wenn du sie kennst, rechnest du sicherer.
Viele rechnen nur g · h und vergessen den Faktor ½. Das ergibt die Fläche des Parallelogramms, also den doppelten Wert. Denke immer daran: das Dreieck ist die Hälfte davon.
Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite. Eine schräg verlaufende Seite ist keine Höhe. Nimmt man den Schenkel statt der echten Höhe, kommt eine zu große Fläche heraus.
Ein Flächeninhalt hat immer eine Quadrateinheit wie cm² oder m². Wer das Ergebnis in cm statt cm² angibt, verliert Punkte, obwohl die Zahl stimmt.
Übungsaufgaben zum Flächeninhalt des Dreiecks
Fünf Übungsaufgaben zum Flächeninhalt decken die Grundformel, das rechtwinklige Dreieck, das Umstellen nach der Höhe, den Satz des Heron und die Sinusformel ab. Rechne jede Aufgabe zuerst selbst, klappe dann die Lösung auf und vergleiche deinen Rechenweg Schritt für Schritt mit der Musterlösung.
A = ½ · g · h = ½ · 8 · 5 = 20. Die Fläche beträgt 20 cm².
A = ½ · a · b = ½ · 3 · 4 = 6. Die Fläche beträgt 6 cm².
Aus A = ½ · g · h folgt h = 2 · A / g = 2 · 30 / 10 = 6. Die Höhe beträgt 6 cm.
s = (4 + 13 + 15) / 2 = 16. A = √(16 · 12 · 3 · 1) = √576 = 24. Die Fläche beträgt 24 Flächeneinheiten.
A = ½ · a · b · sin(γ) = ½ · 5 · 8 · sin(30°) = ½ · 40 · 0,5 = 10. Die Fläche beträgt 10 cm².
Karteikarten zum Flächeninhalt des Dreiecks
Sechs Karteikarten zu den wichtigsten Punkten rund um die Dreiecksfläche, von der Grundformel über Höhe und rechtwinkliges Dreieck bis zu Heron und Sinus. Klicke auf eine Karte, um die Antwort zu sehen, und navigiere mit den Pfeilen durch das ganze Set.
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Flächeninhalt Dreieck, das Wichtigste
Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du mit A = ½ · g · h aus Grundseite und Höhe. Im rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten Grundseite und Höhe. Sind nur die drei Seiten bekannt, hilft der Satz des Heron, bei zwei Seiten mit Winkel die Sinusformel A = ½ · a · b · sin(γ).
- Grundformel: A = ½ · g · h, gilt für jedes Dreieck.
- Höhe: steht senkrecht auf der zugehörigen Grundseite.
- Rechtwinklig: A = ½ · a · b mit den beiden Katheten.
- Drei Seiten: Satz des Heron mit s = (a + b + c) / 2.
- Zwei Seiten und Winkel: A = ½ · a · b · sin(γ).
- Ergebnis immer in einer Flächeneinheit wie cm² angeben.
Häufige Fragen zum Flächeninhalt eines Dreiecks
Mit der Grundformel A = ½ · g · h. Man nimmt eine Seite als Grundseite g, misst die dazu senkrechte Höhe h und rechnet Grundseite mal Höhe, geteilt durch zwei. Das Ergebnis ist eine Flächeneinheit, zum Beispiel cm².
Jede der drei Seiten kann Grundseite sein. Die zugehörige Höhe ist die senkrechte Strecke von dieser Grundseite bis zum gegenüberliegenden Eckpunkt. Zu jeder Grundseite gehört genau eine passende Höhe, die im rechten Winkel auf ihr steht.
Im rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten a und b zugleich Grundseite und Höhe, denn sie stehen senkrecht aufeinander. Deshalb gilt A = ½ · a · b. Man braucht keine gesonderte Höhe zu bestimmen.
Der Satz des Heron berechnet die Fläche aus den drei Seiten a, b, c. Zuerst bildet man den halben Umfang s = (a + b + c) / 2. Dann gilt A = √(s · (s − a) · (s − b) · (s − c)). Eine Höhe braucht man dafür nicht.
Wenn zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel bekannt sind, gilt A = ½ · a · b · sin(γ). Dabei ist γ der Winkel zwischen den Seiten a und b. Diese Formel ist praktisch, wenn keine Höhe gegeben ist.
Bei Grundseite und Höhe nimmst du A = ½ · g · h. Sind nur die drei Seiten bekannt, nutzt du den Satz des Heron. Bei zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel verwendest du die Sinusformel A = ½ · a · b · sin(γ).
Quellen
Die fachlichen Inhalte orientieren sich an etablierter Fachliteratur und frei verfügbaren Lehrmaterialien:
- Dreieck (Abschnitt Flächeninhalt: Grundformel, Sinusformel, Heron). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Satz des Heron (Formel, Herleitung und Beispiel). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Walter Fendt: Die heronische Formel für die Dreiecksfläche (Beweis, PDF). walter-fendt.de (PDF)
- Formelsammlung Mathematik: Geometrie (Flächenformeln für Dreieckstypen, offenes Lehrbuch). Wikibooks. de.wikibooks.org