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Analytische Geometrie

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Analytische Geometrie

Die Analytische Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. Hier werden vor allem algebraische Hilfsmittel (Algebra) für die Lösung von geometrischen Problemstellungen verwendet.

Was lernst du in diesem Kapitel?

Du kannst hier alles zu folgenden Themen lernen:

  • Vektorrechnung in der Ebene und Parallelverschiebung
  • Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem
  • Darstellung von Geraden und Ebenen
  • Kugeln im dreidimensionalen Koordinatensystem
  • Gegenseitige Lage von Punkten, Geraden und Ebenen
  • Winkelberechnungen
  • Abstandsbestimmungen

Schau doch mal in die in die einzelnen Artikel rein! Viel Spaß beim Lernen :)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Analytische Geometrie

Folgende Inhalte gehören zur Analytischen Geometrie:

  • Vektorrechnung in der Ebene und Parallelverschiebung 
  • Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem 
  • Darstellung von Geraden und Ebenen 
  • Kugeln im dreidimensionalen Koordinatensystem  
  • Gegenseitige Lage von Punkten, Geraden und Ebenen 
  • Winkelberechnungen 
  • Abstandsbestimmungen

Finales Analytische Geometrie Quiz

Frage

Was versteht man unter einem Vektor?

Antwort anzeigen

Antwort

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleich lan-
gen, gleich gerichteten und parallelen Pfeile (= parallelglei-
chen Pfeile).

Frage anzeigen

Frage

Was für ein Verfahren beschreibt die Punktprobe?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Punktprobe ist ein Verfahren, um zu überprüfen, ob ein Punkt ein Element einer Geraden oder einer Ebene ist. Dabei wird der Ortsvektor zum gegebenen Punkt für den variablen Ortsvektor der Geraden oder Ebene eingesetzt und die entstehende Gleichung auf Lösbarkeit überprüft.

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.    u(1, 3, 2)    v(-2, 4 ,-2)

b.   u(2, -3, 1)   v(3, 3, 3)


Antwort anzeigen

Antwort

a. 6

b. 0

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(3, 0, -2)   v(1, 7, -2)

b.   u(1, 0, 1)    v(-2, 7, 10)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 7

b. 8

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.    u(1, 7, 27)    v(1, 10, -3)

b.   u(-2, -3, -4)   v(4, -3, 2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -10

b. -7

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(9, 3, -1)   v(-4, 12, 3)

b.   u(8, 4, -2)   v(4, 8, 16)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -3

b. 32

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(1, 3, 0)    v(2, 4, 7)

b.   u(2, -2, 3)   v(-1, 2, 2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 14

b. 0

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(1, 2, -3)    v(-1, 2, 1)

b.   u(2, -2, -2)   v(3, 2, -1)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 0

b. 4

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(2, 4, 0)    v(0, 2, 0)

b.   u(4, 2, -1)   v(1, 4, 2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 8

b. 10

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(1, 2, 0)    v(2, -2, 2)

b.   u(2, 1, 2)    v(1, -2, 1)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -2

b. 2

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(4, 3, 7)    v(8, -7, 2)

b.   u(1, -3, 1)   v(5, -7, -5)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 25

b. 21

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(2, -8, 12)   v(4, 6, -3)

b.   u(3, 7, -11)   v(6, 6, 6)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -76

b. -6

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(4, 7, -2)    v(-13, 14, -9)

b.   u(8, 11, -2)  v(-4, -13, -3)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 64

b. -169

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(3, 4, -7)    v(3, -12, 7)

b.   u(6, 8, 1)     v(12, -4, 11)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -88

b. 51

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Pfeil?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine gerichtete Strecke mit Anfangspunkt A(xA | yA) und Endpunkt B(xB | yB) wird als Pfeil AB bezeichnet

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Fußpunkt und die Spitze eines Pfeils?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Punkt A heißt dann auch Fußpunkt und der Punkt B Spitze des Pfeils AB

Frage anzeigen

Frage

Welche Pfeile sind Repräsentanten desselben Vektors?

Antwort anzeigen

Antwort

Alle Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind, sind Repräsentanten desselben Vektors. Häufig wird vereinfachend auch der Pfeil AB als Vektor bezeichnet

Frage anzeigen

Frage

Was passiert bei der Vektoraddition?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Vektoraddition v + w der Vektoren v und w werden die Pfeile von w mit dem Fußpunkt an die Spitze der Pfeile von v werden die zu einer Pfeilkette aneinandergekoppelt


Das Ergebnis dieser Spitze- Fuß-Kopplung ist ein Pfeil vom Fuß von v zur Spitze von w

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe die Parallelverschiebung

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einer Parallelverschiebung P →  P' wird der Punkt P durch den Vektor auf den Bildpunkt P' abgebildet.

Frage anzeigen

Frage

Wie werden die Bildpunktkoordinaten bei der Parallelverschiebung berechnet? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Berechnung der Bildpunktkoordinaten kann über die Vektoraddition oder den Vektorvergleich, also durch Gleichsetzen von Vektoren, erfolgen

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Bildpunktkoordinaten bei der Parallelverschiebung mit der Vektoraddition?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Addition von Ortspfeil OP und v 
  • Am Ergebnispfeil OP' die Koordinaten von P' ablesen 
Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Bildpunktkoordinaten bei der Parallelverschiebung anhand des Vektorvergleichs?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Gleichsetzen von PP' und v unter Verwendung von P'(xIy)
  • x- und y-Koordinaten zeilenweise vergleichen und nach x und y auflösen 
  • Koordinaten von P' angeben 
Frage anzeigen

Frage

Wie kann man den Mittelpunkt einer Strecke mit Gleichsetzen berechnen? 

Antwort anzeigen

Antwort

  • Gleichsetzen von AM und MB mit M(xIy)
  • x- und y-Koordinaten zeilenweise vergleichen und nach x und y auflösen 
  • Koordinaten von M angeben 
Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Ortsvektor?

Antwort anzeigen

Antwort

Einen Vektor, der den Ursprung mit einem Punkt A verbindet, nennt man Ortsvektor

Frage anzeigen

Frage

Als was kann ein Vektor dargestellt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Vektor kann anschaulich als Pfeil dargestellt werden

Frage anzeigen

Frage

Durch was ist ein Vektor bestimmt?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Vektor a ist durch seine Länge und seine Richtung festgelegt

Frage anzeigen

Frage

Wie nennt man einen Pfeil der die Verschiebung von A nach B angibt?

Antwort anzeigen

Antwort

Den Pfeil nennt man auch Verbindungsvektor

Frage anzeigen

Frage

Wie lassen sich die Koordinaten des Mittelpunktes einer Strecke und des Schwerpunktes eines Dreiecks ermitteln?

Antwort anzeigen

Antwort

Mithilfe der Vektorrechnung

Frage anzeigen

Frage

Was sind Vektoren voneinander linear abhängig?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Vektoren a1,... ,an sind voneinander linear abhängig, wenn sich mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen schreiben lässt

Frage anzeigen

Frage

Womit kann die Länge eines Vektors berechnet werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Mithilfe des Skalarprodukts

Frage anzeigen

Frage

Welche Form hat das Kreuzprodukt?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Kreuzprodukt ist ein Vektor

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Ortsvektor?

Antwort anzeigen

Antwort

Einen Vektor, der den Ursprung mit einem Punkt A verbindet, nennt man Ortsvektor

Frage anzeigen

Frage

Als was kann ein Vektor dargestellt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Vektor kann anschaulich als Pfeil dargestellt werden

Frage anzeigen

Frage

Durch was ist ein Vektor bestimmt?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Vektor a ist durch seine Länge und seine Richtung festgelegt

Frage anzeigen

Frage

Wie nennt man einen Pfeil der die Verschiebung von A nach B angibt?

Antwort anzeigen

Antwort

Den Pfeil nennt man auch Verbindungsvektor

Frage anzeigen

Frage

Wie lassen sich die Koordinaten des Mittelpunktes einer Strecke und des Schwerpunktes eines Dreiecks ermitteln?

Antwort anzeigen

Antwort

Mithilfe der Vektorrechnung

Frage anzeigen

Frage

Was sind Vektoren voneinander linear abhängig?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Vektoren a1,... ,an sind voneinander linear abhängig, wenn sich mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen schreiben lässt

Frage anzeigen

Frage

Womit kann die Länge eines Vektors berechnet werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Mithilfe des Skalarprodukts

Frage anzeigen

Frage

Welche Form hat das Kreuzprodukt?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Kreuzprodukt ist ein Vektor

Frage anzeigen

Frage

Wie werden Punkte im Raum dargestellt? 

Antwort anzeigen

Antwort

Punkte im Raum werden in ein räumliches Koordinatensystem eingezeichnet.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Ortsvektor?

Antwort anzeigen

Antwort

Einen Vektor, der den Ursprung mit einem Punkt A verbindet, nennt man Ortsvektor

Frage anzeigen

Frage

Als was kann ein Vektor dargestellt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Vektor kann anschaulich als Pfeil dargestellt werden

Frage anzeigen

Frage

Durch was ist ein Vektor bestimmt?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Vektor a ist durch seine Länge und seine Richtung festgelegt

Frage anzeigen

Frage

Wie nennt man einen Pfeil der die Verschiebung von A nach B angibt?

Antwort anzeigen

Antwort

Den Pfeil nennt man auch Verbindungsvektor

Frage anzeigen

Frage

Wie lassen sich die Koordinaten des Mittelpunktes einer Strecke und des Schwerpunktes eines Dreiecks ermitteln?

Antwort anzeigen

Antwort

Mithilfe der Vektorrechnung

Frage anzeigen

Frage

Was sind Vektoren voneinander linear abhängig?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Vektoren a1,... ,an sind voneinander linear abhängig, wenn sich mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen schreiben lässt

Frage anzeigen

Frage

Womit kann die Länge eines Vektors berechnet werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Mithilfe des Skalarprodukts

Frage anzeigen

Frage

Welche Form hat das Kreuzprodukt?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Kreuzprodukt ist ein Vektor

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Ortsvektor?

Antwort anzeigen

Antwort

Einen Vektor, der den Ursprung mit einem Punkt A verbindet, nennt man Ortsvektor

Frage anzeigen

Frage

Als was kann ein Vektor dargestellt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Vektor kann anschaulich als Pfeil dargestellt werden

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