In dieser Erklärung geht es um die analytische Geometrie, welche ein wichtiger Teilbestand der Geometrie in der Mathematik ist. In dieser Zusammenfassung lernst Du die Grundlagen zur analytischen Geometrie, sowie zu Vektoren, Lagebeziehungen und Du erhältst eine Übersicht zu geometrischen Figuren.
Analytische Geometrie – Grundlagen
Die analytische Geometrie ist ein wichtiger Teilbereich der Geometrie.
Die analytische Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie, die sich algebraische Hilfsmittel nimmt, um geometrische Probleme zu lösen.
Nun erfährst Du mehr über die analytische Geometrie.
Analytische Geometrie – Zusammenfassung
Die analytische Geometrie wird oft auch Vektorgeometrie genannt, weil sie sich mit Vektoren im zwei- und dreidimensionalen Koordinatensystem befasst. Sie befasst sich aber auch mit der Darstellung von Geraden \(g:\vec{x}\) und Ebenen \(E:\vec{x}\) und ihrer Lagebeziehung untereinander.
Analytische Geometrie – Übersicht Geometrische Figuren
In der analytischen Geometrie gibt es verschiedene Figuren, welche mithilfe von Vektoren und skalaren Größen aufgestellt werden können. Hier hast Du alle Figuren auf einen Blick.
| Geometrische Figur | Bestandteile |
| Vektor | Besteht aus Anfangspunkt \(A\) und Endpunkt \(B\). |
| Gerade | Besteht aus Stützvektor \(\vec{p}\) und Richtungsvektor \(\vec{a}\). |
| Ebene | Besteht aus Stützvektor \(\vec{p}\) und zwei Spannvektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\). |
Die verschiedenen Figuren werden in dieser Erklärung erläutert.
Analytische Geometrie – Vektoren
Ein Vektor ist ein essenzielles Element in der analytischen Geometrie.
Vektoren sind Strecken, in der Ebene oder im Raum, welche auf eine bestimmte Länge begrenzt sind und am Ende eine Richtung angeben. Üblicherweise werden Vektoren grafisch als Pfeil dargestellt.
Aber wie sieht ein solcher Vektor aus?
Ein Vektor \(\vec{a}\) kann zum Beispiel so aussehen:
Abbildung 1: Vektor
Vektorrechnung in der Ebene
Ein Vektor in der Ebene, also im zweidimensionalen Koordinatensystem, besteht aus zwei skalaren Größen, weil das Koordinatensystem nur zwei Achsen hat, nach denen der Vektor gehen kann.
\[\vec{a}=\left(\begin{array}{a} a_1 \\ a_2 \end{array}\right)\]
Nun siehst Du den Vektor \(\vec{a}\) im zweidimensionalen Koordinatensystem.
\[\vec{a}=\left(\begin{array}{a} 4 \\ -2 \end{array}\right)\]
Er führt aus dem Ursprung \(O(0|0)\) zu dem Endpunkt \(A(4|-2)\).
Abbildung 2: Vektor
Schau Dir die Erklärung zum Thema „Vektoren in der Ebene“ an, wenn Du mehr dazu erfahren möchtest.
Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem
Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem sind ebenfalls Strecken, welche auf eine Länge begrenzt sind und am Ende einen Pfeil haben.
Ein Vektor \(\vec{a}\) im dreidimensionalen Koordinatensystem hat drei skalare Größen, weil dieser sich in drei Richtungen verbreiten kann.
\[\vec{a}=\left(\begin{array}{a} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right)\]
Hier siehst Du den Vektor \(\vec{a}\) im dreidimensionalen Koordinatensystem.
\[\vec{a}=\left(\begin{array}{a} 2 \\ 5 \\ -3 \end{array}\right)\]
Dieser Vektor führt Dich vom Ursprung \(O(0|0|0)\) aus zu dem Punkt \(A(2|5|-3)\).
Abbildung 3: Vektor
Schau Dir die Erklärung „Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem“ an, um mehr zu diesem Thema zu erfahren.
Neben Vektoren im Raum, können auch geometrische Körper, wie eine Kugel im Raum sein. Wenn Du etwas zu diesem Thema erfahren möchtest, dann klicke die Erklärung „Kugel im dreidimensionalen Koordinatensystem“ an.
Analytische Geometrie – Darstellung von Geraden
In der analytischen Geometrie gibt es Geraden \(g:\vec{x}\), welche im zweidimensionalen und dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt werden können.
Eine Gerade \(g:\vec{x}\) ist in der analytischen Geometrie eine Gerade im Koordinatensystem, welche vorgegeben ist durch einen Richtungsvektor \(\vec{b}\), welcher sich auf einem Stützvektor \(\vec{a}\) stützt.
Im zweidimensionalen Koordinatensystem haben die Vektoren \(\vec{a\) und \(\vec{b}\) nur zwei skalare Größen.
Geradengleichung der Gerade \(g:\vec{x}\) in Parameterform:
\[g:\vec{x}= \vec{a} + r\cdot \vec{b}\]
Hier siehst Du die Gerade \(g:\vec{x} im zweidimensionalen Koordinatensystem.
\[ g:\vec{x}=\left(\begin{array}{a} 1 \\ 1 \end{array} \right) +r\cdot \left( \begin{array} {c} 2\\3 \end{array} \right)\]
Abbildung 4: Gerade g
Analytische Geometrie – Darstellung von Ebenen
Eine Ebene \(E:\vec{x}\) ist eine geometrische Figur im Raum.
Eine Ebene 
im Raum ist ein flaches zweidimensionales Objekt, welches keine Begrenzung hat und in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.
Eine Ebene wird durch eine Ebenengleichung dargestellt. Das kann die Parameterform, die Normalenform oder die Koordinatenform sein.
| Ebenenform | Ebenengleichung |
| Parameterform | \(E:\vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{b}+s\cdot\vec{c}\) |
| Normalenform | \(E: \vec{n} \circ [\vec{x}-\vec{a}] \) |
| Koordinatenform | \(E: ax_1+bx_2+cx_3=d\) |
Die Vektoren einer Ebenengleichung \(E:\vec{x}\) haben immer drei skalare Größen.
Ebenengleichung \(E:\vec{x}\)in Koordinatenform:
\[E: x_1+3x_2-2x_3=3\]
Abbildung 5: Ebene
Wenn Du mehr zum Thema Geraden und Ebene erfahren möchtest, dann schau Dir die Erklärung „Darstellung von Geraden und Ebenen“ an.
Berechnungen in der analytischen Geometrie
In der analytischen Geometrie kannst Du auch rechnen. Es können unter anderem folgende Berechnungen durchgeführt werden:
- Multiplikation, Addition, Subtraktion und Division von Vektoren
- Lagebeziehungen zwischen verschiedenen Figuren
- Abstände zwischen verschiedenen Figuren
- Winkel zwischen Vektoren und anderen geometrischen Figuren.
Wie diese Berechnungen funktionieren, wird Dir in den nächsten Abschnitten erklärt.
Lagebeziehung analytische Geometrie
In einem Koordinatensystem haben zwei Geraden immer eine bestimmte Lagebeziehung zueinander.
Zwei Geraden \(g:\vec{x}\) und \(h:\vec{x}\) können:
- sich schneiden
- parallel sein
- windschief sein
- Identisch sein
In dieser Abbildung siehst Du zwei parallele Geraden \({\color{#1478c8}g:\vec{x}}\) und \({\color{#00dcb4}h:\vec{x}}\).
Abbildung 6: Zwei parallele Geraden
Mehr zu diesem Thema findest Du in der Erklärung „Lagebeziehung“.
Abstandsberechnung analytische Geometrie
Wenn Du einen Abstand zu verschiedenen geometrischen Figuren berechnen möchtest, gibt es viele verschiedene Wege und viele verschiedene Möglichkeiten. In diesem Abschnitt wird sich die Frage gestellt, wie der Abstand zwischen zwei Punkten \(A\) und \(B\) berechnet wird.
Um einen Abstand zwischen zwei Punkten \(A\) und \(B\) zu berechnen, musst Du zwei Schritte befolgen:
- Zuerst erstellst Du einen Vektor \(\overrightarrow{AB}\), in dem Du den Punkt \(A\) vom Punkt \(B\) abziehst.
- Danach berechnest Du die Vektorlänge, in dem Du die skalaren Größen zum Quadrat nimmst, diese addierst und davon die Wurzel ziehst.
Abstandsberechnung zwischen dem Punkt \(A(1|5|2)\) und \(B(3|-1|2)\).
1. Erstellen des Vektors \(\overrightarrow{AB}\) in dem der Vektor \(\vec{a}\) vom Vektor \(\vec{b}\) subtrahierst.
\[\overrightarrow{AB}= \vec{b}-\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3\\-1\\2 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 1\\5\\2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2\\ -6 \\ 0 \end{array} \right)\]
2. Danach berechnest Du die Vektorlänge, in dem Du den Vektor \(\overrightarrow{AB}\) in einen Betrag setzt.
\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2+(-6)^2+0^2}= \sqrt{4+36}=\sqrt{40}=6{,}32\]
Der Abstand zwischen den beiden Punkten \(A\) und \(B\) liegt bei \(6{,}32 \, LE\).
Du kannst jedoch nicht nur den Abstand zwischen zwei Punkten, sondernalle Abstände zwischen Punkten, gerade und Ebenen berechnen.
Wie die Berechnung anderer Abstände zwischen Figuren funktioniert, erfährst Du in der Erklärung „Abstandsberechnung“ an.
Analytische Geometrie – Winkelberechnungen
Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\), die sich innerhalb eines Koordinatensystems treffen, schließen zusammen immer einen Winkel \(\alpha\) ein.
In diesem Beispiel siehst Du den Winkel der beiden Vektoren \({\color{#1478c8}\vec{a}}\) und \({\color{#00dcb4}\vec{b}}\).
Abbildung 7: Winkel zwischen zwei Vektoren
Dieser Winkel kann mithilfe einer Formel berechnet werden. Wenn Du mehr zu der Berechnung erfahren möchtest, schau Dir die Erklärung „Winkelberechnung“ an.
Nun hast Du all Dein Wissen auf einen Blick!
Analytische Geometrie – Das Wichtigste
- Die analytische Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie, die sich algebraische Hilfsmittel nimmt, um geometrische Probleme zu lösen.
- Vektoren sind Strecken, in der Ebene oder im Raum, welche auf eine bestimmte Länge begrenzt sind und am Ende einen Pfeil haben. Sie können im zwei- und dreidimensionalen Koordinatensystem sein.
In der analytischen Geometrie gibt es Geraden \(g:\vec{x}\) und Ebenen \(E:\vec{x}\), welche durch zum Beispiel einer Geraden- oder Ebenengleichung dargestellt werden.
Geraden, Ebenen und Punkte können eine bestimmte Lage zueinander haben. Sie können identisch, parallel sein oder sich zum Beispiel schneiden.
Wenn sich zwei Vektoren schneiden, entsteht ein Winkel, der berechnet werden kann.
Zwischen zwei geometrischen Figuren gibt es Abstände, welche berechnet werden könne. Zwischen zwei Punkten kann ein Abstand berechnet werden, indem ein Vektor aufgestellt und der Betrag berechnet wird.
Vektoren können miteinander multipliziert, addiert, voneinander subtrahiert oder dividiert werden.
Nachweise
- Koecher (1997): Lineare Algebra und analytische Geometrie, Springer-Verlag. Berlin, Heidelberg.
- Fischer (2019): Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie. 4.Auflage. Springer-Spektrum. Wiesbaden.
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