Parallelogramm

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Parallelogramm


In diesem Artikel erklären wir dir, was ein Parallelogramm ist, welche Eigenschaften es besitzt und wie du den Flächeninhalt sowie den Umfang eines Parallelogramms berechnen kannst. Außerdem vergleichen wir das Parallelogramm mit anderen Arten von Vierecken und geben dir am Ende dieses Artikels eine kurze Zusammenfassung mit den wichtigsten Formeln.


Das Parallelogramm erweitert den Themenbereich Geometrie und gehört zum Fach Mathematik.

Viel Spaß beim Lernen!




Was ist ein Parallelogramm ?


In unserem Alltag ist das Parallelogramm ein sehr verbreitetes mathematisches Symbol. Du findest es zum Beispiel in Treppengeländern oder als Teil eines Fliesenmusters. 


Das Parallelogramm ist ein besonderes Viereck: die beiden gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms sind immer parallel und gleich lang. Außerdem sind die gegenüberliegenden Winkel eines Parallelogramms immer gleich groß sind.


Die Innenwinkelsumme eines Parallelogramms beträgt immer 360°, wobei die benachbarten Winkel zusammen immer 180° ergeben. 


Die beiden Diagonalen eines Parallelogramms schneiden sich jeweils genau in ihrer Hälfte.


     

Die Beschriftung eine Parallelogramms  ist wie folgt:


  • Die Beschriftung der Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben.
  • Da die beiden gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms die gleiche Länge haben, werden sie gleich benannt, z.B. a und b
  • Da die beiden gegenüberliegenden Winkel eines Parallelogramms gleich groß sind, werden sie gleich benannt, z.B. α und β
  • Die Beschriftung der Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn: A,B,C,D
  • Die Diagonalen eines Parallelogramms werden mit e und f beschriftet
  • Die Höhengerade des Parallelogramms wird mit h beschriftet


Im Allgemeinen hat ein Parallelogramm weder einen Um- noch Inkreis. Es gibt jedoch Ausnahmen, die die Sonderfälle eines Parallelogramms betreffen.



Gegenüberstellung des Parallelogramms zu anderen Vierecken


Damit du den Unterschied zwischen einem allgemeinem Viereck, einem Trapez und einem Parallelogramm erkennst, haben wir hier für dich einmal eine Tabelle erstellt:



Allgemeines Viereck

Trapez

Parallelogramm

4 Ecken

4 Ecken

4 Ecken

Unterschiedlich lange Seiten

Unterschiedlich lange Seiten; zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel

Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und parallel zueinander

Unterschiedlich große Innenwinkel

Unterschiedlich große Innenwinkel

Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß

Unterschiedlich lange Diagonalen

Unterschiedlich lange Diagonalen

Diagonalen halbieren sich gegenseitig



Hier erkennst du, dass ein Parallelogramm immer ein Viereck und Trapez, aber nicht jedes Viereck oder Trapez ein Parallelogramm ist.


Ein Parallelogramm kann zwei besondere Spezialfälle annehmen:


  • Die Raute
    Wenn alle vier Seiten des Parallelogramms gleich lang sind:


  • Das Rechteck
    Wenn alle vier Winkel 90° betragen.




NO PANIC! 

Falls dich das jetzt irgendwie durcheinander bringt, würde ich dir empfehlen noch einmal hier vorbeizuschauen. In diesem Artikel erklären wir dir nochmal allgemein was ein Viereck ist und zeigen dir mit Hilfe des Haus der Vierecke alle verschiedenen Sonderformen.



Eigenschaften eines Parallelogramms


Schauen wir uns jetzt direkt mal einige mathematische Eigenschaften des Parallelogramms an. Hier beschränken uns wir jetzt auf das Parallelogramm im Allgemeinen und nicht auf seine Sonderfälle.


 

INSIDER TIPP:

Wenn du in Aufgaben mit einem Parallelogramm oder einer seiner Spezialfälle rumrechnen musst, dann mach dir am besten immer eine schnelle Skizze. So kann man sich das Problem besser vorstellen und sieht schneller den Lösungsweg!

 


Flächeninhalt eines Parallelogramms

 

Den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen wir in drei simplen Schritten, wobei wir uns die Zerlegungsgleichheit zu Nutze machen. Hierfür brauchen wir eine Seitenlänge a und die Höhe h des Parallelogramms. 


Schritt 1:

Ziehe die Senkrechte h zu einer der Seiten und zerteile somit das Parallelogramm in ein Dreieck (AED) und ein Viereck (EBCD)



Schritt 2:

Schiebe das entstandene Dreieck AED auf die andere Seite




Schritt 3:

Berechne nun den Flächeninhalt des entstandenen Rechtecks EFCD mit der folgenden Formel:


ARechteck = a * h




Umfang eines Parallelogramms

 

Um den Umfang eines Parallelogramms zu berechnen, müssen wir einfach nur die Längen der Seiten addieren. Da jeweils zwei Seiten a und b gleich lang sind, können wir das mit folgender Formel tun:


UParallelogramm = 2 a + 2 b 



Symmetrieeigenschaften eines Parallelogramms


Jedes Parallelogramm ist am Schnittpunkt seiner Diagonalen punktsymmetrisch. Das bedeutet auch, dass jedes punktsymmetrische Viereck im Rückschlussverfahren auch immer ein Parallelogramm ist - klar, oder?

 

Was die Achsensymmetrie betrifft ist ein Parallelogramm im Allgemeinen nicht achsensymmetrisch, besitzt also keine Symmetrieachse.

 

Zum Abschluss findest du noch die wichtigsten Punkte zum Thema Parallelogramm in einer Checkliste zusammengefasst und eine Veranschaulichung der Viereck-Beziehungen.

 


Das Wichtigste zum Parallelogramm und seinen Berechnungen auf einen Blick!


Ein Parallelogramm ist ein besonderes Viereck mit vier Seiten, von denen die beiden gegenüberliegenden jeweils parallel sind. Auch die beiden gegenüberliegenden Winkel sind jeweils gleich groß. Die Innenwinkelsumme eines Parallelogramms ergibt immer 360° und zwei nebeneinander liegende Winkel ergeben zusammen 180°.


Ein Parallelogramm hat 2 Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren. An dem Schnittpunkt dieser beiden Diagonalen ist das Parallelogramm punktsymmetrisch.



Hast du alles verstanden? Hier ist eine Checkliste, mit den zentralen Punkten die für dich relevant sind im Überblick:


  • Die beiden gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms sind immer parallel zueinander und gleich lang

  • Ein Parallelogramm besitzt zwei Diagonalen, die sich jeweils in der Hälfte schneiden

  • Die beiden gegenüberliegenden Winkel eines Parallelogramms sind immer gleich groß

  • Die Innenwinkelsumme eines Parallelogramms beträgt immer 360°

  • Das Parallelogramm kann zwei Sonderfälle annehmen: die Raute und das Rechteck

  • Für ein Parallelogramm gelten bestimmte mathematische Eigenschaften wie beispielsweise die Berechnung des Flächeninhalts oder des Umfangs

  • Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch am Schnittpunkt seiner beiden Diagonalen

 


INSIDER TIPP


“Hallo, wusstest du, dass man sich, um den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu berechnen, von der Zerlegungsgleichheit Nutzen macht? Wenn du auf der Suche nach allen Informationen zum Parallelogramm auf einen Blick bist, dann schau auf jeden Fall mal auf dieser Learning Page hier vorbei! Bei Fragen kannst du auch gerne den Kommentarbereich nutzen! ” 


Anke Hüning

StudySmarter Institute

Finales Parallelogramm Quiz

Frage

Wie werden die Seiten eines Vierecks bezeichnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Viereck ABCD hat vier Seiten a, b, c, d.

Frage anzeigen

Frage

Was gilt allgemein für den Umfang eines Vierecks?

Antwort anzeigen

Antwort

Allgemein gilt für den Umfang eines Vierecks: u = a + b + c + d

Frage anzeigen

Frage

Beschreiben Sie das Rechteck.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Rechteck besitzt zwei Paare von gleich langen Gegenseiten. Es hat nur rechte Winkel.

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnen Sie den Flächeninhalt und den Umfang eines Rechtecks?

Antwort anzeigen

Antwort

Rechteck
• Flächeninhalt eines Rechtecks:

A = Länge ⋅ Breite
A = a ⋅ b
• Umfang eines Rechtecks:
u = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b = 2 ⋅ (a + b)

Frage anzeigen

Frage

Beschreiben Sie Seiten und Winkel eines Quadrats.

Antwort anzeigen

Antwort

Beim Quadrat sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel 90°.

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnen Sie den Flächeninhalt und den Umfang eines Quadrats?

Antwort anzeigen

Antwort

Quadrat
• Flächeninhalt eines Quadrats:

A = a2
• Umfang eines Quadrats:
u = 4 ⋅ a

Frage anzeigen

Frage

Beschreiben Sie die Seiten und Diagonalen eines Parallelogramms.

Antwort anzeigen

Antwort

Beim Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang und gegenüberliegende Winkel gleich groß. Die Diagonalen e und f halbieren sich gegenseitig.

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnen Sie den Flächeninhalt und den Umfang eines Parallelogramms?

Antwort anzeigen

Antwort

Parallelogramm
• Flächeninhalt eines Parallelogramms:

A = Grundseite ⋅ Höhe
A = a ⋅ ha = b ⋅ hb
• Umfang eines Parallelogramms:

u = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b = 2 ⋅ (a + b)

Frage anzeigen

Frage

Beschreiben Sie die Raute.

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Antwort

Eine Raute hat vier gleich lange Seiten. Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß. Die beiden Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich gegenseitig.

Frage anzeigen

Frage

Beschreiben Sie den Drachen.

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Antwort

Beim Drachen sind zwei Paare von Nachbarseiten gleich lang. Die Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander.

Frage anzeigen

Frage

Beschreiben Sie das Trapez.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Trapez hat ein Paar paralleler Seiten: a || c

Frage anzeigen
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