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Eigenschaften & Definition Parallelogramm
Ein Parallelogramm ist ein besonderes Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten parallel sind.
Abbildung 1: Parallelogramm
Parallelogramm beschriften
Ein Parallelogramm wird folgendermaßen beschriftet:
- Die Beschriftung der Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben. Die Grundseite ist a und die Beschriftung erfolgt gegen den Uhrzeigersinn mit b, c und d an den anderen Seiten.
- Die Beschriftung der Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn: A, B,C ,D.
- Die Winkel werden passend zu ihren Eckpunkten mit \( \alpha \, \beta \, \gamma\) und \( \delta \) beschriftet.
- Die Diagonalen eines Parallelogramms werden mit e und f beschriftet.
Die beiden Diagonalen eines Parallelogramms schneiden sich jeweils genau in ihrer Hälfte.
Abbildung 2: Parallelogramm beschriften
Ein Parallelogramm hat weder einen Um- noch Inkreis.
Parallelogramm Eigenschaften
Das Parallelogramm ist ein Viereck und hat somit vier Ecken. Dazu hat es noch viele andere Eigenschaften, die in diesem Abschnitt erklärt werden.
Parallelogramm Seitenlängen
Die beiden gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms sind immer parallel und gleich lang. \( a=c \,;\, b=d \)
Abbildung 3: Seitenlängen eines Parallelogramms
Parallelogramm Winkel
Die gegenüberliegenden Winkel eines Parallelogramms sind immer gleich groß. \( \alpha = \gamma ; \beta=\delta \).
Die Innenwinkelsumme eines Parallelogramms beträgt immer 360°, wobei die benachbarten Winkel zusammen immer 180° ergeben.\( \alpha+\beta+\gamma+\delta=360°\)
Abbildung 4: Winkel Parallelogramm
Parallelogramm Diagonalen
Die Diagonalen eines Parallelogramms treffen sich genau in der Mitte.
Abbildung 5: Diagonalen eines Parallelogramms
Parallelogramm Symmetrieachse
Ein Parallelogramm ist immer Punktsymmetrisch und nie Achsensymmetrisch, abgesehen von zwei Ausnahmen, der Raute und dem Rechteck.
Der Symmetriepunkt eines Parallelogramms ist der Schnittpunkt beider Diagonalen.
Abbildung 6: Punktsymmetrie eines Parallelogramms
Besondere Parallelogramme
Es gibt zwei besondere Parallelogramme. Dazu zählen die Raute und das Rechteck.
Aber was genau sind diese geometrischen Figuren?
Raute
Eine Raute ist eine geometrische Form, die Du schon öfter im Alltag gesehen hast. Wie zum Beispiel bei einem Kartenspiel das Symbol Caro.
Raute Eigenschaften:
- \( a=b=c=d \) , alle Seiten sind gleichlang.
- \( \alpha=\gamma ; \beta=\delta \) gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
- Eine Raute hat zwei Diagonalen, die gleich lang sind und orthogonal aufeinander stehen
Abbildung 7: Raute
Das Besondere an einer Raute, im Vergleich zum gewöhnlichen Parallelogramm, ist, dass aller Seiten \(a=b=c=d\) gleich lang sind.
Wenn Du noch mehr über die Raute erfahren möchtest, schau Dir doch den passenden Artikel dazu an.
Rechteck
Das Rechteck ist die gängigste Art des Parallelogramms und hat folgende Eigenschaften.
Eigenschaften des Rechtecks:
- \( \alpha=\beta=\gamma=\delta=90° \)
- Das Rechteck hat vier Ecken A ,B ,C und D.
- Das Rechteck hat vier Seiten a,b,c und d.
- \( \alpha+\beta+\gamma+\delta=360° \)
Abbildung 8: Rechteck
Das Besondere an einem gewöhnlichen Rechteck, gegenüber einem gängigen Parallelogramm, ist, dass die Winkel \( \alpha=\beta=\gamma=\delta\) alle \(90°\) haben.
Wenn Du noch mehr zum Thema Rechteck erfahren möchtest, kannst Du Dir den Artikel dazu anschauen.
Parallelogramm zeichnen
Um ein Parallelogramm zu zeichnen, benötigst Du drei gegebene Eigenschaften. Du benötigst:
- die Seitenlänge von a oder c
- die Seitenlänge von b oder d
- einen Winkel \( \alpha \, \beta\, \gamma \) oder \( \delta \)
Wenn Du diese drei Werte gegeben hast, musst Du folgende Schritte befolgen:
- Zuerst zeichnest Du die Grundseite a
- Danach markierst Du die passende Winkelgröße, zeichnest die Seite b in passender Länge an die Grundseite a.
- Zuletzt musst Du die parallelen Seiten c und d in der gleichen Länge an die Punkte einzeichnen.
Diese Schritte siehst Du nun in der Praxis.
Aufgabe 1
Konstruiere das Parallelogramm mit der Länge der Grundseite 7 cm und der Länge der Seite b mit 4 cm. Der Winkel \(\alpha \) ist 50° groß.
Lösung
Zuerst schreibst Du Dir die gegebenen Werte aus der Aufgabenstellung raus.
\begin{align} a &= 7\,cm \\ b &= 4\,cm \\ \alpha&= 50^\circ\end{align}
Danach zeichnest Du die Grundseite a ein.
Abbildung 9: Parallelogramm konstruieren
Danach misst Du den passenden Winkel \( \alpha = 50^{°} \) ab und zeichnest die Seite b in Länge von \( b=4 \,cm\) ein.
Abbildung 10: Parallelogramm konstruieren
Zuletzt musst Du die parallelen Seiten c und d in der gleichen Länge an die Punkte einzeichnen und das Parallelogramm beschriften.
Abbildung 11: Parallelogramm konstruieren
Flächeninhalt Parallelogramm
Die Fläche ist eine zweidimensionale Ebene im Raum.
Der Flächeninhalt A eines Parallelogramms ist das Maß für die Größe der Vierecksfläche. Er ist abhängig von der Grundfläche g und der Höhe h.
Den Flächeninhalt A eines Parallelogramms kannst Du berechnen, aber wie geht das?
Abbildung 12: Flächeninhalt Parallelogramm
Zum Berechnen des Flächeninhalts A benötigst Du eine Formel.
Formel zum Berechnen des Flächeninhalts A eines Parallelogramms mit der Höhe h und der Grundseite g lautet:
\[ A= g \cdot h \]
Falls Du noch mehr über diese Thematik erfahren möchtest, hast Du die Möglichkeit Dir die Erklärung" Flächeninhalt Parallelogramm" anzuschauen.
Parallelogramm Umfang
Jede geometrische Figur hat einen Umfang U.
Der Umfang U eines Parallelogramms ist die Länge aller addierter Seitenlängen \( a,\,b,\,c\) und \(d\).
Den Umfang eines Parallelogramms berechnest Du, in dem Du eine Formel verwendest
Formel zur Berechnung des Umfangs eines Parallelogramms mit allen Seiten \( a,\,b,\,c\) und \(d\):
\[ U= 2a + 2b \]
Um den Umfang eines Parallelogramms zu berechnen, musst Du die Längen der Seiten addieren. Da die Seiten \( a\) und \(c\) gleich lang sind, reicht es, wenn Du die Seite a mal zwei nimmst.
Wenn Du noch mehr zur Berechnung des Umfangs eines Parallelogramms herausfinden möchtest, kannst Du die gerne die Erklärung "Umfang Parallelogramm" ansehen.
Parallelogramm Formel
Jetzt hast Du alle Formeln zum Berechnen eines Parallelogramms auf einen Blick. Dazu gehören die Berechnung des Umfangs, Flächeninhalts, der Diagonalen und der Höhen.
| Berechnung | Formel |
| Flächeninhalt | \[ A= g \cdot h \] |
| Umfang | \[ U= 2a + 2b \] |
| Winkel \( \alpha\) & \(\beta\) | \[ \alpha=180°- \beta \]\[ \beta=180°- \alpha\] |
| Diagonale e & f | \[e=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b \cdot cos(\beta]}\]\[f=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b \cdot cos(\alpha]}\] |
| Höhe \(h_{a}\) | \[h_{a}=b \cdot sin( \alpha) \] |
| Höhe \(h_{b}\) | \[h_{b}=a \cdot sin( \alpha) \] |
Nun hast Du alle wichtigen Informationen auf einen Blick!
Parallelogramm – Das Wichtigste auf einen Blick
- Eigenschaften eines Parallelogramms:
- Das Parallelogramm ist ein Viereck, hat also vier Ecken.
- Die beiden gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms sind immer parallel und gleich lang. a=c b=d
- Die gegenüberliegenden Winkel eines Parallelogramms sind immer gleich groß. \( \alpha = \gamma ; \beta=\delta \)
- Die Innenwinkelsumme eines Parallelogramms beträgt immer 360°, wobei die benachbarten Winkel zusammen immer 180° ergeben. \( \alpha+\beta+\gamma+\delta=360°\)
- Diagonalen treffen sich gegenseitig in der Mitte.
- Besondere Parallelogramme sind die Raute und das Rechteck.
- Formel zum Berechnen des Flächeninhalts eines Parallelogramms:
\[ A= g \cdot h \]
- Formel zur Berechnung des Umfangs eines Parallelogramms:
\[ U= 2a + 2b \]
- Parallelogramme sind immer Punktsymmetrisch.
Erläuere, was die Punktsymmetrie ist.
Eine punktsymmetrische Figur besitzt einen Symmetriepunkt oder ein Symmetriezentrum. Das heißt, dass die Figur keine Symmetrieachsen besitzt (wie bei der Achsensymmetrie), sondern nur einen Symmetriepunkt. Wird diese Figur um 180° um den Symmetriepunkt gedreht, so ist die Figur deckungsgleich mit der Ausgangsfigur.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Parallelogramm
Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms?
Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms lautet:
A= g • h
Wie wird Umfang eines Parallelogramms berechnet?
Den Umfang eines Parallelogramms berechnest Du mithilfe einer Formel, die lautet:
U=2a+2b
Wie wird ein Parallelogramm konstruiert?
Zuerst wird die Grundseite a eingezeichnet. Danach wird die passende Winkelgröße markiert und die Seite b in passender Länge an die Grundseite a gezeichnet. Zuletzt werden die parallelen Seiten c und d in der gleichen Länge an die Punkte eingezeichnet.
Wie viele Eigenschaften hat ein Parallelogramm?
Das Parallelogramm hat vier Eigenschaften, nämlich die Seitenlängen, die Winkel, die Diagonalen und ihre Symmetrie
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