Alle Objekte, die Du in Deinem Alltag siehst, kannst Du berühren und umfassen. Diese Objekte gelten in der Mathematik als Körper. Wenn solche Körper auf ebenen Flächen, wie zum Beispiel einer Leinwand oder einem Blatt Papier abgebildet werden sollen, dann können diese nur dreidimensional erscheinen. Du hast bestimmt einen handelsüblichen Karton zuhause liegen! Überlege doch mal, wie Du diesen Karton auf ein Blatt Papier zeichnen würdest.
Ein Körper kann auf einer zweidimensionalen Ebene (Blatt Papier, Leinwand etc.) dreidimensional dargestellt werden. Dadurch entsteht aber nur die Illusion der Dreidimensionalität. Auf welche Weisen Du in der Mathematik Körper darstellst, und wie Du solche Körper berechnest, erfährst Du in dieser Erklärung.
Darstellung von Körpern – Geometrische Körper
Um Körper räumlich darzustellen, ist eine kleine Wiederholung zu Körpern allgemein sinnvoll.
Geometrische Körper – Eigenschaften
Was macht Körper eigentlich aus?
Körper sind dreidimensionale Objekte. Sie können umfasst, aufgeschnitten und (mit Ausnahme der Kugel) gestapelt werden. Sie besitzen Oberflächen und Volumen.
Abbildung 1: Arten von Körpern
Körper können gefüllt werden, denn sie haben ein Volumen.
Körper können auf verschiedene Weisen dargestellt werden. Wenn Du Körper beispielsweise auf einem Blatt Papier darstellen möchtest, ist es sinnvoll, sich die verschiedenen Arten der räumlichen Darstellung von Körpern anzuschauen.
Arten der Darstellung von Körpern
Es gibt verschiedene Arten, einen geometrischen Körper auf einer zweidimensionalen Ebene dreidimensional darzustellen oder so erscheinen zu lassen. In dieser Erklärung lernst Du fünf verschiedene Arten der Darstellung von Körpern kennen.
Körper können auf einer zweidimensionalen Ebene durch Schrägbilder, isometrische Projektionen, Körpernetze, Risse und Zweitafelbilder dargestellt werden.
Um diese verschiedenen Arten von Darstellungen zu zeichnen, gibt es gewissen Bedingungen.
Räumliche Darstellung von Körpern
Wie diese Bedingungen lauten und wie die Körper dann am Ende aussehen, findest Du in diesem Abschnitt!
Darstellung von Körpern im Schrägbild
Körper werden auf ebenen Flächen meist im Schrägbild dargestellt. Hast Du etwa ein Blatt Papier vorliegen, kannst Du einen Körper im Schrägbild darstellen, um ihn dreidimensional erscheinen zu lassen.
Ein Schrägbild eines geometrischen Körpers ist eine dreidimensional wirkende Darstellung des Körpers auf einer ebenen, zweidimensionalen Fläche. Die Vorderansicht bleibt unverändert, während die Seiten- und Deckflächen verkürzt gezeichnet werden.
Für eine ausführliche Definition und Darstellung von Schrägbildern kannst Du Dir die Erklärung "Schrägbilder" anschauen.
Es gibt ein paar Punkte sind zu beachten, wenn Du ein Schrägbild zeichnen willst, solltest Du ein paar Punkte beachten:
- Parallele Kanten eines Körpers sind auch im Schrägbild parallel
- Gegenüberliegende Kanten eines Körpers, die in Wirklichkeit gleich lang sind, sind auch im Schrägbild gleich lang.
- Die Kanten eines Körpers, die weg von Dir nach hinten laufen, sind im Schrägbild verkürzt abgebildet.
- Unsichtbare Kanten, also Kanten, die von anderen Flächen verdeckt werden, sind gestrichelt dargestellt.
Bei der Darstellung im Schrägbild gibt es den sogenannten Verzerrungswinkel und Verkürzungsfaktor a (wird allgemein auch q genannt). Gängige Werte für diese Faktoren sind folgende:
| Verzerrungswinkel | Verkürzungsfaktor q |
| |
| |
| |
Die übliche Darstellung eines Schrägbilds wird die Kavaliersperspektive genannt. Dieses Schrägbild hat einen Verzerrungswinkel von 45° und einen Verkürzungsfaktor von .
Hier findest Du ein paar Beispiele für Schrägbilder von Körpern in der Kavaliersperspektive:
Abbildung 2: Schrägbilder aus Kavaliersperspektive
Die Kanten des Würfels sind alle zwei Einheiten lang. Wird der Würfel jedoch in Kavaliersperspektive dargestellt, wird die Kantenlänge mit dem Verkürzungsfaktor q multipliziert. Das bedeutet, dass die Kanten der Seitenflächen, welche nach hinten verlaufen, im Schrägbild nur eine Einheit lang sind:
Du kannst Schrägbilder jedoch auch mit den anderen Verzerrungswinkeln und Verkürzungsfaktoren zeichnen.
Isometrische Darstellung von Körpern
Durch eine isometrische Projektion kann ein Körper maßstabsgetreu dargestellt werden. Durch diese Art der Darstellung von Körpern müssen keine Seiten verkürzt werden.
Bei der isometrischen Darstellung werden die Seitenflächen jeweils in einem Winkel von 30° zur Horizontalen dargestellt.
Die Unterschiede zwischen einem gewöhnlichen Schrägbild und der isometrischen Darstellung eines Körpers sind folgende:
- Bei der isometrischen Darstellung wird nicht nur eine Vorderfläche maßstabsgetreu dargestellt
- Der Körper wird auf beiden Seiten mit einem Winkel von 30° zur Horizontalen dargestellt und nicht mit einem bestimmten Verzerrungswinkel
- Der Körper wird nicht durchsichtig dargestellt (die verdeckten Kanten sind nicht zu sehen)
Abbildung 3: isometrische Darstellung Würfel
Wie Du siehst, sind alle Kantenlängen gleich lang. Der Würfel ist trotzdem perspektivisch dargestellt.
Beachte dabei immer, dass die Winkel von für die isometrische Darstellung auf beiden Seiten angewendet werden müssen!
Darstellung von Körpern im Körpernetz
Für die Darstellung eines Körpers im Körpernetz muss der Körper aufgeschnitten und aufgefaltet werden. Das kannst Du Dir so vorstellen, wie eine aufgeschnittene Verpackung. Dabei lassen sich alle Körper außer die Kugel im Körpernetz darstellen.
Das Körpernetz ist eine aufgefaltete und zusammenhängende Darstellung eines Körpers.
Ausführliche Definitionen und Abbildungen findest Du in der Erklärung "Körpernetze".
Einzelne Körper können mehrere Körpernetze besitzen. Wichtig ist dabei, dass die Körpernetze sinnvoll zusammenhängend sein müssen. Das bedeutet, dass das Netz, wenn es wieder zusammengefaltet wird, dem Körper entsprechen muss.
Ein Würfel hat insgesamt 11 Körpernetze.
Abbildung 4: Körpernetze eines Würfels
Hier ist wichtig, dass etwa folgendes Gebilde kein Körpernetz eines Würfels ist:
Abbildung 5: falsches Körpernetz
Auch wenn es 6 zusammenhängende Quadrate hat, würden beim Zusammenfalten die Seitenflächen fehlen.
Körper in Körpernetzen darzustellen ist sehr sinnvoll zur Veranschaulichung und Berechnung der Oberfläche.
Darstellung von Körpern in Rissen
Es gibt drei Risse von Körpern. Diese werden Grundriss, Aufriss und Seitenriss genannt.
Grundriss, Aufriss und Seitenriss entstehen, wenn die Strahlen der Parallelprojektion eines geometrischen Körpers senkrecht auf der Projektionsebene stehen.
Eine nähere Beschreibung der drei Risse findest Du in der Erklärung "Grundriss, Aufriss und Seitenriss".
Diese drei Risse eines Körpers entspringen der Draufsicht (Grundriss), Vorderansicht (Aufriss) und Seitenansicht (Seitenriss).
Das sind die drei Risse eines Quaders:
Abbildung 6: Risse eines Quaders
Die Risse sind den Maßen des Körpers getreu.
Eine gängige Anwendung der Risse eines Körpers ist das Zweitafelbild.
Darstellung von Körpern – Zweitafelbild
Das Zweitafelbild eines Körpers entspricht dem Grundriss und dem Aufriss eines Körpers.
Abbildung 7: Grundriss und Aufriss
Die Rissachse "trennt" hier den Grundriss vom Aufriss und steht senkrecht zu der Ordnungslinie. Wie ihr Name schon verrät, sorgt die Ordnungslinie für eine entsprechende Anordnung von Grund- und Aufriss.
Abbildung 8: Zweitafelbild
Du kannst von jedem Körper ein Zweitafelbild erstellen.
Darstellung von Körpern – Aufgaben
Scroll gerne noch mal hoch, wenn Du irgendwo hängen solltest.
Aufgabe 1
Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge .
- Zeichne den Grundriss des Würfels.
- Zeichne ein zugehöriges Körpernetz des Würfels.
Lösung
1. Der Würfel hat die Kantenlänge 3 cm. Der Grundriss des Würfels entspricht der Draufsicht auf den Würfel. Weil alle Seiten eines Würfels gleichlang sind und einem Quadrat entsprechen, ist der Grundriss des Würfels folglich ein Quadrat mit den Seitenlängen 3 cm.
Abbildung 9: Grundriss Würfel
2. Eines der folgenden 11 Körpernetze ist ein korrektes Netz für den Würfel:
Abbildung 10: Körpernetze Würfel
Aufgabe 2
Gegeben ist eine Pyramide mit den folgenden Maßen:
- Zeichne ein Schrägbild aus der Kavaliersperspektive von dieser Pyramide.
- Zeichne die Pyramide aus isometrischer Ansicht.
Lösung
1. Das Schrägbild der Pyramide aus Kavaliersperspektive hat einen Verzerrungswinkel von und einen Verkürzungsfaktor . Die Kante a liegt vorn und wird somit nicht verkürzt. Nur die Kantenlänge b wird verkürzt. Um die Länge von b im Schrägbild zu ermitteln, verrechnest Du q mit b:
Das bedeutet, die Kante b ist im Schrägbild 1,5 cm lang. Das Schrägbild der Pyramide sollte so aussehen:
Abbildung 11: Schrägbild Pyramide
2. Die Pyramide in isometrischer Ansicht behält die Maße und muss nicht mit einem Verkürzungsfaktor multipliziert werden. Die Winkel, mit denen beide Seitenflächen angeschrägt sind, beträgt . Diese Pyramide sieht in isometrischer Darstellung so aus:
Abbildung 12: Pyramide isometrische Darstellung
Darstellung von Körpern – Das Wichtigste
- Körper sind dreidimensionale geometrische Objekte
- Um Körper auf ebenen Flächen (Blatt Papier usw.) dreidimensional erscheinen zu lassen, gibt es verschiedene Darstellungsweisen
- Körper können im Schrägbild dargestellt werden
- Dabei werden die Seitenkanten verkürzt und angewinkelt dargestellt
- Bei der isometrischen Darstellung von Körpern werden die Originalmaße beibehalten; der Körper wird beidseitig mit einem 30° Winkel dargestellt
- Körper können aufgeschnitten und ausgeklappt werden (Körpernetze)
- Körper können von verschiedenen Perspektiven dargestellt werden (Grundriss, Aufriss und Seitenriss)
Nachweise
- Hausleiter (2015). Mathematik - Aktuelles Grundwissen. Circon Verlag.
- Becker et al. (2015). Duden Formeln und Werte. Cornelsen Verlag.
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