Geometrische Körper

Stell Dir vor, Du nimmst einen Schuhkarton in die Hand. Der Schuhkarton ist ein geometrischer Körper. Aber was macht den Schuhkarton zu einem geometrischen Körper?

Geometrische Körper Geometrische Körper

Erstelle Lernmaterialien über Geometrische Körper mit unserer kostenlosen Lern-App!

  • Sofortiger Zugriff auf Millionen von Lernmaterialien
  • Karteikarten, Notizen, Übungsprüfungen und mehr
  • Alles, was du brauchst, um bei deinen Prüfungen zu glänzen
Kostenlos anmelden
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Geometrischer Körper – Definition

    Du kannst den Schuhkarton mit Deinen Händen berühren. Das ist aber noch nicht ausreichend, damit es sich um einen geometrischen Körper handelt. Wichtig ist: Der Schuhkarton hat einen Inhalt. Dazu müssen keine Schuhe im Karton sein. Es ist ausreichend, dass Luft im Schuhkarton sein kann. Mathematisch kannst Du sagen: "Der Schuhkarton ist dreidimensional".

    Ein geometrischer Körper ist ein dreidimensionales Gebilde. Er hat einen Rauminhalt. Der geometrische Körper wird durch Flächen begrenzt.

    Die Flächen, die den Körper begrenzen, können eben oder gekrümmt sein.

    Auch ein Blatt Papier kannst Du in die Hand nehmen und es anfassen. Es ist aber kein geometrischer Körper, denn es hat keinen Inhalt und ist somit nicht dreidimensional.

    Ein Saftpäckchen hingegen ist ein geometrischer Körper. Es ist dreidimensional. Sein Inhalt ist meistens Saft.

    Aber auch zum Beispiel ein Buch kann ein geometrischer Körper sein.

    Geometrische Körper Eigenschaften

    Die Eigenschaften eines geometrischen Körpers sind zusammengefasst:

    • Der geometrische Körper ist dreidimensional.

    • Der geometrische Körper wird von Flächen begrenzt.

    • Der geometrische Körper besitzt Kanten (außer die Kugel).

    • Der geometrische Körper besitzt Ecken. Manche haben eine Spitze.

    Die Kanten, Flächen, Ecken sowie die Spitze eines geometrischen Körpers kannst Du in Abbildung 1 erkennen.

    Geometrische Körper Eigenschaften Ecke Fläche Kante Spitze StudySmarterAbbildung 1: Flächen, Ecken und Kanten eines geometrischen Körpers

    Die einzelnen Flächen eines Körpers zusammen bilden seine Oberfläche. Du kannst die Größe der Oberfläche bestimmen. Sie wird Oberflächeninhalt genannt.

    Die Oberfläche eines geometrischen Körpers setzt sich auf der Grund- bzw. Deckfläche und der Mantelfläche zusammen. Die Grundfläche ist der "Boden" des geometrischen Körper, die Deckfläche der "Deckel". Die Seitenflächen bilden den Mantel des Körpers.

    Der Inhalt des geometrischen Körpers wird Volumen genannt. Auch das Volumen eines geometrischen Körpers kannst Du berechnen.

    Je nach Anzahl und Formen der begrenzenden Flächen, Ecken und Kanten werden verschiedene Körper unterschieden.

    Geometrische Körper – Übersicht & Namen mit Formeln

    Hier findest Du eine Übersicht über die bekanntesten geometrischen Körper mit speziellen Namen: Quader, Würfel, Zylinder, Kegel, Pyramide, Prisma und Kugel. Wenn Du auf den Namen des Körpers klickst, öffnet sich eine Erklärung mit weiteren Informationen.

    Für jeden geometrischen Körper gibt es eine Formel, mit der Du das Volumen \(V\) des Körpers bestimmen kannst. Dabei ist \(G\) stets die Grundfläche des Körpers und \(h\) die Höhe.

    NameErklärungBildFormel Volumen
    Quader

    Der Schuhkarton aus dem Beispiel ist ein Quader. Er wird von sechs Rechtecken begrenzt, wobei gegenüberliegende Rechtecke kongruent sind.

    Jeder Quader hat sechs Flächen, zwölf Kanten und acht Ecken.

    Geometrische Körper Namen Übersicht Quader StudySmarterAbbildung 2: Quader$$V=G·h$$oder

    $$V=l·b·h$$

    mit l Länge und b Breite

    Würfel

    Sind alle Kanten eines Quaders gleich lang, handelt es sich um einen Würfel.

    Jeder Würfel ist auch ein Quader. Deswegen hat auch jeder Würfel sechs Flächen, zwölf Kanten und acht Ecken.

    Geometrische Körper Namen Übersicht Würfel StudySmarterAbbildung 3: Würfel

    $$V=a^3$$mit a Länge einer Kante
    Zylinder

    Ein Zylinder ist ein geometrischer Körper mit kongruenten, parallelen Kreisen als Grund- und Deckfläche.

    Ein Zylinder besteht aus drei Flächen und zwei Kanten. Er besitzt keine Ecken. Die Mantelfläche ist gekrümmt.

    Geometrische Körper Namen Übersicht Zylinder StudySmarterAbbildung 4: Zylinder

    $$V=G·h$$$$G=\pi·r^2$$
    Kegel

    Ein Kegel besteht aus einer kreisförmigen Grundfläche und einer Spitze.

    Der Kegel hat zwei Flächen und eine Kante.

    Geometrische Körper Namen Übersicht Kegel StudySmarterAbbildung 5: Kegel

    $$V=\frac{1}{3}·G·h$$$$G=\pi·r^2$$
    Pyramide

    Ein geometrischer Körper mit einem n-Eck als Grundfläche, Dreiecken als Seitenflächen und einer Spitze heißt Pyramide.

    Die Anzahl an Ecken, Kanten und Flächen einer Pyramide ist von der Grundfläche abhängig.

    Geometrische Körper Namen Übersicht Pyramide StudySmarterAbbildung 6: Pyramide

    $$V=\frac{1}{3}·G·h$$
    Prisma

    Ein Prisma hat kongruente, parallele Grund- und Deckflächen. Die Seitenflächen sind Rechtecke.

    Auch Quader, Würfel und Zylinder sind Prismen.

    Prismen können ganz unterschiedlich aussehen, je nach Anzahl und Formen von Ecken, Kanten und Flächen.

    Geometrische Körper Namen Übersicht Prisma StudySmarterAbbildung 7: Prisma

    $$V=G·h$$
    Kugel

    Eine Kugel ist ein völlig runder geometrischer Körper. Alle Punkte auf der Kugel haben denselben Abstand zum Mittelpunkt.

    Geometrische Körper Namen Übersicht Kugel StudySmarterAbbildung 8: Kugel

    $$V=\frac{4}{3}·\pi ·r^3$$

    Vergiss nicht, die Erklärungen zu den einzelnen geometrischen Körpern durch Klicken zu öffnen, wenn Du mehr wissen möchtest.

    Zusammengesetze Körper

    Es gibt auch Körper, die aus mehreren geometrischen Körpern zusammengesetzt sind.

    Zusammengesetzte Körper sind zwei oder mehrere geometrische Körper, die miteinander verbunden sind. Diese Körper bilden einen Gesamtkörper.

    Durch das Zusammensetzen der Körper ändern sich die Formen. Auch die Anzahl an Ecken, Kanten und Flächen ist nun anders.

    In Abbildung 9 wurde aus einem Zylinder und einer Kugel ein zusammengesetzter Körper.

    Geometrische Körper zusammengesetzter Körper StudySmarterAbbildung 9: Zusammengesetzer Körper

    Sieh Dir die Erklärung "Zusammengesetze Körper" an, wenn Du mehr wissen möchtest.

    Geometrische Körper zeichnen – Darstellungen

    Bestimmt hast Du schon einmal versucht, einen geometrischen Körper auf ein Blatt Papier zu zeichnen. Der geometrische Körper ist dreidimensional. Du kannst ihn umfassen. Das Blatt Papier hingegen ist nur zweidimensional. Es hat keinen Rauminhalt. Der Trick ist nun, den Körper auf dem Papier so aussehen zu lassen, als wäre er dreidimensional.

    Schrägbild

    Eine Möglichkeit, einen geometrischen Körper darzustellen, ist das Schrägbild.

    Ein Schrägbild eines geometrischen Körpers ist eine dreidimensional wirkende Darstellung des Körpers auf einer ebenen, zweidimensionalen Fläche. Die Vorderansicht bleibt unverändert, während die Seiten- und Deckflächen verkürzt gezeichnet werden.

    Die Bilder zu den einzelnen Körpern in der Tabelle sind Schrägbilder.

    In der Erklärung "Schrägbild" findest Du eine ausführliche Beschreibung und Anleitungen zum Zeichnen.

    Körpernetz

    Du kannst von einem geometrischen Körper auch ein Körpernetz zeichnen. Stell Dir dazu vor, dass Du den geometrischen Körper aufschneidest und auseinanderklappst. In Abbildung 9 siehst Du ein Körpernetz eines Würfels, auch Würfelnetz genannt. Im Körpernetz eines geometrischen Körpers kannst Du die Formen der Flächen erkennen.

    Geometrische Körper Darstellungen Körpernetz Würfel StudySmarterAbbildung 10: ein Körpernetz eines Würfels

    Unter "Körpernetze" findest Du eine ausführliche Erklärung. Klicke einfach auf den Namen.

    Du kannst auch die Erklärung "Darstellung von Körpern" öffnen, um einen ausführlicheren Überblick über die Darstellungen zu erhalten.

    Geometrische Körper in der Umwelt und im Alltag

    Bestimmt sind Dir in Deinem Alltag und der Umwelt schon geometrische Körper begegnet. Überleg doch einmal, fällt Dir einer ein?

    Zu Beginn hast Du bereits den Schuhkarton als geometrischen Körper kennengelernt. Er ist ein Quader.

    Häufig sind Gegenstände in Deinem Alltag keine exakten geometrischen Körper. So wird ein Regal oder ein Kleiderschrank manchmal zu einem Quader, wenn Du die Abschlussseiten an den Kanten und die Griffe gedanklich weglässt.

    Geometrische Körper Alltag Regal Quader StudySmarter

    Abbildung 11: Regal als Quader

    Auch in Deiner Umwelt kannst Du geometrische Körper entdecken. Stell Dir zum Beispiel einen Baumstamm ohne Wurzel und Krone vor. Das könnte ein Zylinder sein.

    Geometrische Körper Umwelt Baumstamm Zylinder StudySmarter

    Abbildung 12: Baumstämme als Zylinder

    Auch hier ähnelt der Baumstamm nur einem Zylinder und ist nicht exakt einer. Denn vermutlich ist der Baum nicht komplett gerade gewachsen.

    Hast Du Dir mal einen Spielwürfel genauer angesehen? Auf den ersten Blick scheint es, ein geometrischer Würfel zu sein. Das liegt beim Namen ja schon nahe. Aber sieh Dir einmal die Ecken an. Sie sind meist abgerundet. Dann ist auch ein Spielwürfel kein exakter geometrischer Würfel, sondern dem nur sehr ähnlich. Es gibt aber auch Spielwürfel mit Ecken.

    Dies sind aber nur Beispiele für geometrische Körper in der Umwelt und dem Alltag. Es gibt noch viele weitere. Vielleicht hast Du ja Lust, in den nächsten Stunden nach geometrischen Körpern in Deiner Umgebung Ausschau zu halten?

    Geometrische Flächen und Körper – Unterschied

    Vermutlich hast Du neben dem Begriff "Körper" auch schon einmal von Flächen gehört. Auch in dieser Erklärung kamen Flächen unter den Eigenschaften von Körpern vor.

    Eine Fläche ist im Unterschied zu einem Körper zweidimensional. Sie hat keinen Rauminhalt.

    Aber ein geometrischer Körper besitzt Flächen. Sieh Dir noch einmal Abbildung 1 an. Die Seiten eines Körpers sind Flächen.

    Merke Dir also: Eine Fläche ist zweidimensional, ein Körper dreidimensional.

    Geometrische Körper Unterschied Körper Fläche StudySmarterAbbildung 13: Unterschied zwischen Körper und Fläche

    Geometrische Körper – Aufgaben

    Hier findest Du grundlegende Aufgaben zum Thema geometrische Körper. In den Erklärungen zu den einzelnen Körpern sind weitere Aufgaben vorhanden.

    Aufgabe 1

    Gib die Anzahl an Ecken, Kanten und Flächen von den folgenden Körpern an:

    a) eines Quaders

    b) eines Zylinders

    Lösung

    a) Jeder Quader besteht aus genau sechs Flächen. Sie sind alle Rechtecke. Die Anzahl an Ecken ist acht. Er hat zwölf Kanten.

    b) Ein Zylinder besteht aus drei Flächen: Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche. Er hat zwei Kanten und keine Ecken.

    Aufgabe 2

    Gib den Namen des geometrischen Körpers in Abbildung 14 an und begründe Deine Entscheidung.

    Geometrischer Körper Aufgabe Name StudySmarterAbbildung 14: geometrischer Körper

    Lösung

    Der geometrische Körper in Abbildung 14 ist ein Prisma. Die Grundfläche und die Deckfläche (Boden und Deckel) sind kongruent und parallel. Dadurch sind alle Seitenflächen Rechtecke.

    Bei einem Prisma ist die Form der Grund- und Deckfläche nicht von Bedeutung. Wichtig ist, dass sie identisch sind.

    Geometrische Körper – Das Wichtigste

    • Ein geometrischer Körper ist ein dreidimensionales Gebilde.
    • Geometrische Körper haben einen Rauminhalt.
    • Der geometrische Körper besitzt Flächen, Ecken und Kanten.
    • Wichtige geometrische Körper sind:
      • Kegel, Kugel, Prisma, Pyramide, Quader, Würfel, Zylinder
    • Du kannst den geometrischen Körper als Schrägbild zeichnen.

    Nachweise

    1. Becker et al. (2016). Formelsammlung bis zum Abitur - Mathematik - Physik - Astronomie - Chemie - Biologie - Informatik. Duden Schulbuchverlag.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Geometrische Körper

    Wie berechnet man zusammengesetzte Körper?

    Bei zusammengesetzten Körpern ergibt es oft Sinn, den Körper "auseinanderzuschneiden" und die Teilkörper einzeln zu berechnen. Um das Volumen eines zusammengesetzten Körpers zu bestimmen, berechnest Du daher das Volumen von jedem Teilkörper und addierst dann. Um die Oberfläche eines zusammengesetzten Körpers zu berechnen, ist es manchmal auch sinnvoll, ihn in Teilflächen zu unterteilen. Manchmal kannst Du einige Flächen aber auch direkt bestimmen. 

    Was für geometrische Körper gibt es? 

    Es gibt unendlich viele geometrische Körper. Einige haben spezielle Namen. Diese sind: 

    Kegel, Kugel, Prisma, Pyramide, Quader, Würfel, Zylinder

    Du kannst einzelne geometrische Körper zusammensetzen und erhältst dann einen zusammengesetzten Körper.

    Ist ein Kreis ein Körper? 

    Ein Kreis ist kein Körper, sondern eine Figur oder Form. Der Kreis ist zweidimensional und nicht dreidimensional. Deswegen kann er kein geometrischer Körper sein.

    Wo findet man Quader im Alltag? 

    Quader im Alltag kannst Du zum Beispiel als Schuhkarton finden. Auch ein Schrank, ein Regal oder ein Buch können quaderförmig sein.

    Ein Pflasterstein ist auch häufig ein Quader.

    Teste dein Wissen mit Multiple-Choice-Karteikarten

    Für eine Kugel ist die Rechnung \(4·\pi·r^2\) gegeben. Was wird mit dieser Rechnung bestimmt? Wähl aus.

    Für eine Kugel ist die Rechnung \(\frac{4}{3}·\pi·r^3\) gegeben. Was wird mit dieser Rechnung bestimmt? Wähl aus.

    Der Radius einer Kugel ist \(r\). Wähl die Formel für den Umfang \(U\) aus.

    Weiter
    1
    Über StudySmarter

    StudySmarter ist ein weltweit anerkanntes Bildungstechnologie-Unternehmen, das eine ganzheitliche Lernplattform für Schüler und Studenten aller Altersstufen und Bildungsniveaus bietet. Unsere Plattform unterstützt das Lernen in einer breiten Palette von Fächern, einschließlich MINT, Sozialwissenschaften und Sprachen, und hilft den Schülern auch, weltweit verschiedene Tests und Prüfungen wie GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur und mehr erfolgreich zu meistern. Wir bieten eine umfangreiche Bibliothek von Lernmaterialien, einschließlich interaktiver Karteikarten, umfassender Lehrbuchlösungen und detaillierter Erklärungen. Die fortschrittliche Technologie und Werkzeuge, die wir zur Verfügung stellen, helfen Schülern, ihre eigenen Lernmaterialien zu erstellen. Die Inhalte von StudySmarter sind nicht nur von Experten geprüft, sondern werden auch regelmäßig aktualisiert, um Genauigkeit und Relevanz zu gewährleisten.

    Erfahre mehr
    StudySmarter Redaktionsteam

    Team Geometrische Körper Lehrer

    • 9 Minuten Lesezeit
    • Geprüft vom StudySmarter Redaktionsteam
    Erklärung speichern

    Lerne jederzeit. Lerne überall. Auf allen Geräten.

    Kostenfrei loslegen

    Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.

    Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

    Die erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.

    • Karteikarten & Quizze
    • KI-Lernassistent
    • Lernplaner
    • Probeklausuren
    • Intelligente Notizen
    Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!