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Geometrische Körper

Geometrische Körper

Stell Dir vor, Du nimmst einen Schuhkarton in die Hand. Der Schuhkarton ist ein geometrischer Körper. Aber was macht den Schuhkarton zu einem geometrischen Körper?

Geometrischer Körper – Definition

Du kannst den Schuhkarton mit Deinen Händen berühren. Das ist aber noch nicht ausreichend, damit es sich um einen geometrischen Körper handelt. Wichtig ist: Der Schuhkarton hat einen Inhalt. Dazu müssen keine Schuhe im Karton sein. Es ist ausreichend, dass Luft im Schuhkarton sein kann. Mathematisch kannst Du sagen: "Der Schuhkarton ist dreidimensional".

Ein geometrischer Körper ist ein dreidimensionales Gebilde. Er hat einen Rauminhalt. Der geometrische Körper wird durch Flächen begrenzt.

Die Flächen, die den Körper begrenzen, können eben oder gekrümmt sein.

Auch ein Blatt Papier kannst Du in die Hand nehmen und es anfassen. Es ist aber kein geometrischer Körper, denn es hat keinen Inhalt und ist somit nicht dreidimensional.

Ein Saftpäckchen hingegen ist ein geometrischer Körper. Es ist dreidimensional. Sein Inhalt ist meistens Saft.

Aber auch zum Beispiel ein Buch kann ein geometrischer Körper sein.

Geometrische Körper Eigenschaften

Die Eigenschaften eines geometrischen Körpers sind zusammengefasst:

  • Der geometrische Körper ist dreidimensional.

  • Der geometrische Körper wird von Flächen begrenzt.

  • Der geometrische Körper besitzt Kanten (außer die Kugel).

  • Der geometrische Körper besitzt Ecken. Manche haben eine Spitze.

Die Kanten, Flächen, Ecken sowie die Spitze eines geometrischen Körpers kannst Du in Abbildung 1 erkennen.

Geometrische Körper Eigenschaften Ecke Fläche Kante Spitze StudySmarterAbbildung 1: Flächen, Ecken und Kanten eines geometrischen Körpers

Die einzelnen Flächen eines Körpers zusammen bilden seine Oberfläche. Du kannst die Größe der Oberfläche bestimmen. Sie wird Oberflächeninhalt genannt.

Die Oberfläche eines geometrischen Körpers setzt sich auf der Grund- bzw. Deckfläche und der Mantelfläche zusammen. Die Grundfläche ist der "Boden" des geometrischen Körper, die Deckfläche der "Deckel". Die Seitenflächen bilden den Mantel des Körpers.

Der Inhalt des geometrischen Körpers wird Volumen genannt. Auch das Volumen eines geometrischen Körpers kannst Du berechnen.

Je nach Anzahl und Formen der begrenzenden Flächen, Ecken und Kanten werden verschiedene Körper unterschieden.

Geometrische Körper – Übersicht & Namen mit Formeln

Hier findest Du eine Übersicht über die bekanntesten geometrischen Körper mit speziellen Namen: Quader, Würfel, Zylinder, Kegel, Pyramide, Prisma und Kugel. Wenn Du auf den Namen des Körpers klickst, öffnet sich eine Erklärung mit weiteren Informationen.

Für jeden geometrischen Körper gibt es eine Formel, mit der Du das Volumen \(V\) des Körpers bestimmen kannst. Dabei ist \(G\) stets die Grundfläche des Körpers und \(h\) die Höhe.

NameErklärungBildFormel Volumen
Quader

Der Schuhkarton aus dem Beispiel ist ein Quader. Er wird von sechs Rechtecken begrenzt, wobei gegenüberliegende Rechtecke kongruent sind.

Jeder Quader hat sechs Flächen, zwölf Kanten und acht Ecken.

Geometrische Körper Namen Übersicht Quader StudySmarter
Abbildung 2: Quader
$$V=G·h$$
oder

$$V=l·b·h$$

mit l Länge und b Breite

Würfel

Sind alle Kanten eines Quaders gleich lang, handelt es sich um einen Würfel.

Jeder Würfel ist auch ein Quader. Deswegen hat auch jeder Würfel sechs Flächen, zwölf Kanten und acht Ecken.

Geometrische Körper Namen Übersicht Würfel StudySmarterAbbildung 3: Würfel

$$V=a^3$$mit a Länge einer Kante
Zylinder

Ein Zylinder ist ein geometrischer Körper mit kongruenten, parallelen Kreisen als Grund- und Deckfläche.

Ein Zylinder besteht aus drei Flächen und zwei Kanten. Er besitzt keine Ecken. Die Mantelfläche ist gekrümmt.

Geometrische Körper Namen Übersicht Zylinder StudySmarterAbbildung 4: Zylinder

$$V=G·h$$$$G=\pi·r^2$$
Kegel

Ein Kegel besteht aus einer kreisförmigen Grundfläche und einer Spitze.

Der Kegel hat zwei Flächen und eine Kante.

Geometrische Körper Namen Übersicht Kegel StudySmarterAbbildung 5: Kegel

$$V=\frac{1}{3}·G·h$$$$G=\pi·r^2$$
Pyramide

Ein geometrischer Körper mit einem n-Eck als Grundfläche, Dreiecken als Seitenflächen und einer Spitze heißt Pyramide.

Die Anzahl an Ecken, Kanten und Flächen einer Pyramide ist von der Grundfläche abhängig.

Geometrische Körper Namen Übersicht Pyramide StudySmarterAbbildung 6: Pyramide

$$V=\frac{1}{3}·G·h$$
Prisma

Ein Prisma hat kongruente, parallele Grund- und Deckflächen. Die Seitenflächen sind Rechtecke.

Auch Quader, Würfel und Zylinder sind Prismen.

Prismen können ganz unterschiedlich aussehen, je nach Anzahl und Formen von Ecken, Kanten und Flächen.

Geometrische Körper Namen Übersicht Prisma StudySmarterAbbildung 7: Prisma

$$V=G·h$$
Kugel

Eine Kugel ist ein völlig runder geometrischer Körper. Alle Punkte auf der Kugel haben denselben Abstand zum Mittelpunkt.

Geometrische Körper Namen Übersicht Kugel StudySmarterAbbildung 8: Kugel

$$V=\frac{4}{3}·\pi ·r^3$$

Vergiss nicht, die Erklärungen zu den einzelnen geometrischen Körpern durch Klicken zu öffnen, wenn Du mehr wissen möchtest.

Zusammengesetze Körper

Es gibt auch Körper, die aus mehreren geometrischen Körpern zusammengesetzt sind.

Zusammengesetzte Körper sind zwei oder mehrere geometrische Körper, die miteinander verbunden sind. Diese Körper bilden einen Gesamtkörper.

Durch das Zusammensetzen der Körper ändern sich die Formen. Auch die Anzahl an Ecken, Kanten und Flächen ist nun anders.

In Abbildung 9 wurde aus einem Zylinder und einer Kugel ein zusammengesetzter Körper.

Geometrische Körper zusammengesetzter Körper StudySmarterAbbildung 9: Zusammengesetzer Körper

Sieh Dir die Erklärung "Zusammengesetze Körper" an, wenn Du mehr wissen möchtest.

Geometrische Körper zeichnen – Darstellungen

Bestimmt hast Du schon einmal versucht, einen geometrischen Körper auf ein Blatt Papier zu zeichnen. Der geometrische Körper ist dreidimensional. Du kannst ihn umfassen. Das Blatt Papier hingegen ist nur zweidimensional. Es hat keinen Rauminhalt. Der Trick ist nun, den Körper auf dem Papier so aussehen zu lassen, als wäre er dreidimensional.

Schrägbild

Eine Möglichkeit, einen geometrischen Körper darzustellen, ist das Schrägbild.

Ein Schrägbild eines geometrischen Körpers ist eine dreidimensional wirkende Darstellung des Körpers auf einer ebenen, zweidimensionalen Fläche. Die Vorderansicht bleibt unverändert, während die Seiten- und Deckflächen verkürzt gezeichnet werden.

Die Bilder zu den einzelnen Körpern in der Tabelle sind Schrägbilder.

In der Erklärung "Schrägbild" findest Du eine ausführliche Beschreibung und Anleitungen zum Zeichnen.

Körpernetz

Du kannst von einem geometrischen Körper auch ein Körpernetz zeichnen. Stell Dir dazu vor, dass Du den geometrischen Körper aufschneidest und auseinanderklappst. In Abbildung 9 siehst Du ein Körpernetz eines Würfels, auch Würfelnetz genannt. Im Körpernetz eines geometrischen Körpers kannst Du die Formen der Flächen erkennen.

Geometrische Körper Darstellungen Körpernetz Würfel StudySmarterAbbildung 10: ein Körpernetz eines Würfels

Unter "Körpernetze" findest Du eine ausführliche Erklärung. Klicke einfach auf den Namen.

Du kannst auch die Erklärung "Darstellung von Körpern" öffnen, um einen ausführlicheren Überblick über die Darstellungen zu erhalten.

Geometrische Körper in der Umwelt und im Alltag

Bestimmt sind Dir in Deinem Alltag und der Umwelt schon geometrische Körper begegnet. Überleg doch einmal, fällt Dir einer ein?

Zu Beginn hast Du bereits den Schuhkarton als geometrischen Körper kennengelernt. Er ist ein Quader.

Häufig sind Gegenstände in Deinem Alltag keine exakten geometrischen Körper. So wird ein Regal oder ein Kleiderschrank manchmal zu einem Quader, wenn Du die Abschlussseiten an den Kanten und die Griffe gedanklich weglässt.

Geometrische Körper Alltag Regal Quader StudySmarter

Abbildung 11: Regal als Quader

Auch in Deiner Umwelt kannst Du geometrische Körper entdecken. Stell Dir zum Beispiel einen Baumstamm ohne Wurzel und Krone vor. Das könnte ein Zylinder sein.

Geometrische Körper Umwelt Baumstamm Zylinder StudySmarter

Abbildung 12: Baumstämme als Zylinder

Auch hier ähnelt der Baumstamm nur einem Zylinder und ist nicht exakt einer. Denn vermutlich ist der Baum nicht komplett gerade gewachsen.

Hast Du Dir mal einen Spielwürfel genauer angesehen? Auf den ersten Blick scheint es, ein geometrischer Würfel zu sein. Das liegt beim Namen ja schon nahe. Aber sieh Dir einmal die Ecken an. Sie sind meist abgerundet. Dann ist auch ein Spielwürfel kein exakter geometrischer Würfel, sondern dem nur sehr ähnlich. Es gibt aber auch Spielwürfel mit Ecken.

Dies sind aber nur Beispiele für geometrische Körper in der Umwelt und dem Alltag. Es gibt noch viele weitere. Vielleicht hast Du ja Lust, in den nächsten Stunden nach geometrischen Körpern in Deiner Umgebung Ausschau zu halten?

Geometrische Flächen und Körper – Unterschied

Vermutlich hast Du neben dem Begriff "Körper" auch schon einmal von Flächen gehört. Auch in dieser Erklärung kamen Flächen unter den Eigenschaften von Körpern vor.

Eine Fläche ist im Unterschied zu einem Körper zweidimensional. Sie hat keinen Rauminhalt.

Aber ein geometrischer Körper besitzt Flächen. Sieh Dir noch einmal Abbildung 1 an. Die Seiten eines Körpers sind Flächen.

Merke Dir also: Eine Fläche ist zweidimensional, ein Körper dreidimensional.

Geometrische Körper Unterschied Körper Fläche StudySmarterAbbildung 13: Unterschied zwischen Körper und Fläche

Geometrische Körper – Aufgaben

Hier findest Du grundlegende Aufgaben zum Thema geometrische Körper. In den Erklärungen zu den einzelnen Körpern sind weitere Aufgaben vorhanden.

Aufgabe 1

Gib die Anzahl an Ecken, Kanten und Flächen von den folgenden Körpern an:

a) eines Quaders

b) eines Zylinders

Lösung

a) Jeder Quader besteht aus genau sechs Flächen. Sie sind alle Rechtecke. Die Anzahl an Ecken ist acht. Er hat zwölf Kanten.

b) Ein Zylinder besteht aus drei Flächen: Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche. Er hat zwei Kanten und keine Ecken.

Aufgabe 2

Gib den Namen des geometrischen Körpers in Abbildung 14 an und begründe Deine Entscheidung.

Geometrischer Körper Aufgabe Name StudySmarterAbbildung 14: geometrischer Körper

Lösung

Der geometrische Körper in Abbildung 14 ist ein Prisma. Die Grundfläche und die Deckfläche (Boden und Deckel) sind kongruent und parallel. Dadurch sind alle Seitenflächen Rechtecke.

Bei einem Prisma ist die Form der Grund- und Deckfläche nicht von Bedeutung. Wichtig ist, dass sie identisch sind.

Geometrische Körper – Das Wichtigste

  • Ein geometrischer Körper ist ein dreidimensionales Gebilde.
  • Geometrische Körper haben einen Rauminhalt.
  • Der geometrische Körper besitzt Flächen, Ecken und Kanten.
  • Wichtige geometrische Körper sind:
    • Kegel, Kugel, Prisma, Pyramide, Quader, Würfel, Zylinder
  • Du kannst den geometrischen Körper als Schrägbild zeichnen.

Nachweise

  1. Becker et al. (2016). Formelsammlung bis zum Abitur - Mathematik - Physik - Astronomie - Chemie - Biologie - Informatik. Duden Schulbuchverlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Geometrische Körper

Bei zusammengesetzten Körpern ergibt es oft Sinn, den Körper "auseinanderzuschneiden" und die Teilkörper einzeln zu berechnen. Um das Volumen eines zusammengesetzten Körpers zu bestimmen, berechnest Du daher das Volumen von jedem Teilkörper und addierst dann. Um die Oberfläche eines zusammengesetzten Körpers zu berechnen, ist es manchmal auch sinnvoll, ihn in Teilflächen zu unterteilen. Manchmal kannst Du einige Flächen aber auch direkt bestimmen. 

Es gibt unendlich viele geometrische Körper. Einige haben spezielle Namen. Diese sind: 

Kegel, Kugel, Prisma, Pyramide, Quader, Würfel, Zylinder

Du kannst einzelne geometrische Körper zusammensetzen und erhältst dann einen zusammengesetzten Körper.

Ein Kreis ist kein Körper, sondern eine Figur oder Form. Der Kreis ist zweidimensional und nicht dreidimensional. Deswegen kann er kein geometrischer Körper sein.

Quader im Alltag kannst Du zum Beispiel als Schuhkarton finden. Auch ein Schrank, ein Regal oder ein Buch können quaderförmig sein.

Ein Pflasterstein ist auch häufig ein Quader.

Finales Geometrische Körper Quiz

Frage

Welche Fläche hat die Grundfläche G bei einem Kegel?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim (geraden) Kegel ist die Grundfläche G eine Kreisfläche

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Kegels?

Antwort anzeigen

Antwort

V = 1 / 3 * π * r² * hk

mit

r = Radius
hk = Höhe des Körpers

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Mantelfläche eines Kegels?

Antwort anzeigen

Antwort

M = 1 / 2 * b * s = π * r * s

mit

r = Radius
b= Umfang des Grundkreises
s = Mantellinie

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man den Umfang eines Kegels?

Antwort anzeigen

Antwort

Umfang u = 2 * π * r

mit

r = Radius

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Oberfläche eines Kegels?

Antwort anzeigen

Antwort

O = π * r² + π * r * s
O = π * r * (r + s)

Frage anzeigen

Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm den Mittelpunktswinkel?

Antwort anzeigen

Antwort

Maß des Mittelpunktswinkels:


a / 360° * π * s² = r*π*s
a / 360 = r / s
a = r / s * 360°
a = 7 cm / 18,38 cm * 360°
a = 137,11°

Frage anzeigen

Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm das Volumen

Antwort anzeigen

Antwort

V = 1 / 3 * r² * π * h
V = 1 / 3 * (7 cm)² * π * 17 cm
V = 872,32 cm³

Frage anzeigen

Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm die Mantelfläche

Antwort anzeigen

Antwort

Mantelfläche:

M = r * π * s
M = 7 cm * π * 18,38 cm
M = 404,20 cm²

Frage anzeigen

Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm die Oberfläche

Antwort anzeigen

Antwort

Oberfläche

O = G + M

O = (7 cm)² * π + M = (7 cm)² + π * r * s
O = (7 cm)² * π + π * 7 cm * 18,38 cm
O = 153,94 cm² + 404,20 cm²
O = 558,14 cm² 

Frage anzeigen

Frage

Die Mantelfläche eines Kreiskegels ist durch einen Kreissektor mit dem Radius s = 15 cm und einen Mittelpunktswinkel ϕ = 135° gegeben. Berechne die Höhe des Kegels

Antwort anzeigen

Antwort

Höhe des Kegels:
s² = h² + r²
h² = s² - r²
h² = (15 cm)² - (5,62 cm)²
h² = 193,42 cm²
h = 13,91 cm

Frage anzeigen

Frage

Die Mantelfläche eines Kreiskegels ist durch einen Kreissektor mit dem Radius s = 15 cm, Radius des Kegels r = 5,62 cm und einen Mittelpunktswinkel ϕ = 135° gegeben. Berechne das Volumen des Kegels

Antwort anzeigen

Antwort

V = 1 / 3 * π * r² * h
V = 1 / 3 * (562 cm)² * π * 13,91 cm
V = 457,62 cm³

Frage anzeigen

Frage

Die Mantelfläche eines Kreiskegels ist durch einen Kreissektor mit dem Radius s = 15 cm, Radius des Kegels r = 5,62 cm, der Mantelfläche = 265,07 cm und einen Mittelpunktswinkel ϕ = 135° gegeben. Berechne die Oberfläche des Kegels

Antwort anzeigen

Antwort

Oberfläche 

O = G + M

O = r² ⋅ π + M

O = (5,62 cm)² ⋅ π + M 

O = 99,22 cm² + 265,07 cm²

O = 364,30 cm²

Frage anzeigen

Frage

Welche zwei Flächen sind bei einem Prisma kongruent?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem Prisma sind Grund- und Deckfläche gleich in Größe und Form; Grund- und Deckfläche sind also kongruent

Frage anzeigen

Frage

Woraus kann die Grundfläche bei einem Prisma bestehen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Grundfläche G kann aus einem beliebigen Vieleck bestehen (Quadrat, gleichseitiges Dreieck, regelmäßiges Sechseck). 


Auch unregelmäßige Vielecke sind möglich.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein gerades Prisma?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem geraden Prisma stehen die Seitenkanten sk senkrecht auf der Grundfläche und verlaufen zur Körperhöhe hk parallel. 


Die Höhe der Seitenfläche hs sowie sk und hk sind dann gleich lang

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein schiefes Prisma?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei schiefen Prismen sind die Seitenkanten nicht senkrecht zur Grundfläche. Solche Körper werden nicht weiter betrachtet.

Frage anzeigen

Frage

Was sind die Seitenflächen von Prismas?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Seitenflächen des Prismas sind Rechtecke

Frage anzeigen

Frage

Was bilden alle Seitenflächen eines Prismas zusammengenommen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Alle Seitenflächen eines Prismas zusammengenommen bilden die Mantelfläche M 

Frage anzeigen

Frage

Was ergibt der abgewickelte Mantel eines Prismas? 

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Rechteck mit der Körperhöhe hk und dem Umfang u der Grundfläche G als Seitenlängen.

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Prismas?

Antwort anzeigen

Antwort

V = G ⋅ hk

mit

G = Grundfläche
hk = Körperhöhe

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Mantelfläche eines Prismas?

Antwort anzeigen

Antwort

M = u * hk

mit

u = Umfang
hk = Körperhöhe

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Oberfläche eines Prismas? 

Antwort anzeigen

Antwort

O = 2 * G + M

mit

G = Grundfläche
M = Mantelfläche (M = u * hk) 

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Würfels?

Antwort anzeigen

Antwort

V = a³


mit a = Seitenlänge 

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Oberfläche eines Würfels?

Antwort anzeigen

Antwort

O = 6 * a²

mit a = Seitenlänge 

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Raumdiagonale eines Würfels?

Antwort anzeigen

Antwort

d = a * 3^0,5

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Quaders?

Antwort anzeigen

Antwort

V = a * b * c

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Raumdiagonale eines Quaders?

Antwort anzeigen

Antwort

d = (a² + b² + c²)^0,5

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Grundfläche bei einem Zylinder? 

Antwort anzeigen

Antwort

Beim Zylinder ist die Grundfläche G eine Kreisfläche mit dem Radius r.

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Zylinders?

Antwort anzeigen

Antwort

V = π ⋅ r² ⋅ hk

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Mantelfläche eines Zylinders?

Antwort anzeigen

Antwort

M = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ hk

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Oberfläche eines Zylinders?

Antwort anzeigen

Antwort

O = 2 ⋅ π ⋅ r² + 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ hk 

O = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ (r + hk)

Frage anzeigen

Frage

Woraus besteht der Mantel eines Zylinders?

Antwort anzeigen

Antwort

Aus einem Rechteck mit der Höhe hk und dem Kreisumfang u = 2 π * r als Seitenlängen.

Frage anzeigen

Frage

Eine Konservendose hat ein Fassungsvermögen von 850 cm³ und einen Durchmesser von 10 cm. Wie hoch ist die Dose?

Antwort anzeigen

Antwort

V = π ⋅ r² ⋅ hk
hk = V / (π ⋅ r²)
hk = 850 cm³ / (π ⋅ (5 cm))²
hk = 10,8 cm   

Frage anzeigen

Frage

Wie wird das Volumen einer Kugel berechnet? 

Gib die Formel an.

Antwort anzeigen

Antwort

Für eine Kugel mit Radius \(r\) gilt für das Volumen \(V\):

$$V=\frac{4}{3} · \pi · r^3$$

Frage anzeigen

Frage

Wie wird die Oberfläche einer Kugel berechnet?

Gib die Formel an.

Antwort anzeigen

Antwort

Für eine Kugel mit Radius \(r\) ist die Formel für die Oberfläche \(O\):

$$O=4· \pi ·r^2$$

Frage anzeigen

Frage

Der Radius einer aufblasbaren Kugel verdoppelt sich. 


Wie groß ist nun das Volumen \(V_{neu}\) der Kugel im Vergleich zum Ausgangszustand?

Antwort anzeigen

Antwort

Neuer Radius \(r_{neu} = 2 · r \) 


\begin{align} V_{neu} &= \frac{4}{3} · \pi · {r_{neu}}^3 \\ & = \frac{4}{3} · \pi · {(2r)}^3 \\ & = \frac{4}{3} · \pi · 8·r^3 \\ & = 8 · \frac{4}{3} · \pi ·r^3 \\ & = 8·V \end{align}


Das Volumen ist achtmal so groß. 

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Volumen einer Kugel mit dem Radius \(r=5\,\text{cm}\).

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align}
V &=\frac{4}{3}·\pi·(5 \text{cm})^3 \\
& =\text{523,6 cm}^3
\end{align}

Frage anzeigen

Frage

Das Volumen einer Kugel beträgt 2 500 cm³. Berechne den Radius der Kugel.

Antwort anzeigen

Antwort

Du stellst die Formel für das Volumen einer Kugel nach dem Radius um.

\begin{align}
V &=\frac{4}{3}·\pi·r^3 \\
\Rightarrow r &=\sqrt[3]{\frac{3}{4}·\frac{V}{\pi}
\end{align}


Einsetzen liefert:

\begin{align}
r &=\sqrt[3]{\frac{3}{4}·\frac{2500\,\text{cm}^3}{\pi}

&=\text{8,42 cm}
\end{align}


Der Radius der Kugel beträgt \(\text{8,42 cm}\). 

Frage anzeigen

Frage

Der Radius einer Kugel beträgt \(\text{8,42 cm}\). 

Berechne die Oberfläche der Kugel.


Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align} O &= 4·\pi·r^2 \\ &=4·\pi·{(\text{8,42 cm})}^2 \\ &=\text{890,91 cm}^2 \end{align}
Die Oberfläche beträgt \(\text{890,91 cm}^2\).


Frage anzeigen

Frage

Für eine Kugel ist die Rechnung \(4·\pi·r^2\) gegeben. Was wird mit dieser Rechnung bestimmt? Wähl aus.

Antwort anzeigen

Antwort

Oberfläche

Frage anzeigen

Frage

Welche Größe bestimmt eine Kugel eindeutig. 

Gib den Namen an.

Antwort anzeigen

Antwort

Radius

Frage anzeigen

Frage

Für eine Kugel ist die Rechnung \(\frac{4}{3}·\pi·r^3\) gegeben. Was wird mit dieser Rechnung bestimmt? Wähl aus.

Antwort anzeigen

Antwort

Volumen

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was der Radius einer Kugel ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Radius einer Kugel ist der Abstand ihres Mittelpunktes von der Oberfläche.

Frage anzeigen

Frage

Ein vollkommen runder geometrischer Körper heißt ...

Gib das richtige Wort an.

Antwort anzeigen

Antwort

Kugel

Frage anzeigen

Frage

Der Radius einer Kugel ist \(r\). 

Wähl die Formel für den Umfang \(U\) aus.

Antwort anzeigen

Antwort

$$U=2\pi r$$

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften hat eine Kugel? 

Wähl aus.

Antwort anzeigen

Antwort

rund

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften besitzt ein Quader?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Quader hat 6 Rechtecke, die rechtwinklig zueinander sind. Es gibt 8 rechtwinklige Ecken und 12 Kanten, von denen jeweils 4 immer gleich lang sind.

Frage anzeigen

Frage

Welche Größen gibt es in einem Quader?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Quader hat drei Größen. Meistens stehen a für die Länge, b für die Breite und c für die Höhe.

Frage anzeigen

Frage

Wie nennt man den Körper wenn alle drei Größen (a,b,c) gleich lang sind?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn alle Seiten gleich lang sind, handelt es sich um einen Würfel.

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften besitzt ein Zylinder?

Antwort anzeigen

Antwort

Neben dem Kreis als Grundfläche hat der Zylinder parallele Begrenzungslinien und einen kongruenten Kreis als Deckfläche.

Frage anzeigen

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