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Geometrische Körper

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Geometrische Körper

In diesem Kapitel wirst du einige geometrische Körper kennenlernen. Es ist im Fach Mathe in den Bereich Geometrie einzuordnen.

Was lernst Du in diesem Kapitel?

Du wirst alles rund um die geometrischen Körper (Raumgeometrie) kennenlernen. Angefangen von Berechnungen und Formeln bis hin zu den verschiedenen Eigenschaften der Körper und Darstellungsmöglichkeiten wirst du hier alles finden.

Schau doch in die verschiedenen Themen einmal rein:

Darstellung von Körpern

In dem Kapitel Darstellung von Körpern lernst du etwas über Körpernetze, Schrägbilder, Grundriss, Aufriss und Seitenriss.

Quader

Ein Quader ist ganz formal ein vierseitiges gerades Prisma. Die Grundfläche und die Seitenflächen sind Rechtecke.

Einfacher gesagt:

Der Quader besteht aus 6 Rechtecken, wo immer jeweils 2 Rechtecke sich gegenüber, und kongruent und parallel zueinander sind. Alle Rechtecke sind rechtwinklig zueinander.

Würfel

Der Würfel ist ein besonderer Quader, bei ihm sind alle 6 Flächen Quadrate. Alle Kanten eines Würfels sind also gleich lang.

Prisma

Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der als Grundfläche und Deckfläche zwei kongruente Vielecke hat. Das können also Dreiecke, Vierecke oder Formen mit mehr Ecken sein. Es wird unterschieden zwischen geraden und schiefen Prismen.

Zylinder

Ein Zylinder ist ein geometrischer Körper, dessen Grund- und Deckfläche zwei kongruente Kreise sind, also zwei Kreise mit demselben Radius. Die Kreise liegen parallel zueinander. Es wird wie bei den Prismen unterschieden zwischen geraden und schiefen Zylindern.

Pyramide

Die Pyramide ist ein Polyeder. Die Grundfläche ist ein Vieleck, und die Seitenflächen Dreiecke.

Kegel

Der Kegel hat als Grundfläche ein Kreis. Dieser ist von einer sogenannten Mantelfläche umgeben, die in eine Spitze nach oben führt.

Kugel und Rotationskörper

Die Kugel, bzw. genauer die Kugeloberfläche, ist die Menge aller Punkte im dreidimensionalen Raum, die von einem gegebenen Mittelpunkt M gleich weit entfernt liegen. Dieser Abstand wird mit Radius r bezeichnet. Der Kugelkörper sind alle diejenigen Punkte, die vom Mittelpunkt maximal den Abstand r haben, also auch alle Punkte, die innerhalb der Kugel liegen.

Ein Rotationskörper oder auch Drehkörper heißt ein Körper, der dadurch entsteht, dass eine ebene Kurve um eine feste Achse gedreht wird.

Platonische / Regelmäßige Körper

Platonische Körper bestehen aus regelmäßigen Vielecken. Auch ein Würfel ist ein platonischer Körper, genauso wie eine gleichseitige Pyramide, das sogenannte Tetraeder, das aus 4 kongruenten Dreiecken besteht. Weitere platonische Körper sind das Oktaeder, das Dodekaeder und das Ikosaeder.

Was solltest du vor diesem Kapitel wissen?

Du solltest die Kapitel geometrische Grundbegriffe und geometrische Figuren zumindest zum Teil bereits durchgearbeitet haben. Vielleicht bist du beim Lesen öfter über den Begriff "kongruent" gestolpert. Was Kongruenz ist, kannst du auch im Kapitel geometrische Figuren nachlesen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Geometrische Körper

Körper sind dreidimensionale geometrische Gebilde. Die Seiten von Körpern nennt man Flächen.

Kanten sind die Punkte, an denen zwei Flächen aufeinandertreffen. Ecken sind die Punkte, an denen drei Flächen aufeinandertreffen. Flächen sind die ebenen Seiten von einem Körper.

Bei zusammengesetzten Körpern macht es oft Sinn, den Körper "auseinanderzuschneiden" und die Teilkörper einzeln zu berechnen. Bei Volumenberechnungen geht das problemlos. Bei Oberflächenberechnungen muss man aber darauf achten, welche Oberflächen durch das "Auseinanderschneiden" neu entstehen!

Finales Geometrische Körper Quiz

Frage

Welche Fläche hat die Grundfläche G bei einem Kegel?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim (geraden) Kegel ist die Grundfläche G eine Kreisfläche

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Kegels?

Antwort anzeigen

Antwort

V = 1 / 3 * π * r² * hk

mit

r = Radius
hk = Höhe des Körpers

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Mantelfläche eines Kegels?

Antwort anzeigen

Antwort

M = 1 / 2 * b * s = π * r * s

mit

r = Radius
b= Umfang des Grundkreises
s = Mantellinie

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man den Umfang eines Kegels?

Antwort anzeigen

Antwort

Umfang u = 2 * π * r

mit

r = Radius

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Oberfläche eines Kegels?

Antwort anzeigen

Antwort

O = π * r² + π * r * s
O = π * r * (r + s)

Frage anzeigen

Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm den Mittelpunktswinkel?

Antwort anzeigen

Antwort

Maß des Mittelpunktswinkels:


a / 360° * π * s² = r*π*s
a / 360 = r / s
a = r / s * 360°
a = 7 cm / 18,38 cm * 360°
a = 137,11°

Frage anzeigen

Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm das Volumen

Antwort anzeigen

Antwort

V = 1 / 3 * r² * π * h
V = 1 / 3 * (7 cm)² * π * 17 cm
V = 872,32 cm³

Frage anzeigen

Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm die Mantelfläche

Antwort anzeigen

Antwort

Mantelfläche:

M = r * π * s
M = 7 cm * π * 18,38 cm
M = 404,20 cm²

Frage anzeigen

Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm die Oberfläche

Antwort anzeigen

Antwort

Oberfläche

O = G + M

O = (7 cm)² * π + M = (7 cm)² + π * r * s
O = (7 cm)² * π + π * 7 cm * 18,38 cm
O = 153,94 cm² + 404,20 cm²
O = 558,14 cm² 

Frage anzeigen

Frage

Die Mantelfläche eines Kreiskegels ist durch einen Kreissektor mit dem Radius s = 15 cm und einen Mittelpunktswinkel ϕ = 135° gegeben. Berechne die Höhe des Kegels

Antwort anzeigen

Antwort

Höhe des Kegels:
s² = h² + r²
h² = s² - r²
h² = (15 cm)² - (5,62 cm)²
h² = 193,42 cm²
h = 13,91 cm

Frage anzeigen

Frage

Die Mantelfläche eines Kreiskegels ist durch einen Kreissektor mit dem Radius s = 15 cm, Radius des Kegels r = 5,62 cm und einen Mittelpunktswinkel ϕ = 135° gegeben. Berechne das Volumen des Kegels

Antwort anzeigen

Antwort

V = 1 / 3 * π * r² * h
V = 1 / 3 * (562 cm)² * π * 13,91 cm
V = 457,62 cm³

Frage anzeigen

Frage

Die Mantelfläche eines Kreiskegels ist durch einen Kreissektor mit dem Radius s = 15 cm, Radius des Kegels r = 5,62 cm, der Mantelfläche = 265,07 cm und einen Mittelpunktswinkel ϕ = 135° gegeben. Berechne die Oberfläche des Kegels

Antwort anzeigen

Antwort

Oberfläche 

O = G + M

O = r² ⋅ π + M

O = (5,62 cm)² ⋅ π + M 

O = 99,22 cm² + 265,07 cm²

O = 364,30 cm²

Frage anzeigen

Frage

Welche zwei Flächen sind bei einem Prisma kongruent?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem Prisma sind Grund- und Deckfläche gleich in Größe und Form; Grund- und Deckfläche sind also kongruent

Frage anzeigen

Frage

Woraus kann die Grundfläche bei einem Prisma bestehen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Grundfläche G kann aus einem beliebigen Vieleck bestehen (Quadrat, gleichseitiges Dreieck, regelmäßiges Sechseck). 


Auch unregelmäßige Vielecke sind möglich.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein gerades Prisma?

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Antwort

Bei einem geraden Prisma stehen die Seitenkanten sk senkrecht auf der Grundfläche und verlaufen zur Körperhöhe hk parallel. 


Die Höhe der Seitenfläche hs sowie sk und hk sind dann gleich lang

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein schiefes Prisma?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei schiefen Prismen sind die Seitenkanten nicht senkrecht zur Grundfläche. Solche Körper werden nicht weiter betrachtet.

Frage anzeigen

Frage

Was sind die Seitenflächen von Prismas?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Seitenflächen des Prismas sind Rechtecke

Frage anzeigen

Frage

Was bilden alle Seitenflächen eines Prismas zusammengenommen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Alle Seitenflächen eines Prismas zusammengenommen bilden die Mantelfläche M 

Frage anzeigen

Frage

Was ergibt der abgewickelte Mantel eines Prismas? 

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Rechteck mit der Körperhöhe hk und dem Umfang u der Grundfläche G als Seitenlängen.

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Prismas?

Antwort anzeigen

Antwort

V = G ⋅ hk

mit

G = Grundfläche
hk = Körperhöhe

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Mantelfläche eines Prismas?

Antwort anzeigen

Antwort

M = u * hk

mit

u = Umfang
hk = Körperhöhe

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Oberfläche eines Prismas? 

Antwort anzeigen

Antwort

O = 2 * G + M

mit

G = Grundfläche
M = Mantelfläche (M = u * hk) 

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Würfels?

Antwort anzeigen

Antwort

V = a³


mit a = Seitenlänge 

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Oberfläche eines Würfels?

Antwort anzeigen

Antwort

O = 6 * a²

mit a = Seitenlänge 

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Raumdiagonale eines Würfels?

Antwort anzeigen

Antwort

d = a * 3^0,5

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Quaders?

Antwort anzeigen

Antwort

V = a * b * c

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Raumdiagonale eines Quaders?

Antwort anzeigen

Antwort

d = (a² + b² + c²)^0,5

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Grundfläche bei einem Zylinder? 

Antwort anzeigen

Antwort

Beim Zylinder ist die Grundfläche G eine Kreisfläche mit dem Radius r.

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Zylinders?

Antwort anzeigen

Antwort

V = π ⋅ r² ⋅ hk

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Mantelfläche eines Zylinders?

Antwort anzeigen

Antwort

M = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ hk

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Oberfläche eines Zylinders?

Antwort anzeigen

Antwort

O = 2 ⋅ π ⋅ r² + 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ hk 

O = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ (r + hk)

Frage anzeigen

Frage

Woraus besteht der Mantel eines Zylinders?

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Antwort

Aus einem Rechteck mit der Höhe hk und dem Kreisumfang u = 2 π * r als Seitenlängen.

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Frage

Eine Konservendose hat ein Fassungsvermögen von 850 cm³ und einen Durchmesser von 10 cm. Wie hoch ist die Dose?

Antwort anzeigen

Antwort

V = π ⋅ r² ⋅ hk
hk = V / (π ⋅ r²)
hk = 850 cm³ / (π ⋅ (5 cm))²
hk = 10,8 cm   

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man das Volumen einer Kugel?

Antwort anzeigen

Antwort

V = 4 / 3 * π * r³

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Oberfläche einer Kugel?

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Antwort

O = 4 * π * r² = π * d²

Frage anzeigen

Frage

Der Radius einer aufblasbaren Kugel verdoppelt sich. 


Wie groß ist nun das Volumen der Kugel im Vergleich zum Ausgangszustand?

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Antwort

Neuer Radius r(neu) = 2 * r 


V(neu) = 4 / 3 * π * r(neu)³
V(neu) = 4 / 3 * π * (2r)³
V(neu) = 4 / 3 * π * 8 *r³
V(neu) = 8 * V(alt)

Das Volumen ist achtmal so groß. 

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Volumen einer Kugel mit dem Radius r = 5 cm.

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Antwort

V = 4 / 3 * π * (5 cm)³
V = 4 / 3 * π * 125 cm³
V = 523,60 cm³

Frage anzeigen

Frage

Das Volumen einer Kugel beträgt 2 500 cm³. Berechne den Radius der Kugel.

Antwort anzeigen

Antwort

V = 4 / 3 * π * r³
r³ = (3 * V) / (4 * π)
r³ = (3 * 2500 cm³) / (4 * π)
r³ = 596,83 cm³
r = 596,83 cm³^1/3
r = 8,42 cm 


Der Radius der Kugel beträgt 8,42 cm

Frage anzeigen

Frage

Der Radius einer Kugel beträgt 8,42 cm. Berechne die Oberfläche der Kugel.


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Antwort

O = 4 * π * r²
O = 4 * π * 8,42 cm²
O = 890,91 cm²

Die Oberfläche beträgt 890,91 cm²

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Frage

Gibt es Kugeln, bei denen die Maßzahlen für Volumen und Oberfläche übereinstimmen? Für welche Radien r ist dies der Fall?

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Antwort

V = A
4 / 3 * π * r² = 4 * π * r²
1/ 3 r = 1
r = 3

Nur für eine Kugel mit r = 3 sind die Maßzahlen für Volumen und Oberfläche gleich.

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Frage

Was ist die bestimmende Größe einer Kugel?

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Antwort

Der Radius r 

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Radius einer Kugel? 

Antwort anzeigen

Antwort

Der Radius einer Kugel ist der Abstand ihres Mittelpunktes von der Oberfläche.

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Frage

Was ist der ebene Schnitt einer Kugel?

Antwort anzeigen

Antwort

Der ebene Schnitt einer Kugel ist ein Kreis.

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Frage

Wie berechnet man das Volumen einer Kugel?

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Antwort

V = 4 / 3 * π * r³

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Frage

Wie berechnet man die Oberfläche einer Kugel?

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Antwort

O = 4 * π * r²

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Frage

Berechne das Volumen einer Kugel, wenn ihr Durchmesser d = 3 dm beträgt.

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Antwort

Durchmesser d = 3 m
-> Radius r = 1,5 m

V = 4 / 3 * π * r³
V = 4 / 3 * π * (1,5 dm)³
V = 14,1 dm³

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Volumen und die Oberfläche einer Kugel mit dem Durchmesser d = 57,2 mm

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Antwort

Der Radius entspricht der Hälfte des Durchmessers:
r = 28.6 mm 


Volumen

V = 4 / 3 * π * r³
V = 4 / 3 * π * (28,6 mm)³
V = 97991 mm³

Oberfläche

O = π * d²

O = π * (57,2 mm)²
O = 10279 mm²

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Frage

Eine Kugel hat ein Volumen von 14 137 cm³. Berechne den Radius und die Oberfläche

Antwort anzeigen

Antwort

Radius

V = 4 / 3 * π * r³
14137 cm³ = 4 / 3 * π * r³
r³ = 3375 cm³
r = 15 cm


Oberfläche (Radius von oben übernehmen)

O = 4 * π * r²

O = 4 * π * (15 cm)²

O = 2827 cm²

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Frage

Marina möchte aus 100 cm³ Schokomasse kugelförmige Pralinen herstellen. Wie viele Pralinen kann sie formen, wenn eine Praline einen Durchmesser von 1,5 cm haben soll?

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Antwort

Volumen einer Praline:


V = 4 / 3 * π * r³
V = 4 / 3 * π * (0,75 cm)³
V = 1,77 cm³

100 cm³ / 1,77 = 56

Marina kann 56 Pralinen formen

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Frage

Welche Eigenschaften besitzt ein Quader?

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Antwort

Ein Quader hat 6 Rechtecke, die rechtwinklig zueinander sind. Es gibt 8 rechtwinklige Ecken und 12 Kanten, von denen jeweils 4 immer gleich lang sind.

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