Hast Du im Mathematik-Unterricht bereits Ebenen mit verschiedenen Ebenengleichungen behandelt? Eine mögliche Ebenengleichung ist die sogenannte Parameterform.
Es gibt auch andere Ebenengleichungen, wie beispielsweise die Koordinatenform oder die Normalenform.
Wie kannst Du diese Form einer Ebene erkennen und sie bestimmen?
Parameterform Ebene – Ebenengleichung in Parameterform
Die Ebene 
in Parameterform wird durch einen Ortsvektor 
zu einem Punkt P in der Ebene und zwei Richtungsvektoren 
und 
dargestellt, die ebenfalls in der Ebene liegen. Es gilt allgemein:
Es gibt übrigens auch bei Geraden eine Parameterform. Möchtest Du mehr über das Thema erfahren, so kannst Du im Artikel „Geradengleichung in Parameterform“ nachlesen.
Zeit für ein Beispiel, bei dem Du die Formel für die Ebene gleich nachvollziehen kannst.
Was aber, wenn Du etwa die Richtungsvektoren nicht gegeben hast, sondern lediglich drei Punkte? Dann kannst Du die Ebenengleichung trotzdem aufstellen.
Parameterform aufstellen – Parameterform aus 3 Punkten
Aus der Definition geht bereits hervor, dass eine Ebene 
einen Stützvektor 
und zwei Richtungsvektoren 
und 
zur Beschreibung benötigt. Hast Du drei Punkte gegeben, die alle in der Ebene liegen sollen, so kannst Du diese nutzen, um die Ebenengleichung aufzustellen.
- Wähle einen Punkt (z. B. P) aus den drei Punkten P, A und B aus, zu dem der Ortsvektor gebildet wird.
- Bilde ausgehend vom ersten Punkt die Verbindungsvektoren
und 
, mit denen die Ebene aufgespannt wird. - Setze die drei Vektoren in die Parameterform ein.
Zur Erinnerung: Verbindungsvektor 
zwischen den Punkten P und A:
Sieh Dir dazu gleich das folgende Beispiel an.
Aufgabe 1
Stelle eine Ebene 
mithilfe der Punkte 
und 
auf.
Lösung
Zunächst wird ein Punkt ausgewählt, zu dem der Ortsvektor gebildet wird. In diesem Fall wird der Punkt P gewählt. Du kannst aber natürlich auch die Punkte A oder B verwenden und die Formel entsprechend anpassen. Damit gilt:
Danach berechnest Du die beiden Vektoren 
und 
, die die beiden Spannvektoren zum Aufspannen der Ebene darstellen.
Jetzt wird der Stützvektor 
und die Vektoren 
und 
in die Parameterform der Ebenengleichung eingesetzt und Du erhältst:
In der folgenden Abbildung 2 kannst Du Dir die Ebene 
sowie die Vektoren und Punkte noch einmal ansehen.
Abb. 2 - Parameterform aufstellen.
Du kannst übrigens die Parameterform auch in anderen Ebenengleichungen umformen, wie beispielsweise die Normalenform. Lies Dir dazu gerne die folgende Vertiefung durch.
Parameterform in Normalenform umwandeln
Eine Ebene 
in Parameterform kannst Du durch verschiedene Rechenschritte in eine Ebenengleichung der folgenden Form umwandeln.
Wie Du diese Umformung durchführst, kannst Du im Artikel „Ebenengleichung umformen“ nachlesen.
Hast Du bereits eine Ebene 
in Parameterform vorliegen, so kannst Du damit auch überprüfen, ob ein beliebiger Punkt in der Ebene liegt.
Punktprobe Parameterform
Möchtest Du rechnerisch ermitteln, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, so kannst Du die sogenannte Punktprobe anwenden. Wie funktioniert das?
- Setze den Ortsvektor zu dem Punkt statt des Ausdrucks
in die Gleichung ein. - Bilde Zeile für Zeile ein Gleichungssystem mit den Unbekannten r und s.
- Berechne r und s und setze diese in die dritte Gleichung ein.
Am besten lässt sich dies anhand eines Beispiels nachvollziehen.
Aufgabe 2
Überprüfe, ob der Punkt 
in der Ebene 
liegt.
Lösung
Zuerst musst Du den Ortsvektor zum gegebenen Punkt C mit der Ebene in Parameterform gleichstellen.
Jetzt machst Du daraus ein lineares Gleichungssystem.
Wie Du ein solches Gleichungssystem Schritt für Schritt berechnest, kannst Du im Artikel „LGS lösen“ nachlesen.
Da es nur zwei Unbekannte r und s gibt, reichen zwei Gleichungen zum Lösen. Nimm Dir also zwei Gleichungen und bestimme damit r und s. Hier kannst Du beispielsweise wie folgt vorgehen:
Die beiden Werte 
und 
werden nun in die dritte Zeile eingesetzt und überprüft, ob auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dasselbe Ergebnis steht.
Das Ergebnis stimmt nicht überein und somit liegt der Punkt C nicht auf der Ebene 
.
Parameterform bestimmen – Übungsaufgaben
Nun kannst Du Dein Wissen überprüfen, in dem Du die Übungsaufgaben rechnest.
Aufgabe 3
Erstelle eine Ebene 
mithilfe der Punkte 
. Überprüfe danach, ob der Punkt
auf der Ebene liegt.
Lösung
Zuerst wählst Du einen Punkt (z. B. Punkt P) als Stützpunkt aus und bildest den Stützvektor.
Dann berechnest Du die beiden Vektoren 
und 
.
Jetzt wird der Stützvektor 
und die Vektoren 
und 
in die Parameterform der Ebenengleichung eingesetzt und Du erhältst die Ebenengleichung.
Um zu überprüfen, ob der Punkt C in der Ebene liegt, musst Du den Ortsvektor zum gegebenen Punkt C mit der Ebene in Parameterform gleichstellen.
Jetzt machst Du daraus ein lineares Gleichungssystem.
Von diesem Gleichungssystem nimmst Du zwei Zeilen und stellst sie einmal nach r und einmal nach s um.
Die beiden Werte 
und 
werden jetzt in die dritte Zeile eingesetzt und es wird geschaut, ob auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dasselbe Ergebnis steht.
Das Ergebnis stimmt nicht überein und somit liegt der Punkt C nicht in der Ebene .
Nachweise
- Pfeffer (1995): Lineare Algebra für Fachoberschulen: Analytische GeometrieKomplexe Zahlen. Friedr. Vieweg & Sohn. Braunschweig/Wiesbaden.
- Wittig (1968): Die Ebene. Friedr. Vieweg & Sohn. Braunschweig.
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in Parameterform:
= 
= Spannvektor/
= Spannvektor/
liegt in einer Ebene 
, welche folgende Ebenengleichung besitzt:
ist der Ortsvektor zum Punkt P. An diesem Punkt werden zwei Richtungsvektoren 
und 
aufgespannt, die nicht kollinear zueinander sind. Sie sind also keine Vielfachen voneinander.
in 
) und zwei Spannvektoren 
und 
aufgestellt, wobei die Spannvektoren keine Vielfachen voneinander sind.
