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Was genau ist eine Ebene?
Eine Ebene im Raum ist ein flaches Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird. Meistens wird sie in einer Parameterform abgebildet. Die Ebene kann aber auch in einer Normalenform und Koordinatenform wiedergegeben werden.
Die Ebene 
in Parameterform wird durch einen Punkt O und zwei Vektoren 
und 
bestimmt, die kein Vielfaches voneinander sind.
Die Ebenengleichung in Parameterform sieht so aus:
= Ortsvektor/Stützvektor, auf dem die Ebene sich stützt. Der Vektor 
entsteht aus dem Punkt O, da der Vektor 
aus dem Ursprung zum Punkt O verläuft.
=Spannvektor/Stützvektor der Ebene , der die Ebene in eine Richtung aufspannt.
=Spannvektor/Stützvektor der Ebene , der die Ebene in eine Richtung aufspannt.
Der nächste Abschnitt zeigt Dir, wie eine Ebene in Parameterform dargestellt wird.
Hier siehst Du eine Parameterform:
Der erste Vektor
ist der oben genannte Punkt 
, auf dem die Ebene 
sich stützt. Auch Stützvektor oder Ortsvektor genannt.
und 
sind die beiden Vektoren, die linear unabhängig sind (kein Vielfaches voneinander). Sie werden auch Spannvektoren genannt, weil sie die Ebene 
aufspannen.
Nun siehst Du die Ebene aus zwei verschiedenen Perspektiven:
Abbildung 1: Ebene E im Raum aus zwei Perspektiven
Eine Parameterform einer Ebenengleichung 
kannst Du mithilfe von drei Punkten O, A und B aufstellen.
Aber wie geht das?
angeben, auf dem sich die Ebene 
stützt.
und 
mit denen die Ebene aufgespannt wird. Durch das Bilden beider Vektoren spannst Du zwei Vektoren einer Ebene auf.
Diesen Vorgang siehst Du jetzt in der Praxis.
Bei einer Punktprobe einer Ebene in Parameterform schaust Du, ob ein gegebener Punkt auf der Ebene liegt.
Wie funktioniert das aber?
Diesen Vorgang siehst Du nun in der Praxis.
Aufgabe 3
Überprüfe, ob der Punkt 
auf der Ebene 
liegt.
Lösung
Zuerst musst Du den gegebenen Punkt P mit der Ebene in Parameterform gleichstellen.
Jetzt machst Du daraus ein lineares Gleichungssystem.
Von diesem Gleichungssystem nimmst Du zwei Zeilen und stellst sie einmal nach r und einmal nach s um.
Die beiden Werte 
und 
werden nun in die dritte Zeile eingesetzt und es wird geschaut, ob auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dasselbe Ergebnis steht.
Das Ergebnis stimmt nicht überein und somit liegt der Punkt P nicht auf der Ebene 
.
Nun kannst Du dein Wissen überprüfen.
Aufgabe 4
Wandle die Ebene 
in Parameterform in eine Ebene in Normalenform um.
Lösung
Zuerst berechnest Du den Normalenvektor 
, indem Du die beiden Spannvektoren ins Kreuzprodukt nimmst.
Danach setzt Du die Vektoren in die Rohform der Ebene in Normalenform ein.
Dadurch erhältst Du die Ebene 
in Normalenform.
Aufgabe 1
Erstelle eine Ebene 
mithilfe der Punkte 
.
Lösung
Zuerst berechnest Du die beiden Vektoren 
und 
, in dem Du den Vektor 
vom einmal vom Vektor 
und einmal vom Vektor 
subtrahierst.
Somit erhältst Du die Vektoren 
und 
.
Jetzt wird der Stützvektor 
und die Vektoren 
und 
in die Parameterform der Ebenengleichung eingesetzt.
Die Ebenengleichung 
in Parameterform der drei Punkte O, A und B lautet:
Abbildung 4: Ebenengleichung in Parameterform aufstellen
In diesem Abschnitt geht es um das Umwandeln einer Ebenengleichung aus der Parameterform in eine Normalenform. Die Umformung der Ebene läuft nach folgendem Schema ab:
Um eine Parameterform in eine Normalenform umzuwandeln, musst Du die beiden Spannvektoren 
und 
ins Kreuzprodukt nehmen, um die Grundlage – den Normalvektor 
– zu schaffen. Dieser wird dann im Skalarprodukt mit dem Vektor 
multipliziert, welcher vom Stützvektor 
der Parameterform subtrahiert wird.
Nun siehst Du in der Praxis, wie eine Ebene in Parameterform in eine Ebene in Normalenform umgewandelt wird.
Aufgabe 2
Forme die Ebene 
in Parameterform in eine Normalenform um.
Lösung
Zuerst berechnest Du den Normalenvektor 
, indem Du die beiden Spannvektoren 
und 
in einem Kreuzprodukt verrechnest.
Durch das Einsetzen der Vektoren 
und 
in die Formel des Kreuzprodukts erhältst Du den Normalenvektor.
Jetzt kannst Du die Vektoren in die Normalenform einsetzen.
Der erste Vektor ist der Normalenvektor 
und die beiden anderen Vektoren sind der Vektor 
und der Stützvektor 
. Diese wurden in die Rohfassung der Normalenform eingesetzt und das wurde gleich 0 gesetzt.
Hier siehst Du eine Abbildung zur Veranschaulichung:
Aufgabe 5
Erstelle eine Ebene 
mithilfe der Punkte 
.
Lösung
Zuerst berechnest Du die beiden Vektoren 
und 
, in dem Du den Vektor 
vom einmal vom Vektor 
und einmal vom Vektor 
subtrahierst.
Somit erhältst Du die Vektoren 
und 
.
Jetzt wird der Stützvektor 
und die Vektoren 
und 
in die Parameterform der Ebenengleichung eingesetzt.
Die Ebenengleichung 
in Parameterform der drei Punkte O, A und B lautet:
Aufgabe 6
Überprüfe, ob der Punkt 
auf der Ebene 
liegt.
Lösung
Zuerst musst Du den gegebenen Punkt P mit der Ebene in Parameterform gleichstellen.
Jetzt machst Du daraus ein lineares Gleichungssystem.
Von diesem Gleichungssystem nimmst Du zwei Zeilen und stellst sie einmal nach r und einmal nach s um.
Die beiden Werte 
und 
werden nun in die dritte Zeile eingesetzt und es wird geschaut, ob auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dasselbe Ergebnis steht.
Das Ergebnis stimmt nicht überein und somit liegt der Punkt P nicht auf der Ebene .
im Raum ist ein flaches Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird. in einer Parameterform wiedergegeben. Sie kann aber auch in einer Normalenform, und Koordinatenform veranschaulicht werden.in Parameterform wird durch einen Punkt P (Stützvektor/Ortsvektor
) und zwei Vektoren bestimmt, die kein Vielfaches voneinander sind (Spannvektoren 
und 
).
, einem x-Vektor, der den Aufbau eines normalen Vektors darstellt und dem Ortsvektor/Stützvektor 
. Im Folgenden siehst Du die Rohform der Normalenform, die auch aus einer Parameterform erstellt wird.
formuliert man, in dem man beide Spannvektoren der Parameterform ins Kreuzprodukt nimmt. Hier siehst Du das Kreuzprodukt:
kann man auch aus einer Koordinatenform erstellen, in dem man willkürliche Punkte P auf der Ebene wählt.
teilst.kannst Du mithilfe von drei Punkten O, A und B aufstellen.
angeben, auf dem sich die Ebene stützt.
und 
mit denen die Ebene aufgespannt wird. Durch das Bilden beider Vektoren spannst Du zwei Vektoren einer Ebene auf.Zuerst musst Du den Punkt O als Stützvektor o angeben, auf dem sich die Ebene E:x stützt. Danach bildest Du die beiden Spannvektoren OA und OB, mit denen die Ebene aufgespannt wird. Durch das Bilden beider Vektoren spannst Du zwei Vektoren einer Ebene auf. Die drei Vektoren werden noch in die Parameterform der Ebenengleichung zusammengefügt.
Um eine Parameterform in eine Normalenform umzuwandeln, musst Du die beiden Spannvektoren a und b ins Kreuzprodukt nehmen, um die Grundlage – den Normalvektor n – zu schaffen. Dieser wird dann im Skalarprodukt mit dem Vektor x multipliziert, welcher vom Stützvektor o der Parameterform subtrahiert wird.
Die Parameterform sieht folgendermaßen aus:
E:x=o+r x a+s x b
o=Ortsvektor/Stützvektor, auf dem die Ebene sich stützt. Der Vektor o entsteht aus dem Punkt O, da der Vektor aus dem Ursprung zum Punkt O verläuft.
Es wird eine Koordinatenform vorgegeben und versucht, mögliche Punkte P auf der Ebene E:x zu finden. Diese Punkte P werden als Vektoren o, a und b eingesetzt.
In der Regel macht man dann einen Punkt P(x|0|0), die 0 vereinfacht den Vorgang. Das x wird immer an die Stelle gesetzt, in welche Richtung auf der x-Achse gegangen wird. Bei x1 kommt die Zahl an die erste Stelle des Punktes P. Bei x2 kommt die Zahl an die zweite Stelle des Punktes P(0|x|0) und bei x3 kommt es an die dritte Stelle des Punktes P.
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