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Was genau ist eine Ebene?
Eine Ebene im Raum ist ein flaches Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird. Meistens wird sie in einer Parameterform abgebildet. Die Ebene kann aber auch in einer Normalenform und Koordinatenform wiedergegeben werden.
Die Ebene in Parameterform wird durch einen Punkt O und zwei Vektoren
und
bestimmt, die kein Vielfaches voneinander sind.
Die Ebenengleichung in Parameterform sieht so aus:
= Ortsvektor/Stützvektor, auf dem die Ebene
sich stützt. Der Vektor
entsteht aus dem Punkt O, da der Vektor
aus dem Ursprung zum Punkt O verläuft.
=Spannvektor/Stützvektor der Ebene
, der die Ebene in eine Richtung aufspannt.
=Spannvektor/Stützvektor der Ebene
, der die Ebene in eine Richtung aufspannt.
Der nächste Abschnitt zeigt Dir, wie eine Ebene in Parameterform dargestellt wird.
Hier siehst Du eine Parameterform:
Der erste Vektor ist der oben genannte Punkt
, auf dem die Ebene
sich stützt. Auch Stützvektor oder Ortsvektor genannt.
und
sind die beiden Vektoren, die linear unabhängig sind (kein Vielfaches voneinander). Sie werden auch Spannvektoren genannt, weil sie die Ebene
aufspannen.
Nun siehst Du die Ebene aus zwei verschiedenen Perspektiven:
Abbildung 1: Ebene E im Raum aus zwei Perspektiven
Eine Parameterform einer Ebenengleichung kannst Du mithilfe von drei Punkten O, A und B aufstellen.
Aber wie geht das?
Diesen Vorgang siehst Du jetzt in der Praxis.
Bei einer Punktprobe einer Ebene in Parameterform schaust Du, ob ein gegebener Punkt auf der Ebene liegt.
Wie funktioniert das aber?
Diesen Vorgang siehst Du nun in der Praxis.
Aufgabe 3
Überprüfe, ob der Punkt auf der Ebene
liegt.
Lösung
Zuerst musst Du den gegebenen Punkt P mit der Ebene in Parameterform gleichstellen.
Jetzt machst Du daraus ein lineares Gleichungssystem.
Von diesem Gleichungssystem nimmst Du zwei Zeilen und stellst sie einmal nach r und einmal nach s um.
Die beiden Werte und
werden nun in die dritte Zeile eingesetzt und es wird geschaut, ob auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dasselbe Ergebnis steht.
Das Ergebnis stimmt nicht überein und somit liegt der Punkt P nicht auf der Ebene .
Nun kannst Du dein Wissen überprüfen.
Aufgabe 4
Wandle die Ebene in Parameterform in eine Ebene in Normalenform um.
Lösung
Zuerst berechnest Du den Normalenvektor , indem Du die beiden Spannvektoren ins Kreuzprodukt nimmst.
Danach setzt Du die Vektoren in die Rohform der Ebene in Normalenform ein.
Dadurch erhältst Du die Ebene in Normalenform.
Aufgabe 1
Erstelle eine Ebene mithilfe der Punkte
.
Lösung
Zuerst berechnest Du die beiden Vektoren und
, in dem Du den Vektor
vom einmal vom Vektor
und einmal vom Vektor
subtrahierst.
Somit erhältst Du die Vektoren und
.
Jetzt wird der Stützvektor und die Vektoren
und
in die Parameterform der Ebenengleichung eingesetzt.
Die Ebenengleichung in Parameterform der drei Punkte O, A und B lautet:
Abbildung 4: Ebenengleichung in Parameterform aufstellen
In diesem Abschnitt geht es um das Umwandeln einer Ebenengleichung aus der Parameterform in eine Normalenform. Die Umformung der Ebene
läuft nach folgendem Schema ab:
Um eine Parameterform in eine Normalenform umzuwandeln, musst Du die beiden Spannvektoren und
ins Kreuzprodukt nehmen, um die Grundlage – den Normalvektor
– zu schaffen. Dieser wird dann im Skalarprodukt mit dem Vektor
multipliziert, welcher vom Stützvektor
der Parameterform subtrahiert wird.
Nun siehst Du in der Praxis, wie eine Ebene in Parameterform in eine Ebene
in Normalenform umgewandelt wird.
Aufgabe 2
Forme die Ebene in Parameterform in eine Normalenform um.
Lösung
Zuerst berechnest Du den Normalenvektor , indem Du die beiden Spannvektoren
und
in einem Kreuzprodukt verrechnest.
Durch das Einsetzen der Vektoren und
in die Formel des Kreuzprodukts erhältst Du den Normalenvektor.
Jetzt kannst Du die Vektoren in die Normalenform einsetzen.
Der erste Vektor ist der Normalenvektor und die beiden anderen Vektoren sind der Vektor
und der Stützvektor
. Diese wurden in die Rohfassung der Normalenform eingesetzt und das wurde gleich 0 gesetzt.
Hier siehst Du eine Abbildung zur Veranschaulichung:
Aufgabe 5
Erstelle eine Ebene mithilfe der Punkte
.
Lösung
Zuerst berechnest Du die beiden Vektoren und
, in dem Du den Vektor
vom einmal vom Vektor
und einmal vom Vektor
subtrahierst.
Somit erhältst Du die Vektoren und
.
Jetzt wird der Stützvektor und die Vektoren
und
in die Parameterform der Ebenengleichung eingesetzt.
Die Ebenengleichung in Parameterform der drei Punkte O, A und B lautet:
Aufgabe 6
Überprüfe, ob der Punkt auf der Ebene
liegt.
Lösung
Zuerst musst Du den gegebenen Punkt P mit der Ebene in Parameterform gleichstellen.
Jetzt machst Du daraus ein lineares Gleichungssystem.
Von diesem Gleichungssystem nimmst Du zwei Zeilen und stellst sie einmal nach r und einmal nach s um.
Die beiden Werte und
werden nun in die dritte Zeile eingesetzt und es wird geschaut, ob auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dasselbe Ergebnis steht.
Das Ergebnis stimmt nicht überein und somit liegt der Punkt P nicht auf der Ebene .
Zuerst musst Du den Punkt O als Stützvektor o angeben, auf dem sich die Ebene E:x stützt. Danach bildest Du die beiden Spannvektoren OA und OB, mit denen die Ebene aufgespannt wird. Durch das Bilden beider Vektoren spannst Du zwei Vektoren einer Ebene auf. Die drei Vektoren werden noch in die Parameterform der Ebenengleichung zusammengefügt.
Um eine Parameterform in eine Normalenform umzuwandeln, musst Du die beiden Spannvektoren a und b ins Kreuzprodukt nehmen, um die Grundlage – den Normalvektor n – zu schaffen. Dieser wird dann im Skalarprodukt mit dem Vektor x multipliziert, welcher vom Stützvektor o der Parameterform subtrahiert wird.
Die Parameterform sieht folgendermaßen aus:
E:x=o+r x a+s x b
o=Ortsvektor/Stützvektor, auf dem die Ebene sich stützt. Der Vektor o entsteht aus dem Punkt O, da der Vektor aus dem Ursprung zum Punkt O verläuft.
Es wird eine Koordinatenform vorgegeben und versucht, mögliche Punkte P auf der Ebene E:x zu finden. Diese Punkte P werden als Vektoren o, a und b eingesetzt.
In der Regel macht man dann einen Punkt P(x|0|0), die 0 vereinfacht den Vorgang. Das x wird immer an die Stelle gesetzt, in welche Richtung auf der x-Achse gegangen wird. Bei x1 kommt die Zahl an die erste Stelle des Punktes P. Bei x2 kommt die Zahl an die zweite Stelle des Punktes P(0|x|0) und bei x3 kommt es an die dritte Stelle des Punktes P.
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