Wie wird die Parameterform in die Koordinatenform umgewandelt?

Zunächst wird der Normalenvektor aus den Spannvektoren gebildet und in die Koordinatenform für a, b und c eingesetzt: ax1 + bx2 + cx3 = d. Danach wird der Stützpunkt anstelle von x1, x2 und x3 eingesetzt und damit d ausgerechnet.

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Hast Du im Mathematik-Unterricht bereits Ebenen mit verschiedenen Ebenengleichungen behandelt? Eine mögliche Ebenengleichung ist die sogenannte Parameterform.

Es gibt auch andere Ebenengleichungen, wie beispielsweise die Koordinatenform oder die Normalenform.

Wie kannst Du diese Form einer Ebene erkennen und sie bestimmen?

Parameterform Ebene – Ebenengleichung in Parameterform

Die Ebene $E : \vec{x}$ in Parameterform wird durch einen Ortsvektor $\vec{p}$ zu einem Punkt P in der Ebene und zwei Richtungsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt, die ebenfalls in der Ebene liegen. Es gilt allgemein:

Ebene $E : \vec{x}$ in Parameterform:

$E : \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b}$

$\vec{p}$ = Ortsvektor/Stützvektor, auf dem sich die Ebene $E : \vec{x}$ stützt

$\vec{a}$ = Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene $E : \vec{x}$

$\vec{b}$ = Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene $E : \vec{x}$

Es gibt übrigens auch bei Geraden eine Parameterform. Möchtest Du mehr über das Thema erfahren, so kannst Du im Artikel „Geradengleichung in Parameterform“ nachlesen.

Zeit für ein Beispiel, bei dem Du die Formel für die Ebene gleich nachvollziehen kannst.

Ein Punkt $P (1 | 1 | 1)$ liegt in einer Ebene $E : \vec{x}$ , welche folgende Ebenengleichung besitzt:

$E : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix})$

Der erste Vektor $\vec{p}$ ist der Ortsvektor zum Punkt P. An diesem Punkt werden zwei Richtungsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannt, die nicht kollinear zueinander sind. Sie sind also keine Vielfachen voneinander.

Mit diesen Angaben kannst Du nun Deine Ebene $E : \vec{x}$ in ein Koordinatensystem einzeichnen.

Parameterform Ebene E StudySmarter Abb. 1 - Ebene E.

Was aber, wenn Du etwa die Richtungsvektoren nicht gegeben hast, sondern lediglich drei Punkte? Dann kannst Du die Ebenengleichung trotzdem aufstellen.

Parameterform aufstellen – Parameterform aus 3 Punkten

Aus der Definition geht bereits hervor, dass eine Ebene $E : \vec{x}$ einen Stützvektor $\vec{p}$ und zwei Richtungsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ zur Beschreibung benötigt. Hast Du drei Punkte gegeben, die alle in der Ebene liegen sollen, so kannst Du diese nutzen, um die Ebenengleichung aufzustellen.

Wähle einen Punkt (z. B. P) aus den drei Punkten P, A und B aus, zu dem der Ortsvektor gebildet wird.
Bilde ausgehend vom ersten Punkt die Verbindungsvektoren $\vec{P A}$ und $\vec{P B}$ , mit denen die Ebene aufgespannt wird.
Setze die drei Vektoren in die Parameterform ein.

Zur Erinnerung: Verbindungsvektor $\vec{P A}$ zwischen den Punkten P und A: $\vec{P A} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) - (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix})$

Sieh Dir dazu gleich das folgende Beispiel an.

Aufgabe 1

Stelle eine Ebene $E : \vec{x}$ mithilfe der Punkte $P (1 | - 1 | 2); A (3 | 2 | 1)$ und $B (4 | 1 | 5)$ auf.

Lösung

Zunächst wird ein Punkt ausgewählt, zu dem der Ortsvektor gebildet wird. In diesem Fall wird der Punkt P gewählt. Du kannst aber natürlich auch die Punkte A oder B verwenden und die Formel entsprechend anpassen. Damit gilt:

$\vec{p} = \vec{O P} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})$

Danach berechnest Du die beiden Vektoren $\vec{P A}$ und $\vec{P B}$ , die die beiden Spannvektoren zum Aufspannen der Ebene darstellen.

$\begin{array}{rcl} \vec{P A} & = & (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & - & 1 \\ 2 & + & 1 \\ 1 & - & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}) \\ \vec{P B} & = & (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 & - & 1 \\ 1 & + & 1 \\ 5 & - & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) \end{array}$

Jetzt wird der Stützvektor $\vec{p}$ und die Vektoren $\vec{P A}$ und $\vec{P B}$ in die Parameterform der Ebenengleichung eingesetzt und Du erhältst:

$\begin{array}{rcl} E : \vec{x} & = & \vec{p} + r \cdot \vec{P A} + s \cdot \vec{P B} \\ E : \vec{x} & = & (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) \end{array}$

In der folgenden Abbildung 2 kannst Du Dir die Ebene $E : \vec{x}$ sowie die Vektoren und Punkte noch einmal ansehen.

Parameterform aufstellen StudySmarter Abb. 2 - Parameterform aufstellen.

Du kannst übrigens die Parameterform auch in anderen Ebenengleichungen umformen, wie beispielsweise die Normalenform. Lies Dir dazu gerne die folgende Vertiefung durch.

Parameterform in Normalenform umwandeln

Eine Ebene $E : \vec{x}$ in Parameterform kannst Du durch verschiedene Rechenschritte in eine Ebenengleichung der folgenden Form umwandeln.

$E : \vec{x} : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{p}] = 0$

Ebene $E : \vec{x}$ in Parameterform:

$E : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})$

Ebene $E : \vec{x}$ in Normalenform:

(\begin{matrix} 9 \\ 12 \\ - 21 \end{matrix}) \circ [\begin{matrix} (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) \end{matrix}] = 0

Wie Du diese Umformung durchführst, kannst Du im Artikel „Ebenengleichung umformen“ nachlesen.

Hast Du bereits eine Ebene $E : \vec{x}$ in Parameterform vorliegen, so kannst Du damit auch überprüfen, ob ein beliebiger Punkt in der Ebene liegt.

Punktprobe Parameterform

Möchtest Du rechnerisch ermitteln, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, so kannst Du die sogenannte Punktprobe anwenden. Wie funktioniert das?

Setze den Ortsvektor zu dem Punkt statt des Ausdrucks $E : \vec{x}$ in die Gleichung ein.
Bilde Zeile für Zeile ein Gleichungssystem mit den Unbekannten r und s.
Berechne r und s und setze diese in die dritte Gleichung ein.

Am besten lässt sich dies anhand eines Beispiels nachvollziehen.

Aufgabe 2

Überprüfe, ob der Punkt $C (2 | 4 | 5)$ in der Ebene $E : \vec{x}$ liegt.

$E : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})$

Lösung

Zuerst musst Du den Ortsvektor zum gegebenen Punkt C mit der Ebene in Parameterform gleichstellen.

$(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})$

Jetzt machst Du daraus ein lineares Gleichungssystem.

$1 .) 2 = 1 + 0 r + 1 s 2 .) 4 = 2 + 2 r + 0 s 3 .) 5 = 3 + 3 r + 2 s$

Wie Du ein solches Gleichungssystem Schritt für Schritt berechnest, kannst Du im Artikel „LGS lösen“ nachlesen.

Da es nur zwei Unbekannte r und s gibt, reichen zwei Gleichungen zum Lösen. Nimm Dir also zwei Gleichungen und bestimme damit r und s. Hier kannst Du beispielsweise wie folgt vorgehen:

$\begin{array}{rcl} 1 .) 2 & = & 1 + 0 r + s | \begin{matrix} - 1 \end{matrix} \\ 2 - 1 & = & s \\ 1 & = & s \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 2 .) 4 & = & 2 + 2 r + 0 s \begin{matrix} | - 2 \end{matrix} \\ 2 & = & 2 r \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} & | : 2 \end{matrix} \\ 1 & = & r \end{array}$

Die beiden Werte $s = 1$ und $r = 1$ werden nun in die dritte Zeile eingesetzt und überprüft, ob auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dasselbe Ergebnis steht.

$\begin{array}{rcl} 3 .) 5 & = & 3 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \\ 5 & = & 3 + 3 + 2 \\ 5 & = & 8 \end{array}$

Das Ergebnis stimmt nicht überein und somit liegt der Punkt C nicht auf der Ebene $E : \vec{x}$ .

Parameterform bestimmen – Übungsaufgaben

Nun kannst Du Dein Wissen überprüfen, in dem Du die Übungsaufgaben rechnest.

Aufgabe 3

Erstelle eine Ebene $E : \vec{x}$ mithilfe der Punkte $P (2 | - 1 | 3); A (4 | 2 | 1); B (2 | 3 | 6)$ . Überprüfe danach, ob der Punkt $C (4 | - 1 | 2)$ auf der Ebene liegt.

Lösung

Zuerst wählst Du einen Punkt (z. B. Punkt P) als Stützpunkt aus und bildest den Stützvektor.

$\vec{p} = \vec{O P} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})$

Dann berechnest Du die beiden Vektoren $\vec{P A}$ und $\vec{P B}$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{P A} & = & (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 & - & 2 \\ 2 & + & 1 \\ 1 & - & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix}) \\ \vec{P B} & = & (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & - & 2 \\ 3 & + & 1 \\ 6 & - & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) \end{array}$

Jetzt wird der Stützvektor $\vec{p}$ und die Vektoren $\vec{P A}$ und $\vec{P B}$ in die Parameterform der Ebenengleichung eingesetzt und Du erhältst die Ebenengleichung.

$\begin{array}{rcl} E : \vec{x} & = & \vec{p} + r \cdot \vec{P A} + s \cdot \vec{P B} \\ E : \vec{x} & = & (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) \end{array}$

Um zu überprüfen, ob der Punkt C in der Ebene liegt, musst Du den Ortsvektor zum gegebenen Punkt C mit der Ebene in Parameterform gleichstellen.

$(\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) = \begin{array}{rcl} (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}) \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} r \end{array} \begin{array}{rcl} \cdot \end{array} \begin{array}{rcl} (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix}) \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} s \end{array} \begin{array}{rcl} \cdot \end{array} \begin{array}{rcl} (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) \end{array}$

Jetzt machst Du daraus ein lineares Gleichungssystem.

$\begin{array}{rcl} 1 .) 4 & = & 2 + 2 r + 0 s \\ 2 .) - 1 & = & - 1 + 3 r + 4 s \\ 3 .) 2 & = & 3 - 2 r + 3 s \end{array}$

Von diesem Gleichungssystem nimmst Du zwei Zeilen und stellst sie einmal nach r und einmal nach s um.

$\begin{array}{rcl} 1 .) 4 & = & 2 + 2 r + 0 s \begin{matrix} | - 2 \end{matrix} \\ 2 & = & 2 r \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} & | : 2 \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \\ 1 & = & r \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 2 .) - 1 & = & - 1 + 3 \cdot 1 + 4 s \begin{matrix} \begin{matrix} | + 1 & | - 3 \end{matrix} \end{matrix} \\ - 3 & = & 4 s \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} & | : 4 \end{matrix} \\ - \frac{3}{4} & = & s \end{array}$

Die beiden Werte $s = - \frac{3}{4}$ und $r = 1$ werden jetzt in die dritte Zeile eingesetzt und es wird geschaut, ob auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dasselbe Ergebnis steht.

$\begin{array}{rcl} 3 .) 2 & = & 3 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot (- \frac{3}{4}) \\ 2 & = & - 1, 25 \end{array}$

Das Ergebnis stimmt nicht überein und somit liegt der Punkt C nicht in der Ebene $E : \vec{x}$ .

Parameterform – Das Wichtigste

Eine Ebene $E : \vec{x}$ im Raum ist ein flaches Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.
Die Ebenengleichung der Ebene kann beispielsweise in der Parameterform, der Normalenform oder der Koordinatenform angegeben werden.
Die Ebene $E : \vec{x}$ in Parameterform wird durch einen Punkt P (Stützvektor/Ortsvektor $\vec{p}$ ) und zwei Spannvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgestellt, wobei die Spannvektoren keine Vielfachen voneinander sind.

$E : \vec{x} = \vec{o} + r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b}$

Aus drei Punkten lässt sich die Ebene in Parameterform aufstellen, indem ein Stützvektor und zwei Verbindungsvektoren (als Spannvektoren) gebildet werden.

Nachweise

Pfeffer (1995): Lineare Algebra für Fachoberschulen: Analytische GeometrieKomplexe Zahlen. Friedr. Vieweg & Sohn. Braunschweig/Wiesbaden.
Wittig (1968): Die Ebene. Friedr. Vieweg & Sohn. Braunschweig.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Parameterform

Für die Parameterform werden ein Stützvektor zu einem Punkt P in der Ebene, sowie zwei Spannvektoren vom Punkt P ausgehend, benötigt. Dazu werden die Verbindungsvektoren von Punkt P zu Punkt A und von Punkt P zu Punkt B gebildet. Die drei Vektoren werden in die Gleichung der Parameterform eingesetzt.

Die Parameterform ist eine mögliche Form der Ebenengleichung einer Ebene. Sie setzt sich aus einem Stützvektor und zwei Spannvektoren zusammen.

Die Ebene in Parameterform wird aufgebaut durch einen Stützvektor und zwei Spannvektoren, die die Ebene aufspannen.

Zunächst wird der Normalenvektor aus den Spannvektoren gebildet und in die Koordinatenform für a, b und c eingesetzt: ax₁ + bx₂ + cx₃ = d. Danach wird der Stützpunkt anstelle von x₁, x₂ und x₃ eingesetzt und damit d ausgerechnet.

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