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Parameterform

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Parameterform

Was genau ist eine Ebene?

Eine Ebene im Raum ist ein flaches Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird. Meistens wird sie in einer Parameterform abgebildet. Die Ebene kann aber auch in einer Normalenform und Koordinatenform wiedergegeben werden.

Ebenengleichung – Parameterform

Die Ebene in Parameterform wird durch einen Punkt O und zwei Vektoren und bestimmt, die kein Vielfaches voneinander sind.

Die Ebenengleichung in Parameterform sieht so aus:

Parameterform Ebenengleichung StudySmarter

= Ortsvektor/Stützvektor, auf dem die Ebene sich stützt. Der Vektor entsteht aus dem Punkt O, da der Vektor aus dem Ursprung zum Punkt O verläuft.

=Spannvektor/Stützvektor der Ebene , der die Ebene in eine Richtung aufspannt.

=Spannvektor/Stützvektor der Ebene , der die Ebene in eine Richtung aufspannt.

Der nächste Abschnitt zeigt Dir, wie eine Ebene in Parameterform dargestellt wird.

Hier siehst Du eine Parameterform:

Der erste Vektor ist der oben genannte Punkt , auf dem die Ebene sich stützt. Auch Stützvektor oder Ortsvektor genannt.

und sind die beiden Vektoren, die linear unabhängig sind (kein Vielfaches voneinander). Sie werden auch Spannvektoren genannt, weil sie die Ebene aufspannen.

Nun siehst Du die Ebene aus zwei verschiedenen Perspektiven:

Parameterform Ebene E:x im Raum aus zwei Perspektiven StudySmarterAbbildung 1: Ebene E im Raum aus zwei Perspektiven

Parameterform einer Ebene aufstellen

Eine Parameterform einer Ebenengleichung kannst Du mithilfe von drei Punkten O, A und B aufstellen.

Aber wie geht das?

  1. Zuerst musst Du den Punkt O als Stützvektor angeben, auf dem sich die Ebene stützt.
  2. Danach bildest Du die beiden Spannvektoren und mit denen die Ebene aufgespannt wird. Durch das Bilden beider Vektoren spannst Du zwei Vektoren einer Ebene auf.
  3. Die drei Vektoren werden noch in die Parameterform der Ebenengleichung zusammengefügt.

Diesen Vorgang siehst Du jetzt in der Praxis.

Punktprobe einer Ebene in Parameterform

Bei einer Punktprobe einer Ebene in Parameterform schaust Du, ob ein gegebener Punkt auf der Ebene liegt.

Wie funktioniert das aber?

  1. Zuerst musst Du den gegebenen Punkt P mit der Ebene in Parameterform gleichstellen. Somit hast Du ein lineares Gleichungssystem.
  2. Zwei Reihen dieses Gleichungssystems stellst Du einmal nach r und einmal nach s um.
  3. Wenn Du r und s berechnet hast, setzt Du diese in die dritte Zeile ein und schaust, ob auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dasselbe Ergebnis berechnet hast.

Diesen Vorgang siehst Du nun in der Praxis.

Aufgabe 3

Überprüfe, ob der Punkt auf der Ebene liegt.

Lösung

Zuerst musst Du den gegebenen Punkt P mit der Ebene in Parameterform gleichstellen.

Jetzt machst Du daraus ein lineares Gleichungssystem.

Von diesem Gleichungssystem nimmst Du zwei Zeilen und stellst sie einmal nach r und einmal nach s um.

Die beiden Werte und werden nun in die dritte Zeile eingesetzt und es wird geschaut, ob auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dasselbe Ergebnis steht.

Das Ergebnis stimmt nicht überein und somit liegt der Punkt P nicht auf der Ebene .

Ebenengleichung in Parameterform - Übungen

Nun kannst Du dein Wissen überprüfen.

Aufgabe 4

Wandle die Ebene in Parameterform in eine Ebene in Normalenform um.

Lösung

Zuerst berechnest Du den Normalenvektor , indem Du die beiden Spannvektoren ins Kreuzprodukt nimmst.

Danach setzt Du die Vektoren in die Rohform der Ebene in Normalenform ein.

Dadurch erhältst Du die Ebene in Normalenform.

Aufgabe 1

Erstelle eine Ebene mithilfe der Punkte .

Lösung

Zuerst berechnest Du die beiden Vektoren und , in dem Du den Vektor vom einmal vom Vektor und einmal vom Vektor subtrahierst.

Somit erhältst Du die Vektoren und .

Jetzt wird der Stützvektor und die Vektoren und in die Parameterform der Ebenengleichung eingesetzt.

Die Ebenengleichung in Parameterform der drei Punkte O, A und B lautet:

Parameterform Ebenengleichung in Parameterform aufstellen StudySmarterAbbildung 4: Ebenengleichung in Parameterform aufstellen

Parameterform umformen

In diesem Abschnitt geht es um das Umwandeln einer Ebenengleichung aus der Parameterform in eine Normalenform. Die Umformung der Ebene läuft nach folgendem Schema ab:

Um eine Parameterform in eine Normalenform umzuwandeln, musst Du die beiden Spannvektoren und ins Kreuzprodukt nehmen, um die Grundlage – den Normalvektor – zu schaffen. Dieser wird dann im Skalarprodukt mit dem Vektor multipliziert, welcher vom Stützvektor der Parameterform subtrahiert wird.

Nun siehst Du in der Praxis, wie eine Ebene in Parameterform in eine Ebene in Normalenform umgewandelt wird.

Aufgabe 2

Forme die Ebene in Parameterform in eine Normalenform um.

Lösung

Zuerst berechnest Du den Normalenvektor , indem Du die beiden Spannvektoren und in einem Kreuzprodukt verrechnest.

Durch das Einsetzen der Vektoren und in die Formel des Kreuzprodukts erhältst Du den Normalenvektor.

Jetzt kannst Du die Vektoren in die Normalenform einsetzen.

Der erste Vektor ist der Normalenvektor und die beiden anderen Vektoren sind der Vektor und der Stützvektor . Diese wurden in die Rohfassung der Normalenform eingesetzt und das wurde gleich 0 gesetzt.

Hier siehst Du eine Abbildung zur Veranschaulichung:

Parameterform Ebene E im Koordinatensystem StudySmarter

Aufgabe 5

Erstelle eine Ebene mithilfe der Punkte .

Lösung

Zuerst berechnest Du die beiden Vektoren und , in dem Du den Vektor vom einmal vom Vektor und einmal vom Vektor subtrahierst.

Somit erhältst Du die Vektoren und .

Jetzt wird der Stützvektor und die Vektoren und in die Parameterform der Ebenengleichung eingesetzt.

Die Ebenengleichung in Parameterform der drei Punkte O, A und B lautet:

Aufgabe 6

Überprüfe, ob der Punkt auf der Ebene liegt.

Lösung

Zuerst musst Du den gegebenen Punkt P mit der Ebene in Parameterform gleichstellen.

Jetzt machst Du daraus ein lineares Gleichungssystem.

Von diesem Gleichungssystem nimmst Du zwei Zeilen und stellst sie einmal nach r und einmal nach s um.

Die beiden Werte und werden nun in die dritte Zeile eingesetzt und es wird geschaut, ob auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dasselbe Ergebnis steht.

Das Ergebnis stimmt nicht überein und somit liegt der Punkt P nicht auf der Ebene .

Parameterform - Das Wichtigste

  • Eine Ebene im Raum ist ein flaches Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.
  • Meistens wird die Ebene in einer Parameterform wiedergegeben. Sie kann aber auch in einer Normalenform, und Koordinatenform veranschaulicht werden.
  • Die Ebene in Parameterform wird durch einen Punkt P (Stützvektor/Ortsvektor) und zwei Vektoren bestimmt, die kein Vielfaches voneinander sind (Spannvektoren und ).

  • Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor , einem x-Vektor, der den Aufbau eines normalen Vektors darstellt und dem Ortsvektor/Stützvektor . Im Folgenden siehst Du die Rohform der Normalenform, die auch aus einer Parameterform erstellt wird.

  • Die Koordinatenform ist die ausmultiplizierte Form der Normalenform. Sie sieht folgendermaßen aus:

  • Auf diese Art formt man auch eine Koordinatenform einer Ebene E aus einer Normalenform.
  • Einen Normalenvektor formuliert man, in dem man beide Spannvektoren der Parameterform ins Kreuzprodukt nimmt. Hier siehst Du das Kreuzprodukt:

  • Eine Parameterform einer Ebene kann man auch aus einer Koordinatenform erstellen, in dem man willkürliche Punkte P auf der Ebene wählt.
  • Die Punkte P findest Du heraus, in dem Du den Skalar hinter dem Gleichheitszeichen durch die Zahlen des Normalvektors teilst.
  • Eine Parameterform einer Ebenengleichung kannst Du mithilfe von drei Punkten O, A und B aufstellen.
    1. Zuerst musst Du den Punkt O als Stützvektor angeben, auf dem sich die Ebene stützt.
    2. Danach bildest Du die beiden Spannvektoren und mit denen die Ebene aufgespannt wird. Durch das Bilden beider Vektoren spannst Du zwei Vektoren einer Ebene auf.
    3. Die drei Vektoren werden noch in die Parameterform der Ebenengleichung zusammengefügt.

Nachweise

  1. Pfeffer (1995): Lineare Algebra für Fachoberschulen: Analytische GeometrieKomplexe Zahlen. Friedr. Vieweg & Sohn. Braunschweig/Wiesbaden.
  2. Wittig (1968): Die Ebene. Friedr. Vieweg & Sohn. Braunschweig.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Parameterform

Zuerst musst Du den Punkt O als Stützvektor o angeben, auf dem sich die Ebene E:x stützt. Danach bildest Du die beiden Spannvektoren OA und OB, mit denen die Ebene aufgespannt wird. Durch das Bilden beider Vektoren spannst Du zwei Vektoren einer Ebene auf. Die drei Vektoren werden noch in die Parameterform der Ebenengleichung zusammengefügt.

Um eine Parameterform in eine Normalenform umzuwandeln, musst Du die beiden Spannvektoren a und b ins Kreuzprodukt nehmen, um die Grundlage – den Normalvektor n – zu schaffen. Dieser wird dann im Skalarprodukt mit dem Vektor x multipliziert, welcher vom Stützvektor o der Parameterform subtrahiert wird. 

Die Parameterform sieht folgendermaßen aus:


E:x=o+r x a+s x b


o=Ortsvektor/Stützvektor, auf dem die Ebene sich stützt. Der Vektor o entsteht aus dem Punkt O, da der Vektor aus dem Ursprung zum Punkt O verläuft. 

Es wird eine Koordinatenform vorgegeben und versucht, mögliche Punkte P auf der Ebene E:x zu finden. Diese Punkte P werden als Vektoren o, a und b eingesetzt. 

In der Regel macht man dann einen Punkt P(x|0|0), die 0 vereinfacht den Vorgang. Das x wird immer an die Stelle gesetzt, in welche Richtung auf der x-Achse gegangen wird. Bei x kommt die Zahl an die erste Stelle des Punktes P. Bei x2 kommt die Zahl an die zweite Stelle des Punktes P(0|x|0) und bei xkommt es an die dritte Stelle des Punktes P.

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