Rechts oder links lang? Warum nicht einfach durch die Mitte?
Und der Weg, der zwischen zwei Schenkeln genau der mittlere ist, heißt Winkelhalbierende.
Wie Du diese konstruierst und was sie für Eigenschaften hat, kannst Du in dieser Erklärung nachlesen.
Winkelhalbierende Definition
Die Winkelhalbierende ist genauso wie die Kreislinie, die Mittelsenkrechte, ein Parallelenpaar und die Mittelparallele ein geometrischer Ort.
Zur Erinnerung: Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine gewisse Bedingung erfüllen.
Die Winkelhalbierende halbiert gemäß ihres Namens einen Winkel in zwei gleich große – also kongruente – Winkel.
Etwas formaler kann man die Winkelhalbierende wie folgt definieren:
Die Winkelhalbierende \( w_\alpha \) ist diejenige Gerade zum Winkel \( \alpha \), die durch den Scheitelpunkt S des Winkels geht und diesen in zwei kongruente Winkelfelder - also in zwei gleich große Winkel - teilt.
Beide dabei entstehende Winkel entsprechen dem Wert \(\frac {\alpha}{2}\).
Abb.1: Geraden g und h mit Winkelhalbierender \( w_\alpha \)
Winkelhalbierende Eigenschaften
Insgesamt gibt es vier verschiedene Eigenschaften, die eine Winkelhalbierende als geometrisches Objekt definieren.
Winkelhalbierende sind Geraden
Winkelhalbierende sind Geraden, haben also keinen Anfangspunkt und keinen Endpunkt. Häufig werden Winkelhalbierende als Halbgeraden oder sogar als Strecken gezeichnet. Der Übersicht halber ist das in Ordnung, Du solltest aber wissen, dass es sich eigentlich um Geraden handelt!
Die Winkelhalbierende als Symmetrieachse des Winkels
Da die Winkelhalbierende einen Winkel in zwei exakt gleich große Winkel teilt, ist sie die Symmetrieachse des Winkels.
Es ist also möglich, den geteilten Winkel durch eine Spiegelung an der Achse auf die andere Seite zu projizieren.
Abstand eines Punktes auf der Winkelhalbierenden und den Schenkeln des Winkels
Liegt ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden, so ist sein Abstand zu beiden Schenkeln (g und h) des Winkels \( \alpha \) gleich groß.
Abb.2: Geraden mit Winkelhalbierender und Abstände
Zur Erinnerung: Der Abstand wird immer mithilfe eines Lotes ermittelt.
Diese Eigenschaft kann man auch andersherum formulieren: hat ein Punkt P denselben Abstand zu den Schenkeln eines Winkels, dann liegt er auf der Winkelhalbierenden.
Auf der Winkelhalbierenden liegen also alle Punkte, die zu beiden Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand haben.
Abstand eines Punktes auf dem Schenkel des Winkels und der Winkelhalbierenden
Daraus ergibt sich noch eine weitere Eigenschaft: zu jedem Punkt E auf dem Schenkel g des Winkels gibt es einen Punkt F auf dem anderen Schenkel h des Winkels, der denselben Abstand zur Winkelhalbierenden hat.
Abb.3: Geraden mit Winkelhalbierende und Abstände
Hier wird auch der Abstand ermittelt, das Lot aber auf den jeweiligen Schenkel gefällt.
Winkelhalbierende konstruieren
Wenn Du ohne Länge oder Winkel nachzumessen, konkret nachzumessen, also nur mit Zirkel und Lineal die Winkelhalbierende konstruieren möchtest, dann lernst Du in diesem Kapitel, wie das geht.
Winkelhalbierende Dreieck
Im Dreieck können mindestens zwei Winkelhalbierende interessante Eigenschaften sichtbar machen. Dafür musst Du sie nur für den Winkel jeder Ecke konstruieren.
Winkelhalbierende Dreieck Schnittpunkt
In diesem Bild siehst Du die Winkelhalbierenden eines Dreiecks (Winkelhalbierende sind ja Geraden, haben also eigentlich keinen Anfangspunkt und keinen Endpunkt!). Alle drei gelben Winkelhalbierenden schneiden sich immer im gleichen Punkt. Hier ist dieser Schnittpunkt violett markiert.
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