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In diesem Artikel geht es um die Winkelhalbierende. Wie du eine Winkelhalbierende in verschiedenen geometrischen Objekten erzeugst und wieso diese sich auch in Koordinatensystemen wiederfindet, zeigen wir dir in diesem Artikel.
Die Winkelhalbierende ist genauso wie die Kreislinie, die Mittelsenkrechte, ein Parallelenpaar und die Mittelparallele ein geometrischer Ort.
Zur Erinnerung: Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine gewisse Bedingung erfüllen.
Die Winkelhalbierende halbiert gemäß ihres Namens einen Winkel in zwei gleich große – also kongruente – Winkel.
Etwas formaler kann man die Winkelhalbierende wie folgt definieren:
Die Winkelhalbierende 
ist diejenige Gerade zum Winkel 
, die durch den Scheitelpunkt S des Winkels geht und diesen in zwei kongruente Winkelfelder - also in zwei gleich große Winkel - teilt.
Beide dabei entstehende Winkel entsprechen dem Wert 
.
Insgesamt gibt es vier verschiedene Eigenschaften die eine Winkelhalbierende als geometrisches Objekt definieren.
Winkelhalbierende sind Geraden, haben also keinen Anfangspunkt und keinen Endpunkt. Häufig werden Winkelhalbierende als Halbgeraden oder sogar als Strecken gezeichnet. Der Übersicht halber ist das in Ordnung, du solltest aber wissen, dass es sich eigentlich um Geraden handelt!
Da die Winkelhalbierende einen Winkel in zwei exakt gleich große Winkel teilt, ist sie die Symmetrieachse des Winkels. Es ist also möglich, den geteilten Winkel durch eine Spiegelung an der Achse auf die andere Seite zu projizieren.
Liegt ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden, so ist sein Abstand zu beiden Schenkeln (g und h) des Winkels 
gleich groß.
Abbildung 2: Geraden mit Winkelhalbierender und Abstände
Zur Erinnerung: Der Abstand wird immer mithilfe eines Lots ermittelt!
Diese Eigenschaft kann man auch andersherum formulieren: hat ein Punkt P denselben Abstand zu den Schenkeln eines Winkels, dann liegt er auf der Winkelhalbierenden.
Auf der Winkelhalbierenden liegen also alle Punkte, die zu beiden Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand haben.
Daraus ergibt sich noch eine weitere Eigenschaft: zu jedem Punkt E auf dem Schenkel g des Winkels gibt es einen Punkt F auf dem anderen Schenkel h des Winkels, der denselben Abstand zur Winkelhalbierenden hat.
Die Winkelhalbierende eines Winkels kann recht einfach mithilfe eines Zirkels konstruiert werden. Wie das funktioniert, kannst du im Kapitel Konstruktionen nachlesen, das du im Themengebiet Geometrie findest.
Da es in einem Dreieck drei Innenwinkel gibt, gibt es auch drei Winkelhalbierende. Diese schneiden sich in genau einem Punkt, der innerhalb des Dreiecks liegt! Und das ganz unabhängig davon, um welche Art von Dreieck es sich handelt.
Zur Erinnerung: An jedem Eckpunkt des Dreiecks befindet sich der zugehörige Innenwinkel: 
.
In diesem Bild siehst du drei verschiedene Dreiecke und ihre Winkelhalbierenden, die der Übersicht halber nur als Strecken eingezeichnet sind (Winkelhalbierende sind ja Geraden, haben also eigentlich keinen Anfangspunkt und keinen Endpunkt!). Obwohl die Dreiecke so unterschiedlich sind, schneiden sich die Winkelhalbierenden jeweils in einem Punkt, der im Inneren des Dreiecks liegt. Diese Schnittpunkte sind türkis markiert.Allein diese Eigenschaft der Winkelhalbierenden ist faszinierend. Und es kommt noch mehr! Der Schnittpunkt dieser drei Ortslinien, der im Folgenden S genannt wird, hat auch eine wichtige Eigenschaft: Er ist der Mittelpunkt des Inkreises!
Der Inkreis eines Dreiecks ist derjenige Kreis, der alle drei Seiten des Dreiecks von innen berührt.
Da der Inkreis also alle drei Seiten des Dreiecks berührt, hat der Mittelpunkt S den gleichen Abstand zu allen drei Seiten, nämlich genau den Radius des Inkreises.
Diese unglaubliche Eigenschaft des Schnittpunkts S der Winkelhalbierenden wird auch in einem Satz festgehalten, der auch kurz bewiesen werden soll.
Die Winkelhalbierenden der Innenwinkel eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt S. Der Punkt S hat von den drei Seiten des Dreiecks denselben Abstand und ist somit der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks.
| Beweis Beschreibung: | Abbildung 6-11: Winkelhalbierende im Dreieck |
Schritt 1:Gegeben sei ein beliebiges Dreieck ABC mit den Seiten a, b und c sowie den Innenwinkeln  und  . |
|
Schritt 2:Die beiden Winkelhalbierenden  und  der Innenwinkel  und  schneiden sich in einem Punkt, der im Folgenden S genannt wird. |
|
Schritt 3: Da S auf der Winkelhalbierenden |
|
Schritt 4: Da S ja auch auf der Winkelhalbierenden |
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Schritt 5: Damit folgt aber, dass auch d(S; a)=d(S; b) und somit der Punkt S auch auf der Winkelhalbierenden wγ liegen muss. |
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Schritt 6: Abschließend kann ein Kreis mit dem Radius d(S; a) um den Punkt S konstruiert werden, der alle drei Seiten berührt und somit der Inkreis ist. |
|
Und fertig ist der Beweis des Satzes von den Winkelhalbierenden im Dreieck!
Natürlich gibt es die Winkelhalbierende nicht nur im Dreieck, sondern auch im Viereck und in jedem weiteren Vieleck.
Auch im Viereck schneiden sich die Winkelhalbierenden, jedoch nicht zwingend in einem Punkt. Das hängt davon ab, um welche Art von Viereck es sich handelt. Die verschiedenen Fälle schauen wir uns an.
Zur Erinnerung: das Quadrat ist ein ganz besonderes Viereck: Es hat vier gleichlange Seiten und alle vier Innenwinkel haben eine Größe von 90°, sind also rechte Winkel.
Die Winkelhalbierenden im Quadrat weisen folgende Eigenschaften auf:
Der Schnittpunkt der vier Winkelhalbierenden ist zudem der Mittelpunkt des Umkreises des Quadrats.
Zur Erinnerung: Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem die beiden gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel liegen und gleich lang sind, und bei dem alle vier Innenwinkel eine Größe von 90° haben, also rechte Winkel sind.
Im Rechteck schneiden sich die Winkelhalbierenden nicht in einem Punkt. Vielmehr ergeben sie vier Schnittpunkte.
Die Winkelhalbierenden der Innenwinkel eines jeden Rechtecks umschließen dabei ein Quadrat. Das heißt: Ihre Schnittpunkte sind die Eckpunkte eines Quadrats. Dies hängt nicht von der Art des Rechtecks ab! Ist das Rechteck jedoch sehr schmal, kann das umschlossene Quadrat auch teilweise außerhalb des Rechtecks liegen.
Mithilfe einer Dynamischen-Geometrie-Software kannst du diese Eigenschaft leicht nachprüfen und super verstehen. Falls du nicht sowieso bereit eine solche Software im Mathematik-Unterricht kennengelernt hast, dann frage doch deinen Mathematik-Lehrer um eine Empfehlung!
Zur Erinnerung: Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind.
Im Parallelogramm verhält es sich recht ähnlich wie im Rechteck: es entstehen vier Schnittpunkte zwischen den Winkelhalbierenden der Innenwinkel. Allerdings umschließen diese kein Quadrat, sondern ein Rechteck.
Wenn du das Haus der Vierecke durchgehst, gibt es noch ein paar weitere Arten von Vierecke. Die Eigenschaften der Winkelhalbierenden dieser Vierecke werden hier kurz aufgelistet. Wenn du möchtest, kannst du diese Aussagen mithilfe einer Dynamischen-Geometrie-Software überprüfen.
Hinweis: Das Haus der Vierecke findest du in der Zusammenfassung "Haus der Vierecke" im Bereich Viereck genau erklärt.
Auch im kartesischen Koordinatensystem gibt es Winkelhalbierende. Diese spielen beispielsweise für die Umkehrfunktion eine Rolle.
Es gibt zwei Winkelhalbierende im Koordinatensystem:
Die Winkelhalbierenden halbieren dabei jeweils die Winkel zwischen den beiden Koordinatenachsen. Beide Winkelhalbierenden sind dabei Ursprungsgeraden, die 1. Winkelhalbierende hat die Steigung 1, die 2. Winkelhalbierende die Steigung -1. Bist du dir nicht mehr ganz sicher, was es mit dem Begriff der Steigung auf sich hat, so lies einfach im entsprechenden Kapitel noch einmal nach.
Vielleicht ist dir aufgefallen, dass im Kapitel immer die Rede von Winkelhalbierenden von Innenwinkeln war. Das bedeutet aber nicht, dass die Winkelhalbierenden der Außenwinkel unwichtig wären! Im Dreieck sind sie beispielsweise notwendig, um den Ankreis am Dreieck zu finden.
Falls dich das interessiert, empfehle ich den Artikel Ankreis eines Dreiecks im Kapitel besondere Kreise eines Dreiecks.
Eine Winkelhalbierende ist eine Gerade, die durch den Scheitel eines Winkels verläuft und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck ist zum Beispiel der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks. Möchtest du den Inkreis konstruieren, dann brauchst du die Winkelhalbierende.
Möchtest du bestimmte Winkel konstruieren, also mit Zirkel und ohne Geodreieck, dann brauchst du die Winkelhalbierende auch.
Zunächst teilt die Winkelhalbierende eines Innenwinkels des Dreiecks diesen Winkel in zwei gleichgroße Winkel.
Außerdem ist jede Winkelhalbierende in einem gleichseitigen Dreieck eine Symmetrieachse.
Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt. Dieser ist der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks.
Die Winkelhalbierende eines Innenwinkels teilt zudem die gegenüberliegende Seite des Dreiecks im Verhältnis der beiden anliegenden Seiten.
Die Winkelhalbierende kann man konstruieren. Dafür sticht man zuerst mit dem Zirkel in den Scheitels des Winkels ein und markiert mit demselben Radius jeweils einen Punkt auf den beiden Schenkeln des Winkels. Dann sticht man mit dem Zirkel zuerst in den Punkt auf dem einen Schenkel und zeichnet im inneren des Winkelfelds einen Halbkreis, dann sticht man in den Punkt auf dem anderen Schenkel und zeichnet mit demselben Radius ebenfalls einen solchen Halbkreis. Die beiden Halbkreise sollten sich in zwei Punkten schneiden (ist das nicht der Fall, war der Radius zu klein gewählt). Wenn diese beiden Punkte nun mit dem Scheitel des Winkels verbunden werden, ist die Winkelhalbierende fertig.
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liegt, hat S denselben Abstand zu den Seiten b und c, alsod(S; b)=d(S; c).
liegt, hatS denselben Abstand zu den Seiten a und c, alsod(S; a)=d(S; c).
