Winkelhalbierende: Erklärung, Berechnung & Beispiele
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Winkelhalbierende

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Mathe

In diesem Artikel geht es um die Winkelhalbierende. Wie du eine Winkelhalbierende in verschiedenen geometrischen Objekten erzeugst und wieso diese sich auch in Koordinatensystemen wiederfindet, zeigen wir dir in diesem Artikel.



Definition Winkelhalbierende


Die Winkelhalbierende ist genauso wie die Kreislinie, die Mittelsenkrechte, ein Parallelenpaar und die Mittelparallele ein geometrischer Ort.


Zur Erinnerung: Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine gewisse Bedingung erfüllen. 


Die Winkelhalbierende halbiert gemäß ihres Namens einen Winkel in zwei gleich große – also kongruente – Winkel.

Etwas formaler kann man die Winkelhalbierende wie folgt definieren:


Die Winkelhalbierende ist diejenige Gerade zum Winkel , die durch den Scheitelpunkt S des Winkels geht und diesen in zwei kongruente Winkelfelder - also in zwei gleich große Winkel - teilt.

Beide dabei entstehende Winkel entsprechen dem Wert .


Winkelhalbierende, StudySmarterAbbildung 1: Geraden mit Winkelhalbierender 



Wichtige Eigenschaften der Winkelhalbierenden


Insgesamt gibt es vier verschiedene Eigenschaften die eine Winkelhalbierende als geometrisches Objekt definieren.

Winkelhalbierende sind Geraden


Winkelhalbierende sind Geraden, haben also keinen Anfangspunkt und keinen Endpunkt. Häufig werden Winkelhalbierende als Halbgeraden oder sogar als Strecken gezeichnet. Der Übersicht halber ist das in Ordnung, du solltest aber wissen, dass es sich eigentlich um Geraden handelt! 


Die Winkelhalbierende als Symmetrieachse des Winkels


Da die Winkelhalbierende einen Winkel in zwei exakt gleich große Winkel teilt, ist sie die Symmetrieachse des Winkels. Es ist also möglich, den geteilten Winkel durch eine Spiegelung an der Achse auf die andere Seite zu projizieren.


Abstand eines Punktes auf der Winkelhalbierenden und den Schenkeln des Winkels


Liegt ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden, so ist sein Abstand zu beiden Schenkeln (g und h) des Winkels  gleich groß.


Winkelhalbierende, Winkelhalbierende Definition, StudySmarterAbbildung 2: Geraden mit Winkelhalbierender und Abstände 

Zur Erinnerung: Der Abstand wird immer mithilfe eines Lots ermittelt!


Diese Eigenschaft kann man auch andersherum formulieren: hat ein Punkt P denselben Abstand zu den Schenkeln eines Winkels, dann liegt er auf der Winkelhalbierenden.


Auf der Winkelhalbierenden liegen also alle Punkte, die zu beiden Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand haben.


Abstand eines Punktes auf dem Schenkel des Winkels und der Winkelhalbierenden


Daraus ergibt sich noch eine weitere Eigenschaft: zu jedem Punkt E auf dem Schenkel g des Winkels gibt es einen Punkt F auf dem anderen Schenkel h des Winkels, der denselben Abstand zur Winkelhalbierenden hat.


                                    Winkelhalbierende, Winkelhalbierende Definition, StudySmarterAbbildung 3: Geraden mit Winkelhalbierende und Abstände  


Hier wird auch der Abstand ermittelt, das Lot aber auf den jeweiligen Schenkel gefällt.



Konstruktion der Winkelhalbierenden


Die Winkelhalbierende eines Winkels kann recht einfach mithilfe eines Zirkels konstruiert werden. Wie das funktioniert, kannst du im Kapitel Konstruktionen nachlesen, das du im Themengebiet Geometrie findest.



Die Winkelhalbierende im Dreieck – Der Inkreis


Da es in einem Dreieck drei Innenwinkel gibt, gibt es auch drei Winkelhalbierende. Diese schneiden sich in genau einem Punkt, der innerhalb des Dreiecks liegt! Und das ganz unabhängig davon, um welche Art von Dreieck es sich handelt. 


Zur Erinnerung: An jedem Eckpunkt des Dreiecks befindet sich der zugehörige Innenwinkel: .


                                Winkelhalbierende, Winkelhalbierende Dreieck, StudySmarterAbbildung 4: Winkelhalbierende von verschiedenen Dreiecken

In diesem Bild siehst du drei verschiedene Dreiecke und ihre Winkelhalbierenden, die der Übersicht halber nur als Strecken eingezeichnet sind (Winkelhalbierende sind ja Geraden, haben also eigentlich keinen Anfangspunkt und keinen Endpunkt!). Obwohl die Dreiecke so unterschiedlich sind, schneiden sich die Winkelhalbierenden jeweils in einem Punkt, der im Inneren des Dreiecks liegt. Diese Schnittpunkte sind türkis markiert.

Allein diese Eigenschaft der Winkelhalbierenden ist faszinierend. Und es kommt noch mehr! Der Schnittpunkt dieser drei Ortslinien, der im Folgenden S genannt wird, hat auch eine wichtige Eigenschaft: Er ist der Mittelpunkt des Inkreises!

Der Inkreis eines Dreiecks ist derjenige Kreis, der alle drei Seiten des Dreiecks von innen berührt.    

Winkelhalbierende, Winkelhalbierende Dreieck, Inkreis, StudySmarterAbbildung 5: Inkreis des Dreiecks ABC


Da der Inkreis also alle drei Seiten des Dreiecks berührt, hat der Mittelpunkt S den gleichen Abstand zu allen drei Seiten, nämlich genau den Radius des Inkreises. 


Diese unglaubliche Eigenschaft des Schnittpunkts S der Winkelhalbierenden wird auch in einem Satz festgehalten, der auch kurz bewiesen werden soll.


Satz von den Winkelhalbierenden im Dreieck


Die Winkelhalbierenden der Innenwinkel eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt S. Der Punkt S hat von den drei Seiten des Dreiecks denselben Abstand und ist somit der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks.



Beweis Beschreibung:Abbildung 6-11: Winkelhalbierende im Dreieck
Schritt 1:
Gegeben sei ein beliebiges Dreieck ABC mit den Seiten a, b und c sowie den Innenwinkeln  und .

Winkelhalbierende, Winkelhalbierende Dreieck, StudySmarter

Schritt 2:
Die beiden Winkelhalbierenden  und  der Innenwinkel  und  schneiden sich in einem Punkt, der im Folgenden S genannt wird.

Winkelhalbierende, Winkelhalbierende Dreieck, StudySmarter

Schritt 3:

Da S auf der Winkelhalbierenden liegt, hat S denselben Abstand zu den Seiten b und c, also
d(S; b)=d(S; c).


Winkelhalbierende, Winkelhalbierende Dreieck, StudySmarter

Schritt 4:

Da S ja auch auf der Winkelhalbierenden liegt, hat
S denselben Abstand zu den Seiten a und c, also
d(S; a)=d(S; c).


Winkelhalbierende, Winkelhalbierende Dreieck, StudySmarter

Schritt 5:

Damit folgt aber, dass auch d(S; a)=d(S; b) und somit der Punkt S auch auf der Winkelhalbierenden wγ liegen muss. 


Winkelhalbierende, Winkelhalbierende Dreieck, StudySmarter

Schritt 6:

Abschließend kann ein Kreis mit dem Radius d(S; a) um den Punkt S konstruiert werden, der alle drei Seiten berührt und somit der Inkreis ist. 


Winkelhalbierende, Winkelhalbierende Dreieck, Inkreis, StudySmarter


Und fertig ist der Beweis des Satzes von den Winkelhalbierenden im Dreieck!



Die Winkelhalbierende im Viereck


Natürlich gibt es die Winkelhalbierende nicht nur im Dreieck, sondern auch im Viereck und in jedem weiteren Vieleck. 


Auch im Viereck schneiden sich die Winkelhalbierenden, jedoch nicht zwingend in einem Punkt. Das hängt davon ab, um welche Art von Viereck es sich handelt. Die verschiedenen Fälle schauen wir uns an.


Die Winkelhalbierende im Quadrat


Zur Erinnerung: das Quadrat ist ein ganz besonderes Viereck: Es hat vier gleichlange Seiten und alle vier Innenwinkel haben eine Größe von 90°, sind also rechte Winkel.


Die Winkelhalbierenden im Quadrat weisen folgende Eigenschaften auf:


  • Sie schneiden sich wie im Dreieck in einem Punkt. 
  • Die Winkelhalbierenden zweier gegenüberliegender Punkte sind identisch.
  • Die Winkelhalbierenden verlaufen auf den Diagonalen des Quadrats.


                                                                    Abbildung 12: Winkelhalbierende im Quadrat

Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist dabei wieder der Mittelpunkt des Inkreises des Quadrats!


Der Schnittpunkt der vier Winkelhalbierenden ist zudem der Mittelpunkt des Umkreises des Quadrats.


Winkelhalbierende im Rechteck


Zur Erinnerung: Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem die beiden gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel liegen und gleich lang sind, und bei dem alle vier Innenwinkel eine Größe von 90° haben, also rechte Winkel sind.


Im Rechteck schneiden sich die Winkelhalbierenden nicht in einem Punkt. Vielmehr ergeben sie vier Schnittpunkte.


                                                    Abbildung 13: Winkelhalbierende im Rechteck

 

Die Winkelhalbierenden der Innenwinkel eines jeden Rechtecks umschließen dabei ein Quadrat. Das heißt: Ihre Schnittpunkte sind die Eckpunkte eines Quadrats. Dies hängt nicht von der Art des Rechtecks ab! Ist das Rechteck jedoch sehr schmal, kann das umschlossene Quadrat auch teilweise außerhalb des Rechtecks liegen.


Mithilfe einer Dynamischen-Geometrie-Software kannst du diese Eigenschaft leicht nachprüfen und super verstehen. Falls du nicht sowieso bereit eine solche Software im Mathematik-Unterricht kennengelernt hast, dann frage doch deinen Mathematik-Lehrer um eine Empfehlung!


Winkelhalbierende im Parallelogramm


Zur Erinnerung: Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind.


Im Parallelogramm verhält es sich recht ähnlich wie im Rechteck: es entstehen vier Schnittpunkte zwischen den Winkelhalbierenden der Innenwinkel. Allerdings umschließen diese kein Quadrat, sondern ein Rechteck


Abbildung 14: Winkelhalbierende im Parallelogramm

 

 Winkelhalbierende in anderen Vierecken


Wenn du das Haus der Vierecke durchgehst, gibt es noch ein paar weitere Arten von Vierecke. Die Eigenschaften der Winkelhalbierenden dieser Vierecke werden hier kurz aufgelistet. Wenn du möchtest, kannst du diese Aussagen mithilfe einer Dynamischen-Geometrie-Software überprüfen.


Hinweis: Das Haus der Vierecke findest du in der Zusammenfassung "Haus der Vierecke" im Bereich Viereck genau erklärt.


  • Allgemeines und symmetrisches TrapezDie Winkelhalbierenden umschließen ein Viereck, bei dem ein Innenwinkel größer als 180° ist.
  • Drachenviereck: Die Winkelhalbierenden schneiden sich wie beim Quadrat in einem Punkt, der wiederum der Mittelpunkt des Inkreises ist, jedoch nicht der Mittelpunkt des Umkreises.
  • Raute: Die Winkelhalbierenden schneiden sich wie beim Quadrat in einem Punkt, der wiederum der Mittelpunkt des Inkreises ist, jedoch nicht der Mittelpunkt des Umkreises. Sie liegen wie beim Quadrat auf den Diagonalen und die Winkelhalbierenden der gegenüberliegenden Innenwinkel sind identisch.
  • Allgemeines Viereck: Die Winkelhalbierenden können sich auf verschiedene Arten schneiden und umschließen dabei immer ein Viereck.



Die Winkelhalbierende im Koordinatensystem


Auch im kartesischen Koordinatensystem gibt es Winkelhalbierende. Diese spielen beispielsweise für die Umkehrfunktion eine Rolle. 


Es gibt zwei Winkelhalbierende im Koordinatensystem:


  • die 1. Winkelhalbierende, die durch den I. und III. Quadranten verläuft;
  • die 2. Winkelhalbierende, die durch den II. und IV. Quadranten verläuft.


                                    Winkelhalbierende, Koordinatensystem, StudySmarterAbbildung 15: Die zwei Winkelhalbierenden im Koordinatensystem


Die Winkelhalbierenden halbieren dabei jeweils die Winkel zwischen den beiden Koordinatenachsen. Beide Winkelhalbierenden sind dabei Ursprungsgeraden, die 1. Winkelhalbierende hat die Steigung 1, die 2. Winkelhalbierende die Steigung -1. Bist du dir nicht mehr ganz sicher, was es mit dem Begriff der Steigung auf sich hat, so lies einfach im entsprechenden Kapitel noch einmal nach.


Vielleicht ist dir aufgefallen, dass im Kapitel immer die Rede von Winkelhalbierenden von Innenwinkeln war. Das bedeutet aber nicht, dass die Winkelhalbierenden der Außenwinkel unwichtig wären! Im Dreieck sind sie beispielsweise notwendig, um den Ankreis am Dreieck zu finden. 

Falls dich das interessiert, empfehle ich den Artikel Ankreis eines Dreiecks im Kapitel besondere Kreise eines Dreiecks.



Winkelhalbierende - Das Wichtigste auf einen Blick


  • Die Winkelhalbierende ist diejenige Gerade zum Winkel, die durch den Scheitel S des Winkels geht und diesen in zwei kongruente Winkelfelder teilt.
  • Die Winkelhalbierende eines Winkels ist die Symmetrieachse des Winkels.
  • Auf der Winkelhalbierenden liegen alle Punkte, die zu beiden Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand haben.
  • Zu jedem Punkt auf dem einen Schenkel des Winkels gibt es einen Punkt auf dem anderen Schenkel des Winkels, der denselben Abstand zur Winkelhalbierenden hat.
  • In jedem Dreieck schneiden sich die Winkelhalbierenden der Innenwinkel in einem Punkt, der der Mittelpunkt des Inkreises ist. 

Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkelhalbierende

Eine Winkelhalbierende ist eine Gerade, die durch den Scheitel eines Winkels verläuft und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt. 

Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck ist zum Beispiel der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks. Möchtest du den Inkreis konstruieren, dann brauchst du die Winkelhalbierende. 


Möchtest du bestimmte Winkel konstruieren, also mit Zirkel und ohne Geodreieck, dann brauchst du die Winkelhalbierende auch. 

Zunächst teilt die Winkelhalbierende eines Innenwinkels des Dreiecks diesen Winkel in zwei gleichgroße Winkel. 


Außerdem ist jede Winkelhalbierende in einem gleichseitigen Dreieck eine Symmetrieachse. 


Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt. Dieser ist der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks. 


Die Winkelhalbierende eines Innenwinkels teilt zudem die gegenüberliegende Seite des Dreiecks im Verhältnis der beiden anliegenden Seiten.

Die Winkelhalbierende kann man konstruieren. Dafür sticht man zuerst mit dem Zirkel in den Scheitels des Winkels ein und markiert mit demselben Radius jeweils einen Punkt auf den beiden Schenkeln des Winkels. Dann sticht man mit dem Zirkel zuerst in den Punkt auf dem einen Schenkel und zeichnet im inneren des Winkelfelds einen Halbkreis, dann sticht man in den Punkt auf dem anderen Schenkel und zeichnet mit demselben Radius ebenfalls einen solchen Halbkreis. Die beiden Halbkreise sollten sich in zwei Punkten schneiden (ist das nicht der Fall, war der Radius zu klein gewählt). Wenn diese beiden Punkte nun mit dem Scheitel des Winkels verbunden werden, ist die Winkelhalbierende fertig.

Finales Winkelhalbierende Quiz

Frage

Gib wieder, in welchem Verhältnis die drei Winkelhalbierenden der Innenwinkel in einem Dreieck stehen.

Antwort anzeigen

Antwort

Sie schneiden sich in genau einem Punkt.

Frage anzeigen

Frage

Bei welcher der folgenden Vierecksarten schneiden sich die vier Winkelhalbierenden in einem Punkt?

Antwort anzeigen

Antwort

Quadrat

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