Winkelhalbierende

In diesem Artikel geht es um die Winkelhalbierende. Wie du eine Winkelhalbierende in verschiedenen geometrischen Objekten erzeugst und wieso diese sich auch in Koordinatensystemen wiederfindet, zeigen wir dir in diesem Artikel.

Definition Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierende ist genauso wie die Kreislinie, die Mittelsenkrechte, ein Parallelenpaar und die Mittelparallele ein geometrischer Ort.

Die Winkelhalbierende halbiert gemäß ihres Namens einen Winkel in zwei gleich große – also kongruente – Winkel.

Etwas formaler kann man die Winkelhalbierende wie folgt definieren:

Abbildung 1: Geraden mit Winkelhalbierender

Wichtige Eigenschaften der Winkelhalbierenden

Insgesamt gibt es vier verschiedene Eigenschaften die eine Winkelhalbierende als geometrisches Objekt definieren.

Winkelhalbierende sind Geraden

Winkelhalbierende sind Geraden, haben also keinen Anfangspunkt und keinen Endpunkt. Häufig werden Winkelhalbierende als Halbgeraden oder sogar als Strecken gezeichnet. Der Übersicht halber ist das in Ordnung, du solltest aber wissen, dass es sich eigentlich um Geraden handelt! 

Die Winkelhalbierende als Symmetrieachse des Winkels

Da die Winkelhalbierende einen Winkel in zwei exakt gleich große Winkel teilt, ist sie die Symmetrieachse des Winkels. Es ist also möglich, den geteilten Winkel durch eine Spiegelung an der Achse auf die andere Seite zu projizieren.

Abstand eines Punktes auf der Winkelhalbierenden und den Schenkeln des Winkels

Liegt ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden, so ist sein Abstand zu beiden Schenkeln (g und h) des Winkels  gleich groß.

Abbildung 2: Geraden mit Winkelhalbierender und Abstände 

Diese Eigenschaft kann man auch andersherum formulieren: hat ein Punkt P denselben Abstand zu den Schenkeln eines Winkels, dann liegt er auf der Winkelhalbierenden.

Abstand eines Punktes auf dem Schenkel des Winkels und der Winkelhalbierenden

Daraus ergibt sich noch eine weitere Eigenschaft: zu jedem Punkt E auf dem Schenkel g des Winkels gibt es einen Punkt F auf dem anderen Schenkel h des Winkels, der denselben Abstand zur Winkelhalbierenden hat.

                                    Abbildung 3: Geraden mit Winkelhalbierende und Abstände  

Konstruktion der Winkelhalbierenden

Die Winkelhalbierende eines Winkels kann recht einfach mithilfe eines Zirkels konstruiert werden. Wie das funktioniert, kannst du im Kapitel Konstruktionen nachlesen, das du im Themengebiet Geometrie findest.

Die Winkelhalbierende im Dreieck – Der Inkreis

Da es in einem Dreieck drei Innenwinkel gibt, gibt es auch drei Winkelhalbierende. Diese schneiden sich in genau einem Punkt, der innerhalb des Dreiecks liegt! Und das ganz unabhängig davon, um welche Art von Dreieck es sich handelt. 

                                Abbildung 4: Winkelhalbierende von verschiedenen Dreiecken

In diesem Bild siehst du drei verschiedene Dreiecke und ihre Winkelhalbierenden, die der Übersicht halber nur als Strecken eingezeichnet sind (Winkelhalbierende sind ja Geraden, haben also eigentlich keinen Anfangspunkt und keinen Endpunkt!). Obwohl die Dreiecke so unterschiedlich sind, schneiden sich die Winkelhalbierenden jeweils in einem Punkt, der im Inneren des Dreiecks liegt. Diese Schnittpunkte sind türkis markiert.

Allein diese Eigenschaft der Winkelhalbierenden ist faszinierend. Und es kommt noch mehr! Der Schnittpunkt dieser drei Ortslinien, der im Folgenden S genannt wird, hat auch eine wichtige Eigenschaft: Er ist der Mittelpunkt des Inkreises!

Abbildung 5: Inkreis des Dreiecks ABC

Da der Inkreis also alle drei Seiten des Dreiecks berührt, hat der Mittelpunkt S den gleichen Abstand zu allen drei Seiten, nämlich genau den Radius des Inkreises. 

Diese unglaubliche Eigenschaft des Schnittpunkts S der Winkelhalbierenden wird auch in einem Satz festgehalten, der auch kurz bewiesen werden soll.

Satz von den Winkelhalbierenden im Dreieck

Beweis Beschreibung:	Abbildung 6-11: Winkelhalbierende im Dreieck
Schritt 1: Gegeben sei ein beliebiges Dreieck ABC mit den Seiten a, b und c sowie den Innenwinkeln  und .
Schritt 2: Die beiden Winkelhalbierenden  und  der Innenwinkel  und  schneiden sich in einem Punkt, der im Folgenden S genannt wird.
Schritt 3: Da S auf der Winkelhalbierenden liegt, hat S denselben Abstand zu den Seiten b und c, also d(S; b)=d(S; c).
Schritt 4: Da S ja auch auf der Winkelhalbierenden liegt, hat S denselben Abstand zu den Seiten a und c, also d(S; a)=d(S; c).
Schritt 5: Damit folgt aber, dass auch d(S; a)=d(S; b) und somit der Punkt S auch auf der Winkelhalbierenden wγ liegen muss.
Schritt 6: Abschließend kann ein Kreis mit dem Radius d(S; a) um den Punkt S konstruiert werden, der alle drei Seiten berührt und somit der Inkreis ist.

Und fertig ist der Beweis des Satzes von den Winkelhalbierenden im Dreieck!

Die Winkelhalbierende im Viereck

Natürlich gibt es die Winkelhalbierende nicht nur im Dreieck, sondern auch im Viereck und in jedem weiteren Vieleck. 

Auch im Viereck schneiden sich die Winkelhalbierenden, jedoch nicht zwingend in einem Punkt. Das hängt davon ab, um welche Art von Viereck es sich handelt. Die verschiedenen Fälle schauen wir uns an.

Die Winkelhalbierende im Quadrat

Die Winkelhalbierenden im Quadrat weisen folgende Eigenschaften auf:

• Sie schneiden sich wie im Dreieck in einem Punkt. 
• Die Winkelhalbierenden zweier gegenüberliegender Punkte sind identisch.
• Die Winkelhalbierenden verlaufen auf den Diagonalen des Quadrats.

Winkelhalbierende im Rechteck

Im Rechteck schneiden sich die Winkelhalbierenden nicht in einem Punkt. Vielmehr ergeben sie vier Schnittpunkte.

                                                    Abbildung 13: Winkelhalbierende im Rechteck

Winkelhalbierende im Parallelogramm

Im Parallelogramm verhält es sich recht ähnlich wie im Rechteck: es entstehen vier Schnittpunkte zwischen den Winkelhalbierenden der Innenwinkel. Allerdings umschließen diese kein Quadrat, sondern ein Rechteck. 

Abbildung 14: Winkelhalbierende im Parallelogramm

 

 Winkelhalbierende in anderen Vierecken

Wenn du das Haus der Vierecke durchgehst, gibt es noch ein paar weitere Arten von Vierecke. Die Eigenschaften der Winkelhalbierenden dieser Vierecke werden hier kurz aufgelistet. Wenn du möchtest, kannst du diese Aussagen mithilfe einer Dynamischen-Geometrie-Software überprüfen.

• Allgemeines und symmetrisches Trapez: Die Winkelhalbierenden umschließen ein Viereck, bei dem ein Innenwinkel größer als 180° ist.
• Drachenviereck: Die Winkelhalbierenden schneiden sich wie beim Quadrat in einem Punkt, der wiederum der Mittelpunkt des Inkreises ist, jedoch nicht der Mittelpunkt des Umkreises.
• Raute: Die Winkelhalbierenden schneiden sich wie beim Quadrat in einem Punkt, der wiederum der Mittelpunkt des Inkreises ist, jedoch nicht der Mittelpunkt des Umkreises. Sie liegen wie beim Quadrat auf den Diagonalen und die Winkelhalbierenden der gegenüberliegenden Innenwinkel sind identisch.
• Allgemeines Viereck: Die Winkelhalbierenden können sich auf verschiedene Arten schneiden und umschließen dabei immer ein Viereck.

Die Winkelhalbierende im Koordinatensystem

Auch im kartesischen Koordinatensystem gibt es Winkelhalbierende. Diese spielen beispielsweise für die Umkehrfunktion eine Rolle. 

Es gibt zwei Winkelhalbierende im Koordinatensystem:

• die 1. Winkelhalbierende, die durch den I. und III. Quadranten verläuft;
• die 2. Winkelhalbierende, die durch den II. und IV. Quadranten verläuft.