Wie forme ich eine Geradengleichung um?

Normalenform: Zuerst berechnest Du den Normalenvektor mithilfe dem Wissen, dass der Richtungsvektor u und der Normalenvektor n im Skalarprodukt 0 ergeben, da sie senkrecht aufeinander stehen. Dann berechnest Du den Normalenvektor n im Skalarprodukt mit dem x-Vektor und dem Stützvektor o der Parameterform und setzt es gleich 0. Koordinatenform: Multipliziere das Skalarprodukt aus und packe das Skalar auf die andere Seite des Gleichheitszeichens durch subtrahieren oder addieren.

Geradengleichung umformen

Q: Wie stellt man eine Geradengleichung mit Vektoren auf?

Es gibt 3 Arten von Geradengleichungen mit Vektoren: 1. Parameterform Hier benötigst Du einen Ortsvektor o und einen Richtungsvektor u. 2. Koordinatenform Für diese Form musst Du den Normalenvektor n und den Ortsvektor o wissen. 3. Normalenform Hier benötigst Du den Normalenvektor n und den Ortsvektor o.

Stochastik

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Eine Gerade in der Ebene bzw. im Raum wird in der Regel in einer Parameterform verfasst. Manchmal muss die Gerade auch anders dargestellt werden, zum Beispiel in der Normalenform und Koordinatenform. Wie man diese umformt, erfährst Du im Folgenden.

Gerade Darstellungsformen

In der analytischen Geometrie werden 3 Formen unterschieden, Geraden zu beschreiben. Wie diese aussehen, siehst Du in den folgenden Abschnitten.

Geradengleichung Parameterform

Die allgemeine Parameterform einer Geraden g kannst Du unten sehen. Der Ortsvektor $\vec{o}$ beginnt im Ursprung und endet im Punkt O, der auf der Geraden g liegt. Der Richtungsvektor $\vec{AB}$ hat dieselbe Richtung wie die Gerade g und wird noch mit einem Parameter $r\in\mathbb{R}$ multipliziert. Durch den Parameter r kann die gesamte Gerade dargestellt werden.

Die Geradengleichung in Parameterform sieht so aus:

$g : \vec{x} = \vec{o} + r \cdot \vec{A B}$

Der nächste Abschnitt zeigt Dir, wie eine Gerade in Parameterform dargestellt wird.

Geradengleichung umformen Parameterform einer Geraden StudySmarter Abb. 2. Parameterform einer Geraden.

Hier siehst Du eine Parameterform:

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$

Der erste Vektor $\vec{o} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ ist der oben genannte Punkt $O (1 | 1)$ , auf dem die Gerade $g : \vec{x}$ sich stützt. Auch Stützvektor oder Ortsvektor genannt.

$\vec{A B} = \vec{u} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ ist der Richtungsvektor der Geraden $g : \vec{x}$ , der auf der Geraden verläuft.

Geradengleichung Normalenform

Um die Normalenform einer Geradengleichung aufzustellen, benötigst Du den sogenannten Normalenvektor $\vec{n}$.

Was genau ist ein Normalenvektor?

Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht oder anders gesagt orthogonal auf der Geraden steht. Ein Normalenvektor zu einer Geraden ist nur im zweidimensionalen Koordinatensystem exakt definiert. Zu jeder Geraden im zweidimensionalen Koordinatensystem, also in der Ebene, gibt es immer genau zwei Normalenvektoren, die sich nur in der Richtung unterscheiden. Im dreidimensionalen Koordinatensystem besitzt eine Gerade unendlich viele Normalenvektoren. Deshalb kann der Normalenvektor im dreidimensionalen Raum nicht eindeutig definiert werden.

Die Normalenform kannst Du Dir unten nun anschauen. Sie besteht aus dem Normalenvektor $\vec{n}$ , einem Vektor, der senkrecht auf der Geraden g steht und dem Ortsvektor/Stützvektor $\vec{o}$, auf der die Gerade g sich stützt. Der Ortsvektor $\vec{o}$ beginnt im Ursprung und endet im Punkt O, der auf der Geraden g liegt. $\vec{x}$ ist die Variable in der Normalenform und deckt jeden Punkt auf der Geraden ab. Hier musst Du aufpassen, dass $\vec{x}$ so gewählt wird, dass die Gleichung der Normalenform 0 ergibt. Falls das nicht der Fall ist, liegt der Punkt X nicht auf der Geraden. Der Kringel $\circ$ zwischen $\vec{n}$ und der Klammer bezeichnet das Skalarprodukt.

Im Folgenden siehst Du die Rohform der Normalenform.

$\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{o}) = 0$

Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a} $ und $vec{b}$ berechnet sich folgendermaßen: $\vec{a} \circ \vec{b} = \left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} y_1\\ y_2\end{array}\right) = x_1 \cdot y_1 +x_2 \cdot y_2$

Wenn Du dazu mehr erfahren willst, dann schaue Dir den Artikel zum Skalarprodukt an.

Beachte, dass Du die Normalenform lediglich im zweidimensionalen Koordinatensystem aufstellen kannst, nicht aber im dreidimensionalen Raum. Dies liegt an der Nichteindeutigkeit des Normalenvektors im dreidimensionalen Koordinatensystem.

Hier siehst Du ein Beispiel zu einer Geraden $g : \vec{x}$ in Normalenform:

$(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) \circ [(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})]$

Der erste Vektor $\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$ ist der Normalenvektor der Normalenform. Der zweite Vektor $\vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$ ist der x-Vektor, welcher innerhalb der Klammer steht. Der Vektor $\vec{x}$ wird vom Stützvektor $\vec{o} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ subtrahiert. Unten in der Abbildung siehst Du die Gerade in Normalenform.

Geradengleichung umformen Normalenform einer Geraden StudySmarter Abb. 3. Normalenform einer Geraden.

Geradengleichung Koordinatenform

Die Koordinatenform einer Geradengleichung $g : \vec{x}$ ist ohne Vektoren. Diese kannst Du unten sehen. a und b sind Zahlen, die zusammenfassend den Normalenvektor $\vec{n}$ ergeben. $x_1$ und $x_2$ sind die Zahlen des Vektors $\vec{x}$. c entspricht der Multiplikation zwischen dem Normalenvektor $\vec{n}$ und dem Ortsvektor $\vec{o}$.

Hier siehst Du die Rohform der Koordinatenform einer Geradengleichung $g : \vec{x}$ .

$a x_{1} + b x_{2} = c$

Die Koordinatenform ist die ausmultiplizierte Form der Normalenform. Für Geraden gibt es die Koordinatenform nur in der Ebene oder anders gesagt: die Koordinatenform der Geraden kann lediglich im zweidimensionalen Koordinatensystem, nicht aber im dreidimensionalen Koordinatensystem aufgestellt werden. Der Grund dafür ist die Nichteindeutigkeit des Normalenvektors im dreidimensionalen Raum.

Hier siehst Du ein Beispiel der Koordinatenform:

$3 x_{1} + 4 x_{2} = 9$

Die Zahlen vor dem Gleichheitszeichen sind die Multiplikation von dem Normalenvektor $\vec{n}$ und dem x-Vektor, während die Zahl hinter dem Gleichheitszeichen durch $\vec{o} \cdot \vec{n} = c$ entsteht. In der Abbildung siehst Du genau diese Gerade. Der Normalenvektor $\vec{n}$ kann aus der Koordinatenform abgelesen werden zu $\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}\right) $. $c$ kannst Du aus der obigen Form zu $c=9$ ablesen. Da $\vec{o}\cdot\vec{n}=c$ gilt, teilst Du $c$ durch den Normalenvektor um den Ortsvektor zu bekommen. Vereinfacht kann Du $c$ durch die erste oder zweite Komponente des Normalenvektors $\vec{n}$ teilen. So erhältst Du einen möglichen Ortsvektor $\vec{o}$ der Geraden. Hier wurde $c$ durch die erste Komponente des Normalenvektors geteilt und es ergibt sich der Ortsvektor $\vec{o}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array}\right) $.

Geradengleichung umformen Koordinatenform einer Geraden StudySmarter Abb. 4. Koordinatenform einer Geraden.

Geradengleichung umformen

Eine Gerade $g : \vec{x}$ kann in den drei verschiedenen Formen, wie oben genannt, niedergeschrieben und dann umgeformt werden.

Parameterform in Normalform umformen

In diesem Abschnitt geht es um das Umwandeln einer Geradengleichung $g : \vec{x}$ aus der Parameterform in eine Normalenform. Die Umformung der Geraden $g : \vec{x}$ läuft nach folgendem Schema ab:

$g : \vec{x} = \vec{o} + r \cdot \vec{A B} \Rightarrow \vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{o}) = 0$

Um eine Parameterform in eine Normalenform umzuwandeln, kannst Du Dich nach folgendem Ablauf richten:

Schritt 1: Berechne den Normalenvektor $\vec{n}$ , also den Vektor, der senkrecht zur Geraden und somit zum Richtungsvektor $\vec{u}$ steht
Schritt 2: Lies den Stützvektor $\vec{o}$ aus der Parameterform ab
Schritt 3: Setze den Normalenvektor $\vec{n}$ und den Stützvektor $\vec{o}$ in die Rohform der Normalenform ein

Bei der Normalenform wird also der Normalenvektor $\vec{n}$ mit dem Skalarprodukt mit dem Vektor $\vec{x}$ multipliziert, welcher vom Stützvektor $\vec{o}$ der Parameterform subtrahiert wird.

Nun siehst Du in der Praxis, wie eine Gerade $g : \vec{x}$ in Parameterform in eine Gerade $g : \vec{x}$ in Normalenform umgewandelt wird.

Aufgabe 1

Forme die Gerade $g : \vec{x} = (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})$ in Parameterform in eine Normalenform um.

Lösung

Schritt 1: Normalenvektor $\vec{n}$ berechnen

Der Normalenvektor $\vec{n}$ steht senkrecht (orthogonal) auf der Geraden $g : \vec{x}$ . Da der Richtungsvektor $\vec{u}$ in die Richtung der Geraden zeigt, bedeutet das, dass der Normalenvektor $\vec{n}$ orthogonal auf dem Richtungsvektor $\vec{u}$ steht. Das bedeutet: Das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren ist 0.

$0 = \vec{u} \circ \vec{n} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} n_{x} \\ n_{y} \end{matrix}) = 2 \cdot n_{x} + 3 \cdot n_{y}$

Durch Auflösen erhältst Du eine mögliche Lösung für den Normalenvektor $\vec{n}$ :

$\vec{n_{1}} = (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \end{matrix})$

Beachte, dass der Normalenvektor $\vec{n}$ hier auch anders gewählt werden kann, sodass die Gleichung $2 \cdot n_{x} + 3 \cdot n_{y} = 0$ erfüllt wird. Eine weitere mögliche Lösung für den Normalenvektor $\vec{n}$ ist $\vec{n_{2}} = (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \end{matrix})$ .

Wie Du siehst, gibt es mehrere Möglichkeiten wie der Normalenvektor $\vec{n}$ gewählt werden kann. Du kannst jede reele Zahl einsetzen, die die Gleichung erfüllt. Allerdings darfst Du nicht den Nullvektor $\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right) $ als Normalenvektor $\vec{n}$ verwenden.

Schritt 2: Stützvektor $\overset{⇀}{o}$ aus der Parameterform ablesen

Der Stützvektor $\vec{o}$ kann aus der Parameterform zu $\vec{o} = (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \end{matrix})$ abgelesen werden.

Schritt 3: Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{o}$ in die Rohform der Normalenform ein

Jetzt kannst Du die Vektoren in die Normalenform einsetzen.

$\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{o}) = 0$

$(\begin{matrix} - 3 \\ 2 \end{matrix}) \circ [(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \end{matrix})] = 0$

Der erste Vektor ist der Normalenvektor $\vec{n_{1}}$ und die beiden anderen Vektoren sind der Vektor $\vec{x}$ und der Stützvektor $\vec{o}$ . Diese wurden in die Rohfassung der Normalenform eingesetzt und das wurde gleich 0 gesetzt.

Hier siehst Du eine Abbildung zur Veranschaulichung:

Geradengleichung umformen Gerade in Normalenform StudySmarter Abb. 5. Gerade in Normalenform.

Normalform in Koordinatenform umformen

Die Geradengleichung $g : \vec{x}$ in Normalenform in eine Gerade in Koordinatenform umzuformen, kannst Du folgende Schritte tun:

Schritt 1: Multipliziere die Normalenform, die im Skalarprodukt steht, aus.
Schritt 2: Bringe die Skalare (reelle Zahlen) auf die rechte Seite des Gleichheitszeichens.

Der Vorgang sieht ausgeschrieben folgendermaßen aus:

$\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{o}) = 0 \Rightarrow a x_{1} + b x_{2} = c$

Dabei sind a, b und c die Werte, die zusammengefasst den Normalenvektor $\vec{n}$ ergeben.

Nun siehst Du als Nächstes, wie eine Gerade in Normalenform in eine Gerade in Koordinatenform umgeformt wird.

Aufgabe 2

Forme die Gerade $(\begin{matrix} - 3 \\ 2 \end{matrix}) \circ [(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \end{matrix})] = 0$ in Normalenform in eine Koordinatenform um.

Lösung

Schritt 1: Ausmultiplizieren der Normalenform

Zuerst multiplizierst Du die Normalenform aus.

$- 3 \cdot (x_{1} + 4) + 2 \cdot (x_{2} - 0) = 0$

$- 3 x_{1} - 12 + 2 x_{2} + 2 \cdot 0 = 0$

$- 3 x_{1} + 2 x_{2} - 12 = 0$

Das Ausmultiplizieren der Geraden g in Normalenform als ein Skalarprodukt ergibt den Term $- 3 x_{1} + 2 x_{2} - 12 = 0$ .

Schritt 2: Bringe die Skalare auf die rechte Seite des Gleichheitszeichens

Bei diesem Term muss der Skalar addiert werden, um die vollständige Koordinatenform zu erhalten. Das sieht folgendermaßen aus:

$- 3 x_{1} + 2 x_{2} - 12 = 0 + 12$

$- 3 x_{1} + 2 x_{2} = 12$

Durch diesen Vorgang erhältst Du die Gerade $g : \vec{x}$ in Koordinatenform.

$- 3 x_{1} + 2 x_{2} = 12$

In dieser Koordinatenform kannst Du den Normalenvektor $\vec{n}$ wiedererkennen. Denn durch das Ausmultiplizieren stehen die Zahlen aus dem Normalenvektor in der richtigen Reihenfolge, wie bei dem Vektor $\vec{n} = (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \end{matrix})$ .

Koordinatenform in Parameterform umformen

Eine Geradengleichung $g : \vec{x}$ von der Koordinatenform zurück in die Parameterform umzuwandeln, ist schon etwas schwieriger. Zunächst siehst Du Dir den allgemeinen Vorgang an:

$a x_{1} + b x_{2} = c \Rightarrow g : \vec{x} = \vec{o} + r \cdot \vec{u}$

Um den Stützvektor $\vec{o}$ und den Richtungsvektor $\vec{u}$ für die Parameterform zu berechnen, kannst Du Dich nach folgendem Plan richten:

Schritt 1: $\vec{o}$ bestimmen mit der Formel $\vec{o} \cdot \vec{n} = c$
Schritt 2: Umformung der Koordinatenform $a x_{1} + b x_{2} = c$ in die Form $x_{2} = \frac{- a x_{1} + c}{b}$ und vergleichen mit allgemeiner Geradengleichung $y = m x + c$ ergibt $m = - \frac{a}{b}$
Schritt 3: Aus Steigung m den Vektor $\vec{u}$ bestimmen
Schritt 4: Setze den Vektor $\vec{o}$ und den Vektor $\vec{u}$ in die Rohform der Parameterform ein

Unten siehst Du an einem Beispiel, wie eine Gerade aus einer Koordinatenform in eine Parameterform überführt wird.

Aufgabe 3

Wandle die Gerade $1 x_{1} + 2 x_{2} = 8$ in Koordinatenform in eine Gerade in Parameterform um.

Lösung

Schritt 1: $\vec{o}$ bestimmen mit der Formel $\vec{o} \cdot \vec{n} = c$

Zuerst liest Du den Normalenvektor $\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ ab. Danach teilst Du die 8 durch die erste Komponente des Normalenvektors, also die Zahl, die vor dem $x_{1}$ steht.

$c : a = n_{1} \to 8 : 1 = 8$

Hier erhältst Du die Zahl 8. Diese wird nun in den Punkt $O (x | 0)$ eingesetzt.

Das führt zu dem Punkt $O (8 | 0)$ . Daraus ergibt sich der Ortsvektor $\vec{o} = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix})$ .

Schritt 2: Umformung der Koordinatenform $a x_{1} + b x_{2} = c$ in die Form $x_{2} = \frac{- a x_{1} + c}{b}$ und vergleichen mit allgemeiner Geradengleichung $y = m x + c$

Für den Richtungsvektor $\vec{u}$ wird die obige Gleichung $1 x_{1} + 2 x_{2} = 8$ umgeformt zu $x_{2} = - \frac{1}{2} x + 4$ .

Die Steigung m der Geraden ist also $- \frac{1}{2}$ .

Schritt 3: Aus Steigung m den Vektor $\vec{u}$ bestimmen

Der Richtungsvektor $\vec{u}$ ist der Kehrwert der Steigung m, also ist hier $\vec{u} = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix})$ .

Schritt 4: Setze den Vektor $\vec{o}$ und den Vektor $\vec{u}$ in die Rohform der Parameterform ein

Der Ortsvektor $\vec{o}$ und der Richtungsvektor $\vec{u}$ werden in die Rohform der Geradengleichung in Parameterform eingesetzt.

$g : \vec{x} = \vec{o} + r \cdot \vec{u} = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix})$

Durch das Einsetzen erhältst Du die Geradengleichung $g : \vec{x} = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 4 \end{matrix})$ in Parameterform.

Geradengleichung umformen – Übungen

In den folgenden Übungsaufgaben kannst Du Dein Wissen überprüfen.

Aufgabe 4

Wandle die Gerade $g : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix})$ in Parameterform in eine Gerade in Normalenform um.

Lösung

Schritt 1:

Zuerst stellst Du das Skalarprodukt $\vec{u} \circ \vec{n}$ auf. Damit erhältst Du $\vec{u} \circ \vec{n} = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} n_{x} \\ n_{y} \end{matrix}) = 3 \cdot n_{x} + 3 \cdot n_{y}$ . Das Skalarprodukt muss 0 ergeben, da der Normalenvektor $\vec{n}$ auf dem Richtungsvektor $\vec{u}$ senkrecht steht.

$\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$

Schritt 2:

Den Ortsvektor $\vec{o}$ liest Du aus der Geradengleichung in Parameterform ab:

$\vec{o} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$

Schritt 3:

Danach setzt Du die Vektoren in die Rohform der Gerade in Normalenform ein.

$\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{o}) = 0$

$(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) \circ [(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})] = 0$

Dadurch erhältst Du die Gerade in Normalenform.

$(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) \circ [(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})] = 0$

Aufgabe 5

Forme die Gerade $(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) \circ [(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})] = 0$ in Normalenform in eine Gerade in Koordinatenform um.

Lösung

Schritt 1:

Für diese Umwandlung muss die Normalenform ausmultipliziert werden.

$1 \cdot x_{1} + 1 \cdot (- 1) + (- 1) \cdot x_{2} + (- 1) \cdot 0 = 0$

$1 \cdot x_{1} - 1 - 1 \cdot x_{2} + 0 = 0$

Schritt 2:

Die reele Zahl wird auf die rechte Seite sortiert.

$1 \cdot x_{1} - 1 \cdot x_{2} = 1$

Die Koordinatenform der Geraden lautet: $1 \cdot x_{1} - 1 \cdot x_{2} = 1$

Auch hier sieht man den Normalenvektor $\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$ vor den x-Werten.

Aufgabe 6

Wandle die Gerade $1 \cdot x_{1} - 1 \cdot x_{2} = 1$ in Koordinatenform in eine Gerade in Parameterform um.

Lösung

Schritt 1:

Der Normalenvektor lässt sich vor den x-Werten ablesen zu $\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$ .

Jetzt musst Du noch den Ortsvektor $\vec{o}$ der Koordinatenform ausrechnen. Die Form des Ortsvektors ist vereinfacht $O (x | 0)$ . Mit dem Wissen $\vec{o} \cdot \vec{n} = c$ , teilst Du die 1 hinter dem Gleichheitszeichen durch die erste Komponente des Normalenvektors $\vec{n}$ . Du erhältst als Ergebnis 1 und somit den Ortsvektor $\vec{o} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ .

Schritt 2:

Um den Richtungsvektor $\vec{u}$ zu bekommen, formst Du die Gerade $1 \cdot x_{1} - 1 \cdot x_{2} = 1$ in folgende Form um:

$a x_{1} + b x_{2} = c \Rightarrow x_{2} = \frac{- a x_{1} + c}{b}$

Du erhältst $x_{2} = 1 \cdot x_{1} - 1$ oder anders gesagt $y = 1 \cdot x - 1$ . Die Steigung m der Geraden ist somit 1.

Schritt 3:

Der Richtungsvektor $\vec{u}$ ist also $\vec{u} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ .

Schritt 4:

Den Ortsvektor und den Richtungsvektor setzt Du in die Rohform der Parameterform ein:

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$

Geradengleichung umformen – Das Wichtigste

Eine Gerade $g: \vec{x} $ kann in einer Parameterform, Normalenform oder Koordinatenform veranschaulicht werden.
Die Gerade $g: \vec{x} $ in Parameterform wird durch einen Punkt O (Stützvektor/Ortsvektor) und dem Richtungsvektor $\vec{u} $ bestimmt, der wie der Name sagt, in Richtung der Geraden zeigt.

$g: \vec{x} = \vec{o} + r\cdot\vec{u}$

Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor $\vec{n}$, einem x-Vektor, der den Aufbau eines normalen Vektors darstellt und dem Ortsvektor/Stützvektor $\vec{o}$.

$$\vec{n} \circ (\vec{x}-\vec{o})=0$$

Die Koordinatenform ist die ausmultiplizierte Form der Normalenform. Sie sieht folgendermaßen aus:

$$ax_1+bx_2=c$$

$$\vec{o}\cdot\vec{n}=c$$

Auf diese Art formt man auch eine Koordinatenform einer Geraden g aus einer Normalenform.

Für den Normalenvektor $\vec{n}$ muss im zweidimensionalen Koordinatensystem die folgende Gleichung gelöst werden.$$0=\vec{u} \circ \vec{n} = \left(\begin{array}{c} u_1\\ u_2\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} n_x\\ n_y\end{array}\right) = u_1 \cdot n_x +u_2 \cdot n_y$$

Eine Parameterform einer Geraden $g: \vec{x} $ kann man auch aus einer Koordinatenform erstellen, in dem man den Normalenvektor $\vec{n}$ abliest und mit $\vec{o}\cdot\vec{n}=c$ den Ortsvektor $\vec{o}$ bestimmt

Häufig gestellte Fragen zum Thema Geradengleichung umformen

Normalenform: Zuerst berechnest Du den Normalenvektor mithilfe dem Wissen, dass der Richtungsvektor u und der Normalenvektor n im Skalarprodukt 0 ergeben, da sie senkrecht aufeinander stehen. Dann berechnest Du den Normalenvektor n im Skalarprodukt mit dem x-Vektor und dem Stützvektor o der Parameterform und setzt es gleich 0.
Koordinatenform: Multipliziere das Skalarprodukt aus und packe das Skalar auf die andere Seite des Gleichheitszeichens durch subtrahieren oder addieren.

Die Rohform der Normalform der Geradengleichung lautet: n•(x-o)=0, wobei n der Normalenvektor und o der Stützvektor ist.

Es gibt 3 Arten von Geradengleichungen mit Vektoren:

1. Parameterform

Hier benötigst Du einen Ortsvektor o und einen Richtungsvektor u.

2. Koordinatenform

Für diese Form musst Du den Normalenvektor n und den Ortsvektor o wissen.

3. Normalenform

Hier benötigst Du den Normalenvektor n und den Ortsvektor o.

Die Rohform der Koordinatenform der Geradengleichung lautet: ax+by=c. Diese kann in die allgemeine Geradengleichung y=mx+c umgeformt werden.

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Welche Formen der Geradengleichung gibt es?

Es gibt die Parameterform, die Koordinatenform und die Normalenform.

Was genau ist eine Gerade?

Eine Gerade ist eine geometrische Figur, die unendlich lang und in beide Richtungen unbegrenzt ist

Was bedeutet es für das Skalarprodukt, wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen?

Das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren ergibt 0.

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