Teilverhältnisse

Aufgabe 1

Eine Strecke \(\overline{AB}\) hat den Anfangspunkt bei \(A (1|4)\) und den Endpunkt bei \(B(5|-3)\). Diese Strecke wird von einem Punkt \(T(4|-1{,}25)\) geteilt. Berechne das Teilungsverhältnis und begründe anhand der Eigenschaften der Teilungsverhältnisse, wo \(T\) auf der Strecke liegt.

Lösung

Schritt 1:

Stelle zuerst die Richtungsvektoren \(\overrightarrow{AT}\) und \(\overrightarrow{TB}\) auf.

\begin{align} \overrightarrow{AT}&=\left(\begin{array}{c} 4-1 \\ -1{,}25-4 \end{array}\right) \\[0.2cm]\overrightarrow{AT}&=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -5{,}25 \end{array}\right) \\\\ \overrightarrow{TB}&=\left(\begin{array}{c} 5-4 \\ -3-(-1{,}25) \end{array}\right) \\[0.2cm]\overrightarrow{TB}&=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1{,}75 \end{array}\right) \end{align}

Schritt 2:

Bestimme jetzt die beiden Streckenlängen \(\overline{AT}\) und \(\overline {TB}\). Dafür berechnest Du den Betrag der Richtungsvektoren aus Schritt 1.

\begin{align} d(\overrightarrow{AT})&=\sqrt{3^2+(-5{,}25)^2} \\ d(\overrightarrow{AT})&=\sqrt{36{,}5625}\,[LE]\approx 6{,}047 \,[LE] \\\\ d(\overrightarrow{TB})&=\sqrt{1^2+(-1{,}75)^2} \\d(\overrightarrow{TB})&=\sqrt{4{,}0625}\,[LE] \approx 2{,}016\, [LE] \end{align}

Schritt 3:

Jetzt setzt Du die beiden Strecken in ein Verhältnis.

\begin{align} \lambda&=\frac{\overline{AT}}{\overline{TB}} \\[0.2cm] \lambda&=\frac{{6{,}047}}{{2{,}016}} \\[0.2cm] \lambda&=3\end{align}

Das Verhältnis der beiden Strecken liegt bei \(3:1\). Damit liegt der Punkt \(T\) näher an Punkt \(B\) als an dem Punkt \(A\).

Abb. 3 - Teilverhältnis berechnen.

Aufgabe 2

Beweise, dass der Schwerpunkt \(S\) eines beliebigen Dreiecks \(ABC\) die Seitenhalbierenden in dem Verhältnis \(1:2\) teilt.

Abb. 4 - Skizze - vektorielle Beweise zu Teilverhältnissen.

Lösung

Der Skizze kannst Du folgende Voraussetzungen entnehmen.

\begin{align} \vec{t}&=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} \\[0.2cm] \vec{r}&=\frac{\vec{a}}{2}-\vec{b} \end{align}

\(\vec{a},\,\vec{b}\) sind linear unabhängig, also nicht parallel.

Nachdem die Voraussetzungen aufgestellt sind, kannst Du nun mithilfe dieser die Behauptung aufstellen.

\[S=\frac{2}{3}\vec{t}+\frac{1}{3}\vec{r}\]

Jetzt beginnst Du den Beweis. Dafür nimmst Du einen \(x\) Teil des \(\vec{t}\) Vektors plus einen \(y\) Teil des \(\vec{r}\) Vektors und kommst dann bei der Hälfte des \(\vec{a}\) Vektors an.

\[x\cdot \vec{t}+y\cdot \vec{r}=\frac{\vec{a}}{2}\]

Nun ersetzt Du \(\vec{t}\) und \(\vec{r}\) und fasst danach so weit es geht zusammen.

\begin{align} x\cdot \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}+y\cdot \left(\frac{\vec{a}}{2}-\vec{b}\right)&=\frac{\vec{a}}{2} \\[0.2cm] x\cdot \frac{\vec{a}}{2}+y\cdot \frac{\vec{a}}{2}-\frac{\vec{a}}{2}+x\cdot \frac{\vec{b}}{2}-y\cdot \vec{b}&=\vec{0} \\[0.2cm] \vec{a}\cdot\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{1}{2}\right)+\vec{b}\cdot\left(\frac{x}{2}-y\right)&=\vec{0} \end{align}

Um die Gleichung mit dem \(\vec{0}\) zu erfüllen, müssen beide Klammerterme null werden. Also benötigst Du ein Gleichungssystem. Dieses löst Du und erhältst für \(x\) und \(y\) das Teilungsverhältnis.

\begin{align} \frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{1}{2}&=0 &|&\cdot 2 &|&+1\\[0.2cm] x+y&=1 \\[0.2cm] \frac{x}{2}-y&=0 &|&+y \\[0.2cm] y&=\frac{x}{2} \\[0.2cm] x+\frac{x}{2}&=1 &|&\cdot 2 &|&:3 \\[0.2cm] x&=\frac{2}{3} \\[0.2cm] y&=\frac{1}{3} \end{align}

Du erhältst für \(x=\frac{2}{3}\) und \(y=\frac{1}{3}\). Damit wäre das Teilungsverhältnis der Behauptung bewiesen. Die Seitenhalbierenden werden in dem Verhältnis \(1:2\) vom Schwerpunkt geteilt.

Aufgabe 3

Berechne das Teilverhältnis der Strecke \(\overline{AB}\) durch den Punkt \(T(7|7)\). Die Strecke \(\overline{AB}\) startet im Punkt \(A(2|6)\) und endet im Punkt \(B(12|8)\).

Lösung

Schritt 1:

Stelle zuerst die Richtungsvektoren \(\overrightarrow{AT}\) und \(\overrightarrow{TB}\) auf.

\begin{align} \overrightarrow{AT}&=\left(\begin{array}{c} 7-2 \\ 7-6 \end{array}\right) \\[0.2cm]\overrightarrow{AT}&=\left(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array}\right) \\\\ \overrightarrow{TB}&=\left(\begin{array}{c} 12-7 \\ 8-7 \end{array}\right) \\[0.2cm]\overrightarrow{TB}&=\left(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array}\right) \end{align}

Schritt 2:

Bestimme jetzt die beiden Streckenlängen \(\overline{AT}\) und \(\overline {TB}\). Dafür berechnest Du den Betrag der Richtungsvektoren aus Schritt 1.

\begin{align} d(\overrightarrow{AT})&=\sqrt{5^2+1^2} \\ d(\overrightarrow{AT})&=\sqrt{26}\,[LE]\approx 5{,}099 \,[LE] \\\\ d(\overrightarrow{TB})&=\sqrt{5^2+1^2} \\ d(\overrightarrow{TB})&=\sqrt{26}\,[LE] \approx 5{,}099\, [LE] \end{align}

Schritt 3:

Jetzt setzt Du die beiden Strecken in ein Verhältnis.

\begin{align} \lambda&=\frac{\overline{AT}}{\overline{TB}} \\[0.2cm] \lambda&=\frac{{5{,}099}}{{5{,}099}} \\[0.2cm] \lambda&=1\end{align}

Das Verhältnis der beiden Strecken liegt bei \(1:1\). Damit liegt der Punkt \(T\) in der Mitte der Strecke \(\overline{AB}\).

Aufgabe 4

Berechne das Doppelverhältnis der Strecke \(\overline{AB}\) durch den Punkt \(T(4|6{,}8)\) und \(S(14|2{,}8)\). Die Strecke \(\overline{AB}\) startet im Punkt \(A(10|-4)\) und endet im Punkt \(B(16|2)\).

Lösung

Schritt 1:

Stelle zuerst die Richtungsvektoren \(\overrightarrow{AT}\), \(\overrightarrow{TB}\) und \(\overrightarrow{AS}\), \(\overrightarrow{SB}\) auf.

\begin{align} \overrightarrow{AT}&=\left(\begin{array}{c} 4-10 \\ 6{,}8-(-4) \end{array}\right) \\[0.2cm] \overrightarrow{AT}&=\left(\begin{array}{c} -6 \\ 10{,}8 \end{array}\right) \\\\ \overrightarrow{TB}&=\left(\begin{array}{c} 16-4 \\ 2-6{,}8 \end{array}\right) \\[0.2cm] \overrightarrow{TB}&=\left(\begin{array}{c} 12 \\ -4{,}8 \end{array}\right) \\\\\overrightarrow{AS}&=\left(\begin{array}{c} 14-10 \\ 2{,}8-(-4) \end{array}\right) \\[0.2cm] \overrightarrow{AS}&=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 6{,}8 \end{array}\right) \\\\ \overrightarrow{SB}&=\left(\begin{array}{c} 16-14 \\ 2-2{,}8 \end{array}\right) \\[0.2cm] \overrightarrow{SB}&=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -0{,}8 \end{array}\right) \end{align}

Schritt 2:

Bestimme jetzt die Streckenlängen \(\overline{AT}\), \(\overline {TB}\) und \(\overline{AS}\), \(\overline {SB}\). Dafür berechnest Du den Betrag der Richtungsvektoren aus Schritt 1.

\begin{align} d(\overrightarrow{AT})&=\sqrt{(-6)^2+10{,}8^2} \\ d(\overrightarrow{AT})&=\sqrt{152{,}64}\,[LE]\approx 12{,}354 \,[LE] \\\\ d(\overrightarrow{TB})&=\sqrt{12^2+(-4{,}8)^2} \\ d(\overrightarrow{TB})&=\sqrt{167{,}04}\,[LE] \approx 12{,}924\, [LE] \\\\ d(\overrightarrow{AS})&=\sqrt{4^2+6{,}8^2} \\ d(\overrightarrow{AS})&=\sqrt{62{,}24}\,[LE]\approx 7{,}889 \,[LE] \\\\ d(\overrightarrow{SB})&=\sqrt{4^2+(-0{,}8)^2} \\ d(\overrightarrow{SB})&=\sqrt{16{,}64}\,[LE] \approx 4{,}079\, [LE]\end{align}

Schritt 3:

Jetzt setzt Du die Strecken in die Formel des Doppelverhältnisses ein.

\begin{align}\frac{\overline{AT}}{\overline{TB}}&:\frac{\overline{AS}}{\overline{SB}} \\\\ \frac{{12{,}354}}{{12{,}924}}&:\frac{7{,}889}{4{,}079} \\[0.2cm] 0{,}956&:1{,}934 \end{align}

Die Strecke wird von \(T\) und \(S\) im Verhältnis \(0{,}956:1{,}934\) geteilt.