Bei Teilverhältnissen geht es darum, Teilstrecken miteinander ins Verhältnis zu setzen. Stell Dir vor, Du willst Dich mit einem Freund treffen. Jedoch habt Ihr beide sehr viel zu tun und keiner von Euch würde es zeitlich schaffen, den ganzen Weg zu laufen. Ihr entschließt Euch also den Weg zu teilen und Euch in der Mitte zu treffen. Ihr habt Euch die Strecke im Verhältnis \(1:1\) geteilt. Was es mit diesem Streckenteilen im Verhältnis auf sich hat, was die Definition von Teilverhältnissen ist und wie Du ein Teilungsverhältnis mit Vektoren berechnen kannst, erfährst Du in dieser Erklärung.
Teilverhältnisse – Definition
Das Teilen kennst Du bereits aus der Algebra als Division. In der analytischen Geometrie wird darunter das Auseinandernehmen von Strecken in Teilstrecken verstanden.
Als Teilverhältnis wird in der Geometrie das Verhältnis von zwei Teilstrecken einer gegebenen Strecke verstanden. Dabei wird die Strecke \(\overline {AB}\) durch einen Punkt \(T\) in die beiden Teilstrecken \(\overline{AT}\) und \(\overline{TB}\) geteilt.
Es gilt:
\[\lambda=\frac{\overline{AT}}{\overline{TB}}\]
\(\lambda\) nennt sich lambda und gibt hierbei das Teilungsverhältnis der beiden Teilstrecken \(\overline{AT}\) und \(\overline{TB}\) an.
Abb. 1 - Teilverhältnisse Definition
Je nachdem, welchen Wert \(\lambda\) annimmt, kannst Du die Eigenschaften der Teilung daran festmachen.
Die folgenden Eigenschaften der Teilung kannst Du anhand von \(\lambda\) feststellen.
- Von einer inneren Teilung wird gesprochen, wenn \(\lambda>0\) ist, also \(T\) zwischen \(A\) und \(B\) liegt.
- Wenn \(T\) sich von innen \(B\) nähert, strebt \(\lambda\rightarrow\infty\).
- Wenn \(T\) sich von innen \(A\) nähert, strebt \(\lambda\rightarrow0\).
- Wenn \(T\) der Mittelpunkt der Strecke \(\overline {AB}\) ist, ist \(\lambda=1\).
- Von einer äußeren Teilung wird gesprochen, wenn \(\lambda<0\) ist, also \(T\) außerhalb der Strecke \(\overline {AB}\) liegt.
- Wenn \(T\) außerhalb der Strecke \(\overline {AB}\) auf der Seite von \(B\) liegt, dann gilt \(\lambda<-1\).
- Wenn \(T\) sich von außen \(B\) nähert, strebt \(\lambda\rightarrow-\infty\).
- Wenn \(T\) außerhalb der Strecke \(\overline {AB}\) auf der Seite von \(A\) liegt, dann gilt \(-1<\lambda<0\).
- Wenn \(T\) sich von außen \(A\) nähert, strebt \(\lambda\rightarrow0\).
Bei einem Tausch von den Punkten \(A\) und \(B\) verändert sich auch das Streckenverhältnis. Die einzige Ausnahme bildet der Fall, wenn \(T\) im Mittelpunkt der Strecke liegt. Dann bleibt das Verhältnis unverändert.
Abb. 2 - Teilverhältnisse Tausch.
Goldener Schnitt – besonderes Teilverhältnis
Der Goldene Schnitt ist ein besonderes Teilverhältnis, welches in der Kunst und Architektur häufig als ideale Proportion angesehen wird. Er wird auch als Inbegriff von Ästhetik und Harmonie bezeichnet.
Der Goldene Schnitt, auch stetige oder göttliche Teilung genannt, ist ein besonderes Teilverhältnis, für welches folgendes Streckenverhältnis gilt:
\[\lambda=\frac{\overline{AT}}{\overline{TB}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}618\]
Mehr zum Goldenen Schnitt erfährst Du in der Erklärung "Goldener Schnitt".
Teilverhältnisse – berechnen
Wenn Du ein Streckenverhältnis zweier Teilstrecken berechnen möchtest, teilst Du die Länge einer Teilstrecke durch die andere. Da Du aber meistens nur den Anfangspunkt \(A\), den Endpunkt \(B\) und den Teilpunkt \(T\) der Strecke kennst, musst Du zunächst die Längen der Teilstrecken berechnen. Die Berechnung für das Teilverhältnis besteht also aus drei Schritten:
- Schritt 1: Bilde die Richtungsvektoren der Teilstrecken \(\overrightarrow{AT}\) und \(\overrightarrow{TB}\).
- Schritt 2: Berechne den Betrag der beiden Richtungsvektoren für die jeweiligen Längen der Teilstrecken.
- Schritt 3: Berechne das Verhältnis der beiden Längen \(\rightarrow \frac{\overline{AT}}{\overline{TB}}\).
Aufgabe 1
Eine Strecke \(\overline{AB}\) hat den Anfangspunkt bei \(A (1|4)\) und den Endpunkt bei \(B(5|-3)\). Diese Strecke wird von einem Punkt \(T(4|-1{,}25)\) geteilt. Berechne das Teilungsverhältnis und begründe anhand der Eigenschaften der Teilungsverhältnisse, wo \(T\) auf der Strecke liegt.
Lösung
Schritt 1:
Stelle zuerst die Richtungsvektoren \(\overrightarrow{AT}\) und \(\overrightarrow{TB}\) auf.
\begin{align} \overrightarrow{AT}&=\left(\begin{array}{c} 4-1 \\ -1{,}25-4 \end{array}\right) \\[0.2cm]\overrightarrow{AT}&=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -5{,}25 \end{array}\right) \\\\ \overrightarrow{TB}&=\left(\begin{array}{c} 5-4 \\ -3-(-1{,}25) \end{array}\right) \\[0.2cm]\overrightarrow{TB}&=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1{,}75 \end{array}\right) \end{align}
Schritt 2:
Bestimme jetzt die beiden Streckenlängen \(\overline{AT}\) und \(\overline {TB}\). Dafür berechnest Du den Betrag der Richtungsvektoren aus Schritt 1.
\begin{align} d(\overrightarrow{AT})&=\sqrt{3^2+(-5{,}25)^2} \\ d(\overrightarrow{AT})&=\sqrt{36{,}5625}\,[LE]\approx 6{,}047 \,[LE] \\\\ d(\overrightarrow{TB})&=\sqrt{1^2+(-1{,}75)^2} \\d(\overrightarrow{TB})&=\sqrt{4{,}0625}\,[LE] \approx 2{,}016\, [LE] \end{align}
Schritt 3:
Jetzt setzt Du die beiden Strecken in ein Verhältnis.
\begin{align} \lambda&=\frac{\overline{AT}}{\overline{TB}} \\[0.2cm] \lambda&=\frac{{6{,}047}}{{2{,}016}} \\[0.2cm] \lambda&=3\end{align}
Das Verhältnis der beiden Strecken liegt bei \(3:1\). Damit liegt der Punkt \(T\) näher an Punkt \(B\) als an dem Punkt \(A\).
Abb. 3 - Teilverhältnis berechnen.
Teilverhältnisse Vektoren
Neben der Berechnung über die Länge der Teilstrecken kannst Du das Teilverhältnis der Strecke auch bestimmen, indem Du die Richtungsvektoren direkt miteinander ins Verhältnis setzt \[\rightarrow \overrightarrow{AT}=r\cdot \overrightarrow{TB}\]
Schau Dir das mal bei den Teilsrecken aus Aufgabe 1 an.
Die Richtungsvekroen lauten:
\begin{align} \overrightarrow{AT}&=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -5{,}25 \end{array}\right) \\[0.2cm]\overrightarrow{TB}&=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1{,}75 \end{array}\right) \end{align}
Jetzt stellst Du das Verhältnis in der Form \(\overrightarrow{AT}=r\cdot \overrightarrow{TB}\) auf.
\begin{align} \overrightarrow{AT}&=r\cdot\overrightarrow{TB} \\[0.2cm]\left(\begin{array}{c} 3 \\ -5{,}25 \end{array}\right) &= r\cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1{,}75 \end{array}\right) \end{align}
Daraus ergibt sich jetzt ein Gleichungssystem, aus dem Du die Lösung für \(r\) bestimmen kannst.
\begin{align}3&=1r && \\ -5{,}25&=-1{,}75r &|&:(-1{,}75) \\ 3&=r \end{align}
Die Variable \(r\) ist somit 3, woraus sich das folgende Verhältnis ergibt:
\[\overrightarrow{AT}=3\cdot \overrightarrow{TB}\]
Das Verhältnis ist also \(3:1\), was identisch mit dem aus dem vorigen Beispiel ist.
Teilverhältnisse – Vektorielle Beweise
Ein Beweis ist der Nachweis darüber, dass ein Sachverhalt so ist, wie angenommen wurde.
Beim vektoriellen Beweis zu Teilverhältnissen sollen also Nachweise berechnet werden, dass zum Beispiel der Schwerpunkt eines Dreiecks immer die Seitenhalbierenden in dem Verhältnis \(1:2\) teilt.
Mithilfe der Teilverhältnisse kannst Du einige mathematische Sachverhalte beweisen.
- Suche alle Voraussetzungen aus der Aufgabe heraus.
- Schreibe die Behauptung auf.
- Beginne den Beweis mithilfe der Voraussetzungen und der Behauptung.
Wie so oft kann es Dir helfen, eine Skizze vor dem Aufstellen der Voraussetzung anzufertigen. Mithilfe der Skizze kannst Du auch die Voraussetzungen häufig leichter finden und kannst grafisch nachvollziehen, was Du gerade rechnest.
Aufgabe 2
Beweise, dass der Schwerpunkt \(S\) eines beliebigen Dreiecks \(ABC\) die Seitenhalbierenden in dem Verhältnis \(1:2\) teilt.
Abb. 4 - Skizze - vektorielle Beweise zu Teilverhältnissen.
Lösung
Der Skizze kannst Du folgende Voraussetzungen entnehmen.
\begin{align} \vec{t}&=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} \\[0.2cm] \vec{r}&=\frac{\vec{a}}{2}-\vec{b} \end{align}
\(\vec{a},\,\vec{b}\) sind linear unabhängig, also nicht parallel.
Nachdem die Voraussetzungen aufgestellt sind, kannst Du nun mithilfe dieser die Behauptung aufstellen.
\[S=\frac{2}{3}\vec{t}+\frac{1}{3}\vec{r}\]
Jetzt beginnst Du den Beweis. Dafür nimmst Du einen \(x\) Teil des \(\vec{t}\) Vektors plus einen \(y\) Teil des \(\vec{r}\) Vektors und kommst dann bei der Hälfte des \(\vec{a}\) Vektors an.
\[x\cdot \vec{t}+y\cdot \vec{r}=\frac{\vec{a}}{2}\]
Nun ersetzt Du \(\vec{t}\) und \(\vec{r}\) und fasst danach so weit es geht zusammen.
\begin{align} x\cdot \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}+y\cdot \left(\frac{\vec{a}}{2}-\vec{b}\right)&=\frac{\vec{a}}{2} \\[0.2cm] x\cdot \frac{\vec{a}}{2}+y\cdot \frac{\vec{a}}{2}-\frac{\vec{a}}{2}+x\cdot \frac{\vec{b}}{2}-y\cdot \vec{b}&=\vec{0} \\[0.2cm] \vec{a}\cdot\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{1}{2}\right)+\vec{b}\cdot\left(\frac{x}{2}-y\right)&=\vec{0} \end{align}
Um die Gleichung mit dem \(\vec{0}\) zu erfüllen, müssen beide Klammerterme null werden. Also benötigst Du ein Gleichungssystem. Dieses löst Du und erhältst für \(x\) und \(y\) das Teilungsverhältnis.
\begin{align} \frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{1}{2}&=0 &|&\cdot 2 &|&+1\\[0.2cm] x+y&=1 \\[0.2cm] \frac{x}{2}-y&=0 &|&+y \\[0.2cm] y&=\frac{x}{2} \\[0.2cm] x+\frac{x}{2}&=1 &|&\cdot 2 &|&:3 \\[0.2cm] x&=\frac{2}{3} \\[0.2cm] y&=\frac{1}{3} \end{align}
Du erhältst für \(x=\frac{2}{3}\) und \(y=\frac{1}{3}\). Damit wäre das Teilungsverhältnis der Behauptung bewiesen. Die Seitenhalbierenden werden in dem Verhältnis \(1:2\) vom Schwerpunkt geteilt.
Teilverhältnisse – Doppelverhältnis
Neben dem einfachen Teilungsverhältnis, wo eine Strecke durch einen Punkt geteilt wird, gibt es auch das Doppelverhältnis. Bei diesem wird eine Strecke durch zwei Punkte geteilt.
Als Doppelverhältnis wird in der Geometrie das Verhältnis von zweier Teilverhältnisse verstanden. Dabei wird die Strecke \(\overline {AB}\) durch einen Punkt \(T\) und \(S\) in die Teilstrecken \(\overline{AT}\), \(\overline {AS}\) und \(\overline {TB}\), \(\overline{SB}\) geteilt.
Es gilt:
\[\frac{\overline{AT}}{\overline{TB}}:\frac{\overline{AS}}{\overline{SB}}\]
Je nachdem, welches Teilungsverhältnis angenommen wird, kannst Du die Eigenschaften der Teilung daran festmachen.
Die möglichen Eigenschaften der Doppelverhältnisse sind:
- Wenn das Doppelverhältnis positiv ist, liegen beide Punkte \(T\) und \(S\) zwischen \(A,\,B\) oder beide Punkt \(T\) und \(S\) außerhalb von \(A,\,B\).
- Wenn das Doppelverhältnis negativ ist, liegt einer der beiden Punkte \(T\) und \(S\) innerhalb von \(A,\,B\) und der andere außerhalb von \(A,\,B\).
- Wenn das Doppelverhältnis \(-1\) ergibt, liegt eine harmonische Teilung vor. Einer der beiden Punkte \(T\) und \(S\) liegt innerhalb von \(A,\,B\) und der andere außerhalb von \(A,\,B\).
Eine mögliche harmonische Teilung könnte folgendermaßen aussehen. Dabei wird die Strecke \(\overline{AB}\) im Verhältnis \(3:1\) von \(T\) geteilt. Die äußere Teilung durch \(S\) erfolgt ebenfalls im Verhältnis \(3:1\), wobei jedoch \(\overline {AB}\) als Teilstrecke der Strecke \(\overline{AS}\) verstanden wird.
Abb. 5 - harmonische Teilung.
Teilverhältnisse – Vektoren: Aufgaben
Jetzt kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.
Aufgabe 3
Berechne das Teilverhältnis der Strecke \(\overline{AB}\) durch den Punkt \(T(7|7)\). Die Strecke \(\overline{AB}\) startet im Punkt \(A(2|6)\) und endet im Punkt \(B(12|8)\).
Lösung
Schritt 1:
Stelle zuerst die Richtungsvektoren \(\overrightarrow{AT}\) und \(\overrightarrow{TB}\) auf.
\begin{align} \overrightarrow{AT}&=\left(\begin{array}{c} 7-2 \\ 7-6 \end{array}\right) \\[0.2cm]\overrightarrow{AT}&=\left(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array}\right) \\\\ \overrightarrow{TB}&=\left(\begin{array}{c} 12-7 \\ 8-7 \end{array}\right) \\[0.2cm]\overrightarrow{TB}&=\left(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array}\right) \end{align}
Schritt 2:
Bestimme jetzt die beiden Streckenlängen \(\overline{AT}\) und \(\overline {TB}\). Dafür berechnest Du den Betrag der Richtungsvektoren aus Schritt 1.
\begin{align} d(\overrightarrow{AT})&=\sqrt{5^2+1^2} \\ d(\overrightarrow{AT})&=\sqrt{26}\,[LE]\approx 5{,}099 \,[LE] \\\\ d(\overrightarrow{TB})&=\sqrt{5^2+1^2} \\ d(\overrightarrow{TB})&=\sqrt{26}\,[LE] \approx 5{,}099\, [LE] \end{align}
Schritt 3:
Jetzt setzt Du die beiden Strecken in ein Verhältnis.
\begin{align} \lambda&=\frac{\overline{AT}}{\overline{TB}} \\[0.2cm] \lambda&=\frac{{5{,}099}}{{5{,}099}} \\[0.2cm] \lambda&=1\end{align}
Das Verhältnis der beiden Strecken liegt bei \(1:1\). Damit liegt der Punkt \(T\) in der Mitte der Strecke \(\overline{AB}\).
Aufgabe 4
Berechne das Doppelverhältnis der Strecke \(\overline{AB}\) durch den Punkt \(T(4|6{,}8)\) und \(S(14|2{,}8)\). Die Strecke \(\overline{AB}\) startet im Punkt \(A(10|-4)\) und endet im Punkt \(B(16|2)\).
Lösung
Schritt 1:
Stelle zuerst die Richtungsvektoren \(\overrightarrow{AT}\), \(\overrightarrow{TB}\) und \(\overrightarrow{AS}\), \(\overrightarrow{SB}\) auf.
\begin{align} \overrightarrow{AT}&=\left(\begin{array}{c} 4-10 \\ 6{,}8-(-4) \end{array}\right) \\[0.2cm] \overrightarrow{AT}&=\left(\begin{array}{c} -6 \\ 10{,}8 \end{array}\right) \\\\ \overrightarrow{TB}&=\left(\begin{array}{c} 16-4 \\ 2-6{,}8 \end{array}\right) \\[0.2cm] \overrightarrow{TB}&=\left(\begin{array}{c} 12 \\ -4{,}8 \end{array}\right) \\\\\overrightarrow{AS}&=\left(\begin{array}{c} 14-10 \\ 2{,}8-(-4) \end{array}\right) \\[0.2cm] \overrightarrow{AS}&=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 6{,}8 \end{array}\right) \\\\ \overrightarrow{SB}&=\left(\begin{array}{c} 16-14 \\ 2-2{,}8 \end{array}\right) \\[0.2cm] \overrightarrow{SB}&=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -0{,}8 \end{array}\right) \end{align}
Schritt 2:
Bestimme jetzt die Streckenlängen \(\overline{AT}\), \(\overline {TB}\) und \(\overline{AS}\), \(\overline {SB}\). Dafür berechnest Du den Betrag der Richtungsvektoren aus Schritt 1.
\begin{align} d(\overrightarrow{AT})&=\sqrt{(-6)^2+10{,}8^2} \\ d(\overrightarrow{AT})&=\sqrt{152{,}64}\,[LE]\approx 12{,}354 \,[LE] \\\\ d(\overrightarrow{TB})&=\sqrt{12^2+(-4{,}8)^2} \\ d(\overrightarrow{TB})&=\sqrt{167{,}04}\,[LE] \approx 12{,}924\, [LE] \\\\ d(\overrightarrow{AS})&=\sqrt{4^2+6{,}8^2} \\ d(\overrightarrow{AS})&=\sqrt{62{,}24}\,[LE]\approx 7{,}889 \,[LE] \\\\ d(\overrightarrow{SB})&=\sqrt{4^2+(-0{,}8)^2} \\ d(\overrightarrow{SB})&=\sqrt{16{,}64}\,[LE] \approx 4{,}079\, [LE]\end{align}
Schritt 3:
Jetzt setzt Du die Strecken in die Formel des Doppelverhältnisses ein.
\begin{align}\frac{\overline{AT}}{\overline{TB}}&:\frac{\overline{AS}}{\overline{SB}} \\\\ \frac{{12{,}354}}{{12{,}924}}&:\frac{7{,}889}{4{,}079} \\[0.2cm] 0{,}956&:1{,}934 \end{align}
Die Strecke wird von \(T\) und \(S\) im Verhältnis \(0{,}956:1{,}934\) geteilt.
Teilverhältnisse – Das Wichtigste
- Als Teilverhältnis wird in der Geometrie das Verhältnis von zwei Teilstrecken einer gegebenen Streckeverstanden. Dabei wird die Strecke \(\overline {AB}\) durch einen Punkt \(T\) in die beiden Teilstrecken \(\overline{AT}\) und \(\overline{TB}\) geteilt.
Es gilt: \[\lambda=\frac{\overline{AT}}{\overline{TB}}\]
\(\lambda\) gibt hierbei das Teilungsverhältnis der beiden Teilstrecken \(\overline{AT}\) und \(\overline{TB}\) an.
- Du kannst das Teilungsverhältnis zweier Strecken wie folgt mithilfe von Vektoren berechnen:
- Schritt 1: Bilde die Richtungsvektoren der Teilstrecken \(\overrightarrow{AT}\) und \(\overrightarrow{TB}\).
Schritt 2: Berechne den Betrag der beiden Richtungsvektoren für die jeweiligen Längen der Teilstrecken.
Schritt 3: Berechne das Verhältnis der beiden Längen \(\rightarrow \frac{\overline{AT}}{\overline{TB}}\).
- Du kannst das Teilverhältnis der Strecke auch bestimmen, indem Du die Richtungsvektoren direkt miteinander ins Verhältnis setzt. \(r\) gibt dabei das Teilverhältnis an. \[\rightarrow \overrightarrow{AT}=r\cdot \overrightarrow{TB}\]
- Als Doppelverhältnis wird in der Geometrie das Verhältnis zweier Teilverhältnisse verstanden. Dabei wird die Strecke \(\overline {AB}\) durch einen Punkt \(T\) und \(S\) in die Teilstrecken \(\overline{AT}\), \(\overline {AS}\) und \(\overline {TB}\), \(\overline{SB}\) geteilt.
Es gilt: \[\frac{\overline{AT}}{\overline{TB}}:\frac{\overline{AS}}{\overline{SB}}\]
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