Und? Erkennst Du, was das ist? Das ist eine Katze aus vielen verschiedenen geometrischen Figuren. Diese Figuren werden Vielecke genannt. Vielecke begegnen Dir in vielen Dingen im Alltag, sei es die Tafel Schokolade oder das Stoppschild! Was die Eigenschaften von Vielecken sind und wie Du sie berechnest, erfährst Du in dieser Erklärung.
Abbildung 1: Katze aus Vielecken
Vielecke – Arten und Eigenschaften
Du kannst Vielecke in zwei Arten unterteilen. Dabei gibt es regelmäßige und unregelmäßige Vielecke. Vielecke sind Figuren, die mindestens 3 Ecken besitzt. Diese drei Ecken müssen miteinander durch Strecken (Seiten des Vieleck) verbunden sein. Ein Vieleck wird auch Polygon genannt.
Regelmäßiges Vieleck
Regelmäßige Vielecke kennst Du vielleicht schon aus dem Thema Geometrie. Dabei zählen gleichseitige Dreiecke, Quadrate oder regelmäßige Achtecke zu regelmäßigen Vielecken.
Ein regelmäßiges Vieleck besitzt:
- Seiten von gleicher Länge
- Winkel von gleicher Größe
Im folgenden Beispiel kannst Du Dir ein paar regelmäßige Vielecke anschauen!
All diese Formen kannst Du im Alltag finden. Wusstest Du schon, dass sie regelmäßig sind? Und fallen Dir noch weitere regelmäßige Vielecke aus dem Alltag ein?
Achsensymmetrisches Vieleck
Eine weitere wissenswerte Eigenschaft von regelmäßigen Vielecken ist ihre Achsensymmetrie!
Wenn Vielecke mit - Ecken regelmäßig sind, dann sind sie auch achsensymmetrisch. Regelmäßige Vielecke besitzen dann eine Anzahl von Symmetrieachsen.
Weißt Du noch, was Achsensymmetrie bedeutet? Wenn nicht, dann schau gerne in der Erklärung "Achsensymmetrie" vorbei!
Abbildung 2: Achsensymmetrie Vieleck
Ein regelmäßiges - Eck mit einer Anzahl von Ecken hat auch eine Anzahl von Symmetrieachsen. Das Vieleck wird an den Symmetrieachsen genau in der Hälfte geteilt; beide Hälften sind symmetrisch und deckungsgleich. Das bedeutet, Du kannst das Vieleck an den Symmetrieachsen aufeinander falten und erhältst eine deckungsgleiche Figur.
Und wie sieht das jetzt bei einem unregelmäßigen Vieleck aus?
Unregelmäßiges Vieleck
Unregelmäßige Vielecke zeichnen sich nicht durch besondere Seitenlängen oder Winkelgrößen aus. Diese Art von Vielecken sind geometrische Figuren, die mindestens drei Ecken und drei Seitenlängen oder mehr haben. Für unregelmäßige Vielecke gibt es für die Flächenberechnung keine allgemeinen Formeln.
Meistens sind unregelmäßige Vielecke aus anderen geometrischen Formen (Dreieck, Viereck...) zusammengesetzt.
 Abbildung 3: unregelmäßiges Vieleck
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➞ mehrere unregelmäßige Vielecke |
Jetzt geht es an die mathematischen Formeln. Im nächsten Abschnitt findest Du sowohl Formeln für das regelmäßige Vieleck als auch für das unregelmäßige Vieleck.
Vieleck berechnen
Das Vieleck hat viele Elemente zum Berechnen. Sei es die Winkelsumme, der Flächeninhalt oder der Umfang. Die ganzen Formeln dazu findest Du in diesem Abschnitt. Am Ende erwarten Dich eine Tabelle, die als Formelsammlung dienen kann und ein paar Übungsaufgaben, mit denen Du Dein Können überprüfen kannst.
Winkelsumme im Vieleck
Ein Vieleck mit Ecken hat auch Winkel, denn an jeder Ecke befindet sich ein Winkel. Du kannst die Winkelsumme von Vielecken mit einer Formel berechnen. Dabei ist es bei dieser Formel irrelevant, ob das Vieleck regelmäßig oder unregelmäßig ist.
Die Winkelsumme eines Vieleckes mit einer Anzahl von Ecken entspricht
Das bedeutet, dass Du aus dieser Formel eine Wertetabelle erstellen kannst, die die Winkelsummen von verschiedenen Vielecken angibt.
Betrachte dafür etwa das Dreieck. Das Dreieck ist ein Vieleck mit drei Eckpunkten, das bedeutet, dass die Variable ist. Um die Innenwinkelsumme des Dreiecks zu berechnen, setzt Du den Wert für in die Formel ein. So gehst Du auch mit allen anderen Vielecken vor, woraus sich dann die folgende Tabelle ergibt:
| Dreieck | |
| Viereck | |
| Fünfeck | |
| Sechseck | |
| ... | ... |
| Neunzehneck | |
| - Eck | |
Möchtest Du Dir das Thema Winkelsumme genauer anschauen? Dann klick Dich gerne in die Erklärung "Winkelsumme im Vieleck" rein!
Die Anzahl an Diagonalen im Vieleck ist die nächste Formel, bei der es nicht ausschlaggebend ist, ob das Vieleck regelmäßig oder unregelmäßig ist.
Diagonalen im Vieleck
Diagonalen sind Strecken in einem Vieleck, die von einem Eckpunkt zu einem nicht benachbarten Eckpunkt führen.
Ein Vieleck mit einer Anzahl von Ecken hat die folgende Anzahl an Diagonalen:
Schau Dir das gerne in einem Beispiel an!
Aufgabe 1
Berechne die Anzahl an Diagonalen in diesem Sechseck und zeichne alle möglichen Diagonalen ein.
Abbildung 4: unregelmäßiges Vieleck
Lösung
Zuerst setzt Du die Anzahl an Ecken für die Variable in der Formel ein. Das ist hier die Zahl 6.
Es gibt also neun Diagonalen in dem Sechseck. Die neun Diagonalen kannst Du dann in das Vieleck einzeichnen.
Abbildung 5: Anzahl an Diagonalen in Vieleck
So kannst Du mit jedem Vieleck vorgehen.
Und wie ist die Formel für den Umfang?
Umfang eines Vieleckes
Der Umfang einer geometrischen Figur entspricht der Summe alles Seitenlängen. Das bedeutet, bei einem regelmäßigen Vieleck ist die Berechnung des Umfangs simpler als bei einem unregelmäßigen Vieleck. Im regelmäßigen Vieleck sind alle Seiten gleichlang.
In einem regelmäßigen Vieleck mit der Anzahl sieht die Formel für die Berechnung des Umfangs folgendermaßen aus:
Die Variable ist dabei die Seitenlänge.
In einem unregelmäßigen Vieleck entspricht der Umfang der Summe aller Seitenlängen.
Das kannst Du Dir anhand eines Beispiels anschauen!
Aufgabe 2
Berechne den Umfang eines regelmäßigen Neunecks. Die Seitenlänge entspricht .
Lösung
Da es ein Neuneck ist, setzt Du in die Formel für die Variable 9 ein. Für setzt Du die Seitenlänge ein.
Das Neuneck hat einen Umfang von .
Für die Berechnung des Flächeninhalts eines regelmäßigen Vieleckes solltest Du Dir das Vieleck noch mal genauer anschauen.
Flächeninhalt im regelmäßigen Vieleck
In einem regelmäßigen Vieleck können zwei Arten von Winkeln entstehen. Den einen Winkel hast Du oben bei der Berechnung der Winkelsumme schon kennengelernt, und zwar den Winkel β. Wenn Du in einem Vieleck alle Eckpunkte mit dem Mittelpunkt verbindest, erhältst Du dazu noch einen Winkel, und zwar den Winkel ɑ.
Abbildung 6: Winkel im Vieleck
Um die Größe der Winkel eines Vieleckes mit der Anzahl Ecken zu berechnen, gibt es folgende Formeln:
Die Größe des Winkels ɑ in einem Eck berechnest Du mit der Formel
Die Größe des Winkels β in einem Eck berechnest Du mit der Formel
Der Innenwinkel ist der Winkel ɑ. Der Innenwinkel spielt später auch in der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eine Rolle. An ein regelmäßiges Vieleck kannst Du dann zwei Kreise konstruieren. Den Inkreis und den Umkreis:
Abbildung 7: Inkreis und Umkreis Vieleck
Der Inkreis berührt die Mittelpunkte aller Seiten. Der Umkreis berührt alle Eckpunkte des Vieleckes. Beide Kreise besitzen einen Kreisradius. Der Radius wird der Inkreisradius genannt und der Radius role="math" id="2853458" Umkreisradius. Auch die Radien benötigst Du, um den Flächeninhalt eines regelmäßigen Vieleckes zu berechnen.
Um den Flächeninhalt eines regelmäßigen Vieleckes mit einer Anzahl an Ecken, einem Inkreisradius und einem Umkreisradius zu berechnen, gelten die folgenden Formeln:
Welche Formel Du bei der Berechnung des Flächeninhalts auswählst, hängt ganz davon ab, ob Du den Inkreisradius oder den Umkreisradius des Vieleckes kennst.
Schau Dir die Berechnung des Flächeninhalts auch gerne in dem folgenden Beispiel anschauen.
Aufgabe 3
Abbildung 8: Sechseck
Berechne den Flächeninhalt A eines regelmäßigen Sechsecks mit den Angaben:
Lösung
Gegeben ist der Inkreisradius , die Anzahl an Eckpunkten und die Seitenlänge . Das bedeutet, Du setzt die Variablen in die Formel ein:
Das Sechseck hat einen Flächeninhalt von .
Flächenberechnung – Unregelmäßiges Vieleck
Und wie sieht die Berechnung des Flächeninhalts eines unregelmäßigen Vieleckes aus?
Für den Flächeninhalt eines unregelmäßigen Vieleckes gibt es keine allgemeine Formel. Um den Flächeninhalt zu berechnen, unterteilst Du das Vieleck in Dir bekannte geometrische Figuren und berechnest den Flächeninhalt dieser Figuren. Die berechneten Flächeninhalte kannst Du dann summieren, um den gesamten Flächeninhalt des unregelmäßigen Vieleckes zu berechnen. Schau Dir dazu gerne ein Beispiel an!
Aufgabe 4
Berechne den Flächeninhalt A dieses Vieleckes.
Abbildung 9: unregelmäßiges Vieleck
Lösung
Das Vieleck kannst Du in zwei andere bekannte geometrische Figuren unterteilen, um den Flächeninhalt zu berechnen.
Abbildung 10: Rechteck und Parallelogramm
Jetzt hast Du ein Parallelogramm und ein Rechteck vorliegen. Von den beiden Figuren kannst Du jeweils den Flächeninhalt berechnen.
Du möchtest wissen, wie der Flächeninhalt eines Rechtecks oder eines Parallelogramms berechnet wird? Dann schau gerne in die Artikel "Flächeninhalt Rechteck" und "Flächeninhalt Parallelogramm".
Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks mit der Formel .
Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnest Du mit der Formel .
Die beiden Werte kannst Du dann addieren, um den gesamten Flächeninhalt des Vieleckes zu berechnen.
Der Flächeninhalt des unregelmäßigen Vieleckes beträgt .
Ein unregelmäßiges Vieleck kannst Du also immer in Figuren unterteilen, die Du schon kennst, um den Flächeninhalt zu berechnen.
Vielecke – Formeln und Übungen
Hier findest Du eine Übersicht über alle wichtigen Formeln und kannst danach Dein Wissen über Vielecke in Übungsaufgaben überprüfen. Die Übersicht kann für Dich als Formelsammlung dienen, wenn Du also irgendwo hängst oder bei Aufgaben nicht weiterkommst, kannst Du gerne in die Übersicht schauen!
Vielecke – Formeln
| Angaben | regelmäßiges Vieleck | unregelmäßiges Vieleck |
| Winkelsumme | | |
| Anzahl an Diagonalen | | |
| Umfang | | |
| Flächeninhalt | | - Unterteile das Vieleck in Dir bekannte Figuren
- Berechne den Flächeninhalt der jeweiligen Figuren
- Addiere den Flächeninhalt aller Figuren
|
Die Formeln kannst Du für die Berechnung aller möglichen Vielecke anwenden, wobei die Variable n für die Anzahl von Eckpunkten steht.
Vielecke – Übungen
Hier kannst Du Dein Können im Thema Vielecke überprüfen!
Aufgabe 5
Berechne den Flächeninhalt von diesem Bild eines Laptops (in der Ebene) mithilfe der gegebenen Angaben.
Abbildung 11: Laptop
Lösung
Das Vieleck kannst Du in zwei bekannte geometrische Figuren unterteilen.
Abbildung 12: Rechteck und Trapez
Jetzt hast Du ein Rechteck (den Bildschirm) und ein Trapez (die Tastatur) vorliegen. Mithilfe der Angaben kannst Du dann die jeweiligen Flächeninhalte berechnen.
Den Flächeninhalt des Rechtecks (des Bildschirms) berechnest Du mit der Formel .
Den Flächeninhalt des Trapez (der Tastatur) berechnest Du mit der Formel .
Diese Werte addierst Du, um den gesamten Flächeninhalt zu berechnen:
Der Flächeninhalt des Bildschirms und der Tastatur beträgt .
Aufgabe 6
Gegeben ist ein Vieleck mit einer Winkelsumme von . Berechne, wie viele Ecken dieses Vieleck hat.
Lösung
Um die Anzahl der Ecken zu berechnen, benötigst Du die Formel zur Berechnung der Innenwinkelsumme, und zwar . Gesucht ist die Variable ; sie steht für die Anzahl an Ecken in einem Vieleck. Du setzt also den berechneten Wert mit der Formel gleich und löst nach n auf:
Das Vieleck ist also ein 15 - Eck mit 15 Eckpunkten.
Vielecke – Das Wichtigste
- Ein Vieleck hat mindestens drei miteinander verbundene Eckpunkte.
- Regelmäßige Vielecke haben gleichlange Seiten und gleich große Winkel.
- Unregelmäßige Vielecke können in andere bekannte geometrische Figuren unterteilt werden.
- Die Winkelsumme in einem beliebigen Vieleck wird mit der Formel berechnet.
- Die Anzahl an Diagonalen in einem beliebigen Vieleck wird mit der Formel berechnet.
- Der Umfang eines regelmäßigen Vieleckes wird mit der Formel berechnet; der Umfang eines unregelmäßigen Vieleckes mit der Formel
- Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Vieleckes wird mit der Formel berechnet; bei einem unregelmäßigen Vieleck wird es in bekannte Figuren aufgeteilt, von denen jeweils die Flächeninhalte miteinander addiert werden.
Nachweise
- Becker et al. (2015). Duden Formeln und Werte. Cornelsen Verlag.
- Hausleiter (2015). Mathematik - Aktuelles Grundwissen. Circon Verlag.
Erklärungen 
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