Vieleck: Eigenschaften, Formeln & Berechnen

Q: Wie werden Vielecke genannt?

Vielecke werden auch Polygone genannt. Das Wort entspringt dem Altgriechischen und bedeutet übersetzt "viele Winkel". Im Deutschen wird es sowohl Vieleck als auch Polygon genannt.

Inhaltsangabe

Vieleck Katze aus Vielecken StudySmarter Abbildung 1: Katze aus Vielecken

Vielecke – Arten und Eigenschaften

Du kannst Vielecke in zwei Arten unterteilen. Dabei gibt es regelmäßige und unregelmäßige Vielecke. Vielecke sind Figuren, die mindestens 3 Ecken besitzt. Diese drei Ecken müssen miteinander durch Strecken (Seiten des Vieleck) verbunden sein. Ein Vieleck wird auch Polygon genannt.

Regelmäßiges Vieleck

Regelmäßige Vielecke kennst Du vielleicht schon aus dem Thema Geometrie. Dabei zählen gleichseitige Dreiecke, Quadrate oder regelmäßige Achtecke zu regelmäßigen Vielecken.

Ein regelmäßiges Vieleck besitzt:

Seiten von gleicher Länge
Winkel von gleicher Größe

Im folgenden Beispiel kannst Du Dir ein paar regelmäßige Vielecke anschauen!

Vieleck Straßenschild regelmäßiges Vieleck StudySmarter

\to

gleichschenkliges Dreieck

Vieleck Schachbrett regelmäßiges Vieleck StudySmarte

$\to$ Quadrat

Vieleck Honigwaben regelmäßiges Vieleck StudySmarter

\to

Sechseck

$\to$ Achteck

All diese Formen kannst Du im Alltag finden. Wusstest Du schon, dass sie regelmäßig sind? Und fallen Dir noch weitere regelmäßige Vielecke aus dem Alltag ein?

Achsensymmetrisches Vieleck

Eine weitere wissenswerte Eigenschaft von regelmäßigen Vielecken ist ihre Achsensymmetrie!

Wenn Vielecke mit $n$ - Ecken regelmäßig sind, dann sind sie auch achsensymmetrisch. Regelmäßige Vielecke besitzen dann eine Anzahl von $n$ Symmetrieachsen.

Weißt Du noch, was Achsensymmetrie bedeutet? Wenn nicht, dann schau gerne in der Erklärung "Achsensymmetrie" vorbei!

Vieleck n-Eck achsensymmetrisches Vieleck StudySmarter Abbildung 2: Achsensymmetrie Vieleck

Ein regelmäßiges $n$ - Eck mit einer Anzahl von $n$ Ecken hat auch eine Anzahl von $n$ Symmetrieachsen. Das Vieleck wird an den Symmetrieachsen genau in der Hälfte geteilt; beide Hälften sind symmetrisch und deckungsgleich. Das bedeutet, Du kannst das Vieleck an den Symmetrieachsen aufeinander falten und erhältst eine deckungsgleiche Figur.

Und wie sieht das jetzt bei einem unregelmäßigen Vieleck aus?

Unregelmäßiges Vieleck

Unregelmäßige Vielecke zeichnen sich nicht durch besondere Seitenlängen oder Winkelgrößen aus. Diese Art von Vielecken sind geometrische Figuren, die mindestens drei Ecken und drei Seitenlängen oder mehr haben. Für unregelmäßige Vielecke gibt es für die Flächenberechnung keine allgemeinen Formeln.

Meistens sind unregelmäßige Vielecke aus anderen geometrischen Formen (Dreieck, Viereck...) zusammengesetzt.

Vieleck unregelmäßiges Achteck Vieleck berechnen StudySmarter Abbildung 3: unregelmäßiges Vieleck

Vieleck Übersicht Figuren Vieleck berechnen StudySmarter

➞ mehrere unregelmäßige Vielecke

Jetzt geht es an die mathematischen Formeln. Im nächsten Abschnitt findest Du sowohl Formeln für das regelmäßige Vieleck als auch für das unregelmäßige Vieleck.

Vieleck berechnen

Das Vieleck hat viele Elemente zum Berechnen. Sei es die Winkelsumme, der Flächeninhalt oder der Umfang. Die ganzen Formeln dazu findest Du in diesem Abschnitt. Am Ende erwarten Dich eine Tabelle, die als Formelsammlung dienen kann und ein paar Übungsaufgaben, mit denen Du Dein Können überprüfen kannst.

Winkelsumme im Vieleck

Ein Vieleck mit $n$ Ecken hat auch $n$ Winkel, denn an jeder Ecke befindet sich ein Winkel. Du kannst die Winkelsumme von Vielecken mit einer Formel berechnen. Dabei ist es bei dieser Formel irrelevant, ob das Vieleck regelmäßig oder unregelmäßig ist.

Die Winkelsumme eines Vieleckes mit einer Anzahl von $n$ Ecken entspricht

$(n - 2) \cdot 180 °$

Das bedeutet, dass Du aus dieser Formel eine Wertetabelle erstellen kannst, die die Winkelsummen von verschiedenen Vielecken angibt.

Betrachte dafür etwa das Dreieck. Das Dreieck ist ein Vieleck mit drei Eckpunkten, das bedeutet, dass die Variable $n = 3$ ist. Um die Innenwinkelsumme des Dreiecks zu berechnen, setzt Du den Wert für $n$ in die Formel $(n - 2) \cdot 180 °$ ein. So gehst Du auch mit allen anderen Vielecken vor, woraus sich dann die folgende Tabelle ergibt:

Dreieck	$(3 - 2) \cdot 180 ° = 1 \cdot 180 ° = 180 °$
Viereck	$(4 - 2) \cdot 180 ° = 2 \cdot 180 ° = 360 °$
Fünfeck	$(5 - 2) \cdot 180 ° = 3 \cdot 180 ° = 540 °$
Sechseck	$(6 - 2) \cdot 180 ° = 4 \cdot 180 ° = 720 °$
...	...
Neunzehneck	$(19 - 2) \cdot 180 ° = 17 \cdot 180 ° = 3060 °$
$n$ - Eck	$(n - 2) \cdot 180 °$

Möchtest Du Dir das Thema Winkelsumme genauer anschauen? Dann klick Dich gerne in die Erklärung "Winkelsumme im Vieleck" rein!

Die Anzahl an Diagonalen im Vieleck ist die nächste Formel, bei der es nicht ausschlaggebend ist, ob das Vieleck regelmäßig oder unregelmäßig ist.

Diagonalen im Vieleck

Diagonalen sind Strecken in einem Vieleck, die von einem Eckpunkt zu einem nicht benachbarten Eckpunkt führen.

Ein Vieleck mit einer Anzahl von $n$ Ecken hat die folgende Anzahl an Diagonalen:

$\frac{n \cdot (n - 3)}{2}$

Schau Dir das gerne in einem Beispiel an!

Aufgabe 1

Berechne die Anzahl an Diagonalen in diesem Sechseck und zeichne alle möglichen Diagonalen ein.

Vieleck unregelmäßiges Vieleck Vieleck berechnen StudySmarter Abbildung 4: unregelmäßiges Vieleck

Lösung

Zuerst setzt Du die Anzahl an Ecken für die Variable $n$ in der Formel $\frac{n \cdot (n - 3)}{2}$ ein. Das ist hier die Zahl 6.

$\frac{6 \cdot (6 - 3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Es gibt also neun Diagonalen in dem Sechseck. Die neun Diagonalen kannst Du dann in das Vieleck einzeichnen.

Vieleck Anzahl Diagonalen Vieleck berechnen StudySmarter Abbildung 5: Anzahl an Diagonalen in Vieleck

So kannst Du mit jedem Vieleck vorgehen.

Und wie ist die Formel für den Umfang?

Umfang eines Vieleckes

Der Umfang einer geometrischen Figur entspricht der Summe alles Seitenlängen. Das bedeutet, bei einem regelmäßigen Vieleck ist die Berechnung des Umfangs simpler als bei einem unregelmäßigen Vieleck. Im regelmäßigen Vieleck sind alle Seiten gleichlang.

In einem regelmäßigen Vieleck mit der Anzahl $n$ sieht die Formel für die Berechnung des Umfangs folgendermaßen aus:

$U = n \cdot a$

Die Variable $a$ ist dabei die Seitenlänge.

In einem unregelmäßigen Vieleck entspricht der Umfang der Summe aller Seitenlängen.

$U = a + b + c + d + . . .$

Das kannst Du Dir anhand eines Beispiels anschauen!

Aufgabe 2

Berechne den Umfang eines regelmäßigen Neunecks. Die Seitenlänge $a$ entspricht $a = 4 c m$ .

Lösung

Da es ein Neuneck ist, setzt Du in die Formel $U = n \cdot a$ für die Variable $n$ 9 ein. Für $a$ setzt Du die Seitenlänge $a = 4 c m$ ein.

$U = 9 \cdot 4 c m = 36 c m$

Das Neuneck hat einen Umfang von $U = 36 c m$ .

Für die Berechnung des Flächeninhalts eines regelmäßigen Vieleckes solltest Du Dir das Vieleck noch mal genauer anschauen.

Flächeninhalt im regelmäßigen Vieleck

In einem regelmäßigen Vieleck können zwei Arten von Winkeln entstehen. Den einen Winkel hast Du oben bei der Berechnung der Winkelsumme schon kennengelernt, und zwar den Winkel β. Wenn Du in einem Vieleck alle Eckpunkte mit dem Mittelpunkt verbindest, erhältst Du dazu noch einen Winkel, und zwar den Winkel ɑ.

Vieleck regelmäßiges Vieleck Flächeninhalt Vieleck StudySmarter Abbildung 6: Winkel im Vieleck

Um die Größe der Winkel eines Vieleckes mit der Anzahl $n$ Ecken zu berechnen, gibt es folgende Formeln:

Die Größe des Winkels ɑ in einem $n -$ Eck berechnest Du mit der Formel

$α = \frac{360 °}{n}$

Die Größe des Winkels β in einem $n -$ Eck berechnest Du mit der Formel

$β = 180 ° - α$

Der Innenwinkel ist der Winkel ɑ. Der Innenwinkel spielt später auch in der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eine Rolle. An ein regelmäßiges Vieleck kannst Du dann zwei Kreise konstruieren. Den Inkreis und den Umkreis:

Vieleck Inkreis Umkreis Flächeninhalt Vieleck StudySmarter Abbildung 7: Inkreis und Umkreis Vieleck

Der Inkreis berührt die Mittelpunkte aller Seiten. Der Umkreis berührt alle Eckpunkte des Vieleckes. Beide Kreise besitzen einen Kreisradius. Der Radius $r_{1}$ wird der Inkreisradius genannt und der Radius role="math" id="2853458" $r_{2}$ Umkreisradius. Auch die Radien benötigst Du, um den Flächeninhalt eines regelmäßigen Vieleckes zu berechnen.

Um den Flächeninhalt eines regelmäßigen Vieleckes mit einer Anzahl an $n$ Ecken, einem Inkreisradius $r_{1}$ und einem Umkreisradius $r_{2}$ zu berechnen, gelten die folgenden Formeln:

$\begin{array}{rcl} A & = & \frac{n}{2} \cdot a \cdot r_{1} \\ A & = & \frac{n}{2} \cdot {r_{2}}^{2} \cdot \sin (α) \end{array}$

Welche Formel Du bei der Berechnung des Flächeninhalts auswählst, hängt ganz davon ab, ob Du den Inkreisradius oder den Umkreisradius des Vieleckes kennst.

Schau Dir die Berechnung des Flächeninhalts auch gerne in dem folgenden Beispiel anschauen.

Aufgabe 3

Vieleck Flächeninhalt Vieleck StudySmarter Abbildung 8: Sechseck

Berechne den Flächeninhalt A eines regelmäßigen Sechsecks mit den Angaben:

$n = 6 a = 3 c m r_{1} = 2, 6 c m$

Lösung

Gegeben ist der Inkreisradius $r_{1}$ , die Anzahl an Eckpunkten $n$ und die Seitenlänge $a$ . Das bedeutet, Du setzt die Variablen in die Formel $A = \frac{n}{2} \cdot a \cdot r_{1}$ ein:

$\begin{array}{rcl} A & = & \frac{6}{2} \cdot 3 c m \cdot 2, 6 c m \\ = & 3 \cdot 3 c m \cdot 2, 6 c m \\ = & 23, 4 c m^{2} \end{array}$

Das Sechseck hat einen Flächeninhalt von $A = 23, 4 c m^{2}$ .

Flächenberechnung – Unregelmäßiges Vieleck

Und wie sieht die Berechnung des Flächeninhalts eines unregelmäßigen Vieleckes aus?

Für den Flächeninhalt eines unregelmäßigen Vieleckes gibt es keine allgemeine Formel. Um den Flächeninhalt zu berechnen, unterteilst Du das Vieleck in Dir bekannte geometrische Figuren und berechnest den Flächeninhalt dieser Figuren. Die berechneten Flächeninhalte kannst Du dann summieren, um den gesamten Flächeninhalt des unregelmäßigen Vieleckes zu berechnen. Schau Dir dazu gerne ein Beispiel an!

Aufgabe 4

Berechne den Flächeninhalt A dieses Vieleckes.

Vieleck Flächeninhalt Vieleck StudySmarter Abbildung 9: unregelmäßiges Vieleck

Lösung

Das Vieleck kannst Du in zwei andere bekannte geometrische Figuren unterteilen, um den Flächeninhalt zu berechnen.

Vieleck Flächeninhalt Vieleck StudySmarter Abbildung 10: Rechteck und Parallelogramm

Jetzt hast Du ein Parallelogramm und ein Rechteck vorliegen. Von den beiden Figuren kannst Du jeweils den Flächeninhalt berechnen.

Du möchtest wissen, wie der Flächeninhalt eines Rechtecks oder eines Parallelogramms berechnet wird? Dann schau gerne in die Artikel "Flächeninhalt Rechteck" und "Flächeninhalt Parallelogramm".

Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks mit der Formel $A = a \cdot b$ .

$A = 4 \cdot 8 = 32$

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnest Du mit der Formel $A = a \cdot h_{a}$ .

$A = 6 \cdot 4, 5 = 27$

Die beiden Werte kannst Du dann addieren, um den gesamten Flächeninhalt des Vieleckes zu berechnen.

$A = 32 + 27 = 59$

Der Flächeninhalt des unregelmäßigen Vieleckes beträgt $A = 59$ .

Ein unregelmäßiges Vieleck kannst Du also immer in Figuren unterteilen, die Du schon kennst, um den Flächeninhalt zu berechnen.

Vielecke – Formeln und Übungen

Hier findest Du eine Übersicht über alle wichtigen Formeln und kannst danach Dein Wissen über Vielecke in Übungsaufgaben überprüfen. Die Übersicht kann für Dich als Formelsammlung dienen, wenn Du also irgendwo hängst oder bei Aufgaben nicht weiterkommst, kannst Du gerne in die Übersicht schauen!

Vielecke – Formeln

Angaben	regelmäßiges Vieleck	unregelmäßiges Vieleck
Winkelsumme	$(n - 2) \cdot 180 °$	$(n - 2) \cdot 180 °$
Anzahl an Diagonalen	$\frac{n \cdot (n - 3)}{2}$	$\frac{n \cdot (n - 3)}{2}$
Umfang	$U = n \cdot a$	$U = a + b + c + d + . . .$
Flächeninhalt	$A = \frac{n}{2} \cdot a \cdot r_{1} = \frac{n}{2} \cdot {r_{2}}^{2} \cdot \sin (α)$	Unterteile das Vieleck in Dir bekannte Figuren Berechne den Flächeninhalt der jeweiligen Figuren Addiere den Flächeninhalt aller Figuren

Die Formeln kannst Du für die Berechnung aller möglichen Vielecke anwenden, wobei die Variable n für die Anzahl von Eckpunkten steht.

Vielecke – Übungen

Hier kannst Du Dein Können im Thema Vielecke überprüfen!

Aufgabe 5

Berechne den Flächeninhalt von diesem Bild eines Laptops (in der Ebene) mithilfe der gegebenen Angaben.

Vieleck Übungen Flächeninhalt Vieleck StudySmarter Abbildung 11: Laptop

Lösung

Das Vieleck kannst Du in zwei bekannte geometrische Figuren unterteilen.

Vieleck Übungen Flächeninhalt Vieleck StudySmarter Abbildung 12: Rechteck und Trapez

Jetzt hast Du ein Rechteck (den Bildschirm) und ein Trapez (die Tastatur) vorliegen. Mithilfe der Angaben kannst Du dann die jeweiligen Flächeninhalte berechnen.

Den Flächeninhalt des Rechtecks (des Bildschirms) berechnest Du mit der Formel $A = a \cdot b$ .

$A = 21 c m \cdot 29 c m = 609 c m^{2}$

Den Flächeninhalt des Trapez (der Tastatur) berechnest Du mit der Formel $A = m \cdot h$ .

$A = 34 c m \cdot 13 c m = 442 c m^{2}$

Diese Werte addierst Du, um den gesamten Flächeninhalt zu berechnen:

$A = 609 c m^{2} + 442 c m^{2} = 1051 c m^{2}$

Der Flächeninhalt des Bildschirms und der Tastatur beträgt $A = 1051 c m^{2}$ .

Aufgabe 6

Gegeben ist ein Vieleck mit einer Winkelsumme von $2340 °$ . Berechne, wie viele Ecken dieses Vieleck hat.

Lösung

Um die Anzahl der Ecken zu berechnen, benötigst Du die Formel zur Berechnung der Innenwinkelsumme, und zwar $(n - 2) \cdot 180 °$ . Gesucht ist die Variable $n$ ; sie steht für die Anzahl an Ecken in einem Vieleck. Du setzt also den berechneten Wert mit der Formel gleich und löst nach n auf:

$\begin{array}{rcl} (n - 2) \cdot 180 ° & = & 2340 ° : 180 ° \\ n - 2 & = & 13 + 2 \\ n & = & 15 \end{array}$

Das Vieleck ist also ein 15 - Eck mit 15 Eckpunkten.

Vielecke – Das Wichtigste

Ein Vieleck hat mindestens drei miteinander verbundene Eckpunkte.
Regelmäßige Vielecke haben gleichlange Seiten und gleich große Winkel.
Unregelmäßige Vielecke können in andere bekannte geometrische Figuren unterteilt werden.
Die Winkelsumme in einem beliebigen Vieleck wird mit der Formel $(n - 2) \cdot 180 °$ berechnet.
Die Anzahl an Diagonalen in einem beliebigen Vieleck wird mit der Formel $\frac{n \cdot (n - 3)}{2}$ berechnet.
Der Umfang eines regelmäßigen Vieleckes wird mit der Formel $U = n \cdot a$ berechnet; der Umfang eines unregelmäßigen Vieleckes mit der Formel $U = a + b + c + d + . . .$
Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Vieleckes wird mit der Formel $A = \frac{n}{2} \cdot a \cdot r_{1} = \frac{n}{2} \cdot {r_{2}}^{2} \cdot \sin (α)$ berechnet; bei einem unregelmäßigen Vieleck wird es in bekannte Figuren aufgeteilt, von denen jeweils die Flächeninhalte miteinander addiert werden.

Nachweise

Becker et al. (2015). Duden Formeln und Werte. Cornelsen Verlag.
Hausleiter (2015). Mathematik - Aktuelles Grundwissen. Circon Verlag.

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Die Winkelsumme ist bei regelmäßigen Vieleck anders als bei unregelmäßigen Vielecken.

Falsch.

Welche zwei Arten von Vielecken gibt es?

Es gibt regelmäßige und unregelmäßige Vielecke.

Wie ist die Winkelsumme in einem 13-Eck?

Die Winkelsumme von einem 13-Eck beträgt 1980°.

Was zeichnet ein regelmäßiges Vieleck aus?

Ein regelmäßiges Vieleck zeichnet sich durch folgende Eigenschaften aus:

mindestens drei Eckpunkte, drei Winkel, drei Seiten
gleich große Winkel
gleichlange Seiten

Wie viele Diagonalen hat ein Dreieck?

Ein Dreieck hat keine Diagonalen.

Was zeichnet ein unregelmäßiges Vieleck aus?

Ein unregelmäßiges Vieleck hat mindestens drei Seiten, drei Eckpunkte und drei Winkel.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Vieleck

Was ist ein achsensymmetrisches Vieleck?

Ein Vieleck ist dann achsensymmetrisch, wenn beide Seiten, die durch eine Symmetrieachse geteilt werden, deckungsgleich sind. Ein achsensymmetrisches Vieleck kann an der Symmetrieachse aufeinander gefaltet werden und ist deckungsgleich.

Welche Vielecke gibt es?

Es gibt unendlich viele Vielecke. Die bekanntesten sind wohl das Dreieck und das Viereck. Das Achteck ist ebenfalls sehr bekannt, denn ein Stoppschild hat die Form eines Achtecks.

Was bedeutet Vieleck?

Ein Vieleck hat mindestens drei Eckpunkte, die durch Strecken miteinander verbunden werden. Das heißt, ein Dreieck ist auch ein Vieleck.

Wie werden Vielecke genannt?

Vielecke werden auch Polygone genannt. Das Wort entspringt dem Altgriechischen und bedeutet übersetzt "viele Winkel". Im Deutschen wird es sowohl Vieleck als auch Polygon genannt.

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