Wie zeichnet man einen Kreis in einem Dreieck?

Der Kreis in einem Dreieck heißt Inkreis. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks. Wenn Du den Schnittpunkt konstruierst hast, fällst Du ein Lot auf eine Dreiecksseite. Zum Schluss stichst Du in den Mittelpunkt ein und spannst Deinen Zirkel bis zum Schnittpunkt des Lots mit der Dreiecksseite auf und zeichnest den Inkreis.

Wie konstruiert man bei einem Dreieck den Inkreis?

Du konstruierst als erstes die Winkelhalbierenden des Dreiecks. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Inkreismittelpunkt. Danach fällst Du ein Lot vom Schnittpunkt auf eine Dreiecksseite. Zum Schluss stichst Du in den Mittelpunkt ein und spannst Deinen Zirkel bis zum Schnittpunkt des Lots mit der Dreiecksseite auf und zeichnest den Inkreis.

Wie nennt man den Kreis in einem Dreieck?

Der Kreis innerhalb eines Dreiecks heißt Inkreis. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

Warum gibt es zu jedem Dreieck einen Umkreis?

Der Umkreis ist ein Kreis, welcher durch alle Eckpunkte des Dreiecks geht. Da der Umkreismittelpunkt nicht innerhalb des Dreiecks liegen muss, kann für jedes Dreieck ein Punkt gefunden werden, welcher zu allen Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand hat.

Was ist besonders am Umkreismittelpunkt?

Der Umkreismittelpunkt hat zu jedem Eckpunkt den selben Abstand.

Welche besonderen Kreise eines Dreiecks existieren?

Jedes Dreieck hat einen Umkreis, einen Inkreis und drei Ankreise.

Kreis im Dreieck: Umkreis & Inkreis konstruieren

Kreis im Dreieck

In einem Dreieck sind zahlreiche Konstruktionen möglich. Die Kreise eines Dreiecks bilden dabei einen kleinen Teil der möglichen Konstruktionen ab. Wie genau Du einen Inkreis, Umkreis oder Ankreise konstruierst, erfährst Du hier.

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Kreis im Dreieck – Grundlagenwissen

Dreiecke und Kreise sind beides wichtige Figuren der Geometrie.

Mehr zu diesen geometrischen Figuren erfährst Du in den Erklärungen "Dreieck" und "Kreis".

Dreieck

Ein Dreieck hat drei Ecken, welche durch drei Strecken miteinander verbunden werden.

Die Verbindungsstrecken zwischen drei Punkten A, B und C bilden ein Dreieck. Die drei Punkte dürfen dabei nicht auf einer Geraden liegen.

Die Verbindungsstrecken werden nach dem gegenüberliegendem Eckpunkt benannt.

Kreis im Dreieck beschriftetes Dreieck StudySmarter Abbildung 1: beschriftetes Dreieck

Kreis

Als Kreis wird eine runde Linie verstanden, wobei diese Linie an jedem Punkt denselben Abstand zu dem Kreismittelpunkt hat, welcher nicht auf der Linie liegt.

Die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, heißt Kreis. Dieser hat den Mittelpunkt M und den Radius r. Der Mittelpunkt M ist dabei kein Punkt des Kreises.

Die doppelte Länge des Radius wird Durchmesser genannt und ist die maximale Entfernung zweier Punkte auf einem Kreis.

Kreis im Dreieck Kreis mit Radius StudySmarter Abbildung 2: Kreis mit Radius

Kreise im Dreieck konstruieren

Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis $U$ , einen Inkreis $I$ und drei Ankreise $A$ .

Kreis im Dreieck Dreieck mit Ankreis, Inkreis, Umkreis StudySmarter Abbildung 3: Dreieck mit Ankreis, Inkreis, Umkreis

Im Folgenden lernst Du, wie Du diese Kreise konstruierst. Dazu benötigst Du ein Lineal oder Geodreieck und einen Zirkel.

Der Feuerbachkreis ist ein weiterer Kreis des Dreiecks und verbindet die Höhenpunkte der Dreiecksseiten mit den Mittelpunkten der Seiten. Der Mittelpunkt $M_{F}$ ist gleichzeitig auch der Mittelpunkt des Umkreises des Mittendreiecks und des Höhenfußpunktdreiecks.

Kreis im Dreieck Feuerbachkreis StudySmarter Abbildung 4: Feuerbachkreis

Umkreis eines Dreiecks

Der Name Umkreis verrät bereits, dass der Umkreis ein Kreis um das Dreieck ist. Genauer wird darunter Folgendes verstanden:

Der Umkreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis $U$ , welcher durch alle drei Eckpunkte verläuft.

Sein Mittelpunkt $M$ ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten $m_{a}$ , $m_{b}$ und $m_{c}$ der Dreiecksseiten $a, b$ und $c$ . Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft.

Der Umkreismittelpunkt hat zu jedem Eckpunkt des Dreiecks denselben Abstand. Der Abstand zwischen dem Umkreismittelpunkt und den Eckpunkten ist der Umkreisradius.

Der Umkreismittelpunkt kann im Dreieck, auf dem Dreieck und außerhalb des Dreiecks liegen. Wo der Umkreismittelpunkt liegt, ist abhängig davon, ob das Dreieck spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig ist.

Bei einem stumpfwinkligem Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.

Kreis im Dreieck Umkreis stumpfwinkliges Dreiecks StudySmarter Abbildung 5: Umkreis stumpfwinkliges Dreieck

Bei einem spitzwinkligem Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks.

Kreis im Dreieck Umkreis spitzwinkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 6: Umkreis spitzwinkliges Dreieck

Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der längsten Seite des Dreiecks. Diese liegt dem rechten Winkel immer gegenüber.

Kreis im Dreieck Umkreis rechtwinkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 7: Umkreis rechtwinkliges Dreieck

Umkreis Dreieck konstruieren

Als Erstes zeichnest Du Dir ein beliebiges Dreieck und beschriftest es mit den Ecken $A, B, C$ und den Kanten $a, b, c$ .

Kreis im Dreieck Umkreis konstruieren StudySmarter Abbildung 8: Umkreiskonstruktion

Als Nächstes konstruierst Du die Mittelsenkrechte von $c$ .

Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du eine Mittelsenkrechte konstruierst, kannst Du das in den Erklärungen "Grundkonstruktionen" oder "Mittelsenkrechte konstruieren" nachlesen.

Kreis im Dreieck Umkreis konstruieren StudySmarter Abbildung 9: Umkreiskonstruktion

Jetzt konstruierst Du die Mittelsenkrechte von $a$ . Du erhältst den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und gleichzeitig den Umkreismittelpunkt.

Kreis im Dreieck Umkreis konstruieren StudySmarter Abbildung 10: Umkreiskonstruktion

Die letzte Mittelsenkrechte von $b$ musst Du nicht konstruieren, da Du bereits einen Schnittpunkt hast. Jedoch kannst Du das Konstruieren der letzten Mittelsenkrechten zur Überprüfung der Genauigkeit Deiner Konstruktion nutzen.

Kreis im Dreieck Umkreis konstruieren StudySmarter Abbildung 11: Umkreiskonstruktion

Zum Schluss zeichnest Du nur noch einen Kreis durch die Eckpunkte des Dreiecks. Damit hast Du nun den Umkreis eines Dreiecks konstruiert.

Kreis im Dreieck Umkreis konstruieren StudySmarter Abbildung 12: Umkreiskonstruktion

Wenn Du mehr zu der Konstruktion eines Umkreises im Dreieck erfahren möchtest, schaue gerne bei "Umkreis eines Dreiecks konstruieren" vorbei.

Inkreis eines Dreiecks

Der Inkreis ist ein Kreis, der innerhalb des Dreiecks liegt und jede Seite des Dreiecks berührt.

Der Inkreis eines Dreiecks ist der Kreis $I$ , welcher innerhalb des Dreiecks ABC liegt und alle drei Seiten $a, b und c$ an einer Stelle von innen berührt, aber nicht schneidet.

Der Mittelpunkt $M$ des Inkreises ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden $w_{α}, w_{β}$ und $w_{γ}$ . Die Winkelhalbierende ist eine Gerade, die einen Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.

Der Inkreis ist der größte Kreis, der vollständig innerhalb des Dreiecks liegt.

Inkreis Dreieck konstruieren

Als Erstes zeichnest Du ein beliebiges Dreieck und beschriftetest es mit den Ecken $A, B, C$ , den Kanten $a, b, c$ und den Winkeln $α, β, γ$ .

Kreis im Dreieck Inkreis konstruieren StudySmarter Abbildung 13: Inkreis konstruieren

Jetzt konstruierst Du die Winkelhalbierende $w_{α}$ .

Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du eine Winkelhalbierende konstruierst, lies Dir die Erklärungen "Grundkonstruktionen" oder "Winkelhalbierende konstruieren" durch.

Kreis im Dreieck Ankreis konstruieren StudySmarter Abbildung 14: Inkreis konstruieren

Nun konstruierst Du die Winkelhalbierende $w_{γ}$ . Du erhältst den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und gleichzeitig den Mittelpunkt des Inkreises.

Kreis im Dreieck Inkreis konstruieren StudySmarter Abbildung 15: Inkreis konstruieren

Die letzte Winkelhalbierende $w_{β}$ musst Du nicht konstruieren, da Du bereits einen Schnittpunkt hast. Du kannst sie jedoch zur Überprüfung der Genauigkeit Deiner Konstruktion nutzen.

Kreis im Dreieck Inkreis konstruieren StudySmarter Abbildung 16: Inkreis konstruieren

Um den Berührpunkt des Inkreises mit einer Dreiecksseite zu erhalten, konstruierst Du ein Lot auf eine der Dreiecksseiten.

Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du ein Lot konstruierst, lies in der Erklärung "Grundkonstruktionen" nach.

Kreis im Dreieck Inkreis konstruieren StudySmarter Abbildung 17: Inkreis konstruieren

Zum Schluss zeichnest Du nur noch einen Kreis durch den Schnittpunkt des Lots mit einer Seite. Somit hast Du den Inkreis eines Dreiecks konstruiert.

Kreis im Dreieck Inkreis konstruieren StudySmarter Abbildung 18: Inkreis konstruieren

Gleichseitiges Dreieck im Kreis konstruieren

Das gleichseitige Dreieck ist besonders.

Bei diesem sind die Winkelhalbierenden gleichzeitig die Mittelsenkrechten. Deshalb ist der Inkreismittelpunkt ebenfalls der Umkreismittelpunkt. Zur Konstruktion des Inkreises benötigst Du im gleichseitigen Dreieck kein Lot, sondern nutzt als Berührpunkte mit den Seiten den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit den Seiten.

Kreis im Dreieck gleichseitiges Dreieck mit Umkreis, Inkreis StudySmarter Abbildung 19: gleichseitiges Dreieck mit Umkreis, Inkreis

Wenn Du mehr zu der Konstruktion eines Inkreises im Dreieck erfahren möchtest, schaue gerne in der Erklärung "Inkreis eines Dreiecks konstruieren" nach.

Ankreise eines Dreiecks

Ankreise liegen von außen an einem Dreieck an.

Der Ankreis eines Dreiecks ist der Kreis $A$ , welcher außerhalb des Dreiecks ABC liegt und eine Seite des Dreiecks an einer Stelle von außen berührt, aber nicht schneidet.

Der Mittelpunkt $M$ des Ankreises ist der Schnittpunkt der zwei Außenwinkelhalbierenden und der Winkelhalbierenden des nicht anliegendem Winkel.

Es existiert an jeder Seite des Dreiecks ein Ankreis. Das bedeutet, jedes Dreieck besitzt drei Ankreise.

Ankreise Dreieck konstruieren

Als Erstes zeichnest Du ein beliebiges Dreieck und beschriftetest es mit den Ecken $A, B, C$ , den Kanten $a, b, c$ und den Winkeln $α, β, γ$ . Die Dreiecksseiten verlängerst Du, so weit wie möglich.

Kreis im Dreieck Ankreis konstruieren StudySmarter Abbildung 20: Ankreis konstruieren

Jetzt konstruierst Du die Winkelhalbierende $w_{β}$ .

Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du eine Winkelhalbierende konstruierst, lies Dich bei "Grundkonstruktionen" oder "Winkelhalbierende konstruieren" rein.

Kreis im Dreieck Ankreis konstruieren StudySmarter Abbildung 21: Ankreis konstruieren

Danach konstruierst Du die Winkelhalbierende von dem Nebenwinkel von $α$ ( $α'$ ). Du erhältst den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden sowie der Außenwinkelhalbierenden und gleichzeitig den Ankreismittelpunkt.

Kreis im Dreieck Ankreis konstruieren StudySmarter Abbildung 22: Ankreis konstruieren

Die letzte Winkelhalbierende von dem Nebenwinkel von $γ$ ( $γ'$ ) musst Du nicht konstruieren, da Du bereits einen Schnittpunkt hast. Dennoch kannst Du das Konstruieren der letzten Außenwinkelhalbierenden zur Überprüfung der Genauigkeit Deiner Konstruktion verwenden.

Kreis im Dreieck Ankreis konstruieren StudySmarter Abbildung 23: Ankreis konstruieren

Um den Berührpunkt des Ankreises zu erhalten, konstruierst Du ein Lot aus dem Schnittpunkt auf die Dreiecksseite $b$ .

Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du ein Lot konstruierst, findest Du dazu eine Erklärung in "Grundkonstruktionen".

Kreis im Dreieck Ankreis konstruieren StudySmarter Abbildung 24: Ankreis konstruieren

Zum Schluss zeichnest Du nur noch einen Kreis durch den Schnittpunkt des Lots mit einer Seite $b$ und Du hast einen Ankreis eines Dreiecks konstruiert.

Kreis im Dreieck Ankreis konstruieren StudySmarter Abbildung 25: Ankreis konstruieren

Wenn Du mehr zu der Konstruktion eines Ankreises am Dreieck erfahren möchtest, schaue gerne in der Erklärung "Ankreis eines Dreiecks konstruieren" nach.

Kreis im Dreieck – Das Wichtigste

Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis, einen Inkreis und drei Ankreise.
Der Umkreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis $U$ , welcher durch alle drei Eckpunkte verläuft. Sein Mittelpunkt $M$ ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten $m_{a}, m_{b} und m_{c}$ der Dreiecksseiten $a, b und c$ .
Der Umkreismittelpunkt liegt:
- bei rechtwinkligen Dreiecken auf der längsten Seite.
- bei stumpfwinkligen Dreiecken außerhalb des Dreiecks.
- bei spitzwinkligen Dreiecken innerhalb des Dreiecks.
Der Inkreis eines Dreiecks ist der Kreis $I$ , welcher innerhalb des Dreiecks ABC liegt und alle drei Seiten a, b und c an einer Stelle von innen berührt, aber nicht schneidet. Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden $w_{α}, w_{β}$ und $w_{γ}$ .
Der Ankreis eines Dreiecks ist der Kreis $A$ , der außerhalb des Dreiecks ABC liegt und eine Seite des Dreiecks an einer Stelle von außen berührt, aber nicht schneidet. Der Mittelpunkt $M$ des Ankreises ist der Schnittpunkt zweier Außenwinkelhalbierenden und der Winkelhalbierenden des nicht anliegenden Winkels.

Kreis im Dreieck

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