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Kreis im Dreieck

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Kreis im Dreieck

In einem Dreieck sind zahlreiche Konstruktionen möglich. Die Kreise eines Dreiecks bilden dabei einen kleinen Teil der möglichen Konstruktionen ab. Wie genau Du einen Inkreis, Umkreis oder Ankreise konstruierst, erfährst Du hier.

Kreis im Dreieck – Grundlagenwissen

Dreiecke und Kreise sind beides wichtige Figuren der Geometrie.

Mehr zu diesen geometrischen Figuren erfährst Du in den Erklärungen "Dreieck" und "Kreis".

Dreieck

Ein Dreieck hat drei Ecken, welche durch drei Strecken miteinander verbunden werden.

Die Verbindungsstrecken zwischen drei Punkten A, B und C bilden ein Dreieck. Die drei Punkte dürfen dabei nicht auf einer Geraden liegen.

Die Verbindungsstrecken werden nach dem gegenüberliegendem Eckpunkt benannt.

Kreis im Dreieck beschriftetes Dreieck StudySmarterAbbildung 1: beschriftetes Dreieck

Kreis

Als Kreis wird eine runde Linie verstanden, wobei diese Linie an jedem Punkt denselben Abstand zu dem Kreismittelpunkt hat, welcher nicht auf der Linie liegt.

Die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, heißt Kreis. Dieser hat den Mittelpunkt M und den Radius r. Der Mittelpunkt M ist dabei kein Punkt des Kreises.

Die doppelte Länge des Radius wird Durchmesser genannt und ist die maximale Entfernung zweier Punkte auf einem Kreis.

Kreis im Dreieck Kreis mit Radius StudySmarterAbbildung 2: Kreis mit Radius

Kreise im Dreieck konstruieren

Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis , einen Inkreis und drei Ankreise .

Kreis im Dreieck Dreieck mit Ankreis, Inkreis, Umkreis StudySmarterAbbildung 3: Dreieck mit Ankreis, Inkreis, Umkreis

Im Folgenden lernst Du, wie Du diese Kreise konstruierst. Dazu benötigst Du ein Lineal oder Geodreieck und einen Zirkel.

Der Feuerbachkreis ist ein weiterer Kreis des Dreiecks und verbindet die Höhenpunkte der Dreiecksseiten mit den Mittelpunkten der Seiten. Der Mittelpunkt ist gleichzeitig auch der Mittelpunkt des Umkreises des Mittendreiecks und des Höhenfußpunktdreiecks.

Kreis im Dreieck Feuerbachkreis StudySmarterAbbildung 4: Feuerbachkreis

Umkreis eines Dreiecks

Der Name Umkreis verrät bereits, dass der Umkreis ein Kreis um das Dreieck ist. Genauer wird darunter Folgendes verstanden:

Der Umkreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis , welcher durch alle drei Eckpunkte verläuft.

Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten , und der Dreiecksseiten und . Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft.

Der Umkreismittelpunkt hat zu jedem Eckpunkt des Dreiecks denselben Abstand. Der Abstand zwischen dem Umkreismittelpunkt und den Eckpunkten ist der Umkreisradius.

Der Umkreismittelpunkt kann im Dreieck, auf dem Dreieck und außerhalb des Dreiecks liegen. Wo der Umkreismittelpunkt liegt, ist abhängig davon, ob das Dreieck spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig ist.

Bei einem stumpfwinkligem Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.

Kreis im Dreieck Umkreis stumpfwinkliges Dreiecks StudySmarterAbbildung 5: Umkreis stumpfwinkliges Dreieck

Bei einem spitzwinkligem Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks.

Kreis im Dreieck Umkreis spitzwinkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 6: Umkreis spitzwinkliges Dreieck

Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der längsten Seite des Dreiecks. Diese liegt dem rechten Winkel immer gegenüber.

Kreis im Dreieck Umkreis rechtwinkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 7: Umkreis rechtwinkliges Dreieck

Umkreis Dreieck konstruieren

Als Erstes zeichnest Du Dir ein beliebiges Dreieck und beschriftest es mit den Ecken und den Kanten .

Kreis im Dreieck Umkreis konstruieren StudySmarterAbbildung 8: Umkreiskonstruktion

Als Nächstes konstruierst Du die Mittelsenkrechte von .

Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du eine Mittelsenkrechte konstruierst, kannst Du das in den Erklärungen "Grundkonstruktionen" oder "Mittelsenkrechte konstruieren" nachlesen.

Kreis im Dreieck Umkreis konstruieren StudySmarterAbbildung 9: Umkreiskonstruktion

Jetzt konstruierst Du die Mittelsenkrechte von . Du erhältst den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und gleichzeitig den Umkreismittelpunkt.

Kreis im Dreieck Umkreis konstruieren StudySmarterAbbildung 10: Umkreiskonstruktion

Die letzte Mittelsenkrechte von musst Du nicht konstruieren, da Du bereits einen Schnittpunkt hast. Jedoch kannst Du das Konstruieren der letzten Mittelsenkrechten zur Überprüfung der Genauigkeit Deiner Konstruktion nutzen.

Kreis im Dreieck Umkreis konstruieren StudySmarterAbbildung 11: Umkreiskonstruktion

Zum Schluss zeichnest Du nur noch einen Kreis durch die Eckpunkte des Dreiecks. Damit hast Du nun den Umkreis eines Dreiecks konstruiert.

Kreis im Dreieck Umkreis konstruieren StudySmarterAbbildung 12: Umkreiskonstruktion

Wenn Du mehr zu der Konstruktion eines Umkreises im Dreieck erfahren möchtest, schaue gerne bei "Umkreis eines Dreiecks konstruieren" vorbei.

Inkreis eines Dreiecks

Der Inkreis ist ein Kreis, der innerhalb des Dreiecks liegt und jede Seite des Dreiecks berührt.

Der Inkreis eines Dreiecks ist der Kreis , welcher innerhalb des Dreiecks ABC liegt und alle drei Seiten an einer Stelle von innen berührt, aber nicht schneidet.

Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden und . Die Winkelhalbierende ist eine Gerade, die einen Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.

Der Inkreis ist der größte Kreis, der vollständig innerhalb des Dreiecks liegt.

Inkreis Dreieck konstruieren

Als Erstes zeichnest Du ein beliebiges Dreieck und beschriftetest es mit den Ecken , den Kanten und den Winkeln.

Kreis im Dreieck Inkreis konstruieren StudySmarterAbbildung 13: Inkreis konstruieren

Jetzt konstruierst Du die Winkelhalbierende .

Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du eine Winkelhalbierende konstruierst, lies Dir die Erklärungen "Grundkonstruktionen" oder "Winkelhalbierende konstruieren" durch.

Kreis im Dreieck Ankreis konstruieren StudySmarterAbbildung 14: Inkreis konstruieren

Nun konstruierst Du die Winkelhalbierende . Du erhältst den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und gleichzeitig den Mittelpunkt des Inkreises.

Kreis im Dreieck Inkreis konstruieren StudySmarterAbbildung 15: Inkreis konstruieren

Die letzte Winkelhalbierende musst Du nicht konstruieren, da Du bereits einen Schnittpunkt hast. Du kannst sie jedoch zur Überprüfung der Genauigkeit Deiner Konstruktion nutzen.

Kreis im Dreieck Inkreis konstruieren StudySmarterAbbildung 16: Inkreis konstruieren

Um den Berührpunkt des Inkreises mit einer Dreiecksseite zu erhalten, konstruierst Du ein Lot auf eine der Dreiecksseiten.

Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du ein Lot konstruierst, lies in der Erklärung "Grundkonstruktionen" nach.

Kreis im Dreieck Inkreis konstruieren StudySmarterAbbildung 17: Inkreis konstruieren

Zum Schluss zeichnest Du nur noch einen Kreis durch den Schnittpunkt des Lots mit einer Seite. Somit hast Du den Inkreis eines Dreiecks konstruiert.

Kreis im Dreieck Inkreis konstruieren StudySmarterAbbildung 18: Inkreis konstruieren

Gleichseitiges Dreieck im Kreis konstruieren

Das gleichseitige Dreieck ist besonders.

Bei diesem sind die Winkelhalbierenden gleichzeitig die Mittelsenkrechten. Deshalb ist der Inkreismittelpunkt ebenfalls der Umkreismittelpunkt. Zur Konstruktion des Inkreises benötigst Du im gleichseitigen Dreieck kein Lot, sondern nutzt als Berührpunkte mit den Seiten den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit den Seiten.

Kreis im Dreieck gleichseitiges Dreieck mit Umkreis, Inkreis StudySmarterAbbildung 19: gleichseitiges Dreieck mit Umkreis, Inkreis

Wenn Du mehr zu der Konstruktion eines Inkreises im Dreieck erfahren möchtest, schaue gerne in der Erklärung "Inkreis eines Dreiecks konstruieren" nach.

Ankreise eines Dreiecks

Ankreise liegen von außen an einem Dreieck an.

Der Ankreis eines Dreiecks ist der Kreis , welcher außerhalb des Dreiecks ABC liegt und eine Seite des Dreiecks an einer Stelle von außen berührt, aber nicht schneidet.

Der Mittelpunkt des Ankreises ist der Schnittpunkt der zwei Außenwinkelhalbierenden und der Winkelhalbierenden des nicht anliegendem Winkel.

Es existiert an jeder Seite des Dreiecks ein Ankreis. Das bedeutet, jedes Dreieck besitzt drei Ankreise.

Ankreise Dreieck konstruieren

Als Erstes zeichnest Du ein beliebiges Dreieck und beschriftetest es mit den Ecken , den Kanten und den Winkeln. Die Dreiecksseiten verlängerst Du, so weit wie möglich.

Kreis im Dreieck Ankreis konstruieren StudySmarterAbbildung 20: Ankreis konstruieren

Jetzt konstruierst Du die Winkelhalbierende .

Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du eine Winkelhalbierende konstruierst, lies Dich bei "Grundkonstruktionen" oder "Winkelhalbierende konstruieren" rein.

Kreis im Dreieck Ankreis konstruieren StudySmarterAbbildung 21: Ankreis konstruieren

Danach konstruierst Du die Winkelhalbierende von dem Nebenwinkel von (). Du erhältst den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden sowie der Außenwinkelhalbierenden und gleichzeitig den Ankreismittelpunkt.

Kreis im Dreieck Ankreis konstruieren StudySmarterAbbildung 22: Ankreis konstruieren

Die letzte Winkelhalbierende von dem Nebenwinkel von () musst Du nicht konstruieren, da Du bereits einen Schnittpunkt hast. Dennoch kannst Du das Konstruieren der letzten Außenwinkelhalbierenden zur Überprüfung der Genauigkeit Deiner Konstruktion verwenden.

Kreis im Dreieck Ankreis konstruieren StudySmarterAbbildung 23: Ankreis konstruieren

Um den Berührpunkt des Ankreises zu erhalten, konstruierst Du ein Lot aus dem Schnittpunkt auf die Dreiecksseite .

Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du ein Lot konstruierst, findest Du dazu eine Erklärung in "Grundkonstruktionen".

Kreis im Dreieck Ankreis konstruieren StudySmarterAbbildung 24: Ankreis konstruieren

Zum Schluss zeichnest Du nur noch einen Kreis durch den Schnittpunkt des Lots mit einer Seite und Du hast einen Ankreis eines Dreiecks konstruiert.

Kreis im Dreieck Ankreis konstruieren StudySmarterAbbildung 25: Ankreis konstruieren

Wenn Du mehr zu der Konstruktion eines Ankreises am Dreieck erfahren möchtest, schaue gerne in der Erklärung "Ankreis eines Dreiecks konstruieren" nach.

Kreis im Dreieck – Das Wichtigste

  • Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis, einen Inkreis und drei Ankreise.
  • Der Umkreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis, welcher durch alle drei Eckpunkte verläuft. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten .
  • Der Umkreismittelpunkt liegt:
    • bei rechtwinkligen Dreiecken auf der längsten Seite.
    • bei stumpfwinkligen Dreiecken außerhalb des Dreiecks.
    • bei spitzwinkligen Dreiecken innerhalb des Dreiecks.
  • Der Inkreis eines Dreiecks ist der Kreis, welcher innerhalb des Dreiecks ABC liegt und alle drei Seiten a, b und c an einer Stelle von innen berührt, aber nicht schneidet. Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden und .
  • Der Ankreis eines Dreiecks ist der Kreis , der außerhalb des Dreiecks ABC liegt und eine Seite des Dreiecks an einer Stelle von außen berührt, aber nicht schneidet. Der Mittelpunkt des Ankreises ist der Schnittpunkt zweier Außenwinkelhalbierenden und der Winkelhalbierenden des nicht anliegenden Winkels.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kreis im Dreieck

Der Kreis in einem Dreieck heißt Inkreis. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks. Wenn Du den Schnittpunkt konstruierst hast, fällst Du ein Lot auf eine Dreiecksseite. Zum Schluss stichst Du in den Mittelpunkt ein und spannst Deinen Zirkel bis zum Schnittpunkt des Lots mit der Dreiecksseite auf und zeichnest den Inkreis.

Du konstruierst als erstes die Winkelhalbierenden des Dreiecks. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Inkreismittelpunkt. Danach fällst Du ein Lot vom Schnittpunkt auf eine Dreiecksseite. Zum Schluss stichst Du in den Mittelpunkt ein und spannst Deinen Zirkel bis zum Schnittpunkt des Lots mit der Dreiecksseite auf und zeichnest den Inkreis. 

Der Kreis innerhalb eines Dreiecks heißt Inkreis. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

Der Umkreis ist ein Kreis, welcher durch alle Eckpunkte des Dreiecks geht. Da der Umkreismittelpunkt nicht innerhalb des Dreiecks liegen muss, kann für jedes Dreieck ein Punkt gefunden werden, welcher zu allen Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand hat. 

Finales Kreis im Dreieck Quiz

Frage

Was versteht man unter dem Umkreis eines Dreiecks?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, welcher durch alle drei Ecken des Kreises verläuft und zum Mittelpunkt den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten hat.

Frage anzeigen

Frage

Wie findest du den Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks.

Frage anzeigen

Frage

Wo liegt der Mittelpunkt M des Umkreises eines spitzwinkligen Dreiecks?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Mittelpunkt M des Umkreises des spitzwinkligen Dreiecks liegt innerhalb des Dreiecks.

Frage anzeigen

Frage

Wo liegt der Mittelpunkt M des Umkreises eines stumpfwinkligen Dreiecks?


Antwort anzeigen

Antwort

Der Mittelpunkt M des Umkreises eines stumpfwinkligen Dreiecks liegt außerhalb des Dreiecks.

Frage anzeigen

Frage

Welche Aussagen sind richtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Umkreis eines Dreiecks verläuft immer durch alle drei Ecken des Dreiecks.

Frage anzeigen

Frage

Finde die falsche Aussage.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

Frage anzeigen

Frage

Was ist dein erster Schritt, wenn du anfängst, den Umkreis eines Dreiecks zu zeichnen?

Antwort anzeigen

Antwort

Möchtest du den Umkreis eines Dreiecks zeichnen solltest du zunächst die Mittelsenkrechten einzeichnen.

Frage anzeigen

Frage

Wenn du den Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten ermitteln möchtest, genügt es...

Antwort anzeigen

Antwort

... eine Mittelsenkrechte einzuzeichnen.

Frage anzeigen

Frage

Den Umkreis eines Dreiecks kannst du konstruieren mit...

Antwort anzeigen

Antwort

... einem Zirkel.

Frage anzeigen

Frage

Welche besonderen Kreise eines Dreiecks existieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Jedes Dreieck hat einen Umkreis, einen Inkreis und drei Ankreise.

Frage anzeigen

Frage

Wo liegt der Umkreismittelpunkt bei einem rechtwinkligem Dreieck?

Antwort anzeigen

Antwort

auf der längsten Seite des Dreiecks

Frage anzeigen

Frage

Wo liegt der Umkreismittelpunkt eines stumpfwinkligen Dreiecks?

Antwort anzeigen

Antwort

außerhalb des Dreiecks

Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten im Dreieck noch bezeichnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Umkreismittelpunkt

Frage anzeigen

Frage

Durch welche Konstruktion erhältst Du die Berührpunkte des Inkreises mit den Dreiecksseiten?

Antwort anzeigen

Antwort

Ich muss ein Lot fällen.

Frage anzeigen

Frage

Was ist besonders am Umkreismittelpunkt?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Umkreismittelpunkt hat zu jedem Eckpunkt den selben Abstand.

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaft besitzt der Inkreis?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Inkreis ist der größte Kreis, der vollständig innerhalb des Dreiecks liegt.

Frage anzeigen

Frage

Wie definiert sich der Ankreis eines Dreiecks?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Ankreis eines Dreiecks ist der Kreis A, welcher außerhalb des Dreiecks ABC liegt und eine Seite des Dreiecks an einer Stelle von außen berührt, aber nicht schneidet. Ein Dreieck besitzt 3 Ankreise.

Der Mittelpunkt M des Ankreises ist der Schnittpunkt der zwei Außenwinkelhalbierenden und der Winkelhalbierenden des nicht anliegendem Winkel.


Frage anzeigen

Frage

Wo liegt der Ankreismittelpunkt?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Schnittpunkt der Außenwinkelhalbierenden und der Winkelhalbierenden, von dem Winkel, der der Seite gegenüberliegt, ist der Ankreismittelpunkt.


Frage anzeigen

Frage

Welche Geraden des Ausgangsdreiecks hat das Ankreismittelpunktdreieck als Höhen?

Antwort anzeigen

Antwort

Winkelhalbierenden

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Nagel-Punkt eines Dreiecks?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn Du die Berührpunkte der Ankreise der Dreieckseiten mit den gegenüberliegenden Ecken verbindest, schneiden sich die Geraden in einem Punkt. Dieser Schnittpunkt heißt Nagel-Punkt.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe die Konstruktion eines Ankreises.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Konstruiere die Winkelhalbierende von dem Winkel, der der Seite, an der Du den Ankreis konstruierst, gegenüberliegt. 

  2. Konstruiere die beiden Außenwinkelhalbierenden der anderen beiden Winkel.

  3. Bestimme den Schnittpunkt M der beiden Außenwinkelhalbierenden und der Winkelhalbierenden.

  4. Fälle ein Lot von M auf die Seite, an der Du den Ankreis konstruierst.

  5. Der Mittelpunkt des Ankreises A ist der Schnittpunkt M der Winkelhalbierenden mit den Außenwinkelhalbierenden. Der Radius des Ankreises ist der Abstand vom Ankreismittelpunkt und dem Schnittpunkt des Lotes mit der Dreiecksseite. Mit diesen Angaben kannst Du den Ankreis A konstruieren.

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Ankreise besitzt ein Dreieck?

Antwort anzeigen

Antwort

drei Ankreise

Frage anzeigen

Frage

Sind in einem gleichseitigen Dreieck alle drei Ankreise gleich groß?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, da alle Seiten gleichlang sind.

Frage anzeigen

Frage

Definiere den Kreis.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, heißt Kreis. Dieser hat den Mittelpunkt M und den Radius r. Der Mittelpunkt M ist dabei kein Punkt des Kreises.

Frage anzeigen

Frage

Definiere das Dreieck.

Antwort anzeigen

Antwort

Das Dreieck ABC ist eine geometrische Figur, bei welcher drei Punkte verbunden werden. Die drei Punkte dürfen dabei nicht auf einer Geraden liegen. Die Verbindungsstrecken zwischen den Punkten heißen Dreiecksseiten a, b und c.

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