In einem Dreieck sind zahlreiche Konstruktionen möglich. Die Kreise eines Dreiecks bilden dabei einen kleinen Teil der möglichen Konstruktionen ab. Wie genau Du einen Inkreis, Umkreis oder Ankreise konstruierst, erfährst Du hier.
Kreis im Dreieck – Grundlagenwissen
Dreiecke und Kreise sind beides wichtige Figuren der Geometrie.
Mehr zu diesen geometrischen Figuren erfährst Du in den Erklärungen "Dreieck" und "Kreis".
Dreieck
Ein Dreieck hat drei Ecken, welche durch drei Strecken miteinander verbunden werden.
Die Verbindungsstrecken zwischen drei Punkten A, B und C bilden ein Dreieck. Die drei Punkte dürfen dabei nicht auf einer Geraden liegen.
Die Verbindungsstrecken werden nach dem gegenüberliegendem Eckpunkt benannt.
Abbildung 1: beschriftetes Dreieck
Kreis
Als Kreis wird eine runde Linie verstanden, wobei diese Linie an jedem Punkt denselben Abstand zu dem Kreismittelpunkt hat, welcher nicht auf der Linie liegt.
Die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, heißt Kreis. Dieser hat den Mittelpunkt M und den Radius r. Der Mittelpunkt M ist dabei kein Punkt des Kreises.
Die doppelte Länge des Radius wird Durchmesser genannt und ist die maximale Entfernung zweier Punkte auf einem Kreis.
Abbildung 2: Kreis mit Radius
Kreise im Dreieck konstruieren
Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis , einen Inkreis und drei Ankreise .
Abbildung 3: Dreieck mit Ankreis, Inkreis, Umkreis
Im Folgenden lernst Du, wie Du diese Kreise konstruierst. Dazu benötigst Du ein Lineal oder Geodreieck und einen Zirkel.
Der Feuerbachkreis ist ein weiterer Kreis des Dreiecks und verbindet die Höhenpunkte der Dreiecksseiten mit den Mittelpunkten der Seiten. Der Mittelpunkt ist gleichzeitig auch der Mittelpunkt des Umkreises des Mittendreiecks und des Höhenfußpunktdreiecks.
Abbildung 4: Feuerbachkreis
Umkreis eines Dreiecks
Der Name Umkreis verrät bereits, dass der Umkreis ein Kreis um das Dreieck ist. Genauer wird darunter Folgendes verstanden:
Der Umkreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis , welcher durch alle drei Eckpunkte verläuft.
Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten , und der Dreiecksseiten und . Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft.
Der Umkreismittelpunkt hat zu jedem Eckpunkt des Dreiecks denselben Abstand. Der Abstand zwischen dem Umkreismittelpunkt und den Eckpunkten ist der Umkreisradius.
Der Umkreismittelpunkt kann im Dreieck, auf dem Dreieck und außerhalb des Dreiecks liegen. Wo der Umkreismittelpunkt liegt, ist abhängig davon, ob das Dreieck spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig ist.
Bei einem stumpfwinkligem Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.
Abbildung 5: Umkreis stumpfwinkliges Dreieck
Bei einem spitzwinkligem Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks.
Abbildung 6: Umkreis spitzwinkliges Dreieck
Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der längsten Seite des Dreiecks. Diese liegt dem rechten Winkel immer gegenüber.
Abbildung 7: Umkreis rechtwinkliges Dreieck
Umkreis Dreieck konstruieren
Als Erstes zeichnest Du Dir ein beliebiges Dreieck und beschriftest es mit den Ecken und den Kanten .
Abbildung 8: Umkreiskonstruktion
Als Nächstes konstruierst Du die Mittelsenkrechte von .
Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du eine Mittelsenkrechte konstruierst, kannst Du das in den Erklärungen "Grundkonstruktionen" oder "Mittelsenkrechte konstruieren" nachlesen.
Abbildung 9: Umkreiskonstruktion
Jetzt konstruierst Du die Mittelsenkrechte von . Du erhältst den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und gleichzeitig den Umkreismittelpunkt.
Abbildung 10: Umkreiskonstruktion
Die letzte Mittelsenkrechte von musst Du nicht konstruieren, da Du bereits einen Schnittpunkt hast. Jedoch kannst Du das Konstruieren der letzten Mittelsenkrechten zur Überprüfung der Genauigkeit Deiner Konstruktion nutzen.
Abbildung 11: Umkreiskonstruktion
Zum Schluss zeichnest Du nur noch einen Kreis durch die Eckpunkte des Dreiecks. Damit hast Du nun den Umkreis eines Dreiecks konstruiert.
Abbildung 12: Umkreiskonstruktion
Wenn Du mehr zu der Konstruktion eines Umkreises im Dreieck erfahren möchtest, schaue gerne bei "Umkreis eines Dreiecks konstruieren" vorbei.
Inkreis eines Dreiecks
Der Inkreis ist ein Kreis, der innerhalb des Dreiecks liegt und jede Seite des Dreiecks berührt.
Der Inkreis eines Dreiecks ist der Kreis , welcher innerhalb des Dreiecks ABC liegt und alle drei Seiten an einer Stelle von innen berührt, aber nicht schneidet.
Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden und . Die Winkelhalbierende ist eine Gerade, die einen Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Der Inkreis ist der größte Kreis, der vollständig innerhalb des Dreiecks liegt.
Inkreis Dreieck konstruieren
Als Erstes zeichnest Du ein beliebiges Dreieck und beschriftetest es mit den Ecken , den Kanten und den Winkeln.
Abbildung 13: Inkreis konstruieren
Jetzt konstruierst Du die Winkelhalbierende .
Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du eine Winkelhalbierende konstruierst, lies Dir die Erklärungen "Grundkonstruktionen" oder "Winkelhalbierende konstruieren" durch.
Abbildung 14: Inkreis konstruieren
Nun konstruierst Du die Winkelhalbierende . Du erhältst den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und gleichzeitig den Mittelpunkt des Inkreises.
Abbildung 15: Inkreis konstruieren
Die letzte Winkelhalbierende musst Du nicht konstruieren, da Du bereits einen Schnittpunkt hast. Du kannst sie jedoch zur Überprüfung der Genauigkeit Deiner Konstruktion nutzen.
Abbildung 16: Inkreis konstruieren
Um den Berührpunkt des Inkreises mit einer Dreiecksseite zu erhalten, konstruierst Du ein Lot auf eine der Dreiecksseiten.
Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du ein Lot konstruierst, lies in der Erklärung "Grundkonstruktionen" nach.
Abbildung 17: Inkreis konstruieren
Zum Schluss zeichnest Du nur noch einen Kreis durch den Schnittpunkt des Lots mit einer Seite. Somit hast Du den Inkreis eines Dreiecks konstruiert.
Abbildung 18: Inkreis konstruieren
Gleichseitiges Dreieck im Kreis konstruieren
Das gleichseitige Dreieck ist besonders.
Bei diesem sind die Winkelhalbierenden gleichzeitig die Mittelsenkrechten. Deshalb ist der Inkreismittelpunkt ebenfalls der Umkreismittelpunkt. Zur Konstruktion des Inkreises benötigst Du im gleichseitigen Dreieck kein Lot, sondern nutzt als Berührpunkte mit den Seiten den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit den Seiten.
Abbildung 19: gleichseitiges Dreieck mit Umkreis, Inkreis
Wenn Du mehr zu der Konstruktion eines Inkreises im Dreieck erfahren möchtest, schaue gerne in der Erklärung "Inkreis eines Dreiecks konstruieren" nach.
Ankreise eines Dreiecks
Ankreise liegen von außen an einem Dreieck an.
Der Ankreis eines Dreiecks ist der Kreis , welcher außerhalb des Dreiecks ABC liegt und eine Seite des Dreiecks an einer Stelle von außen berührt, aber nicht schneidet.
Der Mittelpunkt des Ankreises ist der Schnittpunkt der zwei Außenwinkelhalbierenden und der Winkelhalbierenden des nicht anliegendem Winkel.
Es existiert an jeder Seite des Dreiecks ein Ankreis. Das bedeutet, jedes Dreieck besitzt drei Ankreise.
Ankreise Dreieck konstruieren
Als Erstes zeichnest Du ein beliebiges Dreieck und beschriftetest es mit den Ecken , den Kanten und den Winkeln. Die Dreiecksseiten verlängerst Du, so weit wie möglich.
Abbildung 20: Ankreis konstruieren
Jetzt konstruierst Du die Winkelhalbierende .
Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du eine Winkelhalbierende konstruierst, lies Dich bei "Grundkonstruktionen" oder "Winkelhalbierende konstruieren" rein.
Abbildung 21: Ankreis konstruieren
Danach konstruierst Du die Winkelhalbierende von dem Nebenwinkel von (). Du erhältst den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden sowie der Außenwinkelhalbierenden und gleichzeitig den Ankreismittelpunkt.
Abbildung 22: Ankreis konstruieren
Die letzte Winkelhalbierende von dem Nebenwinkel von () musst Du nicht konstruieren, da Du bereits einen Schnittpunkt hast. Dennoch kannst Du das Konstruieren der letzten Außenwinkelhalbierenden zur Überprüfung der Genauigkeit Deiner Konstruktion verwenden.
Abbildung 23: Ankreis konstruieren
Um den Berührpunkt des Ankreises zu erhalten, konstruierst Du ein Lot aus dem Schnittpunkt auf die Dreiecksseite .
Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du ein Lot konstruierst, findest Du dazu eine Erklärung in "Grundkonstruktionen".
Abbildung 24: Ankreis konstruieren
Zum Schluss zeichnest Du nur noch einen Kreis durch den Schnittpunkt des Lots mit einer Seite und Du hast einen Ankreis eines Dreiecks konstruiert.
Abbildung 25: Ankreis konstruieren
Wenn Du mehr zu der Konstruktion eines Ankreises am Dreieck erfahren möchtest, schaue gerne in der Erklärung "Ankreis eines Dreiecks konstruieren" nach.
Kreis im Dreieck – Das Wichtigste
- Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis, einen Inkreis und drei Ankreise.
- Der Umkreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis, welcher durch alle drei Eckpunkte verläuft. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten .
- Der Umkreismittelpunkt liegt:
- bei rechtwinkligen Dreiecken auf der längsten Seite.
- bei stumpfwinkligen Dreiecken außerhalb des Dreiecks.
- bei spitzwinkligen Dreiecken innerhalb des Dreiecks.
- Der Inkreis eines Dreiecks ist der Kreis, welcher innerhalb des Dreiecks ABC liegt und alle drei Seiten a, b und c an einer Stelle von innen berührt, aber nicht schneidet. Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden und .
Der Ankreis eines Dreiecks ist der Kreis , der außerhalb des Dreiecks ABC liegt und eine Seite des Dreiecks an einer Stelle von außen berührt, aber nicht schneidet. Der Mittelpunkt des Ankreises ist der Schnittpunkt zweier Außenwinkelhalbierenden und der Winkelhalbierenden des nicht anliegenden Winkels.
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