Winkel zwischen Ebenen

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Stell Dir vor, Du spazierst durch ein Wohnviertel und dort steht ein Haus mit einem spitzen Dach. Die beiden Dachseiten stellen die beiden Ebenen $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ dar und schneiden sich oben in der Dachspitze. Den Winkel α in dieser Dachspitze kannst Du berechnen und wie das funktioniert erfährst Du in diesem Artikel.

Winkel zwischen Ebenen – Grundlagen

Was ist eine Ebene denn genau?

Eine Ebene $E : \vec{x}$ im Raum ist ein flaches zweidimensionales Objekt, welches keine Begrenzung hat und in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.

Eine Ebene wird durch eine Ebenengleichung dargestellt. Das kann die Parameterform, die Normalenform oder die Koordinatenform sein.

In diesem Artikel werden Ebenen in Parameterform und Normalenform behandelt. Mehr zu den verschiedenen Ebenengleichungen findest Du im Artikel Darstellung von Geraden und Ebenen.

Die Ebene $E : \vec{x}$ in Parameterform wird durch einen Punkt und zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ bestimmt, die kein Vielfaches voneinander sind. Sie wird auch als Punkt-Richtungs-Form bezeichnet.

Ebenengleichung $E : \vec{x}$ in Parameterform:

$E : \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b}$

\vec{p}

: Ortsvektor/Stützvektor eines Punktes P der Ebene

$\vec{a}$ : Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene $E : \vec{x}$

$\vec{b}$ : Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene $E : \vec{x}$

$r, s$ : reelle Parameter

Eine andere Möglichkeit, eine Ebene anzugeben, ist die Normalenform.

Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor $\vec{n}$ , der senkrecht auf der Ebene $E : \vec{x}$ steht und einem Ortsvektor/Stützvektor $\vec{p}$ zu einem beliebigen Punkt P in der Ebene.

Ebenengleichung $E : \vec{x}$ in Normalenform:

$\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{p}) = 0$

$\vec{n}$ : Normalenvektor der Ebene $E : \vec{x}$

$\vec{p}$ : Ortsvektor/Stützvektor zu einem beliebigen Punkt P in der Ebene

$\vec{x}$ : Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt X der Ebene $E : \vec{x}$

Beide Formen lassen sich anhand von Berechnungen in die jeweils andere Form überführen. So kannst Du beispielsweise eine Ebene in Parameterform in eine Ebene in Normalenform umwandeln. Bildest Du aus den Richtungsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ einer Ebene in Parameterform das Kreuzprodukt, so erhältst Du den Normalenvektor $\vec{n}$ dieser Ebene.

$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$

Möchtest Du mehr über die Ebenen und ihre Gleichungen erfahren, so kannst Du im Artikel Ebenengleichung umformen nachlesen.

Mit diesen Grundlagen kannst Du direkt in das Thema starten.

Winkel zwischen zwei Ebenen – Erklärung

Zwei Ebenen $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ im Raum können drei verschiedenen Lagebeziehungen zueinander haben.

Die Ebenen $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ liegen parallel zueinander.
Die Ebenen $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ fallen zusammen und sind somit identisch.
Die Ebenen $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ schneiden sich entlang einer Schnittgeraden.

Ein Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ existiert immer, wenn die Ebenen nicht zusammenfallen und auch nicht parallel zueinander sind, denn dann schneiden sie sich. Der spitze eingeschlossene Winkel α zwischen den beiden Ebenen nennt sich auch Schnittwinkel.

Der Schnittwinkel α zwischen zwei Ebenen $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ entspricht dem spitzen eingeschlossenen Winkel der sich schneidenden Ebenen.

Zeit für ein Beispiel.

In der folgenden Abbildung 1 siehst Du zwei Ebenen $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ und den eingeschlossenen spitzen Winkel α mit einem Wert von $α = 45 °$ .

Winkel zwischen Ebenen Schnittwinkel Schnittgerade Beispiel StudySmarter Abbildung 1: Schnittwinkel und Schnittgerade zweier Ebenen

Wie ebenfalls in der Grafik zu sehen ist, schneiden sich die beiden Ebenen entlang einer Schnittgeraden $g : \vec{x}$ .

Sowohl der Schnittwinkel α als auch die Schnittgerade $g : \vec{x}$ können berechnet werden.

Interessiert an der Berechnung zur Schnittgeraden? Dann lies gerne im Artikel Schnittgeraden zweier Ebenen nach.

Was benötigst Du für das Berechnen des Schnittwinkels α?

Schnittwinkel zweier Ebenen – Berechnung und Formel

Wie bereits im Kapitel Grundlagenwissen erwähnt wurde, kann eine Ebene beispielsweise in Normalenform oder Parameterform vorliegen. In jedem Fall lässt sich ein Normalenvektor bilden, der senkrecht auf der Ebene steht. Bei zwei sich schneidenden Ebenen werden die Normalenvektoren zur Berechnung des Schnittwinkels α genutzt.

Berechnung des spitzen Schnittwinkels α zwischen zwei Ebenen $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ im Raum:

$\cos (α) = \frac{|{\vec{n}}_{E} \circ {\vec{n}}_{F}|}{|{\vec{n}}_{E}| \cdot |{\vec{n}}_{F}|}$

${\vec{n}}_{E}$ = Normalenvektor der Ebene $E : \vec{x}$

${\vec{n}}_{F}$ = Normalenvektor der Ebene $F : \vec{x}$

Die beiden Normalenvektoren ${\vec{n}}_{E}$ und ${\vec{n}}_{F}$ der Ebenen $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ sind nicht kollinear, was bedeutet, dass sie die Bedingung ${\vec{n}}_{E} \times {\vec{n}}_{F} \neq 0$ erfüllen.

Möchtest Du den stumpfen Winkel β zwischen den Ebenen berechnen, so kannst Du diesen über $β = 180 ° - α$ ausrechnen.

Schnittwinkel zweier Ebenen mit dem Normalenvektor berechnen

Wie gehst Du nun vor, wenn Du die beiden Normalenvektoren von zwei Ebenen gegeben hast und den Schnittwinkel berechnen sollst?

Aufgabe 1

Berechne den Winkel α zwischen einer Ebene $E : \vec{x}$ und einer Ebene $F : \vec{x}$ mithilfe der Normalenvektoren ${\vec{n}}_{E}$ und ${\vec{n}}_{F}$ .

${\vec{n}}_{E} = (\begin{matrix} - 1 \\ 5 \\ 3 \end{matrix}); {\vec{n}}_{F} = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})$

Lösung

Zuerst setzt Du beide Vektoren ${\vec{n}}_{E}$ und ${\vec{n}}_{F}$ in die Formel zur Winkelberechnung ein.

$\cos (α) = \frac{|{\vec{n}}_{E} \circ {\vec{n}}_{F}|}{|{\vec{n}}_{E}| \cdot |{\vec{n}}_{F}|}$

$\cos (α) = \frac{|\begin{matrix} (\begin{matrix} - 1 \\ 5 \\ 3 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) \end{matrix}|}{|\begin{matrix} (\begin{matrix} - 1 \\ 5 \\ 3 \end{matrix}) \end{matrix}| \cdot |\begin{matrix} (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) \end{matrix}|}$

Danach wird das Skalarprodukt $|{\vec{n}}_{E} \circ {\vec{n}}_{F}|$ der beiden Normalenvektoren berechnet.

$|\begin{matrix} {\vec{n}}_{E} \circ {\vec{n}}_{F} \end{matrix}| = |\begin{matrix} (\begin{matrix} - 1 \\ 5 \\ 3 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) \end{matrix}| = |\begin{matrix} (- 1) \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 3 \cdot 3 \end{matrix}| = |26| = 26$

Nun werden die Vektorlängen $|{\vec{n}}_{E}| \cdot |{\vec{n}}_{F}|$ berechnet und miteinander multipliziert.

$|{\vec{n}}_{E}| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 5^{2} + 3^{2}} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35}$

$|{\vec{n}}_{F}| = \sqrt{3^{3} + 4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{9 + 16 + 9} = \sqrt{34}$

$|{\vec{n}}_{E}| \cdot |{\vec{n}}_{F}| = \sqrt{35} \cdot \sqrt{34} = \sqrt{1 190}$

Als Nächstes werden die Werte wieder in die Formel eingesetzt und nach dem Winkel α aufgelöst.

$\cos (α) = \frac{26}{\sqrt{1 190}} α = \cos^{- 1} (\frac{26}{\sqrt{1 190}}) = 41, 09 °$

Der Schnittwinkel α zwischen den beiden Ebenen bei $α = 41, 09 °$ .

Winkel zwischen Ebenen Vektor a und b orthogonal zueinander StudySmarter Abbildung 2: Vektor a und b orthogonal zueinander

Aber warum kannst Du die Normalenvektoren überhaupt für die Berechnung verwenden? Sieh Dir dazu die folgende Vertiefung an.

Die Normalenvektoren ${\vec{n}}_{E}$ und ${\vec{n}}_{F}$ können zur Winkelberechnung zwischen zwei Ebenen $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ verwendet werden, weil der Schnittwinkel α zwischen den Ebenen gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren ist.

Winkel zwischen Ebenen Winkel zwischen Normalenvektoren StudySmarter Abbildung 3: Winkel zwischen Normalenvektoren

Somit kannst Du für die Winkelberechnung zwei Normalenvektoren benutzen. In der Formel für die Berechnung des Winkels zwischen Vektoren wird hierbei lediglich im Zähler ein Betragsstrich hinzugefügt, um auch bei eingeschlossenen Winkeln der Normalenvektoren größer als $90 °$ ein richtiges Ergebnis zu erhalten:

$\cos (α) = \frac{|{\vec{n}}_{E} \circ {\vec{n}}_{F}|}{|{\vec{n}}_{E}| \cdot |{\vec{n}}_{F}|}$

Hast Du zwei Ebenen in der Aufgabe gegeben, so kann es sein, dass Du zunächst erst die Normalenvektoren bestimmen musst, um den Schnittwinkel zu berechnen. Wie das geht, erfährst Du in den nächsten zwei Beispielen.

Winkel zwischen zwei Ebenen – Beispiel Normalenform

Aufgabe 2

Berechne den Schnittwinkel α zwischen den beiden Hausdächern $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ .

$E : \vec{x} (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix}) \circ [\begin{matrix} \vec{x} - (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}] = 0$

$F : \vec{x} (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) \circ [\begin{matrix} \vec{x} - (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) \end{matrix}] = 0$

Lösung

Zuerst werden die Normalenvektoren ${\vec{n}}_{E}$ und ${\vec{n}}_{F}$ der Ebenen $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ ermittelt. Dadurch dass der Normalenvektor bei einer Ebene in Normalenform abzulesen ist, können die Normalenvektoren ${\vec{n}}_{E}$ und ${\vec{n}}_{F}$ direkt in die Formel eingesetzt werden.

${\vec{n}}_{E} = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix})$ ${\vec{n}}_{F} = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 5 \end{matrix})$

$\cos (α) = \frac{|{\vec{n}}_{E} \circ {\vec{n}}_{F}|}{|{\vec{n}}_{E}| \cdot |{\vec{n}}_{F}|}$

$\cos (α) = \frac{|\begin{matrix} (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) \end{matrix}|}{|\begin{matrix} (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix}) \end{matrix}| \cdot |\begin{matrix} (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) \end{matrix}|}$

Zuerst wird das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren berechnet.

$|{\vec{n}}_{E} \circ {\vec{n}}_{F}| = |\begin{matrix} (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) \end{matrix}| = |\begin{matrix} 1 \cdot 4 + 3 \cdot 4 + (- 4) \cdot 5 \end{matrix}| = |\begin{matrix} - 4 \end{matrix}| = 4$

Gleich darauf werden die Vektorlängen $|{\vec{n}}_{E}| \cdot |{\vec{n}}_{F}|$ berechnet und miteinander multipliziert.

$|{\vec{n}}_{E}| = \sqrt{1^{2} + 3^{2} + {(- 4)}^{2}} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26}$

$|{\vec{n}}_{F}| = \sqrt{4^{2} + 4^{2} + 5^{2}} = \sqrt{16 + 16 + 25} = \sqrt{57}$

$|{\vec{n}}_{E}| \cdot |{\vec{n}}_{F}| = \sqrt{26} \cdot \sqrt{57} = \sqrt{1 482}$

An dieser Stelle werden die ermittelten Werte wieder in die Formel eingesetzt und nach dem Winkel α aufgelöst.

$\cos (α) = \frac{4}{\sqrt{1 482}} α = \cos^{- 1} (\begin{matrix} \frac{4}{\sqrt{1 482}} \end{matrix}) = 84, 04 °$

Die Dachseiten $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ liegen in einem spitzen Winkel von $α = 84, 04 °$ zueinander.

Liegen Ebenen in Parameterform vor, so musst Du zunächst die Normalenvektoren bestimmen.

Winkel zwischen zwei Ebenen – Beispiel Parameterform

Wie Du bereits im Kapitel Grundlagenwissen gesehen hast, kann über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren einer Ebene in Parameterform dessen Normalenvektor bestimmt werden.

Aufgabe 3

Berechne den Schnittwinkel der Ebene $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ .

$E : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 3 \\ 2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})$

$F : \vec{x} = (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix})$

Lösung

Zuerst musst Du die beiden Normalenvektoren ${\vec{n}}_{E}$ und ${\vec{n}}_{F}$ berechnen, in dem Du die Richtungsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ der Ebenengleichungen $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ ins Kreuzprodukt nimmst.

${\vec{a}}_{E} = (\begin{matrix} 3 \\ - 3 \\ 2 \end{matrix}); {\vec{b}}_{E} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})$

${\vec{n}}_{E} = {\vec{a}}_{E} \times {\vec{b}}_{E} = (\begin{matrix} 3 \\ - 3 \\ 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} (- 3) \cdot 3 - 2 \cdot (- 1) \\ 2 \cdot 1 - 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot (- 1) - (- 3) \cdot 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} (- 9) - (- 2) \\ 2 - 9 \\ (- 3) - (- 3) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 7 \\ - 7 \\ 0 \end{matrix})$

Der Normalenvektor ${\vec{n}}_{E}$ der Ebene $E : \vec{x}$ :

${\vec{n}}_{E} = (\begin{matrix} - 7 \\ - 7 \\ 0 \end{matrix})$

Dasselbe Prinzip wird jetzt bei den Richtungsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ der Ebene $F : \vec{x}$ durchgeführt.

${\vec{a}}_{F} = (\begin{matrix} 6 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}); {\vec{b}}_{F} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix})$

${\vec{n}}_{F} = {\vec{a}}_{F} \times {\vec{b}}_{F} = (\begin{matrix} 6 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \cdot (- 2) - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 2 - 6 \cdot (- 2) \\ 6 \cdot 3 - 1 \cdot 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} (- 2) - 6 \\ 4 - (- 12) \\ 18 - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 8 \\ 16 \\ 16 \end{matrix})$

Der Normalenvektor ${\vec{n}}_{F}$ der Ebene $F : \vec{x}$ .

${\vec{n}}_{F} = (\begin{matrix} - 8 \\ 16 \\ 16 \end{matrix})$

Diese Normalenvektoren ${\vec{n}}_{E}$ und ${\vec{n}}_{F}$ musst Du jetzt in die Formel zur Winkelberechnung einsetzen.

$\cos (α) = \frac{|{\vec{n}}_{E} \circ {\vec{n}}_{F}|}{|{\vec{n}}_{E}| \cdot |{\vec{n}}_{F}|}$

$\cos (α) = \frac{|\begin{matrix} (\begin{matrix} - 7 \\ - 7 \\ 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} - 8 \\ 16 \\ 16 \end{matrix}) \end{matrix}|}{|\begin{matrix} (\begin{matrix} - 7 \\ - 7 \\ 0 \end{matrix}) \end{matrix}| \cdot |\begin{matrix} (\begin{matrix} - 8 \\ 16 \\ 16 \end{matrix}) \end{matrix}|}$

Als Nächstes berechnest Du das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

$|{\vec{n}}_{E} \circ {\vec{n}}_{F}| = |\begin{matrix} (\begin{matrix} - 7 \\ - 7 \\ 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} - 8 \\ 16 \\ 16 \end{matrix}) \end{matrix}| = |\begin{matrix} (- 7) \cdot (- 8) + (- 7) \cdot 16 + 0 \cdot 16 \end{matrix}| = |- 56| = 56$

Danach berechnest Du die beiden Vektorlängen der Normalenvektoren $|{\vec{n}}_{E}|$ und $|{\vec{n}}_{F}|$ und multiplizierst diese miteinander.

$|{\vec{n}}_{E}| = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{2} + 0^{2}} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98}$

$|{\vec{n}}_{F}| = \sqrt{{(- 8)}^{2} + 16^{2} + 16^{2}} = \sqrt{64 + 256 + 256} = \sqrt{576}$

$|{\vec{n}}_{E}| \cdot |{\vec{n}}_{F}| = \sqrt{98} \cdot \sqrt{576} = \sqrt{56 448}$

Beide berechneten Werte setzt Du nun wieder in die Formel ein und löst nach α auf.

$\cos (α) = \frac{56}{\sqrt{56 448}} α = \cos^{- 1} (\begin{matrix} \frac{56}{\sqrt{56 448}} \end{matrix}) = 76, 37 °$

Der spitze Schnittwinkel α zwischen der Ebene $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ ist $α = 76, 37 °$ groß.

Lust gleich direkt noch ein paar Übungsaufgaben zur Winkelberechnung zu machen? Dann sieh Dir gerne den nächsten Abschnitt an.

Winkel zwischen zwei Ebenen – Aufgaben mit Lösung

Falls Du keine Formelsammlung hast, dann schreib Dir gerne die Formel zur Winkelberechnung auf ein Blatt und löse die Aufgaben damit. Lösungen zu den einzelnen Aufgaben findest Du direkt im Anschluss an die Angabe.

Aufgabe 4

Berechne den spitzen Schnittwinkel α zwischen der Ebene $E \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ .

$E : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})$

$F : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{matrix})$

Lösung

Dafür müssen zuerst die Normalenvektoren ${\vec{n}}_{E}$ und ${\vec{n}}_{F}$ berechnet werden, in dem die Richtungsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ beider Ebenen $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ ins Kreuzprodukt genommen werden.

${\vec{n}}_{E} = {\vec{a}}_{E} \times {\vec{b}}_{E} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \cdot (- 1) - 4 \cdot 1 \\ 4 \cdot (- 1) - 2 \cdot (- 1) \\ 2 \cdot 1 - 2 \cdot (- 1) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix})$

${\vec{n}}_{F} = {\vec{a}}_{F} \times {\vec{b}}_{F} = (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} \begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{matrix} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \cdot 5 - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 4 - (- 2) \cdot 5 \\ (- 2) \cdot 2 - 3 \cdot 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 13 \\ 14 \\ - 16 \end{matrix})$

Die Normalenvektoren der Ebenen $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ sind ${\vec{n}}_{E}$ und ${\vec{n}}_{F}$ .

${\vec{n}}_{E} = (\begin{matrix} - 6 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix}); {\vec{n}}_{F} = (\begin{matrix} 13 \\ 14 \\ - 16 \end{matrix})$

Diese musst Du jetzt in die Formel zur Winkelberechnung einsetzen.

$\cos (α) = \frac{|{\vec{n}}_{E} \circ {\vec{n}}_{F}|}{|{\vec{n}}_{E}| \cdot |{\vec{n}}_{F}|}$

$\cos (α) = \frac{|\begin{matrix} (\begin{matrix} - 6 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 13 \\ 14 \\ - 16 \end{matrix}) \end{matrix}|}{|\begin{matrix} (\begin{matrix} - 6 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix}) \end{matrix}| \cdot |\begin{matrix} (\begin{matrix} 13 \\ 14 \\ - 16 \end{matrix}) \end{matrix}|}$

Als Nächstes berechnest Du das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

$|{\vec{n}}_{E} \circ {\vec{n}}_{F}| = |\begin{matrix} (\begin{matrix} - 6 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 13 \\ 14 \\ - 16 \end{matrix}) \end{matrix}| = |(- 6) \cdot 13 + (- 2) \cdot 14 + 4 \cdot (- 16)| = |- 170| = 170$

Als Nächstes berechnest Du die beiden Vektorlängen der Normalenvektoren $|{\vec{n}}_{E}|$ und $|{\vec{n}}_{F}|$ und multiplizierst diese miteinander.

$|{\vec{n}}_{E}| = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(- 2)}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56}$

$|{\vec{n}}_{F}| = \sqrt{13^{2} + 14^{2} + {(- 16)}^{2}} = \sqrt{169 + 196 + 256} = \sqrt{621}$

$|{\vec{n}}_{E}| \cdot |{\vec{n}}_{F}| = \sqrt{56} \cdot \sqrt{621} = \sqrt{34 776}$

Das Skalarprodukt und die multiplizierte Vektorlänge werden wieder in die Formel eingefügt.

$α = \cos^{- 1} (\begin{matrix} \frac{170}{\sqrt{34 776}} \end{matrix}) = 24, 27 °$

Der spitze Schnittwinkel α zwischen den Ebenen $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ ist $α = 24, 27 °$ groß.

Aufgabe 5

Berechne den stumpfen Schnittwinkel β zwischen den Ebenen $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ .

$E : \vec{x} (\begin{matrix} 1 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix}) \circ [\begin{matrix} \vec{x} - (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}] = 0$

$F : \vec{x} (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 1 \end{matrix}) \circ [\begin{matrix} \vec{x} - (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) \end{matrix}] = 0$

Lösung

${\vec{n}}_{E} = (\begin{matrix} 1 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix}); {\vec{n}}_{F} = (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 1 \end{matrix})$

$\cos (α) = \frac{|{\vec{n}}_{E} \circ {\vec{n}}_{F}|}{|{\vec{n}}_{E}| \cdot |{\vec{n}}_{F}|}$

$\cos (α) = \frac{|\begin{matrix} (\begin{matrix} 1 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}|}{|\begin{matrix} (\begin{matrix} 1 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}| \cdot |\begin{matrix} (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}|}$

Zuerst wird das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren berechnet.

$|{\vec{n}}_{E} \circ {\vec{n}}_{F}| = |\begin{matrix} (\begin{matrix} 1 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}| = |1 \cdot 6 + (- 4) \cdot 6 + 1 \cdot 1| = |- 17| = 17$

Als Nächstes berechnest Du die beiden Vektorlängen der Normalenvektoren $|{\vec{n}}_{E}|$ und $|{\vec{n}}_{F}|$ und multiplizierst diese miteinander.

$|{\vec{n}}_{E}| = \sqrt{1^{2} + {(- 4)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18}$

$|{\vec{n}}_{F}| = \sqrt{6^{2} + 6^{2} + 1^{2}} = \sqrt{36 + 36 + 1} = \sqrt{73}$

$|{\vec{n}}_{E}| \cdot |{\vec{n}}_{F}| = \sqrt{18} \cdot \sqrt{73} = \sqrt{1 314}$

Das Skalarprodukt und die multiplizierte Vektorlänge werden wieder in die Formel eingefügt.

$α = \cos^{- 1} (\begin{matrix} \frac{17}{\sqrt{1 314}} \end{matrix}) = 62, 03 °$

Der Schnittwinkel α ist $α = 62, 03 °$ groß. Um den stumpfen Winkel β zu ermitteln, musst Du lediglich von $180 °$ den Winkel α abziehen.

$β = 180 ° - α β = 180 ° - 62, 03 ° β = 117, 97 °$

Aufgabe 6

Berechne den Schnittwinkel α zwischen der x-y-Ebene und der Ebene $E : \vec{x}$ .

$E : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ 1 \end{matrix})$

Lösung

Für diese Rechnung benötigst Du zuerst den Normalenvektor ${\vec{n}}_{E}$ der Ebene $E : \vec{x}$ . Dafür werden die Richtungsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ der Ebene $E : \vec{x}$ im Kreuzprodukt verrechnet.

${\vec{n}}_{E} = \vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \cdot 1 - 5 \cdot 5 \\ 5 \cdot (- 2) - (- 1) \cdot 1 \\ (- 1) \cdot 5 - 3 \cdot (- 2) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 - 25 \\ (- 10) - (- 1) \\ (- 5) - (- 6) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 22 \\ - 9 \\ 1 \end{matrix})$

Der Normalenvektor der Ebene $E : \vec{x}$ ist ${\vec{n}}_{E}$ .

${\vec{n}}_{E} = (\begin{matrix} - 22 \\ - 9 \\ 1 \end{matrix})$

Du benötigst für die Formel noch einen zweiten Normalenvektor der x-y-Ebene. Ein Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht, kann beispielsweise folgender sein:

${\vec{n}}_{x y} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

Jetzt werden die beiden Normalenvektoren in die Formel zur Berechnung des Winkels α eingesetzt.

$\cos (α) = \frac{|{\vec{n}}_{E} \circ {\vec{n}}_{x y}|}{|{\vec{n}}_{E}| \cdot |{\vec{n}}_{x y}|}$

$\cos (α) = \frac{|\begin{matrix} (\begin{matrix} - 22 \\ - 9 \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}|}{|\begin{matrix} (\begin{matrix} - 22 \\ - 9 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}| \cdot |\begin{matrix} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}|}$

Berechnest Du im Zähler wieder das Skalarprodukt, so ergibt sich:

$|\begin{matrix} (\begin{matrix} - 22 \\ - 9 \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}| = |- 22 \cdot 0 + (- 9) \cdot 0 + 1 \cdot 1| = |1| = 1$

Gleich danach wird die Vektorlänge $|{\vec{n}}_{E}|$ und $|{\vec{n}}_{x y}|$ berechnet.

$|{\vec{n}}_{E}| = \sqrt{{(- 22)}^{2} + {(- 9)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{484 + 81 + 1} = \sqrt{566} |{\vec{n}}_{x y}| = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = 1$

Setzt Du die Ergebnisse in die Formel ein und löst nach α, erhältst Du:

$α = \cos^{- 1} (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{566}} \end{matrix}) = 87, 59 °$

Der Schnittwinkel α ist $α = 87, 59 °$ groß.

Nachfolgend findest Du noch eine kurze Zusammenfassung zum Thema Winkel zwischen Ebenen. In den zugehörigen Karteikarten kannst Du Dein Wissen noch einmal vertiefen.

Winkel zwischen Ebenen – Das Wichtigste

Der Schnittwinkel α zwischen zwei Ebenen $E : \vec{x}$ und $F : \vec{x}$ existiert immer, wenn sie sich schneiden und entspricht dem spitzen eingeschlossenen Winkel α der beiden Ebenen.
Zwei Ebenen schneiden sich entlang einer Schnittgeraden $g : \vec{x}$ .
Berechnung eines spitzen Schnittwinkels α zwischen zwei Ebenen E:x→ und F:x→im Raum:
- $\cos (α) = \frac{|{\vec{n}}_{E} \circ {\vec{n}}_{F}|}{|{\vec{n}}_{E}| \cdot |{\vec{n}}_{F}|}$
Zur Berechnung des stumpfen Schnittwinkels β wird folgende Formel genutzt: $β = 180 ° - α$ .

Nachweise

Papula (2018). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Springer Vieweg Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkel zwischen Ebenen

Der spitze Schnittwinkel α zweier Ebenen wird über eine Formel berechnet. Der cos(α) entspricht dem Quotienten aus dem Skalarprodukt der Normalenvektoren im Betrag und den Vektorlängen der Normalenvektoren.

Der Schnittwinkel zweier Ebenen entspricht dem spitzen eingeschlossenen Winkel α der beiden Ebenen. Der stumpfe Schnittwinkel kann über β = 180° - α ermittelt werden.

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Frage

Was ist eine Ebene?

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Eine Ebene im Raum ist ein flaches unbegrenztes Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.

Sie wird anhand einer Ebenengleichung angegeben, beispielsweise in Parameterform, Normalenform oder Koordinatenform.

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Wieso können die Normalenvektoren für die Berechnung des Schnittwinkels genutzt werden?

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Antwort

Der Winkel zwischen den Normalenvektoren zweier Ebenen entspricht dem spitzen Schnittwinkel zweier Ebenen, vorausgesetzt im Zähler wird ein Betragsstrich hinzugefügt.

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Was ist eine Ebene?

Eine Ebene im Raum ist ein flaches unbegrenztes Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.

Sie wird anhand einer Ebenengleichung angegeben, beispielsweise in Parameterform, Normalenform oder Koordinatenform.

Wieso können die Normalenvektoren für die Berechnung des Schnittwinkels genutzt werden?

Der Winkel zwischen den Normalenvektoren zweier Ebenen entspricht dem spitzen Schnittwinkel zweier Ebenen, vorausgesetzt im Zähler wird ein Betragsstrich hinzugefügt.

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