Stell Dir vor, Du spazierst durch ein Wohnviertel und dort steht ein Haus mit einem spitzen Dach. Die beiden Dachseiten stellen die beiden Ebenen 
und
dar und schneiden sich oben in der Dachspitze. Den Winkel α in dieser Dachspitze kannst Du berechnen und wie das funktioniert erfährst Du in diesem Artikel.
Winkel zwischen Ebenen – Grundlagen
Was ist eine Ebene denn genau?
Eine Ebene 
im Raum ist ein flaches zweidimensionales Objekt, welches keine Begrenzung hat und in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.
Eine Ebene wird durch eine Ebenengleichung dargestellt. Das kann die Parameterform, die Normalenform oder die Koordinatenform sein.
In diesem Artikel werden Ebenen in Parameterform und Normalenform behandelt. Mehr zu den verschiedenen Ebenengleichungen findest Du im Artikel Darstellung von Geraden und Ebenen.
Eine andere Möglichkeit, eine Ebene anzugeben, ist die Normalenform.
Beide Formen lassen sich anhand von Berechnungen in die jeweils andere Form überführen. So kannst Du beispielsweise eine Ebene in Parameterform in eine Ebene in Normalenform umwandeln. Bildest Du aus den Richtungsvektoren 
und 
einer Ebene in Parameterform das Kreuzprodukt, so erhältst Du den Normalenvektor 
dieser Ebene.
Mit diesen Grundlagen kannst Du direkt in das Thema starten.
Der Schnittwinkel α zwischen zwei Ebenen 
und 
entspricht dem spitzen eingeschlossenen Winkel der sich schneidenden Ebenen.
Zeit für ein Beispiel.
Sowohl der Schnittwinkel α als auch die Schnittgerade 
können berechnet werden.
Interessiert an der Berechnung zur Schnittgeraden? Dann lies gerne im Artikel Schnittgeraden zweier Ebenen nach.
Was benötigst Du für das Berechnen des Schnittwinkels α?
Schnittwinkel zweier Ebenen – Berechnung und Formel
Wie bereits im Kapitel Grundlagenwissen erwähnt wurde, kann eine Ebene beispielsweise in Normalenform oder Parameterform vorliegen. In jedem Fall lässt sich ein Normalenvektor bilden, der senkrecht auf der Ebene steht. Bei zwei sich schneidenden Ebenen werden die Normalenvektoren zur Berechnung des Schnittwinkels α genutzt.
Wie gehst Du nun vor, wenn Du die beiden Normalenvektoren von zwei Ebenen gegeben hast und den Schnittwinkel berechnen sollst?
Aufgabe 1
Berechne den Winkel α zwischen einer Ebene 
und einer Ebene 
mithilfe der Normalenvektoren 
und 
.
Lösung
Zuerst setzt Du beide Vektoren 
und 
in die Formel zur Winkelberechnung ein.
Danach wird das Skalarprodukt 
der beiden Normalenvektoren berechnet.
Nun werden die Vektorlängen 
berechnet und miteinander multipliziert.
Als Nächstes werden die Werte wieder in die Formel eingesetzt und nach dem Winkel α aufgelöst.
Der Schnittwinkel α zwischen den beiden Ebenen bei 
.
Abbildung 2: Vektor a und b orthogonal zueinander
Aber warum kannst Du die Normalenvektoren überhaupt für die Berechnung verwenden? Sieh Dir dazu die folgende Vertiefung an.
Hast Du zwei Ebenen in der Aufgabe gegeben, so kann es sein, dass Du zunächst erst die Normalenvektoren bestimmen musst, um den Schnittwinkel zu berechnen. Wie das geht, erfährst Du in den nächsten zwei Beispielen.
Winkel zwischen zwei Ebenen – Beispiel Normalenform
Aufgabe 2
Berechne den Schnittwinkel α zwischen den beiden Hausdächern 
und 
.
Lösung
Zuerst werden die Normalenvektoren 
und 
der Ebenen 
und 
ermittelt. Dadurch dass der Normalenvektor bei einer Ebene in Normalenform abzulesen ist, können die Normalenvektoren 
und 
direkt in die Formel eingesetzt werden.
Zuerst wird das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren berechnet.
Gleich darauf werden die Vektorlängen 
berechnet und miteinander multipliziert.
An dieser Stelle werden die ermittelten Werte wieder in die Formel eingesetzt und nach dem Winkel α aufgelöst.
Die Dachseiten 
und 
liegen in einem spitzen Winkel von
zueinander.
Liegen Ebenen in Parameterform vor, so musst Du zunächst die Normalenvektoren bestimmen.
Winkel zwischen zwei Ebenen – Beispiel Parameterform
Lust gleich direkt noch ein paar Übungsaufgaben zur Winkelberechnung zu machen? Dann sieh Dir gerne den nächsten Abschnitt an.
Winkel zwischen zwei Ebenen – Aufgaben mit Lösung
Falls Du keine Formelsammlung hast, dann schreib Dir gerne die Formel zur Winkelberechnung auf ein Blatt und löse die Aufgaben damit. Lösungen zu den einzelnen Aufgaben findest Du direkt im Anschluss an die Angabe.
Aufgabe 4
Berechne den spitzen Schnittwinkel α zwischen der Ebene 
und 
.
Lösung
Dafür müssen zuerst die Normalenvektoren 
und 
berechnet werden, in dem die Richtungsvektoren 
und 
beider Ebenen 
und 
ins Kreuzprodukt genommen werden.
Die Normalenvektoren der Ebenen 
und 
sind 
und 
.
Diese musst Du jetzt in die Formel zur Winkelberechnung einsetzen.
Als Nächstes berechnest Du das Skalarprodukt der beiden Vektoren.
Als Nächstes berechnest Du die beiden Vektorlängen der Normalenvektoren 
und 
und multiplizierst diese miteinander.
Das Skalarprodukt und die multiplizierte Vektorlänge werden wieder in die Formel eingefügt.
Der spitze Schnittwinkel α zwischen den Ebenen 
und 
ist 
groß.
Aufgabe 5
Berechne den stumpfen Schnittwinkel β zwischen den Ebenen 
und 
.
Lösung
Zuerst werden die Normalenvektoren 
und 
der Ebenen und ermittelt. Dadurch dass der Normalenvektor bei einer Ebene in Normalenform abzulesen ist, können die Normalenvektoren 
und 
direkt in die Formel eingesetzt werden.
Zuerst wird das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren berechnet.
Als Nächstes berechnest Du die beiden Vektorlängen der Normalenvektoren 
und 
und multiplizierst diese miteinander.
Das Skalarprodukt und die multiplizierte Vektorlänge werden wieder in die Formel eingefügt.
Der Schnittwinkel α ist 
groß. Um den stumpfen Winkel β zu ermitteln, musst Du lediglich von 
den Winkel α abziehen.
Aufgabe 6
Berechne den Schnittwinkel α zwischen der x-y-Ebene und der Ebene 
.
Lösung
Für diese Rechnung benötigst Du zuerst den Normalenvektor 
der Ebene 
. Dafür werden die Richtungsvektoren 
und 
der Ebene 
im Kreuzprodukt verrechnet.
Der Normalenvektor der Ebene 
ist 
.
Du benötigst für die Formel noch einen zweiten Normalenvektor der x-y-Ebene. Ein Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht, kann beispielsweise folgender sein:
Jetzt werden die beiden Normalenvektoren in die Formel zur Berechnung des Winkels α eingesetzt.
Berechnest Du im Zähler wieder das Skalarprodukt, so ergibt sich:
Gleich danach wird die Vektorlänge 
und 
berechnet.
Setzt Du die Ergebnisse in die Formel ein und löst nach α, erhältst Du:
Der Schnittwinkel α ist 
groß.
Nachfolgend findest Du noch eine kurze Zusammenfassung zum Thema Winkel zwischen Ebenen. In den zugehörigen Karteikarten kannst Du Dein Wissen noch einmal vertiefen.
Winkel zwischen Ebenen – Das Wichtigste
Nachweise
- Papula (2018). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Springer Vieweg Verlag.
Schüler*innen Geprüfte Erklärungen zu allen Themen in der Schule
Studierende Alles was du brauchst für ein erfolgreiches Studium
Auszubildende Lernmaterialien für bessere Noten in der Berufsschule
Magazine Die besten Lifehacks, Tipps und Infos
und
bestimmt, die kein 
: Spannvektor/
: Spannvektor/
: reelle 
, der senkrecht auf der Ebene
: 
:
:
und 
im Raum können drei verschiedenen Lagebeziehungen zueinander haben.
und 
liegen parallel zueinander.
und 
fallen zusammen und sind somit identisch.
und 
schneiden sich entlang einer Schnittgeraden.
und 
existiert immer, wenn die Ebenen nicht zusammenfallen und auch nicht parallel zueinander sind, denn dann schneiden sie sich. Der spitze eingeschlossene 
und 
und den eingeschlossenen spitzen Winkel α mit einem Wert von 
.
.
und 
im Raum:
= 
= 
und
der Ebenen
und
sind nicht kollinear, was bedeutet, dass sie die Bedingung
erfüllen.
ausrechnen.
und
können zur Winkelberechnung zwischen zwei Ebenen
und
verwendet werden, weil der Schnittwinkel α zwischen den Ebenen gleich dem
ein richtiges Ergebnis zu erhalten:
und 
.
und 
berechnen, in dem Du die Richtungsvektoren 
und 
der Ebenengleichungen 
und 
ins 
der Ebene 
und 
der Ebene 
durchgeführt.
der Ebene 
.
und 
musst Du jetzt in die Formel zur 
und 
und multiplizierst diese miteinander.
und 
ist 
groß.
existiert immer, wenn sie sich schneiden und entspricht dem spitzen eingeschlossenen 
.
und 
.
