Winkel zwischen Ebenen

Stell Dir vor, Du spazierst durch ein Wohnviertel und dort steht ein Haus mit einem spitzen Dach. Die beiden Dachseiten stellen die beiden Ebenen E:x undF:xdar und schneiden sich oben in der Dachspitze. Den Winkel α in dieser Dachspitze kannst Du berechnen und wie das funktioniert erfährst Du in diesem Artikel.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Winkel zwischen Ebenen Haus StudySmarter

    Winkel zwischen Ebenen – Grundlagen

    Was ist eine Ebene denn genau?

    Eine Ebene E:x im Raum ist ein flaches zweidimensionales Objekt, welches keine Begrenzung hat und in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.

    Eine Ebene wird durch eine Ebenengleichung dargestellt. Das kann die Parameterform, die Normalenform oder die Koordinatenform sein.

    In diesem Artikel werden Ebenen in Parameterform und Normalenform behandelt. Mehr zu den verschiedenen Ebenengleichungen findest Du im Artikel Darstellung von Geraden und Ebenen.

    Die Ebene E:x in Parameterform wird durch einen Punkt und zwei Vektoren aund bbestimmt, die kein Vielfaches voneinander sind. Sie wird auch als Punkt-Richtungs-Form bezeichnet.

    Ebenengleichung E:x in Parameterform:

    E:x=p+r·a+s·b

    p: Ortsvektor/Stützvektor eines Punktes P der Ebene

    a: Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene E:x

    b: Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene E:x

    r, s: reelle Parameter

    Eine andere Möglichkeit, eine Ebene anzugeben, ist die Normalenform.

    Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor n, der senkrecht auf der Ebene E:x steht und einem Ortsvektor/Stützvektor p zu einem beliebigen Punkt P in der Ebene.

    Ebenengleichung E:x in Normalenform:

    nx-p=0

    n: Normalenvektor der Ebene E:x

    p: Ortsvektor/Stützvektor zu einem beliebigen Punkt P in der Ebene

    x: Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt X der Ebene E:x

    Beide Formen lassen sich anhand von Berechnungen in die jeweils andere Form überführen. So kannst Du beispielsweise eine Ebene in Parameterform in eine Ebene in Normalenform umwandeln. Bildest Du aus den Richtungsvektoren a und b einer Ebene in Parameterform das Kreuzprodukt, so erhältst Du den Normalenvektor ndieser Ebene.

    n=a×b

    Möchtest Du mehr über die Ebenen und ihre Gleichungen erfahren, so kannst Du im Artikel Ebenengleichung umformen nachlesen.

    Mit diesen Grundlagen kannst Du direkt in das Thema starten.

    Winkel zwischen zwei Ebenen – Erklärung

    Zwei Ebenen E:x und F:x im Raum können drei verschiedenen Lagebeziehungen zueinander haben.

    1. Die Ebenen E:x und F:xliegen parallel zueinander.
    2. Die Ebenen E:x und F:x fallen zusammen und sind somit identisch.
    3. Die Ebenen E:x und F:x schneiden sich entlang einer Schnittgeraden.

    Ein Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen E:x und F:x existiert immer, wenn die Ebenen nicht zusammenfallen und auch nicht parallel zueinander sind, denn dann schneiden sie sich. Der spitze eingeschlossene Winkel α zwischen den beiden Ebenen nennt sich auch Schnittwinkel.

    Der Schnittwinkel α zwischen zwei Ebenen E:x und F:x entspricht dem spitzen eingeschlossenen Winkel der sich schneidenden Ebenen.

    Zeit für ein Beispiel.

    In der folgenden Abbildung 1 siehst Du zwei Ebenen E:x und F:xund den eingeschlossenen spitzen Winkel α mit einem Wert von α=45°.

    Winkel zwischen Ebenen Schnittwinkel Schnittgerade Beispiel StudySmarterAbbildung 1: Schnittwinkel und Schnittgerade zweier Ebenen

    Wie ebenfalls in der Grafik zu sehen ist, schneiden sich die beiden Ebenen entlang einer Schnittgeraden g:x.

    Sowohl der Schnittwinkel α als auch die Schnittgerade g:x können berechnet werden.

    Interessiert an der Berechnung zur Schnittgeraden? Dann lies gerne im Artikel Schnittgeraden zweier Ebenen nach.

    Was benötigst Du für das Berechnen des Schnittwinkels α?

    Schnittwinkel zweier Ebenen – Berechnung und Formel

    Wie bereits im Kapitel Grundlagenwissen erwähnt wurde, kann eine Ebene beispielsweise in Normalenform oder Parameterform vorliegen. In jedem Fall lässt sich ein Normalenvektor bilden, der senkrecht auf der Ebene steht. Bei zwei sich schneidenden Ebenen werden die Normalenvektoren zur Berechnung des Schnittwinkels α genutzt.

    Berechnung des spitzen Schnittwinkels α zwischen zwei Ebenen E:x und F:x im Raum:

    cos(α)=nEnFnE·nF

    nE= Normalenvektor der Ebene E:x

    nF= Normalenvektor der Ebene F:x

    Die beiden Normalenvektoren nE und nF der Ebenen E:x und F:x sind nicht kollinear, was bedeutet, dass sie die Bedingung nE×nF0 erfüllen.

    Möchtest Du den stumpfen Winkel β zwischen den Ebenen berechnen, so kannst Du diesen über β=180°-α ausrechnen.

    Schnittwinkel zweier Ebenen mit dem Normalenvektor berechnen

    Wie gehst Du nun vor, wenn Du die beiden Normalenvektoren von zwei Ebenen gegeben hast und den Schnittwinkel berechnen sollst?

    Aufgabe 1

    Berechne den Winkel α zwischen einer Ebene E:x und einer Ebene F:x mithilfe der Normalenvektoren nE und nF.

    nE=-153 ; nF=343

    Lösung

    Zuerst setzt Du beide Vektoren nE und nF in die Formel zur Winkelberechnung ein.

    cos(α)=nEnFnE·nF

    cos(α)=-153343-153·343

    Danach wird das Skalarprodukt nEnF der beiden Normalenvektoren berechnet.

    nEnF=-153343=(-1)·3+5·4+3·3=26=26

    Nun werden die Vektorlängen nE·nF berechnet und miteinander multipliziert.

    nE=(-1)2+52+32=1+25+9=35

    nF=33+42+32=9+16+9=34

    nE·nF=35·34=1 190

    Als Nächstes werden die Werte wieder in die Formel eingesetzt und nach dem Winkel α aufgelöst.

    cosα=261 190 α=cos-1261 190=41,09°

    Der Schnittwinkel α zwischen den beiden Ebenen bei α=41,09°.

    Winkel zwischen Ebenen Vektor a und b orthogonal zueinander StudySmarterAbbildung 2: Vektor a und b orthogonal zueinander

    Aber warum kannst Du die Normalenvektoren überhaupt für die Berechnung verwenden? Sieh Dir dazu die folgende Vertiefung an.

    Die Normalenvektoren nE und nF können zur Winkelberechnung zwischen zwei Ebenen E:x und F:xverwendet werden, weil der Schnittwinkel α zwischen den Ebenen gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren ist.

    Winkel zwischen Ebenen Winkel zwischen Normalenvektoren StudySmarterAbbildung 3: Winkel zwischen Normalenvektoren

    Somit kannst Du für die Winkelberechnung zwei Normalenvektoren benutzen. In der Formel für die Berechnung des Winkels zwischen Vektoren wird hierbei lediglich im Zähler ein Betragsstrich hinzugefügt, um auch bei eingeschlossenen Winkeln der Normalenvektoren größer als 90° ein richtiges Ergebnis zu erhalten:

    cos(α)=nEnFnE·nF

    Hast Du zwei Ebenen in der Aufgabe gegeben, so kann es sein, dass Du zunächst erst die Normalenvektoren bestimmen musst, um den Schnittwinkel zu berechnen. Wie das geht, erfährst Du in den nächsten zwei Beispielen.

    Winkel zwischen zwei Ebenen – Beispiel Normalenform

    Aufgabe 2

    Berechne den Schnittwinkel α zwischen den beiden Hausdächern E:x und F:x.

    E:x 13-4x-121=0

    F:x 445x-132=0

    Lösung

    Zuerst werden die Normalenvektoren nE und nF der Ebenen E:x und F:x ermittelt. Dadurch dass der Normalenvektor bei einer Ebene in Normalenform abzulesen ist, können die Normalenvektoren nE und nF direkt in die Formel eingesetzt werden.

    nE=13-4 nF=445

    cos(α)=nEnFnE·nF

    cos(α)=13-444513-4·445

    Zuerst wird das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren berechnet.

    nEnF=13-4445=1·4+3·4+(-4)·5=-4=4

    Gleich darauf werden die Vektorlängen nE·nF berechnet und miteinander multipliziert.

    nE=12+32+(-4)2=1+9+16=26

    nF=42+42+52=16+16+25=57

    nE·nF=26·57=1 482

    An dieser Stelle werden die ermittelten Werte wieder in die Formel eingesetzt und nach dem Winkel α aufgelöst.

    cosα=41 482 α=cos-1 41 482=84,04°

    Die Dachseiten E:x und F:x liegen in einem spitzen Winkel vonα=84,04°zueinander.

    Liegen Ebenen in Parameterform vor, so musst Du zunächst die Normalenvektoren bestimmen.

    Winkel zwischen zwei Ebenen – Beispiel Parameterform

    Wie Du bereits im Kapitel Grundlagenwissen gesehen hast, kann über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren einer Ebene in Parameterform dessen Normalenvektor bestimmt werden.

    Aufgabe 3

    Berechne den Schnittwinkel der Ebene E:x und F:x.

    E:x=142+r·3-32+s·1-13

    F:x=-323+r·612+s·23-2

    Lösung

    Zuerst musst Du die beiden Normalenvektoren nE und nF berechnen, in dem Du die Richtungsvektoren a und b der Ebenengleichungen E:x und F:x ins Kreuzprodukt nimmst.

    aE=3-32 ; bE=1-13

    nE=aE×bE=3-32×1-13=(-3)·3-2·(-1)2·1-3·33·(-1)-(-3)·1=(-9)-(-2)2-9(-3)-(-3)=-7-70

    Der Normalenvektor nE der Ebene E:x:

    nE=-7-70

    Dasselbe Prinzip wird jetzt bei den Richtungsvektoren a und b der Ebene F:x durchgeführt.

    aF=612 ; bF=23-2

    nF=aF×bF=612×23-2=1·(-2)-2·32·2-6·(-2)6·3-1·2=(-2)-64-(-12)18-2=-81616

    Der Normalenvektor nF der Ebene F:x.

    nF=-81616

    Diese Normalenvektoren nE und nF musst Du jetzt in die Formel zur Winkelberechnung einsetzen.

    cos(α)=nEnFnE·nF

    cos(α)=-7-70-81616-7-70·-81616

    Als Nächstes berechnest Du das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

    nEnF=-7-70-81616=-7·-8+-7·16+0·16=-56=56

    Danach berechnest Du die beiden Vektorlängen der Normalenvektoren nE und nF und multiplizierst diese miteinander.

    nE=-72+-72+02=49+49=98

    nF=-82+162+162=64+256+256=576

    nE·nF=98·576=56 448

    Beide berechneten Werte setzt Du nun wieder in die Formel ein und löst nach α auf.

    cosα=5656 448 α=cos-1 5656 448=76,37°

    Der spitze Schnittwinkel α zwischen der Ebene E:x und F:x ist α=76,37°groß.

    Lust gleich direkt noch ein paar Übungsaufgaben zur Winkelberechnung zu machen? Dann sieh Dir gerne den nächsten Abschnitt an.

    Winkel zwischen zwei Ebenen – Aufgaben mit Lösung

    Falls Du keine Formelsammlung hast, dann schreib Dir gerne die Formel zur Winkelberechnung auf ein Blatt und löse die Aufgaben damit. Lösungen zu den einzelnen Aufgaben findest Du direkt im Anschluss an die Angabe.

    Aufgabe 4

    Berechne den spitzen Schnittwinkel α zwischen der Ebene Ex und F:x.

    E:x=111+r·224+s·-11-1

    F:x=001+r·-231+s·425

    Lösung

    Dafür müssen zuerst die Normalenvektoren nE und nF berechnet werden, in dem die Richtungsvektoren a und b beider Ebenen E:x und F:x ins Kreuzprodukt genommen werden.


    nE=aE×bE=224×-11-1=2·(-1)-4·1 4·(-1)-2·(-1) 2·1-2·(-1)=-6-24

    nF=aF×bF=-231×425=3·5-1·21·4-(-2)·5(-2)·2-3·4=1314-16

    Die Normalenvektoren der Ebenen E:x und F:x sind nE und nF.

    nE=-6-24 ; nF=1314-16

    Diese musst Du jetzt in die Formel zur Winkelberechnung einsetzen.

    cos(α)=nEnFnE·nF

    cos(α)=-6-241314-16-6-24·1314-16

    Als Nächstes berechnest Du das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

    nEnF=-6-241314-16=(-6)·13+-2·14+4·(-16)=-170=170

    Als Nächstes berechnest Du die beiden Vektorlängen der Normalenvektoren nE und nF und multiplizierst diese miteinander.

    nE=(-6)2+(-2)2+42=36+4+16=56

    nF=132+142+(-16)2=169+196+256=621

    nE·nF=56·621=34 776

    Das Skalarprodukt und die multiplizierte Vektorlänge werden wieder in die Formel eingefügt.

    α=cos-1 17034 776=24,27°

    Der spitze Schnittwinkel α zwischen den Ebenen E:x und F:x ist α=24,27°groß.

    Aufgabe 5

    Berechne den stumpfen Schnittwinkel β zwischen den Ebenen E:x und F:x.

    E:x 1-41x-121=0

    F:x 661x-132=0

    Lösung

    Zuerst werden die Normalenvektoren nE und nF der Ebenen E:x und F:x ermittelt. Dadurch dass der Normalenvektor bei einer Ebene in Normalenform abzulesen ist, können die Normalenvektoren nE und nF direkt in die Formel eingesetzt werden.

    nE=1-41 ; nF=661

    cos(α)=nEnFnE·nF

    cos(α)=1-416611-41·661

    Zuerst wird das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren berechnet.

    nEnF=1-41661=1·6+(-4)·6+1·1=-17=17

    Als Nächstes berechnest Du die beiden Vektorlängen der Normalenvektoren nE und nF und multiplizierst diese miteinander.

    nE=12+(-4)2+12=1+16+1=18

    nF=62+62+12=36+36+1=73

    nE·nF=18·73=1 314

    Das Skalarprodukt und die multiplizierte Vektorlänge werden wieder in die Formel eingefügt.

    α=cos-1 171 314=62,03°

    Der Schnittwinkel α ist α=62,03°groß. Um den stumpfen Winkel β zu ermitteln, musst Du lediglich von 180° den Winkel α abziehen.

    β=180°-αβ=180°-62,03°β=117,97°

    Aufgabe 6

    Berechne den Schnittwinkel α zwischen der x-y-Ebene und der Ebene E:x.

    E:x=013+r·-135+s·-251

    Lösung

    Für diese Rechnung benötigst Du zuerst den Normalenvektor nE der Ebene E:x. Dafür werden die Richtungsvektoren a und b der Ebene E:x im Kreuzprodukt verrechnet.

    nE=a×b=-135×-251=3·1-5·55·(-2)-(-1)·1(-1)·5-3·(-2)=3-25(-10)-(-1)(-5)-(-6)=-22-91

    Der Normalenvektor der Ebene E:x ist nE.

    nE=-22-91

    Du benötigst für die Formel noch einen zweiten Normalenvektor der x-y-Ebene. Ein Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht, kann beispielsweise folgender sein:

    nxy=001

    Jetzt werden die beiden Normalenvektoren in die Formel zur Berechnung des Winkels α eingesetzt.

    cos(α)=nEnxynE·nxy

    cos(α)=-22-91001-22-91·001

    Berechnest Du im Zähler wieder das Skalarprodukt, so ergibt sich:

    -22-91001=-22·0+(-9)·0+1·1=1=1

    Gleich danach wird die Vektorlänge nE und nxy berechnet.

    nE =(-22)2+(-9)2+12=484+81+1=566nxy=02+02+12=1

    Setzt Du die Ergebnisse in die Formel ein und löst nach α, erhältst Du:

    α=cos-1 1566=87,59°

    Der Schnittwinkel α ist α=87,59°groß.

    Nachfolgend findest Du noch eine kurze Zusammenfassung zum Thema Winkel zwischen Ebenen. In den zugehörigen Karteikarten kannst Du Dein Wissen noch einmal vertiefen.

    Winkel zwischen Ebenen – Das Wichtigste

    • Der Schnittwinkel α zwischen zwei Ebenen E:x und F:x existiert immer, wenn sie sich schneiden und entspricht dem spitzen eingeschlossenen Winkel α der beiden Ebenen.
    • Zwei Ebenen schneiden sich entlang einer Schnittgeraden g:x.
    • Berechnung eines spitzen Schnittwinkels α zwischen zwei Ebenen E:x und F:xim Raum:
      • cos(α)=nEnFnE·nF
    • Zur Berechnung des stumpfen Schnittwinkels β wird folgende Formel genutzt: β=180°-α.


    Nachweise

    1. Papula (2018). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Springer Vieweg Verlag.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkel zwischen Ebenen

    Wie wird der Winkel zwischen zwei Ebenen berechnet? 

    Der spitze Schnittwinkel α zweier Ebenen wird über eine Formel berechnet. Der cos(α) entspricht dem Quotienten aus dem Skalarprodukt der Normalenvektoren im Betrag und den Vektorlängen der Normalenvektoren.

    Was ist der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen? 

    Der Schnittwinkel zweier Ebenen entspricht dem spitzen eingeschlossenen Winkel α der beiden Ebenen. Der stumpfe Schnittwinkel kann über β = 180° - α ermittelt werden.

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