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Stell Dir vor, Du spazierst durch ein Wohnviertel und dort steht ein Haus mit einem spitzen Dach. Die beiden Dachseiten stellen die beiden Ebenen 
und
dar und schneiden sich oben in der Dachspitze. Den Winkel α in dieser Dachspitze kannst Du berechnen und wie das funktioniert erfährst Du in diesem Artikel.
Was ist eine Ebene denn genau?
Eine Ebene 
im Raum ist ein flaches zweidimensionales Objekt, welches keine Begrenzung hat und in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.
Eine Ebene wird durch eine Ebenengleichung dargestellt. Das kann die Parameterform, die Normalenform oder die Koordinatenform sein.
In diesem Artikel werden Ebenen in Parameterform und Normalenform behandelt. Mehr zu den verschiedenen Ebenengleichungen findest Du im Artikel Darstellung von Geraden und Ebenen.
Die Ebene 
in Parameterform wird durch einen Punkt und zwei Vektoren 
und 
bestimmt, die kein Vielfaches voneinander sind. Sie wird auch als Punkt-Richtungs-Form bezeichnet.
Ebenengleichung 
in Parameterform:
: Ortsvektor/Stützvektor eines Punktes P der Ebene
: Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene
: Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene
: reelle Parameter
Eine andere Möglichkeit, eine Ebene anzugeben, ist die Normalenform.
Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor 
, der senkrecht auf der Ebene 
steht und einem Ortsvektor/Stützvektor 
zu einem beliebigen Punkt P in der Ebene.
Ebenengleichung 
in Normalenform:
: Normalenvektor der Ebene
: Ortsvektor/Stützvektor zu einem beliebigen Punkt P in der Ebene
: Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt X der Ebene
Beide Formen lassen sich anhand von Berechnungen in die jeweils andere Form überführen. So kannst Du beispielsweise eine Ebene in Parameterform in eine Ebene in Normalenform umwandeln. Bildest Du aus den Richtungsvektoren 
und 
einer Ebene in Parameterform das Kreuzprodukt, so erhältst Du den Normalenvektor 
dieser Ebene.
Möchtest Du mehr über die Ebenen und ihre Gleichungen erfahren, so kannst Du im Artikel Ebenengleichung umformen nachlesen.
Mit diesen Grundlagen kannst Du direkt in das Thema starten.
Zwei Ebenen 
und 
im Raum können drei verschiedenen Lagebeziehungen zueinander haben.
und 
liegen parallel zueinander.
und 
fallen zusammen und sind somit identisch.
und 
schneiden sich entlang einer Schnittgeraden.Ein Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen 
und 
existiert immer, wenn die Ebenen nicht zusammenfallen und auch nicht parallel zueinander sind, denn dann schneiden sie sich. Der spitze eingeschlossene Winkel α zwischen den beiden Ebenen nennt sich auch Schnittwinkel.
Der Schnittwinkel α zwischen zwei Ebenen 
und 
entspricht dem spitzen eingeschlossenen Winkel der sich schneidenden Ebenen.
Zeit für ein Beispiel.
In der folgenden Abbildung 1 siehst Du zwei Ebenen 
und 
und den eingeschlossenen spitzen Winkel α mit einem Wert von 
.
Abbildung 1: Schnittwinkel und Schnittgerade zweier Ebenen
Wie ebenfalls in der Grafik zu sehen ist, schneiden sich die beiden Ebenen entlang einer Schnittgeraden 
.
Sowohl der Schnittwinkel α als auch die Schnittgerade 
können berechnet werden.
Interessiert an der Berechnung zur Schnittgeraden? Dann lies gerne im Artikel Schnittgeraden zweier Ebenen nach.
Was benötigst Du für das Berechnen des Schnittwinkels α?
Wie bereits im Kapitel Grundlagenwissen erwähnt wurde, kann eine Ebene beispielsweise in Normalenform oder Parameterform vorliegen. In jedem Fall lässt sich ein Normalenvektor bilden, der senkrecht auf der Ebene steht. Bei zwei sich schneidenden Ebenen werden die Normalenvektoren zur Berechnung des Schnittwinkels α genutzt.
Berechnung des spitzen Schnittwinkels α zwischen zwei Ebenen 
und 
im Raum:
= Normalenvektor der Ebene 
= Normalenvektor der Ebene 
Die beiden Normalenvektoren 
und 
der Ebenen 
und 
sind nicht kollinear, was bedeutet, dass sie die Bedingung 
erfüllen.
Möchtest Du den stumpfen Winkel β zwischen den Ebenen berechnen, so kannst Du diesen über 
ausrechnen.
Wie gehst Du nun vor, wenn Du die beiden Normalenvektoren von zwei Ebenen gegeben hast und den Schnittwinkel berechnen sollst?
Aufgabe 1
Berechne den Winkel α zwischen einer Ebene 
und einer Ebene 
mithilfe der Normalenvektoren 
und 
.
Lösung
Zuerst setzt Du beide Vektoren 
und 
in die Formel zur Winkelberechnung ein.
Danach wird das Skalarprodukt 
der beiden Normalenvektoren berechnet.
Nun werden die Vektorlängen 
berechnet und miteinander multipliziert.
Als Nächstes werden die Werte wieder in die Formel eingesetzt und nach dem Winkel α aufgelöst.
Der Schnittwinkel α zwischen den beiden Ebenen bei 
.
Aber warum kannst Du die Normalenvektoren überhaupt für die Berechnung verwenden? Sieh Dir dazu die folgende Vertiefung an.
Die Normalenvektoren 
und 
können zur Winkelberechnung zwischen zwei Ebenen 
und 
verwendet werden, weil der Schnittwinkel α zwischen den Ebenen gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren ist.
Abbildung 2: Winkel zwischen Normalenvektoren
Somit kannst Du für die Winkelberechnung zwei Normalenvektoren benutzen. In der Formel für die Berechnung des Winkels zwischen Vektoren wird hierbei lediglich im Zähler ein Betragsstrich hinzugefügt, um auch bei eingeschlossenen Winkeln der Normalenvektoren größer als 
ein richtiges Ergebnis zu erhalten:
Hast Du zwei Ebenen in der Aufgabe gegeben, so kann es sein, dass Du zunächst erst die Normalenvektoren bestimmen musst, um den Schnittwinkel zu berechnen. Wie das geht, erfährst Du in den nächsten zwei Beispielen.
Aufgabe 2
Berechne den Schnittwinkel α zwischen den beiden Hausdächern 
und 
.
Lösung
Zuerst werden die Normalenvektoren 
und 
der Ebenen 
und 
ermittelt. Dadurch dass der Normalenvektor bei einer Ebene in Normalenform abzulesen ist, können die Normalenvektoren 
und 
direkt in die Formel eingesetzt werden.
Zuerst wird das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren berechnet.
Gleich darauf werden die Vektorlängen 
berechnet und miteinander multipliziert.
An dieser Stelle werden die ermittelten Werte wieder in die Formel eingesetzt und nach dem Winkel α aufgelöst.
Die Dachseiten 
und 
liegen in einem spitzen Winkel von
zueinander.
Liegen Ebenen in Parameterform vor, so musst Du zunächst die Normalenvektoren bestimmen.
Wie Du bereits im Kapitel Grundlagenwissen gesehen hast, kann über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren einer Ebene in Parameterform dessen Normalenvektor bestimmt werden.
Aufgabe 3
Berechne den Schnittwinkel der Ebene 
und 
.
Lösung
Zuerst musst Du die beiden Normalenvektoren 
und 
berechnen, in dem Du die Richtungsvektoren 
und 
der Ebenengleichungen 
und 
ins Kreuzprodukt nimmst.
Der Normalenvektor 
der Ebene 
:
Dasselbe Prinzip wird jetzt bei den Richtungsvektoren 
und 
der Ebene 
durchgeführt.
Der Normalenvektor 
der Ebene 
.
Diese Normalenvektoren 
und 
musst Du jetzt in die Formel zur Winkelberechnung einsetzen.
Als Nächstes berechnest Du das Skalarprodukt der beiden Vektoren.
Danach berechnest Du die beiden Vektorlängen der Normalenvektoren 
und 
und multiplizierst diese miteinander.
Beide berechneten Werte setzt Du nun wieder in die Formel ein und löst nach α auf.
Der spitze Schnittwinkel α zwischen der Ebene 
und 
ist 
groß.
Lust gleich direkt noch ein paar Übungsaufgaben zur Winkelberechnung zu machen? Dann sieh Dir gerne den nächsten Abschnitt an.
Falls Du keine Formelsammlung hast, dann schreib Dir gerne die Formel zur Winkelberechnung auf ein Blatt und löse die Aufgaben damit. Lösungen zu den einzelnen Aufgaben findest Du direkt im Anschluss an die Angabe.
Aufgabe 4
Berechne den spitzen Schnittwinkel α zwischen der Ebene 
und 
.
Lösung
Dafür müssen zuerst die Normalenvektoren 
und 
berechnet werden, in dem die Richtungsvektoren 
und 
beider Ebenen 
und 
ins Kreuzprodukt genommen werden.
Die Normalenvektoren der Ebenen und 
sind 
und 
.
Diese musst Du jetzt in die Formel zur Winkelberechnung einsetzen.
Als Nächstes berechnest Du das Skalarprodukt der beiden Vektoren.
Als Nächstes berechnest Du die beiden Vektorlängen der Normalenvektoren 
und 
und multiplizierst diese miteinander.
Das Skalarprodukt und die multiplizierte Vektorlänge werden wieder in die Formel eingefügt.
Der spitze Schnittwinkel α zwischen den Ebenen 
und 
ist 
groß.
Aufgabe 5
Berechne den stumpfen Schnittwinkel β zwischen den Ebenen 
und 
.
Lösung
Zuerst werden die Normalenvektoren 
und 
der Ebenen und ermittelt. Dadurch dass der Normalenvektor bei einer Ebene in Normalenform abzulesen ist, können die Normalenvektoren 
und 
direkt in die Formel eingesetzt werden.
Zuerst wird das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren berechnet.
Als Nächstes berechnest Du die beiden Vektorlängen der Normalenvektoren 
und 
und multiplizierst diese miteinander.
Das Skalarprodukt und die multiplizierte Vektorlänge werden wieder in die Formel eingefügt.
Der Schnittwinkel α ist 
groß. Um den stumpfen Winkel β zu ermitteln, musst Du lediglich von 
den Winkel α abziehen.
Aufgabe 6
Berechne den Schnittwinkel α zwischen der x-y-Ebene und der Ebene 
.
Lösung
Für diese Rechnung benötigst Du zuerst den Normalenvektor 
der Ebene 
. Dafür werden die Richtungsvektoren 
und 
der Ebene 
im Kreuzprodukt verrechnet.
Der Normalenvektor der Ebene 
ist 
.
Du benötigst für die Formel noch einen zweiten Normalenvektor der x-y-Ebene. Ein Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht, kann beispielsweise folgender sein:
Jetzt werden die beiden Normalenvektoren in die Formel zur Berechnung des Winkels α eingesetzt.
Berechnest Du im Zähler wieder das Skalarprodukt, so ergibt sich:
Gleich danach wird die Vektorlänge 
und 
berechnet.
Setzt Du die Ergebnisse in die Formel ein und löst nach α, erhältst Du:
Der Schnittwinkel α ist 
groß.
Nachfolgend findest Du noch eine kurze Zusammenfassung zum Thema Winkel zwischen Ebenen. In den zugehörigen Karteikarten kannst Du Dein Wissen noch einmal vertiefen.
und 
existiert immer, wenn sie sich schneiden und entspricht dem spitzen eingeschlossenen Winkel α der beiden Ebenen.
.
und im Raum:
Zur Berechnung des stumpfen Schnittwinkels β wird folgende Formel genutzt: 
.
Der spitze Schnittwinkel α zweier Ebenen wird über eine Formel berechnet. Der cos(α) entspricht dem Quotienten aus dem Skalarprodukt der Normalenvektoren im Betrag und den Vektorlängen der Normalenvektoren.
Der Schnittwinkel zweier Ebenen entspricht dem spitzen eingeschlossenen Winkel α der beiden Ebenen. Der stumpfe Schnittwinkel kann über β = 180° - α ermittelt werden.
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