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Stell Dir vor, Du spazierst durch ein Wohnviertel und dort steht ein Haus mit einem spitzen Dach. Die beiden Dachseiten stellen die beiden Ebenen und
dar und schneiden sich oben in der Dachspitze. Den Winkel α in dieser Dachspitze kannst Du berechnen und wie das funktioniert erfährst Du in diesem Artikel.
Was ist eine Ebene denn genau?
Eine Ebene im Raum ist ein flaches zweidimensionales Objekt, welches keine Begrenzung hat und in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.
Eine Ebene wird durch eine Ebenengleichung dargestellt. Das kann die Parameterform, die Normalenform oder die Koordinatenform sein.
In diesem Artikel werden Ebenen in Parameterform und Normalenform behandelt. Mehr zu den verschiedenen Ebenengleichungen findest Du im Artikel Darstellung von Geraden und Ebenen.
Die Ebene in Parameterform wird durch einen Punkt und zwei Vektoren
und
bestimmt, die kein Vielfaches voneinander sind. Sie wird auch als Punkt-Richtungs-Form bezeichnet.
Ebenengleichung in Parameterform:
: Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene
: Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene
: reelle Parameter
Eine andere Möglichkeit, eine Ebene anzugeben, ist die Normalenform.
Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor , der senkrecht auf der Ebene
steht und einem Ortsvektor/Stützvektor
zu einem beliebigen Punkt P in der Ebene.
Ebenengleichung in Normalenform:
: Normalenvektor der Ebene
: Ortsvektor/Stützvektor zu einem beliebigen Punkt P in der Ebene
: Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt X der Ebene
Beide Formen lassen sich anhand von Berechnungen in die jeweils andere Form überführen. So kannst Du beispielsweise eine Ebene in Parameterform in eine Ebene in Normalenform umwandeln. Bildest Du aus den Richtungsvektoren und
einer Ebene in Parameterform das Kreuzprodukt, so erhältst Du den Normalenvektor
dieser Ebene.
Möchtest Du mehr über die Ebenen und ihre Gleichungen erfahren, so kannst Du im Artikel Ebenengleichung umformen nachlesen.
Mit diesen Grundlagen kannst Du direkt in das Thema starten.
Zwei Ebenen und
im Raum können drei verschiedenen Lagebeziehungen zueinander haben.
Ein Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen und
existiert immer, wenn die Ebenen nicht zusammenfallen und auch nicht parallel zueinander sind, denn dann schneiden sie sich. Der spitze eingeschlossene Winkel α zwischen den beiden Ebenen nennt sich auch Schnittwinkel.
Der Schnittwinkel α zwischen zwei Ebenen und
entspricht dem spitzen eingeschlossenen Winkel der sich schneidenden Ebenen.
Zeit für ein Beispiel.
In der folgenden Abbildung 1 siehst Du zwei Ebenen und
und den eingeschlossenen spitzen Winkel α mit einem Wert von
.
Abbildung 1: Schnittwinkel und Schnittgerade zweier Ebenen
Wie ebenfalls in der Grafik zu sehen ist, schneiden sich die beiden Ebenen entlang einer Schnittgeraden .
Sowohl der Schnittwinkel α als auch die Schnittgerade können berechnet werden.
Interessiert an der Berechnung zur Schnittgeraden? Dann lies gerne im Artikel Schnittgeraden zweier Ebenen nach.
Was benötigst Du für das Berechnen des Schnittwinkels α?
Wie bereits im Kapitel Grundlagenwissen erwähnt wurde, kann eine Ebene beispielsweise in Normalenform oder Parameterform vorliegen. In jedem Fall lässt sich ein Normalenvektor bilden, der senkrecht auf der Ebene steht. Bei zwei sich schneidenden Ebenen werden die Normalenvektoren zur Berechnung des Schnittwinkels α genutzt.
Berechnung des spitzen Schnittwinkels α zwischen zwei Ebenen und
im Raum:
= Normalenvektor der Ebene
= Normalenvektor der Ebene
Die beiden Normalenvektoren und
der Ebenen
und
sind nicht kollinear, was bedeutet, dass sie die Bedingung
erfüllen.
Möchtest Du den stumpfen Winkel β zwischen den Ebenen berechnen, so kannst Du diesen über ausrechnen.
Wie gehst Du nun vor, wenn Du die beiden Normalenvektoren von zwei Ebenen gegeben hast und den Schnittwinkel berechnen sollst?
Aufgabe 1
Berechne den Winkel α zwischen einer Ebene und einer Ebene
mithilfe der Normalenvektoren
und
.
Lösung
Zuerst setzt Du beide Vektoren und
in die Formel zur Winkelberechnung ein.
Danach wird das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren berechnet.
Nun werden die Vektorlängen berechnet und miteinander multipliziert.
Als Nächstes werden die Werte wieder in die Formel eingesetzt und nach dem Winkel α aufgelöst.
Der Schnittwinkel α zwischen den beiden Ebenen bei .
Abbildung 2: Vektor a und b orthogonal zueinander
Aber warum kannst Du die Normalenvektoren überhaupt für die Berechnung verwenden? Sieh Dir dazu die folgende Vertiefung an.
Die Normalenvektoren und
können zur Winkelberechnung zwischen zwei Ebenen
und
verwendet werden, weil der Schnittwinkel α zwischen den Ebenen gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren ist.
Abbildung 3: Winkel zwischen Normalenvektoren
Somit kannst Du für die Winkelberechnung zwei Normalenvektoren benutzen. In der Formel für die Berechnung des Winkels zwischen Vektoren wird hierbei lediglich im Zähler ein Betragsstrich hinzugefügt, um auch bei eingeschlossenen Winkeln der Normalenvektoren größer als ein richtiges Ergebnis zu erhalten:
Hast Du zwei Ebenen in der Aufgabe gegeben, so kann es sein, dass Du zunächst erst die Normalenvektoren bestimmen musst, um den Schnittwinkel zu berechnen. Wie das geht, erfährst Du in den nächsten zwei Beispielen.
Aufgabe 2
Berechne den Schnittwinkel α zwischen den beiden Hausdächern und
.
Lösung
Zuerst werden die Normalenvektoren und
der Ebenen
und
ermittelt. Dadurch dass der Normalenvektor bei einer Ebene in Normalenform abzulesen ist, können die Normalenvektoren
und
direkt in die Formel eingesetzt werden.
Zuerst wird das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren berechnet.
Gleich darauf werden die Vektorlängen berechnet und miteinander multipliziert.
An dieser Stelle werden die ermittelten Werte wieder in die Formel eingesetzt und nach dem Winkel α aufgelöst.
Die Dachseiten und
liegen in einem spitzen Winkel von
zueinander.
Liegen Ebenen in Parameterform vor, so musst Du zunächst die Normalenvektoren bestimmen.
Wie Du bereits im Kapitel Grundlagenwissen gesehen hast, kann über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren einer Ebene in Parameterform dessen Normalenvektor bestimmt werden.
Aufgabe 3
Berechne den Schnittwinkel der Ebene und
.
Lösung
Zuerst musst Du die beiden Normalenvektoren und
berechnen, in dem Du die Richtungsvektoren
und
der Ebenengleichungen
und
ins Kreuzprodukt nimmst.
Der Normalenvektor der Ebene
:
Dasselbe Prinzip wird jetzt bei den Richtungsvektoren und
der Ebene
durchgeführt.
Der Normalenvektor der Ebene
.
Diese Normalenvektoren und
musst Du jetzt in die Formel zur Winkelberechnung einsetzen.
Als Nächstes berechnest Du das Skalarprodukt der beiden Vektoren.
Danach berechnest Du die beiden Vektorlängen der Normalenvektoren und
und multiplizierst diese miteinander.
Beide berechneten Werte setzt Du nun wieder in die Formel ein und löst nach α auf.
Der spitze Schnittwinkel α zwischen der Ebene und
ist
groß.
Lust gleich direkt noch ein paar Übungsaufgaben zur Winkelberechnung zu machen? Dann sieh Dir gerne den nächsten Abschnitt an.
Falls Du keine Formelsammlung hast, dann schreib Dir gerne die Formel zur Winkelberechnung auf ein Blatt und löse die Aufgaben damit. Lösungen zu den einzelnen Aufgaben findest Du direkt im Anschluss an die Angabe.
Aufgabe 4
Berechne den spitzen Schnittwinkel α zwischen der Ebene und
.
Lösung
Dafür müssen zuerst die Normalenvektoren und
berechnet werden, in dem die Richtungsvektoren
und
beider Ebenen
und
ins Kreuzprodukt genommen werden.
Die Normalenvektoren der Ebenen und
sind
und
.
Diese musst Du jetzt in die Formel zur Winkelberechnung einsetzen.
Als Nächstes berechnest Du das Skalarprodukt der beiden Vektoren.
Als Nächstes berechnest Du die beiden Vektorlängen der Normalenvektoren und
und multiplizierst diese miteinander.
Das Skalarprodukt und die multiplizierte Vektorlänge werden wieder in die Formel eingefügt.
Der spitze Schnittwinkel α zwischen den Ebenen und
ist
groß.
Aufgabe 5
Berechne den stumpfen Schnittwinkel β zwischen den Ebenen und
.
Lösung
Zuerst werden die Normalenvektoren und
der Ebenen
und
ermittelt. Dadurch dass der Normalenvektor bei einer Ebene in Normalenform abzulesen ist, können die Normalenvektoren
und
direkt in die Formel eingesetzt werden.
Zuerst wird das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren berechnet.
Als Nächstes berechnest Du die beiden Vektorlängen der Normalenvektoren und
und multiplizierst diese miteinander.
Das Skalarprodukt und die multiplizierte Vektorlänge werden wieder in die Formel eingefügt.
Der Schnittwinkel α ist groß. Um den stumpfen Winkel β zu ermitteln, musst Du lediglich von
den Winkel α abziehen.
Aufgabe 6
Berechne den Schnittwinkel α zwischen der x-y-Ebene und der Ebene .
Lösung
Für diese Rechnung benötigst Du zuerst den Normalenvektor der Ebene
. Dafür werden die Richtungsvektoren
und
der Ebene
im Kreuzprodukt verrechnet.
Der Normalenvektor der Ebene ist
.
Du benötigst für die Formel noch einen zweiten Normalenvektor der x-y-Ebene. Ein Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht, kann beispielsweise folgender sein:
Jetzt werden die beiden Normalenvektoren in die Formel zur Berechnung des Winkels α eingesetzt.
Berechnest Du im Zähler wieder das Skalarprodukt, so ergibt sich:
Gleich danach wird die Vektorlänge und
berechnet.
Setzt Du die Ergebnisse in die Formel ein und löst nach α, erhältst Du:
Der Schnittwinkel α ist groß.
Nachfolgend findest Du noch eine kurze Zusammenfassung zum Thema Winkel zwischen Ebenen. In den zugehörigen Karteikarten kannst Du Dein Wissen noch einmal vertiefen.
Zur Berechnung des stumpfen Schnittwinkels β wird folgende Formel genutzt: .
Der spitze Schnittwinkel α zweier Ebenen wird über eine Formel berechnet. Der cos(α) entspricht dem Quotienten aus dem Skalarprodukt der Normalenvektoren im Betrag und den Vektorlängen der Normalenvektoren.
Der Schnittwinkel zweier Ebenen entspricht dem spitzen eingeschlossenen Winkel α der beiden Ebenen. Der stumpfe Schnittwinkel kann über β = 180° - α ermittelt werden.
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