Du benötigst Deine Bastelschere, um Einladungskarten für Deine Geburtstagsfeier zu gestalten. Wenn Du die Schere jetzt öffnest, entstehen verschiedene Winkel.
Die beiden Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) stellen sogenannte Scheitelwinkel dar. Was das genau bedeutet, erfährst Du in dieser Erklärung.
Scheitelwinkel – Grundlagenwissen
Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen am Schnittpunkt zwischen den Geraden vier verschiedene Winkel.
Der Ort, an dem sich die beiden Geraden g und h treffen, heißt Geradenkreuzung.
Abbildung 2: Geradenkreuzung mit Winkeln
Die beiden Geraden g und h schneiden sich hier im Punkt S und spannen dabei die vier Winkel \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) auf.
Neben dem Scheitelwinkel entstehen an Geradenkreuzungen auch noch andere Arten von Winkeln: Nebenwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel. Sieh Dir dazu auch gerne die zugehörigen Artikel an.
Scheitelwinkel – Definition und Erklärung
Du öffnest eine Schere und hast laut Definition direkt zwei Scheitelwinkel vor Dir:
Als Scheitelwinkel werden zwei Winkel bezeichnet, die sich an einer Geradenkreuzung gegenüberliegen.
Die Winkel \(\alpha\) und \(\gamma\) liegen sich an den kreuzenden Geraden direkt gegenüber und bilden damit einen Scheitelwinkel.
Doch ebenso die Winkel \(\beta\) und \(\delta\) sind gegenüberliegende Winkel an der Geradenkreuzung, auch sie sind demnach Scheitelwinkel.
Abbildung 3: Scheitelwinkelpaare
Nachdem ein Scheitelwinkel immer aus zwei Winkeln besteht, werden diese beiden Winkel auch als Scheitelwinkelpaar bezeichnet.An einer Geradenkreuzung gibt es immer zwei Scheitelwinkelpaare (\(\alpha\) und \(\gamma\), \(\beta\) und \(\delta\)).
Scheitelwinkelsatz
Diese gegenüberliegenden Winkel weisen mathematisch eine Besonderheit auf.
Scheitelwinkelsatz
Scheitelwinkel an zwei sich schneidenden Geraden g und h sind genau gleich groß.
\begin{align}{\color{#fa3273}\alpha = \gamma} \\ {\color{#00dcb4}\beta = \delta} \end{align}
Im Beispiel von oben ergeben sich für die Winkel also folgende Größen.
Abbildung 4: Scheitelwinkelsatz
Scheitelwinkel berechnen und bestimmen
Wenn Du nun herausfinden möchtest, bis zu welchem Winkel Deine Bastelschere geöffnet werden kann, helfen Dir die folgenden Abschnitte weiter.
Scheitelwinkel bestimmen
Um Scheitelwinkel zu erkennen, solltest Du Dir zunächst klarmachen, dass diese immer an Geradenkreuzungen liegen.
Dort gibst Du dann jeweils die gegenüberliegenden Winkel als Scheitelwinkel an.
Merke: An jeder Geradenkreuzung gibt es zwei Scheitelwinkelpaare.
Aufgabe 1
Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S. Gib die beiden Scheitelwinkelpaare an!
Abbildung 5: Aufgabe Scheitelwinkelpaare
Lösung
Ein Scheitelwinkel besteht immer aus den gegenüberliegenden Winkeln an einer Geradenkreuzung. An der Geradenkreuzung von g und h ergeben sich also diese zwei Scheitelwinkel.
1. Scheitelwinkelpaar: \(\alpha = \gamma\)
2. Scheitelwinkelpaar: \(\beta = \delta\)
Abbildung 6: Lösung Scheitelwinkelpaare
Scheitelwinkel berechnen
Um Rechenaufgaben zum Scheitelwinkel zu lösen, werden oft auch die Grundlagen zum Nebenwinkel benötigt.
Nebenwinkel
Auch Nebenwinkel stellen ein Winkelpaar dar, welches sich an einer Geradenkreuzung zweier Geraden g und h befindet.
Es gibt insgesamt 4 Nebenwinkelpaare an einer Geradenkreuzung.
Ein Nebenwinkel besteht aus zwei nebeneinander liegenden Winkeln an einer Geradenkreuzung.
Der Nebenwinkelsatz besagt, dass sich ein Nebenwinkelpaar zu genau \(180^\circ\) ergänzt.
\begin{align} {\color{#fa3273}\alpha + \beta} = 180^\circ \\ {\color {#00dcb4}\gamma + \delta} = 180^\circ \\ \\ {\color{#fa3273}\alpha + \delta} = 180^\circ \\ {\color{#00dcb4}\beta + \gamma} = 180^\circ\end{align}
Zwei benachbarte Winkel ergeben also zusammen einen gestreckten Winkel (\(180^\circ\)). Hier sind die Nebenwinkelpaare \({\color {#fa3273} \alpha + \beta} = 180^\circ\) und \({\color {#00dcb4} \gamma + \delta} = 180^\circ\) .
Abbildung 7: Nebenwinkel
Es ergeben sich jedoch insgesamt vier verschiedene Möglichkeiten für Nebenwinkel. Denn auch \({\color{#fa3273}\alpha + \delta} = 180^\circ\) und \({\color{#00dcb4}\beta + \gamma} = 180^\circ\) sind Nebenwinkel.
Abbildung 8: Nebenwinkel
Mit diesem Wissen kannst Du jetzt Aufgaben zum Scheitelwinkel lösen.
Aufgabe 2
Gib an, wie groß der Winkel \(\beta\) ist.
Abbildung 9: Scheitelwinkel bestimmen
Lösung
Da es sich bei \(\beta\) und \(\delta\) um Scheitelwinkel handelt, gilt der Scheitelwinkelsatz. \(\beta\) ist also genauso groß wie \(\delta\).
\[\beta = \delta = 165^\circ\]
Wenn jetzt aber wirkliche Berechnungen des Scheitelwinkels gefragt sind, kommt der Nebenwinkel ins Spiel.
Aufgabe 3
Berechne den Winkel \(\alpha\).
Abbildung 10: Scheitelwinkel berechnen
Lösung
Für diese Aufgabe benötigst Du den Nebenwinkel.
Du kannst das Ganze entweder direkt über den Nebenwinkel lösen, oder mithilfe des Nebenwinkels erst einmal den Scheitelwinkel von \(\alpha\) bestimmen.
Abbildung 11: Nebenwinkel berechnen
Für Nebenwinkel gilt, dass sie zusammen \(180^\circ\) ergeben.
\[{\color{#8363e2}\delta} + {\color{#8363e2}\gamma} = 180^\circ\]
Mithilfe der Angabe \(\delta = 165^\circ\) kannst Du jetzt \(\gamma\) bestimmen.
\begin{align} {\color{#8363e2}165 ^\circ} + {\color{#8363e2}\gamma} &= 180^\circ \\ \gamma &= 180^\circ - 165^\circ \\ \gamma &= 15^\circ \end{align}
Da es sich bei \(\alpha\) und \(\gamma\) um Scheitelwinkel handelt, ist \(\alpha\) ebenso groß.
\({\color{#00dcb4}\alpha} = \gamma = {\color{#00dcb4}15^\circ}\)
Scheitelwinkel – Aufgaben
Versuche jetzt einmal selbst Aufgaben zum Scheitelwinkel zu lösen.
Aufgabe 4
Du willst nun tatsächlich herauszufinden, wie weit Du Deine Bastelschere zum Schneiden öffnen kannst. Daumen und Zeigefinger kannst Du um circa \({\color{#00dcb4}\alpha = 100^\circ}\) spreizen, wie groß ist dann der Winkel \(\beta\) ?
Lösung
Da es sich bei \(\alpha\) und \(\beta\) um Scheitelwinkel handelt, sind beide anhand des Scheitelwinkelsatzes gleich groß.
\({\color{#fa3273}\beta} = {\color{#00dcb4}\alpha} = 100^\circ\)
Du kannst die Bastelschere also um \(100^\circ\) öffnen.
Aufgabe 5
Es sind die folgenden Werte gegeben: \(\gamma = 143^\circ\) und \(\epsilon = 45^\circ\).
Berechne die Winkel \(\beta\) und \(\eta\).
Abbildung 12: Zwei Geradenkreuzungen
Lösung
Beide Winkel liegen an zwei verschiedenen Geradenkreuzungen und können mithilfe des Scheitelwinkels und Nebenwinkels berechnet werden.
Zu \(\beta\): Der Winkel \(\beta\) ist Scheitelwinkel von \(\gamma\) und hat damit den gleichen Wert.
\({\color{#fa3273}\beta} = {\color{#fa3273}\gamma} = 143^\circ\)
Zu \(\eta\): Um \(\eta\) zu berechnen, muss erst der Nebenwinkel von \(\epsilon\) bestimmt werden.
Zur Erinnerung: Für Nebenwinkel gilt \(\alpha + \beta = 180^\circ\).
\begin{align} {\color{#ffcd00}\epsilon} + {\color{#8363e2}\theta} &= 180^\circ \\ \theta &= 180^\circ - \epsilon \\ \theta &= 180^\circ - 45^\circ \\ \theta&= 135^\circ \end{align}
\(\theta\) und der gesuchte Winkel \(\eta\) sind Scheitelwinkel und haben daher den gleichen Wert.
\({\color{#8363e2}\eta} = {\color{#8363e2}\theta} = 135^\circ\)
Natürlich kannst Du \(\eta\) auch direkt als Nebenwinkel von \(\epsilon\) berechnen.
Scheitelwinkel – Das Wichtigste auf einen Blick
- Als Scheitelwinkel werden zwei Winkel bezeichnet, die sich an einer Geradenkreuzung gegenüberliegen. An einer Geradenkreuzung liegen immer genau zwei Scheitelwinkelpaare.
- Scheitelwinkelsatz: Scheitelwinkel an zwei sich schneidenden Geraden sind genau gleich groß, \({\color{#fa3273}\alpha} = {\color{#fa3273}\gamma}\) und \({\color{#00dcb4}\beta} = {\color{#00dcb4}\delta}\).
- Zum Berechnen eines Scheitelwinkels wird auch oft der Nebenwinkel benötigt. Ein Nebenwinkel besteht aus zwei nebeneinander liegenden Winkeln an einer Geradenkreuzung. Der Nebenwinkelsatz besagt, dass sich ein Nebenwinkelpaar zu genau \(180^\circ\) ergänzt.
Nachweise
- Brettner, Marco (2015). Winkel Kopiervorlagen für den Unterricht. Persen Verlag.
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