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Scheitelwinkel

Scheitelwinkel

Du benötigst Deine Bastelschere, um Einladungskarten für Deine Geburtstagsfeier zu gestalten. Wenn Du die Schere jetzt öffnest, entstehen verschiedene Winkel.

Die beiden Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) stellen sogenannte Scheitelwinkel dar. Was das genau bedeutet, erfährst Du in dieser Erklärung.

Scheitelwinkel – Grundlagenwissen

Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen am Schnittpunkt zwischen den Geraden vier verschiedene Winkel.

Der Ort, an dem sich die beiden Geraden g und h treffen, heißt Geradenkreuzung.

Scheitelwinkel Geradenkreuzung StudySmarterAbbildung 2: Geradenkreuzung mit Winkeln

Die beiden Geraden g und h schneiden sich hier im Punkt S und spannen dabei die vier Winkel \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) auf.

Neben dem Scheitelwinkel entstehen an Geradenkreuzungen auch noch andere Arten von Winkeln: Nebenwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel. Sieh Dir dazu auch gerne die zugehörigen Artikel an.

Scheitelwinkel – Definition und Erklärung

Du öffnest eine Schere und hast laut Definition direkt zwei Scheitelwinkel vor Dir:

Als Scheitelwinkel werden zwei Winkel bezeichnet, die sich an einer Geradenkreuzung gegenüberliegen.

Die Winkel \(\alpha\) und \(\gamma\) liegen sich an den kreuzenden Geraden direkt gegenüber und bilden damit einen Scheitelwinkel.

Doch ebenso die Winkel \(\beta\) und \(\delta\) sind gegenüberliegende Winkel an der Geradenkreuzung, auch sie sind demnach Scheitelwinkel.

Scheitelwinkel Scheitelwinkelpaare StudySmarterAbbildung 3: Scheitelwinkelpaare

Nachdem ein Scheitelwinkel immer aus zwei Winkeln besteht, werden diese beiden Winkel auch als Scheitelwinkelpaar bezeichnet.An einer Geradenkreuzung gibt es immer zwei Scheitelwinkelpaare (\(\alpha\) und \(\gamma\), \(\beta\) und \(\delta\)).

Scheitelwinkelsatz

Diese gegenüberliegenden Winkel weisen mathematisch eine Besonderheit auf.

Scheitelwinkelsatz

Scheitelwinkel an zwei sich schneidenden Geraden g und h sind genau gleich groß.

\begin{align}{\color{#fa3273}\alpha = \gamma} \\ {\color{#00dcb4}\beta = \delta} \end{align}

Im Beispiel von oben ergeben sich für die Winkel also folgende Größen.

Scheitelwinkel Scheitwelwinkelsatz StudySmarterAbbildung 4: Scheitelwinkelsatz

Scheitelwinkel berechnen und bestimmen

Wenn Du nun herausfinden möchtest, bis zu welchem Winkel Deine Bastelschere geöffnet werden kann, helfen Dir die folgenden Abschnitte weiter.

Scheitelwinkel bestimmen

Um Scheitelwinkel zu erkennen, solltest Du Dir zunächst klarmachen, dass diese immer an Geradenkreuzungen liegen.

Dort gibst Du dann jeweils die gegenüberliegenden Winkel als Scheitelwinkel an.

Merke: An jeder Geradenkreuzung gibt es zwei Scheitelwinkelpaare.

Aufgabe 1

Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S. Gib die beiden Scheitelwinkelpaare an!

Scheitelwinkel Aufgabe StudySmarterAbbildung 5: Aufgabe Scheitelwinkelpaare

Lösung

Ein Scheitelwinkel besteht immer aus den gegenüberliegenden Winkeln an einer Geradenkreuzung. An der Geradenkreuzung von g und h ergeben sich also diese zwei Scheitelwinkel.

1. Scheitelwinkelpaar: \(\alpha = \gamma\)

2. Scheitelwinkelpaar: \(\beta = \delta\)

Scheitelwinkel Lösung StudySmarterAbbildung 6: Lösung Scheitelwinkelpaare

Scheitelwinkel berechnen

Um Rechenaufgaben zum Scheitelwinkel zu lösen, werden oft auch die Grundlagen zum Nebenwinkel benötigt.

Nebenwinkel

Auch Nebenwinkel stellen ein Winkelpaar dar, welches sich an einer Geradenkreuzung zweier Geraden g und h befindet.

Es gibt insgesamt 4 Nebenwinkelpaare an einer Geradenkreuzung.

Ein Nebenwinkel besteht aus zwei nebeneinander liegenden Winkeln an einer Geradenkreuzung.

Der Nebenwinkelsatz besagt, dass sich ein Nebenwinkelpaar zu genau \(180^\circ\) ergänzt.

\begin{align} {\color{#fa3273}\alpha + \beta} = 180^\circ \\ {\color {#00dcb4}\gamma + \delta} = 180^\circ \\ \\ {\color{#fa3273}\alpha + \delta} = 180^\circ \\ {\color{#00dcb4}\beta + \gamma} = 180^\circ\end{align}

Zwei benachbarte Winkel ergeben also zusammen einen gestreckten Winkel (\(180^\circ\)). Hier sind die Nebenwinkelpaare \({\color {#fa3273} \alpha + \beta} = 180^\circ\) und \({\color {#00dcb4} \gamma + \delta} = 180^\circ\) .

Scheitelwinkel Nebenwinkel StudySmarterAbbildung 7: Nebenwinkel

Es ergeben sich jedoch insgesamt vier verschiedene Möglichkeiten für Nebenwinkel. Denn auch \({\color{#fa3273}\alpha + \delta} = 180^\circ\) und \({\color{#00dcb4}\beta + \gamma} = 180^\circ\) sind Nebenwinkel.

Scheitelwinkel Nebenwinkel StudySmarterAbbildung 8: Nebenwinkel

Mit diesem Wissen kannst Du jetzt Aufgaben zum Scheitelwinkel lösen.

Aufgabe 2

Gib an, wie groß der Winkel \(\beta\) ist.

Scheitelwinkel Scheitelwinkel bestimmen StudySmarterAbbildung 9: Scheitelwinkel bestimmen

Lösung

Da es sich bei \(\beta\) und \(\delta\) um Scheitelwinkel handelt, gilt der Scheitelwinkelsatz. \(\beta\) ist also genauso groß wie \(\delta\).

\[\beta = \delta = 165^\circ\]

Wenn jetzt aber wirkliche Berechnungen des Scheitelwinkels gefragt sind, kommt der Nebenwinkel ins Spiel.

Aufgabe 3

Berechne den Winkel \(\alpha\).

Scheitelwinkel Scheitelwinkel berechnen StudySmarterAbbildung 10: Scheitelwinkel berechnen

Lösung

Für diese Aufgabe benötigst Du den Nebenwinkel.

Du kannst das Ganze entweder direkt über den Nebenwinkel lösen, oder mithilfe des Nebenwinkels erst einmal den Scheitelwinkel von \(\alpha\) bestimmen.

Scheitelwinkel Nebenwinkel berechnen StudySmarterAbbildung 11: Nebenwinkel berechnen

Für Nebenwinkel gilt, dass sie zusammen \(180^\circ\) ergeben.

\[{\color{#8363e2}\delta} + {\color{#8363e2}\gamma} = 180^\circ\]

Mithilfe der Angabe \(\delta = 165^\circ\) kannst Du jetzt \(\gamma\) bestimmen.

\begin{align} {\color{#8363e2}165 ^\circ} + {\color{#8363e2}\gamma} &= 180^\circ \\ \gamma &= 180^\circ - 165^\circ \\ \gamma &= 15^\circ \end{align}

Da es sich bei \(\alpha\) und \(\gamma\) um Scheitelwinkel handelt, ist \(\alpha\) ebenso groß.

\({\color{#00dcb4}\alpha} = \gamma = {\color{#00dcb4}15^\circ}\)

Scheitelwinkel – Aufgaben

Versuche jetzt einmal selbst Aufgaben zum Scheitelwinkel zu lösen.

Aufgabe 4

Du willst nun tatsächlich herauszufinden, wie weit Du Deine Bastelschere zum Schneiden öffnen kannst. Daumen und Zeigefinger kannst Du um circa \({\color{#00dcb4}\alpha = 100^\circ}\) spreizen, wie groß ist dann der Winkel \(\beta\) ?

Lösung

Da es sich bei \(\alpha\) und \(\beta\) um Scheitelwinkel handelt, sind beide anhand des Scheitelwinkelsatzes gleich groß.

\({\color{#fa3273}\beta} = {\color{#00dcb4}\alpha} = 100^\circ\)

Du kannst die Bastelschere also um \(100^\circ\) öffnen.

Aufgabe 5

Es sind die folgenden Werte gegeben: \(\gamma = 143^\circ\) und \(\epsilon = 45^\circ\).

Berechne die Winkel \(\beta\) und \(\eta\).

Scheitelwinkel Zwei Geradenkreuzungen StudySmarterAbbildung 12: Zwei Geradenkreuzungen

Lösung

Beide Winkel liegen an zwei verschiedenen Geradenkreuzungen und können mithilfe des Scheitelwinkels und Nebenwinkels berechnet werden.

Zu \(\beta\): Der Winkel \(\beta\) ist Scheitelwinkel von \(\gamma\) und hat damit den gleichen Wert.

\({\color{#fa3273}\beta} = {\color{#fa3273}\gamma} = 143^\circ\)

Zu \(\eta\): Um \(\eta\) zu berechnen, muss erst der Nebenwinkel von \(\epsilon\) bestimmt werden.

Zur Erinnerung: Für Nebenwinkel gilt \(\alpha + \beta = 180^\circ\).

\begin{align} {\color{#ffcd00}\epsilon} + {\color{#8363e2}\theta} &= 180^\circ \\ \theta &= 180^\circ - \epsilon \\ \theta &= 180^\circ - 45^\circ \\ \theta&= 135^\circ \end{align}

\(\theta\) und der gesuchte Winkel \(\eta\) sind Scheitelwinkel und haben daher den gleichen Wert.

\({\color{#8363e2}\eta} = {\color{#8363e2}\theta} = 135^\circ\)

Natürlich kannst Du \(\eta\) auch direkt als Nebenwinkel von \(\epsilon\) berechnen.

Scheitelwinkel – Das Wichtigste auf einen Blick

  • Als Scheitelwinkel werden zwei Winkel bezeichnet, die sich an einer Geradenkreuzung gegenüberliegen. An einer Geradenkreuzung liegen immer genau zwei Scheitelwinkelpaare.

Scheitelwinkel Scheitelwinkelpaare StudySmarter

  • Scheitelwinkelsatz: Scheitelwinkel an zwei sich schneidenden Geraden sind genau gleich groß, \({\color{#fa3273}\alpha} = {\color{#fa3273}\gamma}\) und \({\color{#00dcb4}\beta} = {\color{#00dcb4}\delta}\).
  • Zum Berechnen eines Scheitelwinkels wird auch oft der Nebenwinkel benötigt. Ein Nebenwinkel besteht aus zwei nebeneinander liegenden Winkeln an einer Geradenkreuzung. Der Nebenwinkelsatz besagt, dass sich ein Nebenwinkelpaar zu genau \(180^\circ\) ergänzt.

Nachweise

  1. Brettner, Marco (2015). Winkel Kopiervorlagen für den Unterricht. Persen Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Scheitelwinkel

Als Scheitelwinkel werden zwei Winkel bezeichnet, die sich an einer Geradenkreuzung gegenüberliegen.

Scheitelwinkel kannst Du daran erkennen, dass sie sich an Geradenkreuzungen direkt gegenüberliegen.

Als Scheitelwinkel werden zwei Winkel bezeichnet, die sich an einer Geradenkreuzung gegenüberliegen.


Ein Nebenwinkel besteht aus zwei nebeneinander liegenden Winkeln an einer Geradenkreuzung.

Ein Scheitelwinkel besteht immer aus zwei gleich großen, sich gegenüberliegenden Winkeln. Diese zwei Winkel werden auch als Scheitelwinkelpaar bezeichnet.

Finales Scheitelwinkel Quiz

Frage

Beschreibe, wann Scheitelwinkel entstehen.

Antwort anzeigen

Antwort

Scheitelwinkel entstehen, wenn sich mindestens zwei Geraden an einem Punkt schneiden.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Besonderheit von Scheitelwinkeln

Antwort anzeigen

Antwort

Ist ein Winkel ein Scheitelwinkel von einem anderen Winkel, so sind die beiden Winkel gleich groß

Frage anzeigen

Frage

Dir liegt diese Abbildung von zwei sich schneidenden Geraden vor. Zeichne den Scheitelwinkel von α in die Abbildung ein. Benenne den Winkel "β".

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Dir liegt diese Abbildung von zwei sich schneidenden Geraden vor. Zeichne den Scheitelwinkel von α in die Abbildung ein. Benenne den Winkel "β".


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Gib an, wie viele Scheitelwinkelpaare entstehen, wenn sich vier Geraden an einem Punkt schneiden


Antwort anzeigen

Antwort

Es entstehen vier Scheitelwinkelpaare. 

Frage anzeigen

Frage

Begründe, warum die beiden Winkel α und β beide eine Winkelgröße von 64° haben. 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Winkel α und β sind Scheitelwinkel. Deshalb sind die beiden Winkel gleich groß. 

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Größe des Winkels β, wenn für den Winkel α gilt: α = 100°

Antwort anzeigen

Antwort

β = 100°

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Größe des Winkels β, wenn für den Winkel α gilt: α = 45°


Antwort anzeigen

Antwort

 β = 45°

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob es sich beim Winkel ε um einen Scheitelwinkel vom Winkel α handelt. 

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, der Winkel ε ist kein Scheitelwinkel vom Winkel α.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob es sich beim Winkel δ um einen Scheitelwinkel vom Winkel α handelt.

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, der Winkel δ ist ein Scheitelwinkel vom Winkel α. Die beiden Winkel liegen genau gegenüber voneinander.  

Frage anzeigen

Frage

Fasse die wichtigsten Punkte zum Thema Scheitelwinkel zusammen.


Antwort anzeigen

Antwort

  • Scheitelwinkel entstehen, wenn sich mindestens zwei Geraden an einem Punkt schneiden. 
  • Gegenüberliegende Winkel an dieser Geradenkreuzung sind Scheitelwinkel voneinander. 
  • Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob die Innenwinkel dieses Dreiecks Scheitelwinkel haben.

Antwort anzeigen

Antwort

Scheitelwinkel entstehen, wenn sich Geraden an einem Punkt schneiden. Da es sich bei diesem Dreieck nur um Strecken handelt, die sich schneiden, existieren keine Scheitelwinkel

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was diese Formel im Zusammenhang mit Scheitelwinkeln bedeutet: 


Antwort anzeigen

Antwort

Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Wenn die Winkel α und β Scheitelwinkel sind, gilt für sie:

Frage anzeigen

Frage

Die Winkel α und β sind Scheitelwinkel. Du weißt, dass für den Winkel α gilt: α = 33°

Wie groß ist der Winkel β?

Antwort anzeigen

Antwort



Frage anzeigen

Frage

Welche Winkelart baut auf dem Prinzip der Scheitelwinkel auf?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Wechselwinkel

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet der Scheitelwinkelsatz?

Antwort anzeigen

Antwort

Scheitelwinkel an zwei sich schneidenden Geraden sind genau gleich groß.

Frage anzeigen

Frage

Was sind Scheitelwinkel?


Antwort anzeigen

Antwort

Als Scheitelwinkel werden zwei Winkel bezeichnet, die sich an einer Geradenkreuzung gegenüberliegen.

Frage anzeigen

Frage

" und  sind Scheitelwinkel"

-

Zu welchem der folgenden Bilder passt die Aussage?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

An einer Kreuzung kreuzen zwei gerade Straßen. 

Die Rechtskurve kann in einem Winkel von 100° genommen werden, nach links biegt man um 80° ab.

Was bedeutet das für die Fahrer der Gegenfahrbahn?


Antwort anzeigen

Antwort

Für die Gegenfahrbahn gilt genau das gleiche, da es sich jeweils um die Scheitelwinkel handelt.


Von unten kommende Rechtsabbieger fahren einen Winkel von 100°, genau wie die von oben kommenden Rechtsabbieger. Denn .


Das Gleiche gilt für die Linksabbieger, denn auch hier gilt der Scheitelwinkelsatz und damit .



Frage anzeigen

Frage

Bei welchen Winkeln handelt es sich um Scheitelwinkel?



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Winkel .


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Du hast eine Schere zur Hand. Du selbst kannst beim Öffnen der Schere einen Winkel von 110° mit Daumen und Zeigefinger erreichen.



Wie weit lässt sich die Schere dann öffnen?

Antwort anzeigen

Antwort

Um 70°

Frage anzeigen

Frage

Ein Kreuz in der Kirche besteht aus zwei sich kreuzenden Geraden. 



Ein Winkel hat . Was lässt sich über seine Nebenwinkel und Scheitelwinkel sagen?

Antwort anzeigen

Antwort

Nebenwinkel:

Gemeinsam ergeben zwei Nebenwinkel laut des Nebenwinkelsatzes 180°. Beide Nebenwinkel von  sind demnach ebenfalls rechte Winkel.



Scheitelwinkel:

Der Scheitelwinkel ist genauso groß wie .



Demnach sind alle Winkel am Kreuz gleich groß.

Frage anzeigen

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