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Scheitelwinkel

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Scheitelwinkel

In diesem Artikel erfährst du alles, was du zu dem Thema Scheitelwinkel wissen musst. Das Thema Winkel und damit auch die Scheitelwinkel sind inhaltlich der Geometrie im Fach Mathematik zuzuordnen.

Weil Scheitelwinkel eine wichtige Grundlage in der Geometrie darstellen und andere Themen, wie zum Beispiel die Wechselwinkel, auf dem Prinzip der Scheitelwinkel aufbauen, solltest du diesem Thema besondere Aufmerksamkeit schenken. Aber keine Sorge! Wenn du einmal verstanden hast, was Scheitelwinkel sind und worauf du im Zusammenhang mit ihnen achten solltest, werden sie dir keine großen Schwierigkeiten mehr bereiten!

Scheitelwinkel einfach erklärt

In diesem Abschnitt lernst du zunächst, was Scheitelwinkel überhaupt sind und auf welche Aspekte du im Zusammenhang mit ihnen unbedingt achten solltest.

Anschließend werden dir die Unterschiede der Scheitelwinkel am Schnittpunkt von zwei Geraden und der Scheitelwinkel am Schnittpunkt von mehr als zwei Geraden im Detail erläutert.

Was sind Scheitelwinkel?

Scheitelwinkel entstehen, wenn sich mindestens zwei Geraden an einem Punkt schneiden. Am Schnittpunkt entsteht eine Geradenkreuzung mit mindestens vier Winkeln. Liegen zwei Winkel an dieser Geradenkreuzung gegenüber voneinander, dann handelt es sich um Scheitelwinkel. Zwei Winkel, die jeweils der Scheitelwinkel des anderen Winkels sind, heißen auch Scheitelwinkelpaar. Am Schnittpunkt zweier Geraden befinden sich deshalb zwei Scheitelwinkelpaare.

Ist der Winkel der Scheitelwinkel vom Winkel , dann gilt:

Scheitelwinkel sind also immer gleich groß.

In der Abbildung siehst du zwei sich schneidende Geraden g und h. Am Schnittpunkt der beiden Geraden entsteht eine Geradenkreuzung mit vier Winkeln. Diese Winkel heißen , , und .

Gegenüberliegende Winkel sind Scheitelwinkel voneinander. Das bedeutet in diesem Beispiel, dass jeweils die gleichfarbigen Winkel Scheitelwinkel voneinander sind. Es entstehen folgende zwei Scheitelwinkelpaare:

  1. ist der Scheitelwinkel von . Oder anders gesagt: ist der Scheitelwinkel von .
  2. ist der Scheitelwinkel von . Oder anders gesagt: ist der Scheitelwinkel von .

Für die Größen der Winkel , β, γ und δ bedeutet das:

  1. α = γ
  2. β = δ

Wenn du wissen möchtest wie groß ein Winkel ist und von einem seiner Scheitelwinkel die Winkelgröße kennst, musst du in Zukunft seine Größe nicht mehr aufwendig berechnen oder sogar mit dem Geodreieck ausmessen. Denke einfach dran, dass der Scheitelwinkel eines Winkels immer genauso groß ist wie der Winkel selbst.

Das Prinzip der Scheitelwinkel bildet die Basis für eine weitere Winkelart, die du schon bald kennenlernen wirst: die Wechselwinkel.

Am Schnittpunkt der Geraden g und h entstehen neben Scheitelwinkeln noch weitere Winkelpaare: diese Winkel heißen Nebenwinkel. Schneidet eine Gerade zwei parallel liegende Geraden, so entstehen außerdem Stufenwinkel und Wechselwinkel. Wenn du mehr zu diesen Winkeln wissen möchtest, empfehle ich dir, in unseren separaten Artikeln zu diesen Winkelpaaren nachzulesen.

Scheitelwinkel bei zwei sich schneidenden Geraden

Wie du eben gelernt hast, entstehen Scheitelwinkel, wenn sich mindestens zwei Geraden schneiden. Fangen wir zunächst einmal einfach an: Schau' dir diese Abbildung von zwei sich schneidenden Geraden g und h an:

Am Schnittpunkt der Geraden entstehen vier Winkel: Sie heißen α, β, γ und δ. Jeder dieser Winkel hat genau einen Scheitelwinkel. Es bilden sich also zwei Scheitelwinkelpaare. Die Winkel, die zusammen ein Scheitelwinkelpaar ergeben, sind in dieser Abbildung in der gleichen Farbe gezeichnet. Zwei Winkel, die Scheitelwinkel voneinander sind, sind gleich groß.

Scheitelwinkel bei mehr als zwei sich schneidenden Geraden

Nun wird es ein wenig schwieriger. Eine dritte Gerade i schneidet die beiden Geraden g und h im selben Punkt P. Wie das aussieht, siehst du in der folgenden Abbildung:

Am Schnittpunkt der Geraden entstehen nun sechs Winkel: Sie heißen α, β, γ, δ, ε und ζ.

Jeder dieser Winkel hat genau einen Scheitelwinkel. Bei drei sich schneidenden Geraden bilden sich also drei Scheitelwinkelpaare. Die Winkel, die zusammen ein Scheitelwinkelpaar ergeben, sind in dieser Abbildung in der gleichen Farbe gezeichnet. Zwei Winkel, die Scheitelwinkel voneinander sind, sind gleich groß.

Es entstehen immer genau so viele Scheitelwinkelpaare wie sich Geraden an einem Punkt schneiden.

Das bedeutet:

Wenn sich vier Geraden an einem Punkt P schneiden, gibt es vier Scheitelwinkelpaare.

Wenn sich fünf Geraden an einem Punkt P schneiden, gibt es fünf Scheitelwinkelpaare.

Das Prinzip der Scheitelwinkel bleibt dabei immer gleich: Scheitelwinkel sind die Winkel, die sich genau gegenüberliegen. Ein Winkel ist immer gleich groß wie sein Scheitelwinkel.

Scheitelwinkel erkennen und berechnen - Beispiele

Du hast in diesem Artikel nun eine Menge an theoretischem Wissen zum Thema Scheitelwinkel gesammelt. Um dieses Wissen auch in der Praxis anwenden zu können, findest du in diesem Abschnitt einige Beispiele an denen du das Gelernte üben kannst.

Scheitelwinkel erkennen und berechnen - Beispiel 1

Dir liegt folgende Abbildung mit mehreren sich schneidenden Geraden vor:

Beantworte mithilfe der Informationen aus der Abbildung und deinem Wissen zu Scheitelwinkeln folgende Fragen:

  1. Welcher Winkel ist der Scheitelwinkel vom Winkelα?
  2. Welcher Winkel ist der Scheitelwinkel vom Winkelδ?
  3. Welcher Winkel ist der Scheitelwinkel vom Winkelε?
  4. Welcher Winkel ist der Scheitelwinkel vom Winkel κ?

Lösungen:

  1. Der Scheitelwinkel vom Winkel α ist der Winkel γ.
  2. Der Scheitelwinkel vom Winkel δ ist der Winkel β.
  3. Der Scheitelwinkel vom Winkel ε ist der Winkel θ.
  4. Der Scheitelwinkel vom Winkel κ ist der Winkel ζ.

Scheitelwinkel erkennen und berechnen - Beispiel 2

Dir liegt die folgende Abbildung vor:

Es ist bekannt, dass für den Winkel α gilt: α = 116,2°.

Bestimme, wie groß der Winkel γ ist. Erläutere deine Vorgehensweise.

Lösung:

Der Winkel γ ist ein Scheitelwinkel vom Winkel α. Da Scheitelwinkel die gleiche Winkelgröße haben, gilt:

α = γ = 116,2°

Die Größe des Winkels γ beträgt demnach 116,2°.

Scheitelwinkel erkennen und berechnen - Beispiel 3

Drei Geraden schneiden sich an drei Punkten. In ihrer Mitte entsteht dadurch ein Dreieck. Bestimme, wie groß die Innenwinkel α, β und γ des Dreiecks sind. Für die anderen Winkel ist bekannt:

δ = 33,6°, ε = 97,1° und ζ = 49,3°

Lösung:

Der Winkel α ist ein Scheitelwinkel vom Winkel δ. Daher gilt: α = δ = 33,6°

Der Winkel β ist ein Scheitelwinkel vom Winkel ε. Daher gilt: β = ε = 49,3°

Der Winkel γ ist ein Scheitelwinkel vom Winkel ζ. Daher gilt: γ = ζ = 97,1°

Zur Kontrolle: Bei einem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel 180°.

33,6° + 49,3° + 97,1° = 180°

Super, alles richtig gemacht! Nur noch eine Übung, dann hast du es geschafft!

Scheitelwinkel erkennen und berechnen - Beispiel 4

Dir liegt diese Abbildung von vier Geraden vor, von denen sich jeweils zwei Geraden an einem Punkt schneiden:

Beantworte mithilfe der Informationen aus der Abbildung und deinem Wissen zu Scheitelwinkeln diese Fragen:

  1. Ist der Winkel β ein Scheitelwinkel vom Winkel α? Wenn nicht, gib an welcher Winkel ein Scheitelwinkel vom Winkel α ist.
  2. Ist der Winkel δ ein Scheitelwinkel vom Winkel ζ? Wenn nicht, gib an welcher Winkel ein Scheitelwinkel vom Winkel ζ ist.
  3. Ist der Winkel θ ein Scheitelwinkel vom Winkel ι? Wenn nicht, gib an welcher Winkel ein Scheitelwinkel vom Winkel ι ist.

Lösung:

  1. Nein, der Winkel β ist kein Scheitelwinkel vom Winkel α. Der Winkel γ hingegen ist ein Scheitelwinkel vom Winkel ι.
  2. Ja, der Winkel δ ist ein Scheitelwinkel vom Winkel ζ.
  3. Nein, der Winkel θ ist kein Scheitelwinkel vom Winkel ι. Der Winkel η hingegen ist ein Scheitelwinkel vom Winkel ι.

Super gemacht! Du hast jetzt alles Wichtige zum Thema Scheitelwinkel gelernt. Wenn du zum absoluten Experten im Themenbereich "Winkel zwischen Geraden" werden willst, solltest du dich als nächstes mit dem Nebenwinkel, dem Stufenwinkel und dem Wechselwinkel vertraut machen.

Scheitelwinkel - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Scheitelwinkel entstehen, wenn sich mindestens zwei Geraden an einem Punkt schneiden. Gegenüberliegende Winkel an dieser Geradenkreuzung sind Scheitelwinkel voneinander.
  • Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
  • Wechselwinkel bauen auf dem Prinzip von Scheitelwinkeln auf.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Scheitelwinkel

Scheitelwinkel entstehen, wenn sich zwei Geraden an einem Punkt schneiden. Den Scheitelwinkel eines Winkels, erkennt man daran, dass er dem Winkel an der Geradenkreuzung gegenüberliegt. 

Ein Winkel ist der Scheitelwinkel eines anderen Winkels, wenn er am Schnittpunkt zweier Geraden dem Winkel genau gegenüber liegt. Die beiden Scheitelwinkel haben die gleiche Winkelgröße.

Zwei Winkel, die jeweils die Scheitelwinkel des anderen Winkels sind, haben die Gemeinsamkeit, dass sie gleich groß sind. 

Scheitelwinkel entstehen am Schnittpunkt von zwei Geraden. Scheitelwinkel liegen gegenüber voneinander. Außerdem haben sie die Eigenschaft, dass sie gleich groß sind. 

Finales Scheitelwinkel Quiz

Frage

Beschreibe, wann Scheitelwinkel entstehen

Antwort anzeigen

Antwort

Scheitelwinkel entstehen, wenn sich mindestens zwei Geraden an einem Punkt schneiden.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Besonderheit von Scheitelwinkeln
Antwort anzeigen

Antwort

Ist ein Winkel ein Scheitelwinkel von einem anderen Winkel, so sind die beiden Winkel gleich groß

Frage anzeigen

Frage

Dir liegt diese Abbildung von zwei sich schneidenden Geraden vor. Zeichne den Scheitelwinkel von α in die Abbildung ein. Benenne den Winkel "β".

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Dir liegt diese Abbildung von zwei sich schneidenden Geraden vor. Zeichne den Scheitelwinkel von α in die Abbildung ein. Benenne den Winkel "β".


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Gib an, wie viele Scheitelwinkelpaare entstehen, wenn sich vier Geraden an einem Punkt schneiden


Antwort anzeigen

Antwort

Es entstehen vier Scheitelwinkelpaare. 

Frage anzeigen

Frage

Begründe, warum die beiden Winkel α und β beide eine Winkelgröße von 64° haben. 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Winkel α und β sind Scheitelwinkel. Deshalb sind die beiden Winkel gleich groß. 

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Größe des Winkels β, wenn für den Winkel α gilt: α = 100°

Antwort anzeigen

Antwort

β = 100°

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Größe des Winkels β, wenn für den Winkel α gilt: α = 45°


Antwort anzeigen

Antwort

 β = 45°

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob es sich beim Winkel ε um einen Scheitelwinkel vom Winkel α handelt. 

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, der Winkel ε ist kein Scheitelwinkel vom Winkel α.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob es sich beim Winkel δ um einen Scheitelwinkel vom Winkel α handelt.

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, der Winkel δ ist ein Scheitelwinkel vom Winkel α. Die beiden Winkel liegen genau gegenüber voneinander.  

Frage anzeigen

Frage

Fasse die wichtigsten Punkte zum Thema Scheitelwinkel zusammen.


Antwort anzeigen

Antwort

  • Scheitelwinkel entstehen, wenn sich mindestens zwei Geraden an einem Punkt schneiden. 
  • Gegenüberliegende Winkel an dieser Geradenkreuzung sind Scheitelwinkel voneinander. 
  • Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob die Innenwinkel dieses Dreiecks Scheitelwinkel haben.

Antwort anzeigen

Antwort

Scheitelwinkel entstehen, wenn sich Geraden an einem Punkt schneiden. Da es sich bei diesem Dreieck nur um Strecken handelt, die sich schneiden, existieren keine Scheitelwinkel

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was diese Formel im Zusammenhang mit Scheitelwinkeln bedeutet: 


Antwort anzeigen

Antwort

Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Wenn die Winkel α und β Scheitelwinkel sind, gilt für sie:

Frage anzeigen

Frage

Die Winkel α und β sind Scheitelwinkel. Du weißt, dass für den Winkel α gilt: α = 33°

Wie groß ist der Winkel β?

Antwort anzeigen

Antwort



Frage anzeigen

Frage

Welche Winkelart baut auf dem Prinzip der Scheitelwinkel auf?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Wechselwinkel

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