Du hast bestimmt schon öfter Karten gespielt und Dich dadurch vielleicht auch schon einmal gefragt, welche Form etwa das Karo Ass hat. Das Karo Ass hat die Form einer Raute. Was das genau ist und wie Du zum Beispiel den Flächeninhalt einer Raute berechnen kannst, erfährst Du in diesem Artikel.
Du hast richtig Lust darauf, das Thema rund um die Raute zu meistern? Dann bist Du hier genau richtig!
Flächeninhalt Raute – Grundlagenwissen
Die Raute, auch Rhombus genannt, ist eine viereckige Figur in der Geometrie, welche sich durch besondere Eigenschaften von anderen Vierecken unterscheidet.
Eine Raute hat vier Winkel und vier gleich lange Seiten, wobei die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel und die gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind.
Eine vollständig beschriftete Raute inklusive der Winkel und Diagonalen, welche zugleich die Symmetrieachsen darstellen, sieht beispielsweise wie in Abbildung 1 aus.
Abbildung 1: Die Raute - Beschriftung
Sind nicht nur die zwei gegenüberliegenden Winkel der Raute gleich groß, sondern alle vier Winkel, so handelt es sich um eine spezielle Raute: ein gedrehtes Quadrat.
Doch wie kann nun die Fläche dieser Figur bestimmt werden?
Flächeninhalt Raute – Herleitung und Formel
Der Flächeninhalt einer geometrischen Figur hängt von dessen Form ab und gibt an, wie groß diese ist. In der Mathematik wird der Flächeninhalt mit einem großen A gekennzeichnet.
Du musst in einer Hausaufgabe den Flächeninhalt einer Raute bestimmen? Dazu hast Du verschiedene Möglichkeiten. Kann eine maßstäbliche Skizze angefertigt werden, so kannst Du die Fläche des Rechtecks manchmal auch durch Abzählen bestimmen. Wie das geht? Sieh Dir dazu das folgende Beispiel an.
Aufgabe 1
Wie groß ist die Fläche der Raute, wenn dessen Diagonale (Längeneinheiten) und die Diagonale lang sind? Ein Kästchen hat hierbei eine Fläche von .
Der Ausdruck FE beschreibt die Größe der Fläche in Flächeneinheiten. Dabei wird keine konkrete Längeneinheit wie beispielsweise cm, mm oder m festgelegt.
Abbildung 2: Die Raute
Lösung – Abzählen
Die Fläche A eines türkisen Quadrats ist in dieser Aufgabe vorgegeben. Um die Fläche der gesamten blauen Raute zu ermitteln, kann zunächst abgezählt werden, wie viele dieser türkisen Quadrate in die blaue Raute hineinpassen.
Hierfür müssen jene Teile gefunden werden, welche zusammen ein vollständiges Quadrat ergeben.
Abbildung 3: Fläche - Händisch abzählen
Insgesamt sind 12 Quadrate im blauen Rechteck möglich. Um die Fläche A des Rechtecks auch in FE angeben zu können, muss nun die Anzahl der Quadrate mit der Fläche dieser Quadrate multipliziert werden.
Somit beträgt die Fläche der gesamten Figur .
Nicht immer ist jedoch die Fläche eines kleinen Quadrats gegeben und die Fläche einer Raute lässt sich nicht immer über Abzählen bestimmen. Deshalb kann der Flächeninhalt auch über eine Formel berechnet werden.
Flächeninhalt Raute – Formel mit Diagonalen
Für jede geometrische Figur gibt es für die Berechnung der Fläche eine konkrete Formel, mit welcher Du diese berechnen kannst. Bei einer Raute benötigst Du dazu lediglich die beiden Diagonalen. Wie in Abbildung 4 zu sehen ist, können diese allgemein als Diagonalen e und f bezeichnet werden.
Abbildung 4: Die Raute
Für eine Raute gilt somit:
Der Flächeninhalt einer Raute mit der Seitenlänge a und den Diagonalen e und f wird wie folgt berechnet:
Wenn , dann:
Die beiden Diagonalen werden multipliziert, welches ein Rechteck ergibt. Anschließend wird dieses durch zwei dividiert, da, wie in der folgenden Abbildung ersichtlich, die Fläche der Raute genau die Hälfte der Rechtecksfläche darstellt.
Abbildung 5: Rechteck vs. Raute
Aufgrund des Kommutativgesetzes kannst Du die beiden Diagonalen auch vertauschen und verwenden.
Flächeninhalt Raute – Formel mit Grundseite und Höhe
Wie folgende Abbildung aufzeigt, stellt eine Raute zugleich ein Parallelogramm dar.
Abbildung 6: Raute vs. Parallelogramm
Dies bedeutet folglich, dass auch dessen Formel für die Berechnung der Fläche verwendet werden kann.
Die Fläche einer Raute kann ebenso mithilfe der Flächenformel des Parallelogramms berechnet werden:
Zeit für die Anwendung dieser Formeln in konkreten Beispielen.
Flächeninhalt Raute berechnen – Erklärung und Aufgaben
Ergibt sich bei der Berechnung der obigen Aufgabe 1 mit der Formel die gleiche Fläche?
Aufgabe 2
Wie groß ist die Fläche der Raute, wenn dessen Diagonale f (Längeneinheiten) und die Diagonale elang sind?
Abbildung 7: Die Raute
Lösung
Statt dem Abzählen von Kästchen, kann hier direkt die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts angewandt werden. Es gilt:
Durch Einsetzen der Werte für die Diagonalen e und f ergibt sich:
Auch über die Berechnung mithilfe der Formel ergibt sich wieder für den Flächeninhalt der blauen Raute eine Fläche von .
Wie in der Definitionsformel ersichtlich, kann die Fläche einer Raute, welche zwei gleich lange Diagonalen aufweist, mit der Flächenformel des Quadrats berechnet werden. Hierzu folgendes Beispiel:
Aufgabe 3
Ein Verkehrsschild mit gleich langen Seiten sieht wie folgt aus:
Berechne die Fläche des Verkehrsschildes!
Lösung
Die Berechnung der Fläche der Figur lautet wie folgt:
Somit beträgt die Fläche des Schildes.
Merke, dass Längeneinheiten zu einer Flächeneinheit werden, indem diese mit einer " ² " versehen werden!
Werden den Seiten konkrete Längeneinheiten zugewiesen, so kann die Fläche ebenfalls über eine der beiden Formeln berechnet werden, je nach Ausprägungsform der Raute.
Für die Berechnung der Fläche der Raute sind sowohl die Diagonale e als auch die Diagonale f zwingend notwendig, außer wenn es sich um ein gedrehtes Quadrat handelt. Was aber, wenn die jeweils benötigten Werte nicht in der Aufgabe nicht gegeben sind?
Flächeninhalt Raute berechnen – Mit Seite, Diagonale und Höhe
Folgende zwei Beispiele werden verdeutlichen, wie zum einen mithilfe der Diagonalen und zum anderen mithilfe der Seite und der Höhe die Fläche einer Raute berechnet werden kann.
Aufgabe 4
Die Fläche der Wiese mit der Form einer Raute soll berechnet werden. Grundsätzlich wird davon ausgegangen, dass jede der 50 Kühe mindestens einen Platz von haben sollte. Berechne, ob die Wiese mit folgenden Angaben genügend Platz für alle Kühe hat oder ob dieser zu klein ist.
Welche Fläche muss der Bauer einzäunen?
Lösung
Die Grasfläche kann mithilfe der Formel berechnet werden. Dazu kannst Du zunächst die Diagonalen bestimmen. So gilt beispielsweise:
Jetzt musst Du nur noch die Zahlenwerte in die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks einsetzen und ausrechnen.
Als Lösung für diese Aufgabe erhalten wir also eine Fläche der Wiese von .
Nun auf zum Beispiel zum Thema der Flächenberechnung mithilfe der Seiten und der Höhe.
Aufgabe 5
Eine Raute weist folgende Werte auf:
Berechne den Flächeninhalt der Figur!
Lösung
Da es sich bei der Figur der Raute zugleich um ein Parallelogramm handelt, können wir für dieses Beispiel die Flächenformel des Parallelogramms verwenden. Somit müssen lediglich die Werte der Seite und der Höhe in die Flächenformel eingesetzt werden. Dies sieht wie folgt aus:
Die Fläche der Raute beträgt .
Es ist wichtig aufzuzeigen, welche weiteren Möglichkeiten mithilfe der Winkel bestehen, die Diagonalen zu berechnen, wodurch im Anschluss daran die Fläche der Figur berechnet werden kann.
Flächeninhalt Raute berechnen – Mit Seite und Winkel
Wenn bei einer Hausübung die Seite a und der Winkel Alpha gegeben sind, können die Diagonalen mithilfe der Winkelfunktionen berechnet werden.
Die Diagonalen einer Raute können mithilfe der Seite der Raute und einem Winkel über folgende Formel berechnet werden:
Sollte nur der Winkel Beta gegeben sein, berechne daraus wie folgt den Winkel Alpha:
Nun wird die Berechnung der Diagonalen mithilfe der angeführten Formel anhand eines kurzen Beispiels verdeutlicht.
Aufgabe 6
Eine Raute weist folgende Werte auf:
Folgende Skizze soll den Sachverhalt verdeutlichen:
Abbildung 10: Fläche berechnen mit Winkel
Lösung
Um zuerst die Diagonalen berechnen zu können, müssen die Werte lediglich in die jeweiligen oben angeführten Formeln eingesetzt werden. Dies sieht wie folgt aus:
Als Nächstes wird die Diagonale f berechnet.
Somit beträgt die Diagonale und die Diagonale. Nun kann mithilfe der beiden Diagonalen die Fläche berechnet werden.
Die Raute weist eine Fläche von auf.
Abschließend noch ein kurzer Abschnitt, welcher aufzeigt, wie mithilfe des Umfangs und einer Diagonale die Fläche berechnet werden kann.
Flächeninhalt Raute berechnen – Mit Umfang und Diagonale
Der Umfang einer Raute kann anhand der Seitenlänge a bestimmt werden, wobei allgemein gilt:
Interessiert am Artikel zum Umfang eines Rechtecks? Dann sieh doch gleich einmal in den Artikel rein.
Inwiefern hilft Dir der Umfang bei der Flächenberechnung eines Rechtecks? Zeit für ein Beispiel.
Es muss gesagt werden, dass die Ermittlung der Diagonalen und die daraus folgende Flächenberechnung auf fortgeschrittenes mathematisches Wissen beruhen. Befindest Du Dich bereits in der neunten Klasse oder höher, dann sieh Dir unbedingt die folgende Vertiefung an.
Aufgabe 7
Eine Raute weist folgende Größen auf:
Berechne die Diagonale f und im Anschluss daran die Fläche der Raute.
Lösung – Ermittlung der Diagonale
Als Erstes wird die Variable a aus dem Umfang berechnet, indem die Umfangsformel nach a freigestellt und gelöst wird.
Wie in Abbildung 11 erkannt werden kann, teilen die Diagonalen die Figur in vier gleich große rechtwinklige Dreiecke. Nun wird eines hiervon ausgewählt und mithilfe des Satzes nach Pythagoras die fehlende Seite berechnet.
Möchtest Du mehr zum Thema Satz des Pythagoras erfahren, sieh Dir unbedingt den Beitrag dazu auf StudySmarter an!
Abbildung 11: Die Raute - Satz des Pythagoras
Das in Abbildung 11 markierte rechtwinklige Dreieck hat nun die Seitenlängen , und a. Um mithilfe des Lehrsatzes nach Pythagoras die Diagonale berechnen zu können, wird folgende Formel verwendet:
Die Diagonalen e und f einer Raute können mithilfe folgender Formeln berechnet werden:
Um mehr über die Herleitung dieser Formel zu erfahren, sieh Dir den Artikel "Diagonale Raute" auf StudySmarter an!
Im nächsten Schritt werden die Werte anstelle der Variablen in die Formel für f eingesetzt und die Gleichung gelöst.
id="2871884" role="math"
Somit beträgt die Länge der Diagonale. Jetzt kann mithilfe der Werte der beiden Diagonalen die Fläche bestimmt werden.
Die Fläche der Raute beträgt .
Sollte nur die Seitenlänge a einer Raute gegeben sein und es sich hierbei nicht um ein Quadrat handelt, wird genau gleich vorgegangen, mit dem einzigen Unterschied, dass K1 und K2 beide jeweils darstellen.
Flächeninhalt Raute – Das Wichtigste auf einen Blick
- Eine Raute erkennst Du daran, dass sie vier Winkel, vier Ecken und vier gleich lange Seiten aufweist.
- Die Diagonalen der Raute können unterschiedlich lang sein.
- Die allgemeine Flächenformel der Raute lautet:
- Die Flächenformel der Raute lautet bei gleich langen Diagonalen:
- Die Flächenformel des Parallelogramms kann ebenso verwendet werden:
- Die Diagonale e kann bei gegebener Seitenlänge a und Diagonale f berechnet werden mit:
- Die Diagonale f kann bei gegebener Seitenlänge a und Diagonale e berechnet werden mit:
- Die Diagonalen werden mithilfe des Winkels berechnet:
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