Strecke berechnen

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Melina plant mit ihren Eltern einen gemeinsamen Urlaub. Gemeinsam öffnen sie eine Karte im Internet und klicken sich durch verschiedene Orte, um einen tolle Möglichkeit für einen Urlaubsort zu finden. Da Melina gerne längere Autofahren meiden möchte, achten sie bei ihrer Auswahl auf einige Details. Die Strecke zwischen ihrem zu Hause und dem Hotel darf nicht zu lang sein und sie sollen möglichst schnell am Ziel ankommen können. Für die optimale Strecke verwenden sie einen Routenplaner, der ihnen dabei hilft, die kürzeste Strecke, also die kürzeste Entfernung zum Urlaubsort, herauszufinden.

Auch in der Mathematik geht es häufig um Entfernungen und darum, die kürzeste Strecke herauszufinden. Der Begriff Strecke gehört in der Geometrie, neben dem Punkt, der Halbgeraden/dem Strahl und der Geraden, zu den Grundbegriffen, die in Deiner Schullaufbahn immer wieder auftauchen. Wenn du also etwas über die Strecke kennenlernen willst, bist du in diesem Artikel genau richtig.

Strecke – Definition und Anwendungsbereich

Wie oben im Einführungstext schon beschrieben, gehört die Strecke zu einer der wichtigsten Grundbegriffe innerhalb der Geometrie. Sie ist Grundlage für verschiedenste Abbildungen, denn diese kann man in unterschiedlichen geometrischen Figuren wiederfinden. Beispielsweise werden die drei Linien eines Dreiecks auch als Verbindungsstrecken des Dreiecks bezeichnet. Sie beginnen und enden hier jeweils in den Eckpunkten des Dreiecks, wodurch sich auch die Definition der Strecke herleiten lässt.

Eine Strecke ist eine geradlinige Verbindung zweier gegebener Punkte.

Strecken verbinden Punkte miteinander. Dabei stehen Strecken für die kürzeste Distanz der beiden Endpunkte. Sie sind gradlinig und besitzen demzufolge keine Kurven oder Ecken. Die Strecken werden auf besondere Weise beschrieben, was du im kommenden Kapitel sehen wirst.

Strecke – Schreibweise

Stell dir vor, du hast zwei gegebene Punkte A und B. Du sollst diese Punkte miteinander verbinden. Dadurch erhältst du die Strecke zwischen A und B. Diese Strecke wird in der Mathematik dann als die Strecke $\bar{A B}$ bezeichnet. Du schreibst über die Punkte A und B also einen kleinen Strich, der signalisieren soll, dass es sich bei dieser Abbildung um eine Strecke handelt und nicht beispielsweise um einen Strahl/eine Halbgerade oder eine Gerade.

Strecke berechnen, Definition, StudySmarter Abbildung 2: Strecke zwischen den Punkten A und B

Strecke zwischen zwei Punkten berechnen

Wenn Du wissen willst, welchen Abstand zwei Punkte, die durch eine Strecke verbunden sind, besitzen, kannst du diesen auf unterschiedliche Art und Weise herausfinden. Außerdem kannst Du verschiedene Eigenschaften einer Strecke, wie zum Beispiel deren Mittelpunkt durch unterschiedliche Möglichkeiten angeben.

Länge einer Strecke berechnen

Du kannst die Länge einer Strecke mit Hilfsmitteln wie zum Beispiel einem Lineal oder einem Geodreieck ausmessen. Du legst dafür den Nullpunkt deines Geodreiecks auf einen der angegebenen Punkte und liest an der Skala des Hilfsmittels ab, auf welcher Stelle der andere Punkt der Strecke liegt.

Die Aufgabe besteht darin, die Länge der Strecke zu messen.

Strecke berechnen, Mathe Geodreieck, StudySmarter Abbildung 3: Abmessen einer Strecke mit dem Geodreieck

Anhand des Geodreiecks kannst Du in diesem Beispiel erkennen, dass der Punkt A direkt auf dem Nullpunkt des Geodreiecks liegt. Außerdem kannst Du nun sehen, dass der Punkt B direkt auf der sechs des Geodreiecks liegt.

Die Strecke $\bar{A B}$ hat eine Länge von 6 cm und somit sind die Punkte A und B 6 cm voneinander entfernt.

Achte beim Messen darauf, dass dein Lineal genau an der Strecke liegt und der Nullpunkt des Lineals direkt an einem der beiden Punkte.

Außerdem kannst Du die Länge einer Strecke auch berechnen. Um die Länge zu berechnen benötigst du eine Formel, die auf dem Satz des Pythagoras basiert.

Für die Berechnung der Länge einer Strecke gilt

$d : = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Der Buchstabe d steht hier für den Abstand der beiden Punkte $A = (x_{1} | y_{1}) u n d B = (x_{2} | y_{2})$ .

Aufgabe

Gegeben sind die Punkte $A = (2 | 3)$ und $B = (5 | 4)$ . Berechne den Abstand d der beiden Punkte.

Lösung

Du setzt die Werte der angegebenen Punkte in die oben stehenden Formel ein und berechnest anschließend mit Hilfe vom Satz des Pythagoras:

$d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} d = \sqrt{{(5 - 2)}^{2} + {(4 - 3)}^{2}}$

Jetzt löst du die Wurzel auf und berechnest die einzelnen Klammern.

$d = 3^{2} - 1^{2} d = 8$

Die Strecke zwischen den Punkten A und B hat einen Abstand von 8 Einheiten.

Das oben genannte Beispiel wird für 2-dimensionale Abbildungen verwendet. Die Berechnung von Strecken im 3-dimensionalem Raum ist auch möglich. Du erweiterst dabei die oben genannt Formel mit der dritten Koordinate.

Die Formel lautet dementsprechend:

$d : = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$

Im folgenden Beispiel siehst du die Berechnung der Strecke im 3-dimensionalen Raum.

Aufgabe

Gegeben sind die Punkte $A = (3 | 4 | 5)$ und $B = (5 | 8 | 9)$ . Berechne den Abstand d der beiden Punkte.

Lösung

Wir erkennen hier anhand der drei Koordinaten zu jedem Punkt, dass wir uns in einem 3-dimensionalen Raum befinden und daher die einzelnen Koordinaten in die oben stehende Formel einsetzen müssen.

Daraus ergibt sich folgende Berechnung:

$d^{} = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}} d = \sqrt{(5 - 3)^{2} + {(8 - 4)}^{2} + {(9 - 5)}^{2}} d^{} = \sqrt{2^{2} + 4^{2} + 4^{2}} d^{} = \sqrt{4 + 16 + 16} d = 6$

Die Strecke zwischen den Punkten A und B hat einen Abstand von 6 Einheiten.

Ob 2-dimensionaler oder 3-dimensionaler Raum spielt demzufolge für die Berechnung der Länge einer Strecke keine Rolle. Du musst darauf achten, welche Formel du verwenden musst. Hast du zwei Koordinaten für einen Punkt gegeben, verwendest du die Formel für den 2-dimensionalen Raum. Wenn du drei Koordinaten für einen Punkt gegeben hast, verwendest du die Formel für den 3-dimensionalen Raum.

Mittelpunkt einer Strecke berechnen

Du kannst nicht nur die gesamte Länge einer Strecke berechnen oder messen, sondern auch verschiedene Punkte auf der Strecke herausfinden. Im kommenden Abschnitt lernst Du, wie man den Mittelpunkt einer Strecke berechnen kann. Doch dafür musst Du zunächst wissen, was genau der Mittelpunkt einer Strecke eigentlich ist.

Der Mittelpunkt einer Strecke ist der Punkt, dessen Abstand zu den angegebenen Endpunkten der Strecke identisch ist.

Wie Du aus dem Begriff schon erkennen kannst, befindet sich der Mittelpunkt daher in der Mitte der Strecke. Wenn wir zum Beispiel die Strecke $\bar{A B}$ anschauen, ist der Abstand des Mittelpunktes zu den Punkten A und B gleich groß. Der Buchstabe M steht dabei für den Mittelpunkt

Strecke berechnen, Mittelpunkt zwischen zwei Punkten, StudySmarter Abbildung 4: Mittelpunkt M einer Strecke

Um den Mittelpunkt einer Strecke herauszufinden, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Du kannst den Mittelpunkt wieder mithilfe eines Geodreiecks abmessen. Dafür legst Du den Nullpunkt ungefähr in die Mitte deiner Strecke. Als nächstes bewegst du das Geodreieck so lange an der Strecke bis die Zahlen auf der linken Seite und auf der rechten Seite deines Geodreiecks den identischen Wert an den Punkten A und B haben. Genau an dieser Stelle befindet sich dann der Mittelpunkt M.

Strecke berechnen, Mittelpunkt einer Strecke, StudySmarter Abbildung 5: Mittelpunkt einer Strecke berechnen

Der Mittelpunkt einer Strecke kann auch berechnet werden. Dafür misst Du zunächst die Länge der vorgegebenen Strecke. Danach teilst du die Länge der Strecke durch 2. Das Ergebnis ist dann der Abstand zu den jeweiligen Punkten A und B.

Aufgabe

Berechne den Mittelpunkt der Strecke $\bar{A B}$ .

Strecke berechnen, Mittelpunkt einer Strecke, StudySmarter Abbildung 6: Abmessen einer Strecke zur Berechnung des Mittelpunktes

Lösung

Mithilfe des Geodreiecks siehst Du, dass die Strecke 6 cm beträgt. Wenn Du diese Länge nun durch zwei teilst, erhältst Du den Abstand 3 cm.

$6 c m : 2 = 3 c m$

Dadurch weißt Du, dass der Mittelpunkt der Strecke genau 3 cm von den Punkten A und B entfernt ist.

Strecke – Das Wichtigste

Eine Strecke ist die kürzeste Entfernung zweier Punkte.
Mithilfe von Messinstrumenten (Geodreieck, Lineal) kannst Du die Länge einer Strecke bestimmen.
Du kannst den Mittelpunkt M einer Strecke mithilfe von Messinstrumenten messen oder ausrechnen.
Die Beschriftung von Strecken erfolgt durch einen kleinen Strich über den gegebenen Punkten.
In 2-dimensionalen Abbildungen verwendest Du die Formel $d : = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ .
In 3-dimensionalen Abbildungen verwendest Du die Formel $d : = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Strecke berechnen

Der Begriff Strecke stammt aus dem mathematischen Bereich der Geometrie. Er bezeichnet den kürzesten Abstand zweier beliebiger Punkte.

Je nachdem ob 2-dimensionale oder 3-dimensionale Abbildungen vorliegen, können Strecken mit unterschiedlichen Formeln berechnet werden. Bei der Berechnung im 2-dimensionalen durch die Formel ziehst du die Wurzel aus (x₂-x₁)²+(y₂-y₁)². Im 3-dimensionalen kommt noch die z-Koordinate hinzu.

Der Mittelpunkt einer Strecke liegt in der Mitte einer beliebigen Strecke. Dieser kann berechnet werden, indem man die gesamte Länge der Strecke durch zwei teilt. Der Mittelpunkt liegt dann genau auf dieser Stelle zwischen den zwei Punkten.

Die Länge einer Strecke kann entweder mit geometrischen Hilfsmitteln (Geodreieck, Lineal) gemessen werden oder mit unterschiedlichen Formeln berechnet werden. Bei der Berechnung im 2-dimensionalen durch die Formel ziehst du die Wurzel aus (x₂-x₁)²+(y₂-y₁)². Im 3-dimensionalen kommt noch die z-Koordinate hinzu.

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