Bei der Pyramide hast Du bestimmt direkt ein Bild im Kopf. Zum Beispiel die berühmten ägyptischen Pyramiden. Doch welche mathematischen Eigenschaften haben die interessanten Konstrukte?
Pyramide Geometrie
Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper mit einem Vieleck als Grundfläche. Die Seitenflächen einer Pyramide sind Dreiecke. Alle Seitenflächen treffen sich in einem Punkt – der Spitze.
Die Grundfläche einer Pyramide kann zum Beispiel ein Dreieck oder ein Viereck sein, aber auch ein Fünfeck ist möglich. Auch wenn die Grundfläche unterschiedlich ist, haben alle Pyramiden gemeinsam, dass die Seitenflächen stets Dreiecke sind.
Pyramide – Grundfläche und Mantelfläche
Jede Pyramide hat eine Grundfläche. Sie ist der "Boden". Die Seitenflächen der Pyramide (Dreiecke) werden Mantelfläche genannt.
Die Oberfläche \(O\) einer Pyramide setzt sich aus der Grundfläche \({\color{#1478c8}G}\) und der Mantelfläche \({\color{#00dcb4}M}\) zusammen.
Abbildung 2 Grundfläche und Mantelfläche einer Pyramide
Für jede Pyramide gibt es eine Höhe \({\color{#fa3273}h}\). Sie gibt an, wie hoch die Pyramide ist, gemessen von der Grundfläche senkrecht nach oben bis zum höchsten Punkt, der Spitze.
Abbildung 3: Höhe h der Pyramide
Anhand der Form der Grundfläche werden spezielle Pyramiden benannt.
Arten von Pyramiden
Die Grundfläche einer Pyramide kann jede ebene Form annehmen. Je nach Form der Grundfläche wird die Pyramide benannt. Es gibt einige Pyramiden, die häufig vorkommen.
Pyramide mit rechteckiger Grundfläche
Die Pyramide in Abbildung 2 und 3 hat eine rechteckige Grundfläche. Sie wird auch rechteckige Pyramide genannt.
Pyramide mit quadratischer Grundfläche – Quadratische Pyramide
Häufig ist die Grundfläche einer Pyramide nicht nur rechteckig, sondern sogar quadratisch. Dann sind alle vier Seiten \(a\) der Grundfläche gleichlang. Die Pyramide wird quadratische Pyramide genannt.
Abbildung 4: quadratische Pyramide
Pyramide mit dreiseitiger Grundfläche – Dreiseitige Pyramide
Die Grundfläche einer Pyramide kann auch ein Dreieck sein. Dann wird die Pyramide dreiseitige Pyramide genannt.
Abbildung 5: dreiseitige Pyramide
Bei den dreiseitigen Pyramiden gibt es eine besondere Pyramide. Ist die Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck (alle Seiten gleichlang) und die Mantelfläche besteht aus ebendiesen gleichseitigen Dreiecken, so handelt es sich um ein Tetraeder.
Abbildung 6: Tetraeder
Jede Seite eines Tetraeders hat dieselbe Länge \(a\).
Pyramiden mit anderen Grundflächen
Es gibt auch Pyramiden mit anderen Grundflächen. Dies können etwa Fünfecke oder Sechsecke sein. Die Grundfläche kann regelmäßig sein, muss sie aber nicht.
Sieh Dir noch einmal die Abbildung 3 bis 6 an. Du kannst erkennen, dass die Seitenflächen tatsächlich immer Dreiecke sind, unabhängig von der Grundfläche.
Pyramide zeichnen
Wie kannst Du nun eine dieser Pyramiden zeichnen?
Zum Zeichnen einer Pyramide bietet sich das Schrägbild an. Unter der Erklärung "Schrägbild" findest Du eine ausführliche Beschreibung zu Schrägbilder und auch eine Erklärung zu Pyramiden.
Im folgenden Beispiel wird eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche gezeichnet.
Aufgabe 1
Zeichen eine quadratische Pyramide mit \(a=4\,cm\) und \(h=5\,cm\).
Lösung
Du beginnst mit der Grundfläche der Pyramide. Diese zeichnest Du mit Verzerrungswinkel \(\alpha=45°\). Die Strecken "nach hinten" haben die halbe Originallänge.
Zuerst zeichnest Du eine Strecke der Länge \(4\,cm\). Das ist die vordere Kante der Grundfläche. Von den Punkten an den Enden aus zeichnest Du nun je eine Strecke im 45°-Winkel mit Länge \(2\,cm\). Die beiden Eckpunkte dieser Strecken verbindest Du wieder. Diese neue Strecke zwischen den Punkten ist dann wieder \(4\,cm\) lang.
Linien, die eigentlich nicht sichtbar sind, kannst Du gestrichelt zeichnen.
Eine Strecke im 45°-Winkel "nach hinten" kannst Du mithilfe des Kästchenpapiers zeichnen. Beginnt die Strecke auf einem Eckpunkt eines Kästchens, verläuft sie diagonal durch die anderen Kästchen. Wundere Dich aber nicht, wenn der Punkt am Ende der Strecke nicht auf einer Kästchenlinie liegt.
Abbildung 7: Grundfläche der Pyramide zeichnen
Die Grundfläche der Pyramide ist fertig gezeichnet. Um die Höhe der quadratischen Pyramide zeichnen zu können, konstruierst Du zuerst den Mittelpunkt der Grundfläche. Dazu kannst Du die Diagonalen einzeichnen. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Punkt.
Von diesem Punkt aus zeichnest Du eine Strecke mit \(5\,cm\) Länge senkrecht nach oben. Der Endpunkt der Strecke ist die Spitze der Pyramide.
Abbildung 8: Höhe der Pyramide zeichnen
Im letzten Schritt zeichnest Du je eine Strecke von der Spitze der Pyramide zu den Eckpunkten. Du verbindest also die Punkte miteinander.
Abbildung 9: Pyramide zeichnen
Auch andere Pyramiden kannst Du als Schrägbild zeichnen. Du beginnst immer mit der Grundfläche.
Volumen Pyramide berechnen – Formel
Jede Pyramide hat einen Rauminhalt, da sie dreidimensional ist. Die Größe des Rauminhalts kannst Du berechnen. Der Rauminhalt wird häufig auch Volumen genannt und mit \(V\) abgekürzt.
Um das Volumen einer Pyramide berechnen zu können, benötigst Du die Größe der Grundfläche \(G\) sowie die Höhe \(h\).
Das Volumen \({\color{#1478c8}V} \) einer Pyramide mit Grundfläche \({\color{#00dcb4}G}\) und Höhe \({\color{#fa3273}h}\) ist
$${\color{#1478c8}V}=\frac{1}{3}·{\color{#00dcb4}G}·{\color{#fa3273}h}$$
Zuerst berechnest Du die Grundfläche, dann kannst Du das Volumen bestimmen.
Unter "Volumen Pyramide" findest Du eine ausführliche Erklärung mit Beispielen. Klicke einfach auf den Namen.
Oberflächeninhalt Pyramide berechnen – Formel
Der Oberflächeninhalt \(O\) einer Pyramide ist der Flächeninhalt aller ihrer Begrenzungsflächen zusammen. Die Oberfläche besteht aus der Grundfläche \(G\) und der Mantelfläche \(M\).
Der Oberflächeninhalt \({\color{#1478c8}O}\) einer Pyramide mit Grundfläche \({\color{#00dcb4}G}\) und Mantelfläche \({\color{#fa3273}M}\) ist
$${\color{#1478c8}O} ={\color{#00dcb4}G} +{\color{#fa3273}M} $$
Je nachdem, um welche Art von Pyramide es sich handelt, berechnest Du die Grundfläche unterschiedlich. Du wählst die Formel für den Flächeninhalt, die zur Form der Grundfläche gehört.
Die Mantelfläche einer Pyramide besteht immer aus Dreiecken. Hier berechnest Du daher stets den Flächeninhalt von Dreiecken.
Eine ausführliche Erklärung zum Oberflächeninhalt von Pyramiden findest Du unter "Oberflächeninhalt Pyramide".
Pyramidenstumpf
Vielleicht hast Du schon einmal Pyramiden gesehen, denen die Spitze fehlt? Dann handelt es sich um einen Pyramidenstumpf.
Ein Pyramidenstumpf entsteht, indem bei einer Pyramide parallel zur Grundfläche eine kleine Pyramide abgeschnitten wird.
Abbildung 10: Pyramidenstumpf
Unter "Pyramidenstumpf" findest Du eine ausführliche Erklärung.
Pyramide – Aufgaben
Im Folgenden findest Du grundlegende Aufgaben zur Pyramide. In den Erklärungen "Volumen Pyramide" und "Oberflächeninhalt Pyramide" findest Du weitere Aufgaben.
Aufgabe 2
Entscheide, um welche Art von Pyramide es sich bei der Cheops-Pyramide handelt.
Abbildung 11: Cheops-Pyramide
Lösung
Diese Aufgabe ist vielleicht nicht ganz fair, da die Pyramide auf dem Foto gar nicht vollständig sichtbar ist. Vielleicht hast Du ja aber bereits weitere Bilder von ägyptischen Pyramiden gesehen.
Sie haben eine annähernd quadratische Grundfläche. Die Cheops-Pyramide ist daher eine quadratische Pyramide.
Aufgabe 3
Die Grundfläche einer quadratischen Pyramide ist \(G=16\,m^2\). Die Höhe der Pyramide beträgt \(h=5\,m\).
Berechne das Volumen der Pyramide.
Lösung
Die Aufgabe kannst Du mit der Formel für das Volumen \(V\) einer Pyramide lösen.
$$V=\frac{1}{3}·G·h$$
Es ist
\begin{align} V&=\frac{1}{3}·16\,m^2·5\,m\\&=26,\overline{6}\,m^3\end{align}
Pyramide – Das Wichtigste auf einen Blick
- Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper mit einem beliebigen n-Eck als Grundfläche und Dreiecken als Seitenfläche, die sich in einer Spitze treffen.
- Viele Pyramiden sind Pyramiden von folgender Art:
- quadratische Pyramide
- dreiseitige Pyramide
- Eine Pyramide kannst Du als Schrägbild zeichnen.
- Das Volumen \(V\) einer Pyramide mit Grundfläche \(G\) und Höhe \(h\) berechnest Du mit der Formel: \(V=\frac{1}{3}·G·h\)
- Der Oberflächeninhalt \(O\) einer Pyramide setzt sich aus der Grundfläche \(G\) und der Mantelfläche \(M\) zusammen: \(O=G+M\)
Nachweise
- Böer et al. (2008). mathe live 9 E, Mathematik für die Sekundarstufe I. Ernst Klett Verlag GmbH.
- Böer et al. (2008). mathe live 10 E, Mathematik für die Sekundarstufe I. Ernst Klett Verlag GmbH.
- Becker et al. (2016). Formelsammlung bis zum Abitur - Mathematik - Physik - Astronomie - Chemie - Biologie - Informatik. Duden Schulbuchverlag.
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