Pyramide

Bei der Pyramide hast Du bestimmt direkt ein Bild im Kopf. Zum Beispiel die berühmten ägyptischen Pyramiden. Doch welche mathematischen Eigenschaften haben die interessanten Konstrukte? 

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Pyramide Geometrie

    Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper mit einem Vieleck als Grundfläche. Die Seitenflächen einer Pyramide sind Dreiecke. Alle Seitenflächen treffen sich in einem Punkt – der Spitze.

    Die Grundfläche einer Pyramide kann zum Beispiel ein Dreieck oder ein Viereck sein, aber auch ein Fünfeck ist möglich. Auch wenn die Grundfläche unterschiedlich ist, haben alle Pyramiden gemeinsam, dass die Seitenflächen stets Dreiecke sind.

    Pyramide – Grundfläche und Mantelfläche

    Jede Pyramide hat eine Grundfläche. Sie ist der "Boden". Die Seitenflächen der Pyramide (Dreiecke) werden Mantelfläche genannt.

    Die Oberfläche \(O\) einer Pyramide setzt sich aus der Grundfläche \({\color{#1478c8}G}\) und der Mantelfläche \({\color{#00dcb4}M}\) zusammen.

    Pyramide Grundfläche Oberfläche StudySmarterAbbildung 2 Grundfläche und Mantelfläche einer Pyramide

    Für jede Pyramide gibt es eine Höhe \({\color{#fa3273}h}\). Sie gibt an, wie hoch die Pyramide ist, gemessen von der Grundfläche senkrecht nach oben bis zum höchsten Punkt, der Spitze.

    Pyramide Hoehe h StudySmarterAbbildung 3: Höhe h der Pyramide

    Anhand der Form der Grundfläche werden spezielle Pyramiden benannt.

    Arten von Pyramiden

    Die Grundfläche einer Pyramide kann jede ebene Form annehmen. Je nach Form der Grundfläche wird die Pyramide benannt. Es gibt einige Pyramiden, die häufig vorkommen.

    Pyramide mit rechteckiger Grundfläche

    Die Pyramide in Abbildung 2 und 3 hat eine rechteckige Grundfläche. Sie wird auch rechteckige Pyramide genannt.

    Pyramide mit quadratischer Grundfläche – Quadratische Pyramide

    Häufig ist die Grundfläche einer Pyramide nicht nur rechteckig, sondern sogar quadratisch. Dann sind alle vier Seiten \(a\) der Grundfläche gleichlang. Die Pyramide wird quadratische Pyramide genannt.

    Pyramide quadratisch StudySmarterAbbildung 4: quadratische Pyramide

    Pyramide mit dreiseitiger Grundfläche – Dreiseitige Pyramide

    Die Grundfläche einer Pyramide kann auch ein Dreieck sein. Dann wird die Pyramide dreiseitige Pyramide genannt.

    Pyramide dreiseitig StudySmarterAbbildung 5: dreiseitige Pyramide

    Bei den dreiseitigen Pyramiden gibt es eine besondere Pyramide. Ist die Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck (alle Seiten gleichlang) und die Mantelfläche besteht aus ebendiesen gleichseitigen Dreiecken, so handelt es sich um ein Tetraeder.

    Pyramide gleichseitige Dreiecke Tetraeder StudySmarterAbbildung 6: Tetraeder

    Jede Seite eines Tetraeders hat dieselbe Länge \(a\).

    Pyramiden mit anderen Grundflächen

    Es gibt auch Pyramiden mit anderen Grundflächen. Dies können etwa Fünfecke oder Sechsecke sein. Die Grundfläche kann regelmäßig sein, muss sie aber nicht.

    Sieh Dir noch einmal die Abbildung 3 bis 6 an. Du kannst erkennen, dass die Seitenflächen tatsächlich immer Dreiecke sind, unabhängig von der Grundfläche.

    Pyramide zeichnen

    Wie kannst Du nun eine dieser Pyramiden zeichnen?

    Zum Zeichnen einer Pyramide bietet sich das Schrägbild an. Unter der Erklärung "Schrägbild" findest Du eine ausführliche Beschreibung zu Schrägbilder und auch eine Erklärung zu Pyramiden.

    Im folgenden Beispiel wird eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche gezeichnet.

    Aufgabe 1

    Zeichen eine quadratische Pyramide mit \(a=4\,cm\) und \(h=5\,cm\).

    Lösung

    Du beginnst mit der Grundfläche der Pyramide. Diese zeichnest Du mit Verzerrungswinkel \(\alpha=45°\). Die Strecken "nach hinten" haben die halbe Originallänge.

    Zuerst zeichnest Du eine Strecke der Länge \(4\,cm\). Das ist die vordere Kante der Grundfläche. Von den Punkten an den Enden aus zeichnest Du nun je eine Strecke im 45°-Winkel mit Länge \(2\,cm\). Die beiden Eckpunkte dieser Strecken verbindest Du wieder. Diese neue Strecke zwischen den Punkten ist dann wieder \(4\,cm\) lang.

    Linien, die eigentlich nicht sichtbar sind, kannst Du gestrichelt zeichnen.

    Eine Strecke im 45°-Winkel "nach hinten" kannst Du mithilfe des Kästchenpapiers zeichnen. Beginnt die Strecke auf einem Eckpunkt eines Kästchens, verläuft sie diagonal durch die anderen Kästchen. Wundere Dich aber nicht, wenn der Punkt am Ende der Strecke nicht auf einer Kästchenlinie liegt.

    Pyramide zeichnen Grundfläche StudySmarterAbbildung 7: Grundfläche der Pyramide zeichnen

    Die Grundfläche der Pyramide ist fertig gezeichnet. Um die Höhe der quadratischen Pyramide zeichnen zu können, konstruierst Du zuerst den Mittelpunkt der Grundfläche. Dazu kannst Du die Diagonalen einzeichnen. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Punkt.

    Von diesem Punkt aus zeichnest Du eine Strecke mit \(5\,cm\) Länge senkrecht nach oben. Der Endpunkt der Strecke ist die Spitze der Pyramide.

    Pyramide zeichnen Hoehe StudySmarterAbbildung 8: Höhe der Pyramide zeichnen

    Im letzten Schritt zeichnest Du je eine Strecke von der Spitze der Pyramide zu den Eckpunkten. Du verbindest also die Punkte miteinander.

    Pyramide zeichnen Schraegbild StudySmarterAbbildung 9: Pyramide zeichnen

    Auch andere Pyramiden kannst Du als Schrägbild zeichnen. Du beginnst immer mit der Grundfläche.

    Volumen Pyramide berechnen – Formel

    Jede Pyramide hat einen Rauminhalt, da sie dreidimensional ist. Die Größe des Rauminhalts kannst Du berechnen. Der Rauminhalt wird häufig auch Volumen genannt und mit \(V\) abgekürzt.

    Um das Volumen einer Pyramide berechnen zu können, benötigst Du die Größe der Grundfläche \(G\) sowie die Höhe \(h\).

    Das Volumen \({\color{#1478c8}V} \) einer Pyramide mit Grundfläche \({\color{#00dcb4}G}\) und Höhe \({\color{#fa3273}h}\) ist

    $${\color{#1478c8}V}=\frac{1}{3}­­·{\color{#00dcb4}G}·{\color{#fa3273}h}$$

    Zuerst berechnest Du die Grundfläche, dann kannst Du das Volumen bestimmen.

    Unter "Volumen Pyramide" findest Du eine ausführliche Erklärung mit Beispielen. Klicke einfach auf den Namen.

    Oberflächeninhalt Pyramide berechnen – Formel

    Der Oberflächeninhalt \(O\) einer Pyramide ist der Flächeninhalt aller ihrer Begrenzungsflächen zusammen. Die Oberfläche besteht aus der Grundfläche \(G\) und der Mantelfläche \(M\).

    Der Oberflächeninhalt \({\color{#1478c8}O}\) einer Pyramide mit Grundfläche \({\color{#00dcb4}G}\) und Mantelfläche \({\color{#fa3273}M}\) ist

    $${\color{#1478c8}O} ={\color{#00dcb4}G} +{\color{#fa3273}M} $$

    Je nachdem, um welche Art von Pyramide es sich handelt, berechnest Du die Grundfläche unterschiedlich. Du wählst die Formel für den Flächeninhalt, die zur Form der Grundfläche gehört.

    Die Mantelfläche einer Pyramide besteht immer aus Dreiecken. Hier berechnest Du daher stets den Flächeninhalt von Dreiecken.

    Eine ausführliche Erklärung zum Oberflächeninhalt von Pyramiden findest Du unter "Oberflächeninhalt Pyramide".

    Pyramidenstumpf

    Vielleicht hast Du schon einmal Pyramiden gesehen, denen die Spitze fehlt? Dann handelt es sich um einen Pyramidenstumpf.

    Ein Pyramidenstumpf entsteht, indem bei einer Pyramide parallel zur Grundfläche eine kleine Pyramide abgeschnitten wird.

    Pyramide Pyramidenstumpf StudySmarterAbbildung 10: Pyramidenstumpf

    Unter "Pyramidenstumpf" findest Du eine ausführliche Erklärung.

    Pyramide – Aufgaben

    Im Folgenden findest Du grundlegende Aufgaben zur Pyramide. In den Erklärungen "Volumen Pyramide" und "Oberflächeninhalt Pyramide" findest Du weitere Aufgaben.

    Aufgabe 2

    Entscheide, um welche Art von Pyramide es sich bei der Cheops-Pyramide handelt.

    Pyramide Beispiel Cheops-Pyramide StudySmarterAbbildung 11: Cheops-Pyramide

    Lösung

    Diese Aufgabe ist vielleicht nicht ganz fair, da die Pyramide auf dem Foto gar nicht vollständig sichtbar ist. Vielleicht hast Du ja aber bereits weitere Bilder von ägyptischen Pyramiden gesehen.

    Sie haben eine annähernd quadratische Grundfläche. Die Cheops-Pyramide ist daher eine quadratische Pyramide.

    Aufgabe 3

    Die Grundfläche einer quadratischen Pyramide ist \(G=16\,m^2\). Die Höhe der Pyramide beträgt \(h=5\,m\).

    Berechne das Volumen der Pyramide.

    Lösung

    Die Aufgabe kannst Du mit der Formel für das Volumen \(V\) einer Pyramide lösen.

    $$V=\frac{1}{3}·G·h$$

    Es ist

    \begin{align} V&=\frac{1}{3}·16\,m^2·5\,m\\&=26,\overline{6}\,m^3\end{align}

    Pyramide – Das Wichtigste auf einen Blick

    • Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper mit einem beliebigen n-Eck als Grundfläche und Dreiecken als Seitenfläche, die sich in einer Spitze treffen.
    • Viele Pyramiden sind Pyramiden von folgender Art:
      • quadratische Pyramide
      • dreiseitige Pyramide
    • Eine Pyramide kannst Du als Schrägbild zeichnen.
    • Das Volumen \(V\) einer Pyramide mit Grundfläche \(G\) und Höhe \(h\) berechnest Du mit der Formel: \(V=\frac{1}{3}·G·h\)
    • Der Oberflächeninhalt \(O\) einer Pyramide setzt sich aus der Grundfläche \(G\) und der Mantelfläche \(M\) zusammen: \(O=G+M\)

    Nachweise

    1. Böer et al. (2008). mathe live 9 E, Mathematik für die Sekundarstufe I. Ernst Klett Verlag GmbH.
    2. Böer et al. (2008). mathe live 10 E, Mathematik für die Sekundarstufe I. Ernst Klett Verlag GmbH.
    3. Becker et al. (2016). Formelsammlung bis zum Abitur - Mathematik - Physik - Astronomie - Chemie - Biologie - Informatik. Duden Schulbuchverlag.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Pyramide

    Wie berechne ich die Höhe einer Pyramide? 

    Die Höhe eine Pyramide kannst Du berechnen, wenn das Volumen V und die Grundfläche G gegeben sind. Dann stellst Du die Formel für das Volumen einer Pyramide nach h um und berechnest so die Höhe.

    Wie berechne ich das Volumen einer Pyramide? 

    Um das Volumen V eine Pyramide zu berechnen, benötigst Du die Grundfläche G und die Höhe h der Pyramide.

    Dann multiplizierst Du die Grundfläche mit der Höhe und teilst das Ergebnis durch drei, um das Volumen zu bestimmen: V=1/3·G·h

    Wie berechne ich die Seitenfläche einer Pyramide? 

    Die Seitenflächen einer Pyramide sind immer Dreiecke. Um eine Seitenfläche zu berechnen, bestimmst Du den Flächeninhalt des Dreiecks. Dazu benötigst Du die Länge der Grundseite a und die Höhe ha des Dreiecks. Der Flächeninhalt ist dann A=1/2·a·ha.

    Wie berechne ich die Diagonale einer Pyramide? 

    Die Diagonale einer Pyramide kannst Du mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen. Dazu quadrierst Du die Seitenlängen a und b der Grundfläche, addierst sie und ziehst die Wurzel. Handelt es sich um eine quadratische Pyramide, ist die Diagonale die Wurzel aus zweimal der Seitenlänge.

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    Die Seitenflächen einer Pyramide bilden zusammen die ...Wähl aus.

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