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Quadrat

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Quadrat

Quadrat - Definition und Merkmale

Im Alltag findest Du immer mal wieder quadratische Formen. Schnapp Dir mal einen Spielwürfel und schau ihn Dir etwas genauer an. Jede Seite davon ist quadratisch. Doch was bedeutet das überhaupt?

Das Quadrat ist eine geometrische Figur aus der Familie der Vierecke. Es ist durch folgende Merkmale definiert:

  • Alle Seiten sind gleich lang.
  • Jeder Innenwinkel ist 90 Grad groß. Das Quadrat ist somit gleichwinklig.

Quadrat Definition StudySmarterAbbildung 1: Quadrat

Die Beschriftung eines Quadrats ist immer gleich:

  • Die Beschriftung der Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben. Da alle vier Seiten gleich lang sind, wird jede Seite mit a beschriftet.

  • Die Beschriftung der Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn: A,B,C,D

  • Die Diagonalen eines Quadrats werden mit d beschriftet, sind gleich lang, halbieren einander und schneiden sich im Mittelpunkt M.

Ein Quadrat kann auch definiert werden als ein Parallelogramm mit jeweils zwei benachbarten gleich langen Seiten und zwei benachbarten gleichen Winkeln.

Für was benötige ich das Quadrat?

Das Quadrat ist ein geometrisches zweidimensionales Konstrukt, dass sowohl in der Mathematik als auch in der Physik in Zusammenhang mit der Berechnung von Flächen und Volumina von Körpern steht. So sind beispielsweise die Seitenflächen eines Würfels Quadrate und mit Hilfe der gegebenen Flächeneigenschaften eines Quadrats kann das Volumen eines Würfels einfach errechnet werden.

Darüber hinaus ist ein Quadrat sowohl Spiegel- als auch Punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum bildet der Schnittpunkt M der beiden Diagonalen. Neben den zwei Diagonalen besitzt das Quadrat noch zwei weitere Symmetrieachsen, also insgesamt vier Symmetrieachsen, nämlich auch die zwei Verbindungsgeraden der Mitten gegenüberliegender Seiten.

Der Satz des Pythagoras, sowie trigonometrische Beziehungen können anhand eines Quadrats veranschaulicht dargestellt werden. Grundlegend dafür ist, dass ein Quadrat aus zwei identischen zusammengesetzten gleichschenkligen Dreiecken besteht, was wiederum durch die Diagonale verdeutlicht wird.

Das Quadrat ist auch eine beliebte Zeichenform, da man anhand wenigen gegebenen Informationen ein Quadrat eindeutig zeichnen und bestimmen kann. Dafür reicht beispielsweise die Angabe der Seitenlänge a oder die Länge der Diagonalen d.

Quadrat Umfang berechnen — Formel

Schnapp Dir mal zusätzlich zu dem Würfel ein Stück Schnur.

Quadrat Schnur StudySmarter

Wenn Du jetzt diese Schnur einmal um den Würfel wickelst und am Ende abschneidest, entspricht die Länge der Schnur dem Umfang des Würfels.

Der Umfang einer geometrischen Figur setzt sich also aus ihren Seitenlängen zusammen. Da bei einem Quadrat alle Seiten gleichlang sind, musst Du nicht jede Seiten einzeln addieren, sondern kannst einen kürzeren Rechenweg benutzen.

Der Umfang U eines Quadrats kann mit folgender Formel berechnet werden:

Quadrat Definition StudySmarterAbbildung 1: Quadrat

Möchtest Du jetzt den Umfang einer Seite von dem Spielwürfel berechnen, benötigst Du also nur die Länge einer einzigen Kante.

Angenommen, eine Seite bzw. Kante Deines Würfels ist 2 cm lang.

Quadrat Umfang Würfel berechnen StudySmarter

Um den Umfang des Quadrats jetzt zu berechnen, setzt Du für a in die Formel die Länge der Seite ein.

Der Umfang der Würfelseite beträgt somit 8 cm.

Die Berechnung des Flächeninhalts funktioniert auf ähnliche Weise.

Quadrat Flächeninhalt berechnen — Formel

Auch bei der Berechnung der Fläche eines Quadrats benötigst Du nur die Seitenlänge a.

Der Flächeninhalt A eines Quadrats kann mit folgender Formel berechnet werden:

Schau Dir auch das mal an dem Beispiel einer Würfelseite an.

Gesucht ist jetzt nicht der Umfang, sondern die Fläche A des Würfels, welche hier schraffiert dargestellt wird. Die Seitenlänge beträgt nach wie vor 2 cm.

Quadrat Fläche Würfelseite StudySmarter

Für die Berchnung der Fläche setzt Du jetzt für a in die Formel die Länge der Seite ein, also 2 cm.

Die Fläche einer Würfelseite ist also 4 Quadratzentimeter groß.

Wie Du siehst, multiplizierst Du neben der eigentlichen Länge auch die Längeneinheit, also hier Zentimeter, miteinander. Deshalb entsprechen die Flächeneinheiten dann den Längeneinheiten zum Quadrat.

Um ein besseres Verständnis dafür zu entwickeln was es mit dem Innenkreisradius, bzw. mit dem Außenkreisradius auf sich hat seht ihr jetzt alle relevanten Merkmale eines Quadrats graphisch dargestellt:

Vereinfacht beschrieben berechnet man den Flächeninhalt eines Quadrates, indem man die Seitenlänge quadriert und den Umfang indem man alle vier Seitenlängen addiert.

IMPORTANT TO KNOW!

Das Quadrat als geometrische Form an sich nimmt auch Einfluss auf viele andere Teilgebiete der Mathematik. So werden beispielsweise Matrizen, welche über die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten verfügen, quadratische Matrizen genannt. Auch werden beispielsweise im mathematischen Teilgebiet Funktionen Polynome zweiten Grades als quadratische Funktionen bezeichnet.

Wie bereits in der Einführung näher erklärt, verfügt ein Quadrat über verschiedene Symmetrieeigenschaften. Jedes Quadrat ist sowohl Punkt- als auch Achsensymmetrisch. Die wichtigsten Eigenschaften eines Quadrats zum Thema Symmetrie sehr ihr jetzt auf einen Blick zusammengefasst.

Symmetrische Eigenschaften eines Quadrats - Alles auf einen Blick!

Für das Quadrat gelten bestimmte symmetrische Eigenschaften, welche jetzt in einer Tabelle veranschaulicht dargestellt werden:

Punktsymmetrie eines Quadrats

Jedes Quadrat ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt M

Achsensymmetrie eines Quadrats

Jedes Quadrat ist achsensymmetrisch und besitzt vier Symmetrieachsen

Um ein besseres Verständnis dafür zu entwickeln, was es mit der Punktsymmetrie, bzw. mit der Achsensymmetrie eines Quadrats auf sich hat, seht ihr jetzt alle relevanten Symmetrielinien eines Quadrats graphisch dargestellt:

Die vier Symmetrieachsen eines Quadrats setzen sich demnach zusammen aus den beiden diagonalen und den beiden Mittelsenkrechten der Seiten.

Gratuliere! Wenn du den Flächeninhalt und Umfang eines Quadrats mit Leichtigkeit berechnen kannst, so wirst du auch mit anderen geometrischen Formen wie beispielsweise Kreisen, Parallelogrammen oder Rechtecken keine Probleme haben. Mathematische Funktionen, Formeln und Anwendungen, die sich im Kern auf die geometrischen Eigenschaften eines Quadrats beziehen, werden mit Sicherheit im weiteren Verlauf deiner Schulausbildung oder deines Studiums auf dich zukommen!

Zum Abschluss findest du noch die wichtigsten Punkte zum Thema Quadrat in einer Checkliste zusammengefasst.

Das Wichtigste zum Quadrat auf einen Blick!

Ein Quadrat ist ein regelmäßiges Viereck mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln. Ein Quadrat hat eindeutige mathematisch definierte Eigenschaften was beispielsweise die Ermittlung des Flächeninhalts oder des Umfangs betrifft. Ein Quadrat lässt sich auch mit nur wenigen gegebenen Informationen ohne großen Aufwand zeichnen, bzw. In einem Koordinatensystem darstellen.

Hast du alles verstanden? Hier ist eine Checkliste, mit den zentralen Punkten die für dich relevant sind im Überblick:

  • Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel
  • Die Beschriftung eines Quadrats ist einheitlich und folgt einem bestimmten Format
  • Für ein Quadrat gelten bestimmte mathematische Eigenschaften wie beispielsweise die Berechnung des Flächeninhalts oder des Umfangs
  • Jedes Quadrat hat sowohl einen Umkreis als auch einen Inkreis
  • Ein Quadrat ist sowohl Punkt- als auch Achsensymmetrisch

Empfehlung an Dich

Es ist wichtig, dass du weißt wie man in nur wenigen Schritten den Flächeninhalt oder den Umfang eines Quadrats, eines Kreis, eines Dreiecks, eines Trapez oder einer weiteren geometrischen Form bestimmst. Du musst in der Lage sein einfache geometrische Formen in ein Koordinatensystem einzeichnen zu können. Die Geometrie ist ein wichtiger Bestandteil der Schulmathematik und ich verspreche dir, dass du dich in den allermeisten Fällen nicht nur in der Schule sondern auch im Studium sowie im Berufsleben mit geometrischen Formen oder Körpern auseinandersetzen musst.

Finales Quadrat Quiz

Frage

Welche Eigenschaften lassen sich dem Quadrat zuordnen?

Antwort anzeigen

Antwort

4 gleich lange Seiten

Frage anzeigen

Frage

Mit welcher Variable gibst du die Seitenlänge eines Quadrats an?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Seitenlänge eines Quadrats geben wir immer mit der Variable a an

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Frage

Warum werden alle Seitenlängen eines Quadrats mit der selben Variable angegeben?

Antwort anzeigen

Antwort

Da ein Quadrat 4 gleich lange Seiten hat, werden alle Seitenlängen mit dem selben Buchstaben definiert.

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Frage

In welcher Einheit gibst du den Umfang an?

Antwort anzeigen

Antwort

Den Umfang gibst du immer in einer zutreffenden Längeneinheit an. Das heißt z.B in Zentimeter oder Metern.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen einem Flächeninhalt und einem Umfang?

Antwort anzeigen

Antwort

Die eingeschlossene Fläche beschreibt den Flächeninhalt, während der Umfang das äußerlich umschließende angibt.

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Frage

Wofür steht das große U in einer Formel?

Antwort anzeigen

Antwort

Das U steht für den Umfang.

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Frage

Was gibt das A in einer Formel an?


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Antwort

Das große A steht immer für den Flächeninhalt.

Das kommt überings vom englischen Wort ,,Area''

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Frage

Welche beiden Informationen brauchst du, bevor du mit der Berechnung von dem Verhältnis von Fläche und Umfang starten kannst?

Antwort anzeigen

Antwort

Du brauchst sowohl den Flächeninhalt A und den Umfang U deines Quadrats

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Frage

Wie lautet die Formel zur Berechnung des Verhältnisses zwischen Fläche und Umfang?

Antwort anzeigen

Antwort

A : U lautet die Formel zur Verhältnisberechnung

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Frage

Wie werden die Eckpunkte eines Quadrats bezeichnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Eckpunkte eines Quadrats werden immer mit den Buchstaben A , B , C und D beschriftet.

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Frage

In welchen Alltagssituationen könnte dir der Umfang eines Quadrats helfen?

Antwort anzeigen

Antwort

Zum Beispiel beim Ausmessen von einem quadratischen Raum wie z.B wenn du in deinem Zimmer Fußleisten anbringen möchtest.

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Frage

Warum solltest du eine Formel verwenden, anstatt die Kästchen in deinem Heft nachzuzählen?

Antwort anzeigen

Antwort

Größere Quadrate lassen sich eventuell nicht ins Heft abzeichnen und sind eher unpraktisch. Außerdem geht die Berechnung des Umfangs mit einer Formel deutlich schneller.

Frage anzeigen

Frage

Kann man die Formel U= a+a+a+a zur Berechnung des Umfangs verwenden?

Antwort anzeigen

Antwort

Da a+a+a+a das gleiche aussagt wie 4*a , kannst du auch diese Formel zur Berechnung verwenden. Die Formel ist also ebenfalls richtig, jedoch ist diese meist aufwendiger und dauert länger.

Frage anzeigen

Frage

Wenn du eine Seitenlänge gegeben hast, wofür setzt du die dann in der Formel ein?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn du deine Seitenlänge gegeben hast, setzt du sie für das a in der Formel ein.

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