Select your language

Suggested languages for you:
Login Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Pyramidenstumpf

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Pyramidenstumpf

Wenn wir das Wort Pyramiden hören, denken wir häufig zuerst an die geometrische Form oder die ägyptischen Weltwunder. Doch wusstest Du, dass die drittgrößte Pyramide der Welt, die Sonnenpyramide von Teotihuacán, in der voraztekischen Ruinenstadt von Teotihuacán, rund 45 km nordöstlich von Mexico-Stadt steht? Wenn Du vielleicht schon einmal ein Foto dieser Bauwerke gesehen hast, ist Dir eventuell aufgefallen, dass sich diese in der Bauweise von den Pyramiden in Ägypten unterscheiden.

Pyramidenstumpf Bild Sonnenpyramide StudySmarterVon Ralf Roletschek - Eigenes Werk, GFDL 1.2, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=42138076

Denn die Sonnenpyramide läuft nicht etwa nach oben spitz zu wie eine normale Pyramide, sondern wirkt so, als ob die Spitze abgeschnitten worden wäre. Diese Form, die den Besuchern so etwas wie eine Aussichtsplattform ermöglicht, hat einen Namen – Pyramidenstumpf – und um genau diesen geometrischen Körper soll es in dieser Erklärung gehen.

Pyramidenstumpf Definition

Wie in der Einführung bereits angesprochen ist der Pyramidenstumpf, wie eine Pyramide, der die Spitze abgeschnitten wurde.

Der Pyramidenstumpf besitzt eine quadratische Grundfläche , eine quadratische Schnittfläche , sowie eine Mantelfläche , die aus vier identischen gleichschenkligen Trapezen besteht.

Pyramidenstumpf Pyramidenstumpf StudySmarterAbbildung 2: Pyramidenstumpf

Bei der Betrachtung sind auch noch relevant, die Höhe des Stumpfes, die vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zum Mittelpunkt der Schnittfläche geht und die Höhe der Mantelfläche, die die Höhe der vier gleichschenkligen Trapeze entspricht.

Pyramidenstumpf Formel

In einem Pyramidenstumpf musst Du in Rechenaufgaben meistens eine der drei folgenden Größen berechnen: die Mantelfläche, die Oberfläche oder das Volumen. In diesem Abschnitt erfährst Du, wie Du jeweils vorzugehen hast.

Pyramidenstumpf Mantelfläche

Wie Du oben bereits gesehen hast, besteht die Mantelfläche aus vier identischen gleichschenkligen Trapezen. Daraus folgt also, dass die Mantelfläche der vierfachen Fläche einer dieser Trapeze entspricht.

Der Flächeninhalt eines Trapezes lässt sich mit folgender Formel berechnen:

Dabei gilt für die Trapeze in einem Pyramidenstumpf folgender Aufbau:

Pyramidenstumpf Trapez Mantelfläche StudySmarterAbbildung 3: Trapez aus Mantelfläche

Zusammen mit der allgemein Formel für die Fläche eines Trapezes ergibt sich dann für die Mantelfläche:

Die Mantelfläche eines Trapezes wird durch folgende Formel berechnet:

Dadurch dass es sich um 4 Trapeze handelt, wurde die allgemeine Formel mit vier multipliziert und so wurde aus 1/2 der Faktor 2.

Aufgabe 1

Berechne die Mantelfläche des folgenden Pyramidenstumpfs:

Pyramidenstumpf Berechnung Mantelfläche StudySmarterAbbildung 4: Berechnung Mantelfläche

Lösung

1. Schritt:

Setzte als Erstes Deine gegebenen Werte in die Formel ein. Die Kantenlänge der Grundfläche misst 4 cm, die Kantenlänge der Schnittfläche 2 cm und die Länge der Höhe entspricht 5 cm.

Somit erhältst Du für die Formel:

2. Schritt:

Jetzt kannst Du den Wert Deines Terms berechnen:

Der Pyramidenstumpf hat eine Mantelfläche von .

Pyramidenstumpf Oberfläche

Manchmal ist in einer Aufgabe nicht nur die Oberfläche des Mantels gefragt, sondern die des gesamten Pyramidenstumpfs.

Die Oberfläche des Pyramidenstumpfes setzt sich aus drei Flächen zusammen, der Grundfläche, Schnittfläche und der Mantelfläche:

Da es sich bei der Grundfläche und der Schnittfläche um quadratische Flächen handelt, lassen sich deren Flächeninhalte berechnen, indem Du die jeweilige Kantenlänge quadrierst.

Aufgabe 2

Berechne die Oberfläche des gleichen Pyramidenstumpfes aus Aufgabe 1:

Pyramidenstumpf Berechnung Oberfläche StudySmarterAbbildung 5: Berechnung Oberfläche

Lösung

1. Schritt:

Setzte als Erstes wieder die Werte in die gegebene Formel ein:

2. Schritt:

Berechne aus diesem Term jetzt den Flächeninhalt.

Da Du das Ergebnis für die Mantelfläche bereits in der Aufgabe zuvor berechnet hast, kannst Du das Ergebnis für diese Aufgabe nutzen.

Die Oberfläche des Pyramidenstumpfes beträgt also .

Pyramidenstumpf Volumen

Wie Du das Volumen eines Pyramidenstumpfs berechnest, benötigt ein paar mehr Schritte zum Herleiten. Für die Berechnung des Volumens kannst Du Dir jedoch folgendes merken:

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Pyramidenstumpfs lautet:

Beachte, dass es sich bei der verwendeten Höhe nicht um die Höhe der Mantelfläche \(h_m\) handelt, sondern um die Höhe des Pyramidenstumpfes \(h\).

Wende diese Formel doch einmal an dem Beispiel aus Aufgabe 1 und 2 an:

Aufgabe 3

Berechne das Volumen von folgendem Pyramidenstumpf:

Pyramidenstumpf Berechnung Volumen StudySmarterAbbildung 6: Volumenberechnung Pyramidenstumpf

Lösung:

1. Schritt:

Im ersten Schritt setzt Du Deine gegebenen Werte in die Formel ein:

2. Schritt:

Jetzt brauchst Du nur noch den Term auszurechnen:

Das Volumen des Pyramidenstumpfes entspricht also .

Solltest es Dir nicht genug sein, die Formel zu kennen und anwenden zu können, dann kannst Du Deine Neugierde im nächsten Abschnitt stillen.

Pyramidenstumpf Volumen Herleitung

Nun hast Du die Formel für das Volumen eines Pyramidenstumpfes schon angewendet, doch woher kommt diese Formel? In diesem Abschnitt siehst Du Schritt-für-Schritt, wie die Formel hergeleitet wird.

Als Hilfestellung in dieser Herleitung dient eine Pyramide, diese wird in einen Pyramidenstumpf und eine kleinere Pyramide unterteilt.

Pyramidenstumpf Herleitung Volumen StudySmarterAbbildung 7: Herleitung Volumenberechnung

Der Pyramidenstumpf besitzt eine quadratische Grundfläche mit der Kantenlänge a und der Höhe h. Auf dem Pyramidenstumpf steht eine Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche mit der Kantenlänge b, der Höhe k und dem Volumen. Wenn Du die beiden Höhen h und k miteinander addierst, erhältst Du die Höhe i der gesamten Pyramide.

Das Volumen der gesamten Pyramide kann berechnet werden mit der Formel:

So ähnlich wird auch das Volumen der kleineren Pyramide berechnet:

Dadurch, dass die ganze Pyramide aus der kleineren Pyramide und dem Pyramidenstumpf besteht, lässt sich das Volumen des Pyramidenstumpfes berechnen, indem das Volumen der kleineren Pyramide von dem Volumen der ganzen Pyramide abgezogen wird. So ergibt sich:

Wenn Du diese Formeln ausschreibst und anschließend zusammenfasst, erhältst Du:

Wie am Anfang schon festgelegt, stehen die Höhen im folgenden Verhältnis:

Mit dieser Information substituierst Du jetzt das i aus der Formel und kürzt den Term:

Als Nächstes wendest Du den Strahlensatz an. Dafür verwendest Du die zwischen dem jeweiligen Mittelpunkt der Grundfläche, der Mitte einer Seite der Grundfläche und der Spitze der Pyramide entstehen. Wenn Du den Strahlensatz auf diese beiden Dreiecke anwendest, entsteht folgende Gleichung:

Diese Formel wird jetzt in mehreren Schritten umgeformt:

Setze jetzt die mit der markierte Formel in die Formel mit der ein:

Als Letztes wendest Du noch die dritte binomische Formel an und vereinfachst den Term:

Und somit hast Du die Formel für das Volumen eines Pyramidenstumpfes hergeleitet.

Pyramidenstumpf berechnen

Neben den Volumina und Flächeninhalten lassen sich aber auch noch andere Größen in einem Pyramidenstumpf rechnerisch ermitteln. In diesem Abschnitt geht es deshalb darum, wie Du die Höhe und einen Winkel eines Pyramidenstumpfes berechnest.

Pyramidenstumpf Höhe berechnen

Um die Höhe eines Pyramidenstumpfes zu berechnen, kannst Du Dir bereits bekannte Formeln, wie aus der Volumen- oder Oberflächenberechnung zur Hilfe nehmen. Dafür stellst Du die jeweilige Formel nach der gesuchten Höhe um und setzt dann die gegebenen Werte ein.

Für die Höhe der Mantelfläche gilt also:

Um die Höhe \(h_m\) zu berechnen, kannst Du folgende Formeln anwenden:

\begin{align} A_M&=2 \cdot (a+b) \cdot h_m \\\Rightarrow h_m &= \frac{A_M}{2 \cdot (a+b)}\end{align}

oder

\begin{align} O_{Pyramidenstumpf} &= a^2 + b^2 + 2 \cdot (a+b) \cdot h_m \\\Rightarrow h_m&=\frac{O_{Pyramidenstumpf}}{a^2 + b^2 + 2\cdot (a+b)}\end{align}

Und für die Höhe des Pyramidenstumpfes gilt dann:

Um die Höhe \(h\) zu berechnen, kannst Du folgende Formel anwenden:

\begin{align} V_P&= \frac{h}{3} \cdot (a^2+a \cdot b+b^2)\\\Rightarrow h&= 3 \cdot \frac{V_P}{(a^2+a \cdot b+b^2 )}\end{align}

Wenn Du etwa die Höhe der Mantelfläche \(h_m\) aus dem Volumen Beispiel berechnen sollst, sieht das so aus:

Aufgabe 4

Berechne die Höhe der Mantelfläche \(h_m\) des folgenden Pyramidenstumpfes, der eine Mantelfläche von \(152\,{cm}^2\):

Pyramidenstumpf Mantelfläche Berechnung StudySmarterAbbildung 8: Berechnung Mantelfläche

Lösung

1. Schritt:

Wähle als Erstes die richtige Formel aus. In diesem Fall suchst Du die Höhe \(h_m\) und hast die Mantelfläche gegeben, Du kannst also die umgestellte Formel zur Berechnung der Mantelfläche verwenden:

\begin{align} A_M&=2 \cdot (a+b) \cdot h_m\\\Rightarrow h_m &= \frac{A_M}{2 \cdot (a+b)}\end{align}

2. Schritt:

Setze als Nächstes Deine gegebenen Werte in Deine Formel ein:

\begin{align} 152{\text{ cm}}^2 &=2 \cdot (\text{6 cm}+\text{3,5 cm}) \cdot h_m\\\Rightarrow h_m &= \frac{152{\text{ cm}}^2}{2 \cdot (\text{6 cm}+\text{3,5 cm} )}\end{align}

3. Schritt:

Jetzt fehlt Dir nur noch den Term zu berechnen:

\begin{align} h_m &= \frac{152 {\text{ cm}}^2}{2 \cdot (\text{6 cm} + \text{3,5 cm})}\\&= \frac{152 {\text{ cm}}^2}{2 \cdot \text{9,5 cm}}\\&= \frac{152{\text{ cm}}^2}{\text{19 cm}}\\&= \text{8 cm}\end{align}

Und so ergibt sich für die Höhe der Mantelfläche \(h_m = \text{8 cm}\).

Pyramidenstumpf Winkel berechnen

Die Basis der Winkelberechnung in einem Pyramidenstumpf ist der Sinussatz. Mit ihm lässt sich aus den Verhältnissen zwischen Winkel und Seitenlänge eine fehlende Größe berechnen.

Sollte Dir der Sinussatz noch unbekannt sein, hilft Dir vielleicht die Erklärung Sinussatz weiter.

In diesem Abschnitt soll es um drei Winkel gehen, die bei einem Pyramidenstumpf relevant sind.

Pyramidenstumpf Winkel Berechnung StudySmarterAbbildung 9: Winkelberechnung Pyramidenstumpf

Diese drei Winkel lassen sich auf folgende Weise berechnen:

Unter der Verwendung des Strahlensatzes erhältst Du folgende Formeln zur Berechnung der Winkel:

\begin{align} {\color{#fa3273}\sin{\alpha}} &= \frac{\sin{{90}^{\circ}}}{s} \cdot h=\frac{h}{s}\\{\color{#8363e2}\sin{\beta}}&=\frac{\sin{{90}^{\circ}}}{h_s} \cdot h=\frac{h}{h_m}\\{\color{#00dcb4}\sin{\gamma}}&=\frac{\sin{{90}^{\circ}}}{s} \cdot h_m =\frac{h_m}{s}\end{align}

Je nachdem welcher Art von Winkel gesucht ist, kannst Du eine der drei Formeln auswählen, die Dich zum richtigen Ergebnis führt.

Aufgabe 5

Berechne den Winkel \(\gamma\) des folgenden Pyramidenstumpfes:

Pyramidenstumpf Winkel Berechnung StudySmarterAbbildung 10: Winkelberechnung Pyramidenstumpf

Lösung

1. Schritt:

Wähle als Erstes die richtige Formel aus. Es handelt sich hier um den Winkel, der zwischen der Seitenkante und der kannte der Grundfläche aufgespannt wird. Für diesen Winkel gilt die Formel:

\begin{align} \sin{\gamma}&=\frac{\sin{{90}^{\circ}}}{s} \cdot h_m =\frac{h_m}{s} \end{align}

2. Schritt:

Setze jetzt Deine gegebenen Werte ein. Da die untere und obere Seite des Pyramidenstumpfes immer parallel sind, ist auch die Höhe \(h_m\) an jeder Stelle gleich lang, deshalb gilt:

\begin{align} \sin{\gamma}&=\frac{\text{4 cm}}{\text{5 cm}} \end{align}

3. Schritt:

Berechne nun Deinen Term:

\begin{align} \sin{\gamma}&=\frac{\text{4 cm}}{\text{5 cm}}\\\gamma &=\arcsin{\frac{\text{4 cm}}{\text{5 cm}}}\\\gamma &=\arcsin{\frac{\text{4}}{\text{5}}}\\\gamma &={53,13}^{\circ}\end{align}

Du erhältst somit für den gesuchten Winkel das Ergebnis: \(\gamma={53,13}^{\circ}\)

Pyramidenstumpf Übungsaufgaben

Damit Du das oben gelernte ein wenig verfestigen kannst, hast Du hier die Möglichkeit ein paar Übungsaufgaben durchzurechnen.

Aufgabe 6

Für den folgenden Pyramidenstumpf sind die Werten \(a = \text{6 cm, }b=\text{4 cm und } h_m=\text{2,2 cm}\) gegeben. Berechne die Mantelfläche des Pyramidenstumpfes.

Pyramidenstumpf Mantelfläche Berechnung StudySmarterAbbildung 11: Mantelfläche Pyramidenstumpf

Lösung

1. Schritt:

Setzte zunächst die Werte in die Formel der Mantelfläche ein:

\begin{align}A_m &= 2 \cdot (a+b) \cdot h_m\\&=2 \cdot (\text{6 cm}+\text{4 cm}) \cdot \text{2,2 cm} \end{align}

2. Schritt:

Jetzt musst Du diesen Term nur noch ausrechnen:

\begin{align} A_m &= 2 \cdot \text{10 cm} \cdot \text{2,2 cm}\\&= \text{20 cm} \cdot \text{2,2 cm}\\&= 44{\text{ cm}}^2\end{align}

Die Mantelfäche ergibt also \(44{\text{ cm}}^2\).

Aufgabe 7

Für den folgenden Pyramidenstumpf sind die Werten \(a = \text{6 cm, }b=\text{4 cm und } h=\text{2 cm}\) gegeben. Berechne das Volumen des Pyramidenstumpfes.

Pyramidenstumpf Volumen Berechnung StudySmarterAbbildung 12: Volumen Pyramidenstumpf

Lösung

1. Schritt:

Setzte wieder Deine gegebenen Werte in die Formel der Volumenberechnung ein:

\begin{align} V_{Pyramidenstumpf}&=\frac{h}{3} \cdot (a^2+a\cdot b+b^2)\\&=\frac{2 \text{ cm}}{3}\cdot ((6{\text{ cm})}^2+6\text{ cm}\cdot 4\text{ cm} + (4{\text{ cm}})^2\\\end{align}

2. Schritt:

Jetzt brauchst Du nur noch das Ergebnis des Terms zu berechnen:

\begin{align} V_{Pyramidenstumpf}&=\frac{2 \text{ cm}}{3}\cdot ((6{\text{ cm})}^2+6\text{ cm}\cdot 4\text{ cm}+(4{\text{ cm}})^2\\&=\frac{2 \text{ cm}}{3}\cdot (36 {\text{ cm}}^2+24{\text{ cm}}^2+16{\text{ cm}}^2)\\&=\frac{2 \text{ cm}}{3} \cdot 76 {\text{ cm}}^2\\&\approx 50,67{\text{ cm}}^3\end{align}

Der Pyramidenstumpf hat demnach ein Volumen von \(50,67 {\text{ cm}}^3\).

Pyramidenstumpf – Das Wichtigste

  • Der Pyramidenstumpf besitzt eine quadratische Grundfläche , eine quadratische Schnittfläche , sowie eine Mantelfläche , die aus vier identischen gleichschenkligen Trapezen besteht.
  • Bei der Betrachtung sind auch noch relevant, die Höhe des Stumpfes, die vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zum Mittelpunkt der Schnittfläche geht und die Höhe der Mantelfläche, die die Höhe der vier gleichschenkligen Trapeze entspricht.
  • Die Mantelfläche wird durch folgende Formel berechnet
  • Die Oberfläche des Pyramidenstumpfes setzt sich aus drei Flächen zusammen:
  • Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Pyramidenstumpfs lautet:
  • Der Pyramidenstumpf besitzt eine quadratische Grundfläche mit der Kantenlänge a und der Höhe h. Auf dem Pyramidenstumpf steht eine Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche mit der Kantenlänge b, der Höhe k und dem Volumen. Wenn Du die beiden Höhen h und k miteinander addierst, erhältst Du die Höhe i der gesamten Pyramide
  • Um die Höhe \(h_m\) zu berechnen, kannst Du folgende Formeln anwenden: \( h_m=\frac{A_M}{2 \cdot (a+b)}\) oder \(h_m=\frac{o_{Pyramidenstumpf}}{a^2 + b^2 + 2\cdot (a+b)}\)
  • elche
  • Unter der Verwendung des Strahlensatzes erhältst Du folgende Formeln zur Berechnung der Winkel: \begin{align} \sin{\alpha} &=\frac{h}{s}\\\sin{\beta}&=\frac{h}{h_m}\\\sin{\gamma}&=\frac{h_m}{s}\end{align}

Nachweise

  1. Rolf Baumann(2003). Geometrie für die 9./10. Klasse. Mentor-Verlag

Häufig gestellte Fragen zum Thema Pyramidenstumpf

Der Pyramidenstumpf hat einen Oberflächeninhalt, der sich aus der Grundfläche, der Mantelfläche und der Schnittfläche zusammensetzt.

Das Volumen eines Pyramidenstumpfes berechnest Du, indem Du die Höhe durch 3 teilst und dies dann multiplizierst mit dem Ergebnis aus der Addition der quadrierten Kante der Grundfläche, der quadrierten Kante der Schnittfläche und dem Produkt der beiden Kanten.

Ein quadratischer Pyramidenstumpf ist ein geometrischer Körper, der entsteht, wenn Du die Spitze einer quadratischen Pyramide parallel zu ihrer Grundfläche abschneidest.

Ein Pyramidenstumpf hat in der Regel vier Seitenflächen sowie eine Grundfläche und eine Schnittfläche. Das macht insgesamt sechs Flächen.

Finales Pyramidenstumpf Quiz

Frage

Mit welchen Formeln lässt sich die Formel \(h_m\) berechnen?

Antwort anzeigen

Antwort

Um die Höhe \(h_m\) zu berechnen, kannst Du folgende Formeln anwenden:

 \( h_m=\frac{A_M}{2 \cdot (a+b)}\) oder \(h_m=\frac{o_{Pyramidenstumpf}}{a^2 + b^2 + 2\cdot (a+b)}\)

Frage anzeigen

Frage

Welche Formel kannst Du anwenden, um die Höhe \(h\)  zu berechnen?

Antwort anzeigen

Antwort

Um die Höhe \(h\) zu berechnen, kannst Du folgende Formel anwenden:

\(h=3\cdot \frac{V_P}{(a^2+a \cdot b +^2)}\)

Frage anzeigen

Frage

Welche Formeln erhältst Du zur Berechnung der Winkel im Pyramidenstumpf?

Antwort anzeigen

Antwort

Unter der Verwendung des Strahlensatzes erhältst Du folgende Formeln zur Berechnung der Winkel:

\begin{align} \sin{\alpha} &=\frac{h}{s}\\
\sin{\beta}&=\frac{h}{h_m}\\
\sin{\gamma}&=\frac{h_m}{s}
\end{align}

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Flächen hat ein Pyramidenstumpf?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Pyramidenstumpf hat in der Regel vier Seitenflächen sowie eine Grundfläche und eine Schnittfläche. Das macht insgesamt sechs Flächen.

Frage anzeigen

Mehr zum Thema Pyramidenstumpf
60%

der Nutzer schaffen das Pyramidenstumpf Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.