Pyramidenstumpf

Wenn wir das Wort Pyramiden hören, denken wir häufig zuerst an die geometrische Form oder die ägyptischen Weltwunder. Doch wusstest Du, dass die drittgrößte Pyramide der Welt, die Sonnenpyramide von Teotihuacán, in der voraztekischen Ruinenstadt von Teotihuacán, rund 45 km nordöstlich von Mexico-Stadt steht? Wenn Du vielleicht schon einmal ein Foto dieser Bauwerke gesehen hast, ist Dir eventuell aufgefallen, dass sich diese in der Bauweise von den Pyramiden in Ägypten unterscheiden.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Pyramidenstumpf Bild Sonnenpyramide StudySmarterVon Ralf Roletschek - Eigenes Werk, GFDL 1.2, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=42138076

    Denn die Sonnenpyramide läuft nicht etwa nach oben spitz zu wie eine normale Pyramide, sondern wirkt so, als ob die Spitze abgeschnitten worden wäre. Diese Form, die den Besuchern so etwas wie eine Aussichtsplattform ermöglicht, hat einen Namen – Pyramidenstumpf – und um genau diesen geometrischen Körper soll es in dieser Erklärung gehen.

    Pyramidenstumpf Definition

    Wie in der Einführung bereits angesprochen ist der Pyramidenstumpf, wie eine Pyramide, der die Spitze abgeschnitten wurde.

    Der Pyramidenstumpf besitzt eine quadratische Grundfläche AG, eine quadratische Schnittfläche AS, sowie eine Mantelfläche AM, die aus vier identischen gleichschenkligen Trapezen besteht.

    Pyramidenstumpf Pyramidenstumpf StudySmarterAbbildung 2: Pyramidenstumpf

    Bei der Betrachtung sind auch noch relevant, die Höhe h des Stumpfes, die vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zum Mittelpunkt der Schnittfläche geht und die Höhe hm der Mantelfläche, die die Höhe der vier gleichschenkligen Trapeze entspricht.

    Pyramidenstumpf Formel

    In einem Pyramidenstumpf musst Du in Rechenaufgaben meistens eine der drei folgenden Größen berechnen: die Mantelfläche, die Oberfläche oder das Volumen. In diesem Abschnitt erfährst Du, wie Du jeweils vorzugehen hast.

    Mantelfläche Pyramidenstumpf

    Wie Du oben bereits gesehen hast, besteht die Mantelfläche aus vier identischen gleichschenkligen Trapezen. Daraus folgt also, dass die Mantelfläche der vierfachen Fläche einer dieser Trapeze entspricht.

    Der Flächeninhalt eines Trapezes lässt sich mit folgender Formel berechnen:

    id="3122634" role="math" ATrapez=12a+b·h

    Dabei gilt für die Trapeze in einem Pyramidenstumpf folgender Aufbau:

    Pyramidenstumpf Trapez Mantelfläche StudySmarterAbbildung 3: Trapez aus Mantelfläche

    Zusammen mit der allgemein Formel für die Fläche eines Trapezes ergibt sich dann für die Mantelfläche:

    Die Mantelfläche eines Trapezes wird durch folgende Formel berechnet:

    AM=4·12·a+b·hm=2·a+b·hm

    Dadurch dass es sich um 4 Trapeze handelt, wurde die allgemeine Formel mit vier multipliziert und so wurde aus 1/2 der Faktor 2.

    Aufgabe 1

    Berechne die Mantelfläche des folgenden Pyramidenstumpfs:

    Pyramidenstumpf Berechnung Mantelfläche StudySmarterAbbildung 4: Berechnung Mantelfläche

    Lösung

    1. Schritt:

    Setzte als Erstes Deine gegebenen Werte in die Formel ein. Die Kantenlänge der Grundfläche misst 4 cm, die Kantenlänge der Schnittfläche 2 cm und die Länge der Höhe entspricht 5 cm.

    Somit erhältst Du für die Formel:

    AM=2·4 cm+ 2 cm·5 cm

    2. Schritt:

    Jetzt kannst Du den Wert Deines Terms berechnen:

    AM=2·4 cm+ 2 cm·5 cm=2·6 cm ·5 cm=12 cm ·5 cm=60 cm2

    Der Pyramidenstumpf hat eine Mantelfläche von 60 cm2.

    Pyramidenstumpf Oberfläche

    Manchmal ist in einer Aufgabe nicht nur die Oberfläche des Mantels gefragt, sondern die des gesamten Pyramidenstumpfs.

    Die Oberfläche des Pyramidenstumpfes setzt sich aus drei Flächen zusammen, der Grundfläche, Schnittfläche und der Mantelfläche:

    OPyramidenstumpf=AG+As+AM=a2+b2+2·(a+b)·hm

    Da es sich bei der Grundfläche und der Schnittfläche um quadratische Flächen handelt, lassen sich deren Flächeninhalte berechnen, indem Du die jeweilige Kantenlänge quadrierst.

    Aufgabe 2

    Berechne die Oberfläche des gleichen Pyramidenstumpfes aus Aufgabe 1:

    Pyramidenstumpf Berechnung Oberfläche StudySmarterAbbildung 5: Berechnung Oberfläche

    Lösung

    1. Schritt:

    Setzte als Erstes wieder die Werte in die gegebene Formel ein:

    OPyramidenstumpf=a2+b2+2·(a+b)·hm=(4 cm)2+ (2 cm)2+2·4 cm + 2 cm·5 cm

    2. Schritt:

    Berechne aus diesem Term jetzt den Flächeninhalt.

    Da Du das Ergebnis für die Mantelfläche bereits in der Aufgabe zuvor berechnet hast, kannst Du das Ergebnis für diese Aufgabe nutzen.

    OPyramidenstumpf=(4 cm)2+ (2 cm)2+2·4 cm + 2 cm·5 cm=(4 cm)2+(2 cm)2+60 cm2=16 cm2 + 4 cm2+60 cm2=80 cm2

    Die Oberfläche des Pyramidenstumpfes beträgt also 80 cm2.

    Pyramidenstumpf Volumen

    Wie Du das Volumen eines Pyramidenstumpfs berechnest, benötigt ein paar mehr Schritte zum Herleiten. Für die Berechnung des Volumens kannst Du Dir jedoch folgendes merken:

    Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Pyramidenstumpfs lautet:

    VPyramidenstumpf=h3·a2+a·b+b2

    Beachte, dass es sich bei der verwendeten Höhe nicht um die Höhe der Mantelfläche \(h_m\) handelt, sondern um die Höhe des Pyramidenstumpfes \(h\).

    Wende diese Formel doch einmal an dem Beispiel aus Aufgabe 1 und 2 an:

    Aufgabe 3

    Berechne das Volumen von folgendem Pyramidenstumpf:

    Pyramidenstumpf Berechnung Volumen StudySmarterAbbildung 6: Volumenberechnung Pyramidenstumpf

    Lösung:

    1. Schritt:

    Im ersten Schritt setzt Du Deine gegebenen Werte in die Formel ein:

    VPyramidenstumpf=h3·a2+a·b+b2=4 cm3·(4 cm)2+4 cm·2 cm+(2 cm)2

    2. Schritt:

    Jetzt brauchst Du nur noch den Term auszurechnen:

    VPyramidenstumpf=4 cm3·(4 cm)2+4 cm·2 cm+(2 cm)2=43 cm·( 16 cm2+ 8 cm2+4 cm2)=43 cm·28 cm237,3 cm3

    Das Volumen des Pyramidenstumpfes entspricht also 37,3 cm3.

    Solltest es Dir nicht genug sein, die Formel zu kennen und anwenden zu können, dann kannst Du Deine Neugierde im nächsten Abschnitt stillen.

    Pyramidenstumpf Volumen Herleitung

    Nun hast Du die Formel für das Volumen eines Pyramidenstumpfes schon angewendet, doch woher kommt diese Formel? In diesem Abschnitt siehst Du Schritt-für-Schritt, wie die Formel hergeleitet wird.

    Als Hilfestellung in dieser Herleitung dient eine Pyramide, diese wird in einen Pyramidenstumpf und eine kleinere Pyramide unterteilt.

    Pyramidenstumpf Herleitung Volumen StudySmarterAbbildung 7: Herleitung Volumenberechnung

    Der Pyramidenstumpf besitzt eine quadratische Grundfläche AG mit der Kantenlänge a und der Höhe h. Auf dem Pyramidenstumpf steht eine Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche AS mit der Kantenlänge b, der Höhe k und dem VolumenVkP. Wenn Du die beiden Höhen h und k miteinander addierst, erhältst Du die Höhe i der gesamten Pyramide.

    Das Volumen der gesamten Pyramide kann berechnet werden mit der Formel:

    VgP=13·AG·i=13·a2·i

    So ähnlich wird auch das Volumen der kleineren Pyramide berechnet:

    VkP=13·AS·k=13·b2·k

    Dadurch, dass die ganze Pyramide aus der kleineren Pyramide und dem Pyramidenstumpf besteht, lässt sich das Volumen des Pyramidenstumpfes berechnen, indem das Volumen der kleineren Pyramide von dem Volumen der ganzen Pyramide abgezogen wird. So ergibt sich:

    VPyramidenstumpf=VgP-VkP

    Wenn Du diese Formeln ausschreibst und anschließend zusammenfasst, erhältst Du:

    VPyramidenstumpf=13·a2·i-13·b2=13·(a2·i-b2·k)

    Wie am Anfang schon festgelegt, stehen die Höhen im folgenden Verhältnis:

    i=h+k

    Mit dieser Information substituierst Du jetzt das i aus der Formel und kürzt den Term:

    VPyramidenstumpf=13·(a2·(h+k)-b2·k=13·(a2·h+a2·k-b2·k)=13·(a2·h+(a2-b2)·k)1

    Als Nächstes wendest Du den Strahlensatz an. Dafür verwendest Du die zwischen dem jeweiligen Mittelpunkt der Grundfläche, der Mitte einer Seite der Grundfläche und der Spitze der Pyramide entstehen. Wenn Du den Strahlensatz auf diese beiden Dreiecke anwendest, entsteht folgende Gleichung:

    b2k=a2i

    Diese Formel wird jetzt in mehreren Schritten umgeformt:

    b2k=a2i·2i=h+kbk=ah+k·(h+k)·kb·h+b·k=a·k-k·a·(b·h)k·a-b=b·h: (a-b)k=(b·h)(a-b)2

    Setze jetzt die mit der 2 markierte Formel in die Formel mit der 1 ein:

    VPyramidenstumpf=13·a2·h+a2-b2·b·ha-b

    Als Letztes wendest Du noch die dritte binomische Formel a+b·a-b=a2-b2 an und vereinfachst den Term:

    VPyramidenstumpf=13·a2·h+a2-b2·b-ha-b=13·a2·h+((a+b)·(a-b))·(b·h)(a-b)=13·a2·h+((a+b)·b·h=13·a2·h+(a·b+b·b)·h=13·h·(a2+a·b+b2)

    Und somit hast Du die Formel für das Volumen eines Pyramidenstumpfes hergeleitet.

    Pyramidenstumpf berechnen

    Neben den Volumina und Flächeninhalten lassen sich aber auch noch andere Größen in einem Pyramidenstumpf rechnerisch ermitteln. In diesem Abschnitt geht es deshalb darum, wie Du die Höhe und einen Winkel eines Pyramidenstumpfes berechnest.

    Pyramidenstumpf Höhe berechnen

    Um die Höhe eines Pyramidenstumpfes zu berechnen, kannst Du Dir bereits bekannte Formeln, wie aus der Volumen- oder Oberflächenberechnung zur Hilfe nehmen. Dafür stellst Du die jeweilige Formel nach der gesuchten Höhe um und setzt dann die gegebenen Werte ein.

    Für die Höhe der Mantelfläche gilt also:

    Um die Höhe \(h_m\) zu berechnen, kannst Du folgende Formeln anwenden:

    \begin{align} A_M&=2 \cdot (a+b) \cdot h_m \\\Rightarrow h_m &= \frac{A_M}{2 \cdot (a+b)}\end{align}

    oder

    \begin{align} O_{Pyramidenstumpf} &= a^2 + b^2 + 2 \cdot (a+b) \cdot h_m \\\Rightarrow h_m&=\frac{O_{Pyramidenstumpf}}{a^2 + b^2 + 2\cdot (a+b)}\end{align}

    Und für die Höhe des Pyramidenstumpfes gilt dann:

    Um die Höhe \(h\) zu berechnen, kannst Du folgende Formel anwenden:

    \begin{align} V_P&= \frac{h}{3} \cdot (a^2+a \cdot b+b^2)\\\Rightarrow h&= 3 \cdot \frac{V_P}{(a^2+a \cdot b+b^2 )}\end{align}

    Wenn Du etwa die Höhe der Mantelfläche \(h_m\) aus dem Volumen Beispiel berechnen sollst, sieht das so aus:

    Aufgabe 4

    Berechne die Höhe der Mantelfläche \(h_m\) des folgenden Pyramidenstumpfes, der eine Mantelfläche von \(152\,{cm}^2\):

    Pyramidenstumpf Mantelfläche Berechnung StudySmarterAbbildung 8: Berechnung Mantelfläche

    Lösung

    1. Schritt:

    Wähle als Erstes die richtige Formel aus. In diesem Fall suchst Du die Höhe \(h_m\) und hast die Mantelfläche gegeben, Du kannst also die umgestellte Formel zur Berechnung der Mantelfläche verwenden:

    \begin{align} A_M&=2 \cdot (a+b) \cdot h_m\\\Rightarrow h_m &= \frac{A_M}{2 \cdot (a+b)}\end{align}

    2. Schritt:

    Setze als Nächstes Deine gegebenen Werte in Deine Formel ein:

    \begin{align} 152{\text{ cm}}^2 &=2 \cdot (\text{6 cm}+\text{3,5 cm}) \cdot h_m\\\Rightarrow h_m &= \frac{152{\text{ cm}}^2}{2 \cdot (\text{6 cm}+\text{3,5 cm} )}\end{align}

    3. Schritt:

    Jetzt fehlt Dir nur noch den Term zu berechnen:

    \begin{align} h_m &= \frac{152 {\text{ cm}}^2}{2 \cdot (\text{6 cm} + \text{3,5 cm})}\\&= \frac{152 {\text{ cm}}^2}{2 \cdot \text{9,5 cm}}\\&= \frac{152{\text{ cm}}^2}{\text{19 cm}}\\&= \text{8 cm}\end{align}

    Und so ergibt sich für die Höhe der Mantelfläche \(h_m = \text{8 cm}\).

    Pyramidenstumpf Winkel berechnen

    Die Basis der Winkelberechnung in einem Pyramidenstumpf ist der Sinussatz. Mit ihm lässt sich aus den Verhältnissen zwischen Winkel und Seitenlänge eine fehlende Größe berechnen.

    Sollte Dir der Sinussatz noch unbekannt sein, hilft Dir vielleicht die Erklärung Sinussatz weiter.

    In diesem Abschnitt soll es um drei Winkel gehen, die bei einem Pyramidenstumpf relevant sind.

    Pyramidenstumpf Winkel Berechnung StudySmarterAbbildung 9: Winkelberechnung Pyramidenstumpf

    Diese drei Winkel lassen sich auf folgende Weise berechnen:

    Unter der Verwendung des Strahlensatzes erhältst Du folgende Formeln zur Berechnung der Winkel:

    \begin{align} {\color{#fa3273}\sin{\alpha}} &= \frac{\sin{{90}^{\circ}}}{s} \cdot h=\frac{h}{s}\\{\color{#8363e2}\sin{\beta}}&=\frac{\sin{{90}^{\circ}}}{h_s} \cdot h=\frac{h}{h_m}\\{\color{#00dcb4}\sin{\gamma}}&=\frac{\sin{{90}^{\circ}}}{s} \cdot h_m =\frac{h_m}{s}\end{align}

    Je nachdem welcher Art von Winkel gesucht ist, kannst Du eine der drei Formeln auswählen, die Dich zum richtigen Ergebnis führt.

    Aufgabe 5

    Berechne den Winkel \(\gamma\) des folgenden Pyramidenstumpfes:

    Pyramidenstumpf Winkel Berechnung StudySmarterAbbildung 10: Winkelberechnung Pyramidenstumpf

    Lösung

    1. Schritt:

    Wähle als Erstes die richtige Formel aus. Es handelt sich hier um den Winkel, der zwischen der Seitenkante und der kannte der Grundfläche aufgespannt wird. Für diesen Winkel gilt die Formel:

    \begin{align} \sin{\gamma}&=\frac{\sin{{90}^{\circ}}}{s} \cdot h_m =\frac{h_m}{s} \end{align}

    2. Schritt:

    Setze jetzt Deine gegebenen Werte ein. Da die untere und obere Seite des Pyramidenstumpfes immer parallel sind, ist auch die Höhe \(h_m\) an jeder Stelle gleich lang, deshalb gilt:

    \begin{align} \sin{\gamma}&=\frac{\text{4 cm}}{\text{5 cm}} \end{align}

    3. Schritt:

    Berechne nun Deinen Term:

    \begin{align} \sin{\gamma}&=\frac{\text{4 cm}}{\text{5 cm}}\\\gamma &=\arcsin{\frac{\text{4 cm}}{\text{5 cm}}}\\\gamma &=\arcsin{\frac{\text{4}}{\text{5}}}\\\gamma &={53,13}^{\circ}\end{align}

    Du erhältst somit für den gesuchten Winkel das Ergebnis: \(\gamma={53,13}^{\circ}\)

    Pyramidenstumpf Übungsaufgaben

    Damit Du das oben gelernte ein wenig verfestigen kannst, hast Du hier die Möglichkeit ein paar Übungsaufgaben durchzurechnen.

    Aufgabe 6

    Für den folgenden Pyramidenstumpf sind die Werten \(a = \text{6 cm, }b=\text{4 cm und } h_m=\text{2,2 cm}\) gegeben. Berechne die Mantelfläche des Pyramidenstumpfes.

    Pyramidenstumpf Mantelfläche Berechnung StudySmarterAbbildung 11: Mantelfläche Pyramidenstumpf

    Lösung

    1. Schritt:

    Setzte zunächst die Werte in die Formel der Mantelfläche ein:

    \begin{align}A_m &= 2 \cdot (a+b) \cdot h_m\\&=2 \cdot (\text{6 cm}+\text{4 cm}) \cdot \text{2,2 cm} \end{align}

    2. Schritt:

    Jetzt musst Du diesen Term nur noch ausrechnen:

    \begin{align} A_m &= 2 \cdot \text{10 cm} \cdot \text{2,2 cm}\\&= \text{20 cm} \cdot \text{2,2 cm}\\&= 44{\text{ cm}}^2\end{align}

    Die Mantelfäche ergibt also \(44{\text{ cm}}^2\).

    Aufgabe 7

    Für den folgenden Pyramidenstumpf sind die Werten \(a = \text{6 cm, }b=\text{4 cm und } h=\text{2 cm}\) gegeben. Berechne das Volumen des Pyramidenstumpfes.

    Pyramidenstumpf Volumen Berechnung StudySmarterAbbildung 12: Volumen Pyramidenstumpf

    Lösung

    1. Schritt:

    Setzte wieder Deine gegebenen Werte in die Formel der Volumenberechnung ein:

    \begin{align} V_{Pyramidenstumpf}&=\frac{h}{3} \cdot (a^2+a\cdot b+b^2)\\&=\frac{2 \text{ cm}}{3}\cdot ((6{\text{ cm})}^2+6\text{ cm}\cdot 4\text{ cm} + (4{\text{ cm}})^2\\\end{align}

    2. Schritt:

    Jetzt brauchst Du nur noch das Ergebnis des Terms zu berechnen:

    \begin{align} V_{Pyramidenstumpf}&=\frac{2 \text{ cm}}{3}\cdot ((6{\text{ cm})}^2+6\text{ cm}\cdot 4\text{ cm}+(4{\text{ cm}})^2\\&=\frac{2 \text{ cm}}{3}\cdot (36 {\text{ cm}}^2+24{\text{ cm}}^2+16{\text{ cm}}^2)\\&=\frac{2 \text{ cm}}{3} \cdot 76 {\text{ cm}}^2\\&\approx 50,67{\text{ cm}}^3\end{align}

    Der Pyramidenstumpf hat demnach ein Volumen von \(50,67 {\text{ cm}}^3\).

    Pyramidenstumpf – Das Wichtigste

    • Der Pyramidenstumpf besitzt eine quadratische Grundfläche AG, eine quadratische Schnittfläche AS, sowie eine Mantelfläche AM, die aus vier identischen gleichschenkligen Trapezen besteht.
    • Bei der Betrachtung sind auch noch relevant, die Höhe h des Stumpfes, die vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zum Mittelpunkt der Schnittfläche geht und die Höhe hm der Mantelfläche, die die Höhe der vier gleichschenkligen Trapeze entspricht.
    • Die Mantelfläche wird durch folgende Formel berechnet AM=4·12·a+b·hm=2·a+b·hm
    • Die Oberfläche des Pyramidenstumpfes setzt sich aus drei Flächen zusammen: OPyramidenstumpf=AG+As+AM=a2+b2+2·(a+b)·hm
    • Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Pyramidenstumpfs lautet: VPyramidenstumpf=h3·a2+a·b+b2
    • Der Pyramidenstumpf besitzt eine quadratische Grundfläche AG mit der Kantenlänge a und der Höhe h. Auf dem Pyramidenstumpf steht eine Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche AS mit der Kantenlänge b, der Höhe k und dem VolumenVkP. Wenn Du die beiden Höhen h und k miteinander addierst, erhältst Du die Höhe i der gesamten Pyramide
    • Um die Höhe \(h_m\) zu berechnen, kannst Du folgende Formeln anwenden: \( h_m=\frac{A_M}{2 \cdot (a+b)}\) oder \(h_m=\frac{o_{Pyramidenstumpf}}{a^2 + b^2 + 2\cdot (a+b)}\)
    • elche
    • Unter der Verwendung des Strahlensatzes erhältst Du folgende Formeln zur Berechnung der Winkel: \begin{align} \sin{\alpha} &=\frac{h}{s}\\\sin{\beta}&=\frac{h}{h_m}\\\sin{\gamma}&=\frac{h_m}{s}\end{align}

    Nachweise

    1. Rolf Baumann(2003). Geometrie für die 9./10. Klasse. Mentor-Verlag
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Pyramidenstumpf

    Welchen Oberflächeninhalt hat der Pyramidenstumpf? 

    Der Pyramidenstumpf hat einen Oberflächeninhalt, der sich aus der Grundfläche, der Mantelfläche und der Schnittfläche zusammensetzt.

    Wie berechnet man einen Pyramidenstumpf? 

    Das Volumen eines Pyramidenstumpfes berechnest Du, indem Du die Höhe durch 3 teilst und dies dann multiplizierst mit dem Ergebnis aus der Addition der quadrierten Kante der Grundfläche, der quadrierten Kante der Schnittfläche und dem Produkt der beiden Kanten.

    Was ist ein quadratischer Pyramidenstumpf? 

    Ein quadratischer Pyramidenstumpf ist ein geometrischer Körper, der entsteht, wenn Du die Spitze einer quadratischen Pyramide parallel zu ihrer Grundfläche abschneidest.

    Wie viele Flächen hat ein Pyramidenstumpf? 

    Ein Pyramidenstumpf hat in der Regel vier Seitenflächen sowie eine Grundfläche und eine Schnittfläche. Das macht insgesamt sechs Flächen.

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