Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Schnittgerade zweier Ebenen

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Mathe

Immer wenn sich zwei Ebenen im Raum befinden, die zueinander nicht parallel sind, dann schneiden sich diese. Dieser Schnitt ist allerdings nicht nur ein Punkt sondern immer eine Gerade. Wie du diese Gerade berechnen kannst, erfährst du in diesem Artikel.

Ebene Grundlagenwissen

Wie Geraden lassen sich auch Ebenen im Raum durch Vektoren mathematisch darstellen. Eine Ebene wird durch zwei nicht parallele Vektoren und einen Punkt eindeutig aufgespannt. Der Bildschirm, den du gerade benutzt, um diesen Artikel zu lesen, stellt auch eine Ebene im dreidimensionalem Raum dar. Fallen dir andere Objekte ein die Ebenen im Alltag darstellen?

Lösungsideen: Ein Blatt Papier, ein Foto, ein Poster an der Wand, die Zimmertür und vieles mehr. Abstrahiert kannst du auch deinen Körper als Ebene im Koordinatensystem darstellen.

So könnte eine beliebige Ebene im Koordinatensystem aussehen:

Schnittgerade zweier Ebenen, Beispiel, StudySmarter

Abbildung 1: Eine türkisfarbene Ebene im dreidimensionalem Koordinatensystem

Lagebeziehung zweier Ebenen

Zwei Ebenen E und F können genau drei verschiedene Lagen zueinander einnehmen. Die Ebenen können identisch sein, parallel zueinander sein oder sich in einer Geraden g schneiden. Grafisch kannst du dir das wie folgt vorstellen:

identisch
parallel
Schnittgerade

Schnittgerade zweier Ebenen zwei Ebenen sind identisch StudySmarter

Schnittgerade zweier Ebenen zwei parallele Ebenen StudySmarter

Schnittgerade zweier Ebenen Schnittgerade zweier Ebenen StudySmarter

Falls dir das bis hierhin zu schnell war, dann solltest du dir am Besten den Artikel zur Lagebeziehung zweier Ebenen durchlesen.

Im Folgenden erfährst du, wie du den dritten Fall berechnest – die Schnittgerade zweier Ebenen. Wenn sich zwei Ebenen schneiden, liegen alle Punkte, die auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen liegen, sowohl in der ersten als auch der zweiten Ebene. Ansonsten haben die Ebenen keine weiteren gemeinsamen Punkte.

Schnittgerade zweier Ebenen berechnen

Falls eine der zwei Ebenen in Koordinatenform und die andere in Parameterform gegeben ist, dann ist die Berechnung verhältnismäßig einfach. Nachfolgend findest du ein Beispiel mit Erklärungen. Nach diesem Beispiel kannst du dich orientieren, da die Schritte bei der Berechnung immer die Gleichen sind.

Zuerst wird nochmal geklärt, was überhaupt unter einer Koordinatenform bzw. Parameterform verstanden wird, da wir dieses Wissen im Folgenden brauchen.

Eine Ebene im dreidimensionalem Raum ist in Koordinatengleichung bzw. Koordinatenform, wenn diese der folgenden Gleichung genügt:

Schnittgerade zweier Ebenen Koordinatenform einer Ebene StudySmarter

Dabei ist Schnittgerade zweier Ebenen Normalenvektor StudySmarter der Normalenvektor

Schnittgerade zweier Ebenen Normalenvektor StudySmarter

und a,b,c und d reelle Zahlen, also .

Eine Ebene im dreidimensionalem Raum ist in Parametergleichung bzw. Parameterform, wenn diese der folgenden Gleichung genügt:

Schnittgerade zweier Ebenen Parameterform einer Ebene StudySmarter

Dabei sind r,s reelle Zahlen, Schnittgerade zweier Ebenen Parameterform einer Ebene StudySmarterder Stützvektor und Schnittgerade zweier Ebenen Parameterform einer Ebene StudySmarter,Schnittgerade zweier Ebenen Parameterform einer Ebene StudySmarterdie Richtungsvektoren der Ebene.

Jetzt kannst du dir ein Beispiel anschauen. Eine Ebene ist in Koordinatenform und die andere Ebene in Parameterform gegeben.

Aufgabe 1

Bestimme die Schnittgerade der Ebenen E und F :

Schnittgerade zweier Ebenen Schnittgerade zweier Ebenen Formel StudySmarter

Lösung 1

1. Schritt: Zuerst bestimmst du die Koordinaten von F

Schnittgerade zweier Ebenen Schnittgerade zweier Ebenen Formel StudySmarter

2. Schritt: Nun setzt du die Koordinaten von F in die Ebenengleichung von E ein.

Schnittgerade zweier Ebenen Schnittgerade zweier Ebenen Formel StudySmarter

3. Schritt: Stelle die erhaltene Gleichung nach einer Variablen um.

Schnittgerade zweier Ebenen Schnittgerade zweier Ebenen Formel StudySmarter

4. Schritt: Ersetze die Variable in der Parametergleichung und löse auf

Schnittgerade zweier Ebenen Schnittgerade zweier Ebenen Formel StudySmarter

Die nun aufgestellte Gerade g ist die Schnittgerade der Ebenen E und F.

Anschaulich können wir die Lösung der Aufgabe überprüfen. Die türkise Ebene entspricht der Ebene E, die orangene Ebene entspricht der Ebene F und die Gerade g ist dunkelblau eingezeichnet. Du kannst hier erkennen, dass die Gerade sowohl in der Ebene E als auch in der Ebene F liegt.

Schnittgerade zweier Ebenen, Schnittgerade zweier Ebenen Formel, StudySmarter

Abbildung 2: Grafik der Schnittgeraden von den beiden Ebenen

Schnittgerade zweier Ebenen Koordinatenform

Falls die Ebenen in Koordinatenform gegeben sind oder du die Ebenen in Koordinatenform gebracht hast, dann findest du nachfolgend ein Beispiel wie die Berechnung der Schnittgeraden abläuft. Auch in diesem Fall ist die Berechnung verhältnismäßig einfach und kurz.

Wenn du Schwierigkeiten hast, eine Ebene von Parameterform in Koordinatenform zu transformieren, dann schau' dir am Besten den Artikel Ebenengleichung umformen an!

Aufgabe 2

Bestimme die Schnittgerade der Ebenen E und F:

Lösung 2

1. Schritt: Stelle ein lineares Gleichungssystem auf und vereinfache es soweit du kannst.

2. Schritt: Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten Gleichung.

3. Schritt: Stelle die erhaltene Gleichung nach einer Variablen um.

4. Schritt: Ersetze eine Variable durch eine neue Variable. Wir wählen:

5. Schritt: Durch Einsetzen kannst du die übrig gebliebene Variable berechnen:

6. Schritt: Nun setzt du deine Werte in die gesuchte Geradengleichung ein und vereinfachst.

Die nun aufgestellte Gerade g ist die Schnittgerade der Ebenen E und F.

Auch hier nochmal eine Visualisierung, was gerade errechnet wurde. Die Ebene E - hier türkis dargestellt – und die Ebene F orange dargestellt. Die Schnittgerade g ist die dunkelblau eingezeichnete Gerade.

Schnittgerade zweier Ebenen, Schnittgerade zweier Ebenen Formel, StudySmarter

Abbildung 3: Grafik der Schnittgeraden von den beiden Ebenen

Schnittgerade zweier Ebenen Parameterform

Wenn beide Ebenen in Parameterform angegeben sind, dann hast du die Möglichkeit eine der beiden Ebenen zunächst in eine Koordinatengleichung umzuwandeln und so vorzugehen wie bereits erklärt. Ansonsten kannst du die Schnittgerade g der beiden Ebenen finden, indem du beide Gleichungen gleichsetzt. Wir erklären das nochmal anhand eines Beispiels:

Wenn du Schwierigkeiten hast, eine Ebene von Parameterform in Koordinatenform zu transformieren, dann schau' dir am Besten den Artikel Ebenengleichung umformen an!

Aufgabe 3

Bestimme die Schnittgerade der Ebenen E und F:

Lösung 3

1. Schritt: Da beide Ebenen in der gleichen Form sind, kannst du diese gleichsetzen.

2. Schritt: Nun werden alle drei Gleichungen vereinfacht!

3. Schritt: Anschließend muss das lineare Gleichungssystem mit vier Unbekannten gelöst werden.

Nachdem alle Unbekannten auf eine Seite gebracht wurden, wird die erste und zweite Zeile getauscht. Anschließend multiplizieren wir die erste Zeile mit -1.

Wir addieren das 1,5-fache der zweiten Zeile zu der dritten Zeile.

Danach bringen wir die Koeffizienten der vorne wegstehenden Variablen auf 1.

Aus der letzten Gleichung kannst du erkennen, dass s frei wählbar ist. Dann kannst du alle Gleichungen in Abhängigkeit von s darstellen.

4. Schritt: Jetzt kannst du so vorgehen wie im 1. Beispiel. Die Variable wird in die Ebenengleichung eingesetzt, durch welche die anderen Variablen ersetzt wurden – in unserem Fall ist das s.

Die aufgestellte Gerade g ist die Schnittgerade der Ebenen E und F.

Anschaulich können wir die Lösung der Aufgabe überprüfen. Die türkise Ebene entspricht der Ebene F, die orangene Ebene entspricht der Ebene E und die Gerade g ist dunkelblau eingezeichnet. Du kannst hier erkennen, dass die Gerade sowohl in der Ebene E als auch in der Ebene F liegt.

Schnittgerade zweier Ebenen, Schnittgerade zweier Ebenen Formel, StudySmarter
Abbildung 4: Grafik der Schnittgeraden von den beiden Ebenen

Schnittgerade zweier Ebenen - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Zwei Ebenen im dreidimensionalem Raum können entweder identisch, parallel zueinander sein oder sich schneiden.
  • Dieser Schnitt ist immer eine Schnittgerade.
  • Die Schnittgerade kannst du auf verschiedenen Arten ausrechnen.
  • Das Prinzip der Berechnung liegt dem Lösen eines linearen Gleichungssystems nahe.

Finales Schnittgerade zweier Ebenen Quiz

Frage

Definiere den Begriff Ebene!

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Ebene wird durch zwei nicht parallele Vektoren und einen Punkt eindeutig aufgespannt. 

Frage anzeigen

Frage

Welche Lage können zwei Ebenen zueinander einnehmen?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Die Ebenen sind identisch
  2. Die Ebenen sind parallel
  3. Die Ebenen schneiden sich
Frage anzeigen
60%

der Nutzer schaffen das Schnittgerade zweier Ebenen Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.