\( \definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180} \definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115} \definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226} \definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 200} \)
Richtungsvektor – Das klingt nach einem Vektor, der einfach eine bestimmte Richtung angibt? Die Definition des Richtungsvektors beinhaltet jedoch mehr als nur eine Richtung. So stellt er den Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten dar und wird beispielsweise auch für die Angabe von Geraden verwenden. Wie Du ihn sowohl grafisch abgelesen, als auch über eine Formel berechnen kannst, lernst Du in dieser Erklärung kennen. Außerdem werden Dir die Unterschiede zu anderen Vektoren, wie dem Ortsvektor und dem Stützvektor gezeigt.
Richtungsvektor Definition
Ein Richtungsvektor ist eine bestimmte Art eines Vektors. Es kann ihn sowohl im zweidimensionalen als auch im dreidimensionalen Koordinatensystem geben, er hat aber in beiden die gleiche Definition. Wie der Name „Richtungsvektor“ bereits sagt, gibt dieser Vektor eine eindeutige Richtung an, allerdings beinhaltet die Definition noch weitere Charakteristiken.
Der Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{AB}\) ist der Vektor, der von Punkt \(\color{#1478c8}A\) zu Punkt \(\color{#00dcb4}B\) verläuft. Er stellt die Verbindung zwischen den beiden Ortsvektoren \(\color{#1478c8}\vec{OA}\) und \(\color{#00dcb4}\vec{OB}\) dar.
Abb. 1 - Richtungsvektor Definition
Die Spitze des Richtungsvektors \(\color{r}\vec{AB}\) zeigt somit in die Richtung des Punktes \(\color{#00dcb4}B\), ausgehend vom Punkt \(\color{#1478c8}A\).
Ortsvektor Richtungsvektor
Der Ortsvektor \(\vec{OA}\) ist ein Vektor, dessen Anfangspunkt im Ursprung \(O\) und dessen Endpunkt im Punkt \(A\) liegt. Der einzige Unterschied zum Richtungsvektor ist, dass der Ortsvektor immer denselben Anfangspunkt hat, während der Richtungsvektor unterschiedliche Anfangspunkte haben kann.
Abb. 2 - Ortsvektor \(\vec{OA}\) vom Ursprung zum Punkt \(A\)
Ortsvektoren ermöglichen es, Punkte, Geraden und andere geometrische Elemente in einem Koordinatensystem zu beschreiben.
Wenn Du Dein Wissen zum Ortsvektor vertiefen möchtest, kannst Du Dir die Erklärung „Ortsvektor“ ansehen.
Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibt es für jeden Punkt \(A\) eine \(x\), \(y\) und \(z\)-Koordinate:
$$A=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$Wenn Du das Beispiel aus der Definition um eine \(z\)-Koordinate erweiterst, hast Du einen Richtungsvektor im dreidimensionalen Koordinatensystem. Dieses Beispiel kannst Du im Folgenden sehen.
In Abbildung 3 siehst Du nun den Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{AB}\) im dreidimensionalen Koordinatensystem, der von Punkt \(\color{#1478c8}A\) zu Punkt \(\color{#00dcb4}B\) verläuft.
Abb. 3 - Richtungsvektor im dreidimensionalen Koordiantensystem
Richtungsvektor bestimmen
Den Richtungsvektor von Punkt \(A\) zu Punkt \(B\) kannst Du auf zwei Weisen bestimmen: rechnerisch und grafisch. Im Folgenden lernst Du beide Weisen kennen.
Richtungsvektor Formel
Um den Richtungsvektor im dreidimensionalen Koordinatensystem zu berechnen, gibt es eine Formel. Vielleicht hast Du schon mal den Spruch „Spitze minus Fuß“ gehört. Dieser findet nämlich bei der Bestimmung des Richtungsvektors seine Anwendung und kann als Merkspruch für die Richtungsvektor-Formel verwendet werden.
Um den Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{AB}\) von Punkt \({\color{#1478c8}A}\) zu Punkt \({\color{#00dcb4}B}\) zu berechnen, subtrahierst Du den Ortsvektor \({\color{#1478c8}\vec{OA}}={\color{#1478c8 }\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}}\) vom Ortsvektor \({\color{#00dcb4}\vec{OB}}={\color{#00dcb4} \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{pmatrix}}\): \begin{align}{\color{#fa3273}\vec{AB}}={\color{#00dcb4}\vec{OB}}-{\color{#1478c8}\vec{OA}}={\color{#00dcb4} \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{pmatrix}}-{\color{#1478c8 }\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\end{pmatrix}\end{align}
Wenn Du die Koordinaten Deiner Punkte \(A\) und \(B\), oder die Ortsvektoren \(\vec{OA}\) und \(\vec{OB}\), gegeben hast, kannst Du so rechnerisch Deine Richtungsvektoren bestimmen.
Richtungsvektor berechnen – Beispiel
Zur Anwendung der Richtungsvektor Formel kannst Du Dir ein Beispiel anschauen:
Gegeben sind im dreidimensionalen Koordinatensystem die Punkte: \begin{align} {\color{bl}{A}}&=\color{bl}(3\,|\,5\,|\,2)\\{\color{gr}B}&=\color{gr}(1\,|\,4\,|\,1)\end{align}
Gesucht ist der Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{AB }\) von Punkt \({\color{#1478c8}A}\) zu Punkt \({\color{#00dcb4}B}\).
Um diesen zu berechnen, wendest Du die eben gelernte Formel an:\begin{align}{\color{#fa3273}\vec{AB}}={\color{#00dcb4}\vec{OB}}-{\color{#1478c8}\vec{OA}}={\color{#00dcb4} \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{pmatrix}}-{\color{#1478c8 }\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\end{pmatrix}\end{align}
Durch die gegebenen Koordinaten können die Ortsvektoren angegeben werden: \begin{align}{\color{#1478c8} \vec{OA}}&={\color{#1478c8} \begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix}}\\ {\color{#00dcb4} \vec{OB}}&={\color{#00dcb4} \begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}}\end{align}
Anhand der Formel kannst Du nun Deinen Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{AB}\) ausrechnen:
\begin{align}{\color{#fa3273}\vec{AB}}&={\color{#00dcb4}\vec{OB}}-{\color{#1478c8}\vec{OA}}\\[0.2cm]&={\color{#00dcb4} \begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}}-{\color{#1478c8 }\begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix}}\\[0.2cm]&=\begin{pmatrix}1-3\\4-5\\1-2\end{pmatrix}\\[0.2cm]&=\begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix}\end{align}
Dein Richtungsvektor\(\color{#fa3273}\vec{AB}\) beträgt also: $${\color{#fa3273}\vec{AB}}={\color{#fa3273}\begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix}}$$
Richtungsvektor ablesen – grafisch
Eine weitere Möglichkeit ist, den Richtungsvektor grafisch zu bestimmen. Wenn der Richtungsvektor von Punkt \(A\) zu Punkt \(B\) gegeben ist, kannst Du diesen durch Verbindung der beiden Punkte einzeichnen und anschließend ablesen. Wie genau das funktioniert, lernst Du im Folgenden anhand eines Beispiels kennen.
Gegeben sind die beiden Punkte \({\color{#1478c8}A}\) und \({\color{#00dcb4}B}\) in einem dreidimensionalen Koordinatensystem.
Abb. 4 - Richtungsvektor ablesen - Start und Endpunkt
Gesucht ist der Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{AB }\) von Punkt \({\color{#1478c8}A}\) zu Punkt \({\color{#00dcb4}B}\).
Um diesen ablesen zu können, zeichnest Du den Richtungsvektor als ersten Schritt ein, indem Du die beiden Punkte verbindest.
Abb. 5 - Richtungsvektor einzeichnen
Im nächsten Schritt überlegst Du Dir, in welche \(x\), \(y\) und \(z\)-Richtung Du gehen müsstest, um diesen Richtungsvektor zu erhalten.
In diesem Fall gehst Du eine \(x\)-Koordinate in die positive \(x\)-Richtung und eine \(y\)-Koordinate in die positive y-Richtung, um in Richtung Punkt \(B\) zu kommen.
Abb. 6 - Richtungsvektor ablesen - x,y-Richtung
Nun musst Du noch schauen, wie weit Du in \(z\)-Richtung gehen musst, um \(B\) zu erreichen. In diesem Fall müsstest Du zwei \(z\)-Koordinaten in die positive \(z\)-Richtung gehen.
Abb. 7 - Richtungsvektor ablesen - z-Richtung
Dein Richtungsvektor lautet somit in diesem Fall: $$\vec{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$$
Abb. 8 - Richtungsvektor ablesen
So konntest Du den Richtungsvektor \(\vec{AB}\) durch Ablesen bestimmen.
Normierter Richtungsvektor
Richtungsvektoren, die die Verbindungsvektoren zwischen zwei Punkten \(A\) und \(B\) darstellen, haben meistens auch ganz unterschiedliche Längen. Soll mit diesen Richtungsvektoren nur eine bestimmte Richtung angegeben werden, so können diese Richtungsvektoren normiert werden, denn das Normieren ändert nur die Länge eines Vektors, nicht die Richtung.
Zur Erinnerung: ein Vektor \(\vec{a_0}\) heißt normiert, wenn die Länge dieses Vektors 1 beträgt: \(|\vec{a_0}|=1\).
So kann mit den Richtungsvektoren in vielen verschiedenen Aufgabentypen weitergerechnet werden. Wie Du einen Richtungsvektor normieren kannst, siehst Du im folgenden Beispiel.
Gegeben ist der Richtungsvektor $${\color{r}\vec{AB}}={\color{r}\begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix}}$$ der normiert werden soll.
Dafür berechnest Du als Erstes die Länge des Vektors \(\vec{AB}\): \begin{align} |\vec{AB}|&=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+(-1)^2}\\&=\sqrt{6}\end{align}
Um den Richtungsvektor nun zu normieren, teilst Du seine Koordinaten durch seine Länge:
\begin{align} \vec{AB}_0&=\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot\vec{AB}\\&=\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot \begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\frac{-2}{\sqrt{6}}\\ \frac{-1}{\sqrt{6}}\\ \frac{-1}{\sqrt{6}}\end{pmatrix} \end{align}
Somit hast Du Deinen normierten Richtungsvektor \(\vec{AB}_0\) berechnet.
Richtungsvektor Gerade
Richtungsvektoren werden außerdem bei der Bestimmung und Angabe von Geraden verwendet.
Der Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{v}\) einer Geraden \(\color{li}g\) ist der Vektor, der in dieselbe räumliche Richtung zeigt wie diese Gerade.
Wenn die Punkte \(\color{#1478c8}A\) und \(\color{#00dcb4}B\) zwei unterschiedliche Punkte auf der Geraden \(\color{li}{g}\) sind, dann ist der Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{v}\) der Verbindungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{AB}\) zwischen diesen beiden Punkten.
Abb. 9 - Richtungsvektor Gerade g
Achtung: Eine Gerade kann mehrere Richtungsvektoren haben, durch die jedoch immer wieder dieselbe Gerade bestimmt werden kann.
Um eine Geradengleichung in der Parameterform aufzustellen, wird neben dem Richtungsvektor außerdem der Stützvektor verwendet.
Stützvektor Richtungsvektor
Der Stützvektor \(\vec{a}\) ist der Ortsvektor \(\vec{OA}\) eines Punktes \(A\), von dem der Richtungsvektor \(\vec{v}\) einer Geraden ausgeht. Er wird verwendet, um die Lage einer Geraden zu bestimmen.
Abb. 10 - Stützvektor Gerade g
Wie Du eine Geradengleichung in der Parameterform aufstellst, kannst Du Dir in der Erklärung „Geradengleichung in Parameterform“ ansehen.
Richtungsvektor – Aufgabe
Um die Anwendung von Richtungsvektoren zu üben, kannst Du die folgende Aufgabe lösen.
Aufgabe 1
Gegeben sind im dreidimensionalen Koordinatensystem die Punkte: \begin{align} {\color{bl}{A}}&=\color{bl}(1\,|\,3\,|\,2)\\{\color{gr}B}&=\color{gr}(6\,|\,4\,|\,1)\end{align}Gesucht ist der Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{AB }\) von Punkt \({\color{#1478c8}A}\) zu Punkt \({\color{#00dcb4}B}\).
Lösung
Um diesen zu berechnen, wendest Du die Formel an:
\begin{align}{\color{#fa3273}\vec{AB}}={\color{#00dcb4}\vec{OB}}-{\color{#1478c8}\vec{OA}}={\color{#00dcb4} \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{pmatrix}}-{\color{#1478c8 }\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\end{pmatrix}\end{align}
Durch die gegebenen Koordinaten können die Ortsvektoren angegeben werden: \begin{align}{\color{#1478c8} \vec{OA}}&={\color{#1478c8} \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}}\\ {\color{#00dcb4} \vec{OB}}&={\color{#00dcb4} \begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix}}\end{align}
Anhand der Formel kannst Du nun Deinen Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{AB}\) ausrechnen:
\begin{align}{\color{#fa3273}\vec{AB}}&={\color{#00dcb4}\vec{OB}}-{\color{#1478c8}\vec{OA}}\\[0.2cm]&={\color{#00dcb4} \begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix}}-{\color{#1478c8 }\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}}\\[0.2cm]&=\begin{pmatrix}6-1\\4-3\\1-2\end{pmatrix}\\[0.2cm]&=\begin{pmatrix}5\\1\\-1\end{pmatrix}\end{align}
Dein Richtungsvektor\(\color{#fa3273}\vec{AB}\) beträgt also: $${\color{#fa3273}\vec{AB}}={\color{#fa3273}\begin{pmatrix}5\\1\\-1\end{pmatrix}}$$
Richtungsvektor bestimmen – Das Wichtigste
- Der Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{AB}\) ist der Vektor, der von Punkt \(\color{#1478c8}A\) zu Punkt \(\color{#00dcb4}B\) verläuft
- Der Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{AB}\) stellt die Verbindung zwischen den beiden Ortsvektoren \(\color{#1478c8}\vec{OA}\) und \(\color{#00dcb4}\vec{OB}\) dar
- Den Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{AB}\) von Punkt \({\color{#1478c8}A}\) zu Punkt \({\color{#00dcb4}B}\) berechnest Du wie folgt: \begin{align}{\color{#fa3273}\vec{AB}}={\color{#00dcb4}\vec{OB}}-{\color{#1478c8}\vec{OA}}={\color{#00dcb4} \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{pmatrix}}-{\color{#1478c8 }\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\end{pmatrix}\end{align}
- Der Richtungsvektor kann auch grafisch abgelesen werden
- Der Richtungsvektor \(\color{#fa3273}\vec{v}\) einer Geraden \(g\) ist der Vektor, der in dieselbe räumliche Richtung zeigt wie eine Gerade
Nachweise
- Lothar Papula (2021). Mathematische Formelsammlung. Springer Vieweg.
- Kohn (2012). Vektorgeometrie. tobiaskohn.ch (06.10.2022)
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