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In einem Dreieck findest du immer Höhenfußpunkte. Dabei handelt es sich um Punkte, an denen die Höhe eines Dreiecks die zugehörige Seite oder ihre Verlängerung berührt. Der Höhenfußpunkt ist ein Begriff aus der Dreiecksgeometrie.Als Einleitung findest du hier zunächst eine kleine Wiederholung zum Thema Höhen eines Dreiecks.Jedes Dreieck im zweidimensionalen Raum hat drei Höhen. Dabei stellt immer eine Dreiecksseite die…
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Jetzt kostenlos anmeldenIn einem Dreieck findest du immer Höhenfußpunkte. Dabei handelt es sich um Punkte, an denen die Höhe eines Dreiecks die zugehörige Seite oder ihre Verlängerung berührt. Der Höhenfußpunkt ist ein Begriff aus der Dreiecksgeometrie.
Als Einleitung findest du hier zunächst eine kleine Wiederholung zum Thema Höhen eines Dreiecks.
Jedes Dreieck im zweidimensionalen Raum hat drei Höhen. Dabei stellt immer eine Dreiecksseite die Grundseite dar, auf die die Höhe aufgestellt wird. Das Lot, das aus dem der Grundseite gegenüberliegenden Punkt auf die Grundseite führt, ist beim spitzwinkligen Dreieck die zugehörige Höhe.
Lies dir dazu gerne noch den Artikel "Höhe Dreieck" durch, wenn du hier noch Auffrischungsbedarf hast.
Abbildung 1: Spitzwinkliges Dreieck ABC mit seinen zugehörigen Höhen
Beim stumpfwinkligen Dreieck liegt die Höhe allerdings bei zwei Seiten außerhalb des Dreiecks. Hierbei entspricht die Höhe dem Lot vom der Grundseite gegenüberliegenden Punkt auf die Verlängerung der Grundseite.
Abbildung 2: Stumpfwinkliges Dreieck ABC mit seinen zugehörigen Höhen und den Verlängerungen der Seiten a und c
Bei einem rechtwinkligen Dreieck bildet eine Kathete die Höhe auf die jeweils andere Kathete.
Abbildung 3: Rechtwinkliges Dreieck ABC mit seinen zugehörigen Höhen
Der Höhenfußpunkt des Dreiecks ist der Punkt, an dem die Höhen ihre zugehörige Seite beziehungsweise die Verlängerung der jeweiligen Seite berühren.
Im Folgenden findest du ein Beispiel dazu:
ist beispielsweise die Höhe auf die Seite und damit die Strecke zwischen und , die orthogonal zu steht. Damit ist der Höhenfußpunkt der Höhe .
Kleine Erinnerung: orthogonal ist gleichbedeutend mit senkrecht, das heißt, der Winkel zwischen Höhe und Seite ist .
Abbildung 4: Der Höhenfußpunkt Hb des Dreiecks ABC
Die Höhenfußpunkte liegen immer auf dem Feuerbachkreis eines Dreiecks.
Dieser Kreis, auch Neun-Punkte-Kreis genannt, hat auf seiner Kreislinie neun ausgezeichnete Punkte eines Dreiecks.
Abbildung 5: Der Feuerbachkreis eines spitzwinkligen Dreiecks
Diese Neun Punkte sind
Der obere Höhenabschnitt ist die Strecke zwischen dem Höhenschnittpunkt S und dem jeweiligen Eckpunkt des Dreiecks
Der Feuerbachkreis berührt immer den Inkreis und alle Ankreise eines Dreiecks.
Der Radius des Feuerbachkreises ist immer halb so groß wie der Radius des Umkreises.
Der Kreismittelpunkt G entspricht dem Streckenmittelpunkt der Strecke zwischen dem Umkreismittelpunkt U und dem Höhenschnittpunkt S.
Konstruiere ein rechtwinkliges und ein gleichseitiges Dreieck und zeichne die zugehörigen Feuerbachkreise ein.
Rechtwinkliges Dreieck | Gleichseitiges Dreieck |
|
|
In der folgenden Tabelle findest du einen Überblick über Höhenfußpunkte bei verschiedenen Dreiecksarten.
Art des Dreiecks | Schema (Abbildungen 8-10) | Anzahl Höhenfußpunkte | Lage der Höhenfußpunkte |
3 | Auf der zugehörigen Seite | ||
3 | Bei der längsten Seite auf der zugehörigen Seite; bei den anderen Seiten auf der Verlängerung der zugehörigen Seite | ||
2, da die Katheten den gleichen Höhenfußpunkt haben | Bei der Hypotenuse auf der Hypotenuse; bei den Katheten immer der Eckpunkt gegenüber der Hypotenuse |
Bei Dreiecken mit drei Höhenfußpunkten bilden diese ein weiteres Dreieck: das Höhenfußpunktdreieck.
Wie bereits oben angeführt, haben rechtwinklige Dreieck nur zwei unterscheidbare Höhenfußpunkte. Daher können ihre Höhenfußpunkte kein Höhenfußpunktdreieck bilden.
Sieh dir zum Einstieg erst einmal die Definition für das Höhenfußpunktdreieck an:
Das Höhenfußpunktdreieck ist ein Dreieck , das sich aus den Höhenfußpunkten eines Dreiecks ergibt. Die Höhenfußpunkte sind hierbei die Eckpunkte des Höhenfußpunktdreiecks.
Wie diese Punkte im Dreieck aussehen, siehst du im folgenden Beispiel.
In der folgenden Abbildung siehst du das Höhenfußpunktdreieck des Dreiecks :
Abbildung 12: Höhenfußpunktdreieck eines spitzwinkligen Dreiecks
Die ersten beiden Eigenschaften betreffen die Innen- beziehungsweise Außenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks und ihre Beziehung zu den Höhen des ursprünglichen Dreiecks:
Die dritte Eigenschaft bezieht sich auf den in der oben angesprochenen Vertiefung zum Feuerbachkreis und zum Umkreis des Höhenfußpunktdreiecks:
Wenn du nicht mehr genau vor Augen hast, was ein Umkreis oder eine Winkelhalbierende sind, oder was mit Innenwinkel und Außenwinkel gemeint ist, sieh dir einfach noch einmal unsere zugehörigen Artikel an!
Manchmal kann es vorkommen, dass du ein Dreieck im Koordinatensystem gegeben hast und die Lage zugehöriger Höhenfußpunkte berechnen sollst.
Die Lage des Höhenfußpunktes berechnest du, indem du von einem Punkt außerhalb – dem zugehörigen Scheitelpunkt des Dreiecks – eine Normale an die zugehörige Dreiecksseite anlegst.
Der Schnittpunkt dieser Normalen mit der zugehörigen Dreiecksseite ist der Höhenfußpunkt.
Wenn du dir nicht mehr ganz sicher bist, was eine Normale ist, oder wie man eine Normalengleichung von einem Punkt außerhalb aufstellt, sieh dir gerne nochmal unsere Zusammenfassung zum Thema Normale an.
Bevor du dir die schriftliche Erläuterung zur Berechnung durchliest, sieh dir zunächst die folgende Abbildung an, die das Verfahren veranschaulicht.
Abbildung 11: Verfahren zur Bestimmung der Lage der Höhenfußpunkte
Die Lage des Höhenfußpunktes wird folgendermaßen berechnet:
1. Stelle die Gleichung einer linearen Funktion auf, auf der die zugehörige Dreiecksseite liegt. Nutze dazu die bekannten Dreieckspunkte.
2. Stelle die allgemeine Normalengleichung zu dieser Funktion auf:
Dabei gilt:
3. Setze die Koordinaten des zugehörigen Eckpunktes, durch den die Höhe verläuft, für x und y ein. Nun ist nur noch a unbekannt.
4. Löst man nun nach a auf und setzt das erhaltene a in die Normalengleichung oder in die zuerst aufgestellte Gleichung, erhält man den Höhenfußpunkt. A entspricht hierbei der x-Koordinate, der errechnete Funktionswert der y-Koordinate:
Um das Vorgehen genauer zu verstehen, kannst du dir das folgende Beispiel ansehen.
Aufgabe
Die Punkte bilden ein Dreieck . Bestimme die Lage des Höhenfußpunktes , der auf der Seite liegt.
Lösung
1. Stelle die Gleichung der Geraden auf, die die Seite a beinhaltet:
2. Stelle die zugehörige allgemeine Normalengleichung auf:
3. Setze den Punkt A(0|0) für x und y ein und löse nach a auf:
4. Setze a=3,2 in die Geradengleichung ein und gib den Höhenfußpunkt an:
Die vierte Eigenschaft bezieht sich auf das Fagnano-Problem.
Das Fagnano-Problem beschreibt folgende Schwierigkeit:
Bestimme das in ein spitzwinkliges Dreieck einbeschriebene Dreieck mit dem geringsten Umfang.
Ein einbeschriebenes Dreieck ist ein Dreieck, das jeweils einen Eckpunkt auf der Seite eines spitzwinkligen Dreiecks hat. Somit liegt es komplett innerhalb des Dreiecks.
Die Lösung des Fagnano-Problems ist das Höhenfußpunktdreieck.
Ein Höhenfußpunkt ist der Punkt, an dem die Höhe eines Dreiecks die zugehörige Seite berührt.
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